Bài soạn TAI LIEU BOI DUONG HOC SINH GIOI PHAN DAI SO

Phần I : Đại số
Các chuyên đề về biến đổi biểu
thức
Biến đổi biểu thức nguên
A.
Một số hằng đẳng thức cơ bản
(a + b)
2
=a
2
+ 2ab + b
2
.
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a
1
+ a
2
+...+ a
n
)
2
= a

1
2
+ a
2
2
+ ...+ a
n
2
+
+ 2( a
1
a
2
+ ...+ a
1
a
n
+ a
2
a
3
+ ... + a
2
a
n
+ ... + a
n-1
a
n
)

= a
1
2
+ a
2
2
+ ...+ a
n
2
+


= +=
1
1 1
2
n
i
n
ij
ji
aa
x
n
- y
n
= (x - y)(x
n-1
+ x
n-2

y + ... + xy
n-2
+ y
n-1
) ; n nguyên dơng .
x
2k
- y
2k
= (x + y)(x
2k-1
- x
2k-2
y + x
2k-3
y
2
- ... - y
2k-1
) ; k nguyên d-
ơng .
x
2k + 1
- y
2k + 1
= (x + y)(x
2k
- x
2k-1
y + x

2k-2
y
2
- ... + y
2k
) ; k nguyên d-
ơng .
( x + y )
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
( x - y )
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
B.
Bảng các hệ số trong triển khai (x + y )n -
Tam giác Pascan

Đỉnh 1
Dòng 1 ( n = 1 ) 1 1
Dòng 2 ( n = 2 ) 1 2 1
Dòng 3 ( n = 3 ) 1 3 3 1
Dòng 4 ( n = 4 ) 1 4 6 4 1
Dòng 5 ( n =5 ) 1 5 10 10 5 1
I. Ví dụ

Ví dụ 1
Chứng minh rằng :

( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
abcbaccabcbacbacbaa 63 )
222333
3
+++++++++=++

( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
)(6
3
)
2222
3333
3
bcdacdabdabc
cbaddbacdcabdcba
dcbadcbab

++++
++++++++++++
+++=+++
Chuyên đề 1



=++
==
=++
0 c b a
cba
3a )
333
abccbc
Giải
a) Biến đổi vế trái ta có :
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
abcbaccabcbacba
abcccbacbcaabbab
ccbacbabacbacba
63
633333a
33
222333

32222233
32
2333
+++++++++=
+++++++++=
++++++=++=++
Vậy :
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
abcbaccabcbacbacba 63
222333
3
+++++++++=++

(đpcm)
b) Chứng minh tơng tự câu a
c) Ta có :
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
222
222
2
2
3
3

333
2
1

)(cba
3cba
3)(33
cacbbacba
bcacabcba
cbaabccbaba
abcbaabcbaabccba
+++++++=
++++=
+++++++=
+++=++
Vậy điều kiện cần và đủ để :
abccb 3a
333
=++
là
- Hoặc a + b + c = 0
- Hoặc (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (a + c)
2
= 0

a = b = c

Ví dụ 2
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a
2
(b - c) + b
2
(c - a) + c
2
(a - b) .
b) a
3
(b - c) + b
3
(c - a) + c
3
(a - b) .
c) x
3
- 3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
) : Giải
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]

( )
( ) ( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
cacb
cbbaba
cbbaba
baccbbabcbabacacbcbaa
=
+=
=
++=++
b-a
c-b
)(c-b
)
2222
222222
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )( )( )( )
cbacacb

cabcacacb
bccbabbaba
cbbaba
baccbbabcbabacacbcbab
++=
++=
++=
=
++=++
b-a
b-a
c-b
)(c-b
)
2222
3333
333333
c)
Đặt S = a + b và P = ab
Ta có : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
- 2ab = S
2
- 2P ;
a
3

+ b
3
=(a + b)
3
-3ab(a + b) = S
3
- 3SP .
Vì vậy
x
3
- 3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
) = x
3
- 3(S
2
- 2P)x + 2(S
3
-3SP)
= (x
3
-3S
2
x + 2S

3
) + 6P(x -S)
=(x - S)(x
2
+ Sx - 2S
2
) + 6P(x -S)
=(x - S)( x
2
+ Sx - 2S
2
+6P)
=(x - a - b)[x
2
+ (a + b)x - 2(a
2
+ b
2
- ab)]
II. Bài tập
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x
3
+ 4x
2
- 29x + 24 .
b. x
4
+ 6x
3

+ 7x
2
- 6x + 1 .
c. 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x +1 .
d. x
8
+ x
4
+1 .
e. x
10
+ x
5
+ 1 .
f. x
12
+ 1 .
g. x
6
+ 3x
5
+ 4x

4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1 .
h. (a + b + c)
3
- a
3
- b
3
- c
3
.
i. (a - b)
3
+ (b - c)
3
+ (c - a)
3
.
j. (x
2
- x + 2)
2
+ (x - 2)
2
.
k. (x + y + z )

5
- x
5
- y
5
- z
5
.
2. Đơn giản biểu thức
a. (x + y + z)
3
- (x + y - z)
3
- (y + z - x)
3
- (z + x - y)
3
.
b. ( 2 + 1)(2
2
+ 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) .
3. Ba số a , b , c thoả mãn điều kiện

=++
=++
14
0
222
cba
cba
Tính A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
4. Hai số a , b lần lợt thoả mãn các hệ thức sau
a
3
-3a
2
+ 5a -17 = 0 và b
3
- 3b
2
+ 5b +11 = 0 .
Hãy tính a + b .
5. Cho a
3

- 3ab
2
= 19 ; b
3
-3a
2
b = 98 . Tính P = a
2
+ b
2
.
6. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1 . Tính a
2
+ b
9
+ c
1945
.

7. Cho x + y + z = 0 . Chứng minh rằng :
a. 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
5
) .
b. x
7
+ y
7
+ z
7
= 7xyz(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2

y
2
) .
c. 10(x
7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
5
) (x
5
+ y
5
+ z
5
)
.
8. Cho các số a , b, c , d thoả mãn a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c

2
+ d
2
+ (c + d)
2
Chứng minh rằng a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
.
9. Chứng minh rằng nếu các số a , b , c , d thoả mãn
a
2
+ b
2
+ (a - b)
2
= c
2
+ d
2
+ (c - d)

2
.
Thì a
4
+ b
4
+ (a - b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c - d)
4
.
Biến đổi phân thức hữu tỷ
I.
Ví dụ :


Ví dụ 1 :
ba số thực khác không a , b , c thoả mãn điều kiện a + b +
c 0 và
cbacba
++
=++
1111
Chứng minh rằng trong ba số a , b , c có hai số đối nhau . Từ
đó suy ra mọi số nguyên lẻ ,thì
nnnnnn

cbacba
++
=++
1111

Giải
Tacó:
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
( )( ) ( ) ( )( ) 0
a b a b
a b c a b c a b a b c c ab c a b c
a b ac bc c a b ab a b ac bc c ab
+ +
+ + = + = =
+ + + + + +
+ + + = + + + + + =

a -b
(a b)(a c)(b c) 0 b -c
c -a
=


+ + + = =


=

Vậy nếu n lẻ thì






=
=
=
nn
nn
nn
ac
cb
ba
nnnnnn
cbacba
++
=++
1111

Ví dụ 2
: Rút gọn biểu thức :

+
+
+






+
+
+






+
+
=
ba
bababababa
A
11
)(
611
)(
311
)(

1
5224333
Giải :
Đặt S = a + b và P = ab .
a
2
+ b
2
= (a + b)
2
- 2ab = S
2
- 2P
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) = S
3
- 3SP .
Vậy :
1 1 a b S
a b ab P
+
+ = =
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2a b S P

a b a b P
+
+ = =
Chuyên đề 2
3
2
33
33
33
)3(11
P
PSS
ba
ba
ba

=
+
=+

[ ]
33335
5
2223
35
52
2
43
2
3

11
S
6)2(3)3(
S
1

623)3(1
baPP
S
SPPSSPPSS
P
P
S
SP
PS
SP
PSS
S
A
===++=
+

+

=

Ví dụ 3
Cho ba số a , b , c phân biệt . Chứng minh rằng giá trị của
biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x :
))((

))((
))((
))((
))((
))((
)(
cbab
cxax
caba
cxbx
bcac
bxax
xS


+


+


=
Giải :
Đặt P(x) = S(x) - 1 thì đa thức có bậc không vợt quá 2 . mặt khác ta thấy :
P(a) = P(b) = P(c) = 0
Tức là a , b , c là ba nghiệm phân biệt của P(x) điều này chỉ xảy ra khi khi
đa thức P(x) là đa thức không , tức là P(x) = 0 với mọi x suy ra S(x) = 1 .
Vậy giá trị của biểu thức S(x) không phụ thuộc vào giá trị của x .
II
Bài tập:

1. Rút gọn biểu thức






+






+






+






+

+






+






+






+
=
1999

1000
1
3
1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1
3
1999
1
2
1999
1
1
1999
1
A

=
2
)12(
4
1
25

4
1
9
4
1
1
4
1
n
B
, với n 1
zxy
xy
zxy
xy
xy
xy
C
22
2
+
+
+
+
+

=
Trong đó x > 5 và
5
2515

25
z ;
2510
25
22

+
+

=
+
+

=
x
x
x
x
x
x
x
x
y
))()(())()(())()(( cxbcac
c
bxcbab
b
axcaba
a
D

kkk

+

+

=
ứng với k = 0 , 1 , 2 , 3 và a , b , c đôi một khác nhau .
))()(())()(())()(())()(( cdbdad
d
dcbcac
c
dbcbab
b
dacaba
a
E
kkkk

+

+

+

=
ứng với k = 0 , 1 , 2 , 3 và a , b , c , d đôi một khác nhau .
.
)2()2(
aI

.
11
)(
211
)(
211
)(
1
3
33
33
3
33
33
3
225334443






+

+

+=







+
+







+
+







+

=
ba
bab
ba
aba
babababababa
F
2. Cho phân thức
.
122
12
23
23
+++
+
=
nnn
nn
P
a. Hãy rút gọn phân thức trên .
b. Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên thì giá trị của phân thức
tìm đợc trong câu a. tại n luôn là một phân số tối giản .
2. Cho các số khác không a , b , c thoả mãn điều kiện : a + b + c = 0 .
Chứng minh rằng :
2
222
111111

++=++
cba
cba
3. Cho ba số thực a , b , c thoả mãn





=++
=++
2001
1111
2001
cba
cba
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a , b , c bằng 2001 .
4. Cho a , b , c R chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
235
222333555
accbbaaccbbaaccbba
++

++
=

++
5. Cho các số nguyên không âm k
1
, k
2
, ...,k
n
(n là số nguyên dơng ) thoả
mãn điều kiện : k
1
+ k
2
+ ... + k
n
là một số lẻ . Chứng minh rằng nếu các
số a
1
, a
2
,...,a
n
thoả mẵn :
n
n
k
aa
k
aa
k
aa

1
2
32
1
21

==

=

thì a
1
= a
2
= ...= a
n
.
6. Cho ba số khác nhau a , b , c .
a. Chứng minh rằng khi k = 0 , 1 , 2 thì ta có hằng đẳng thức
.
))((
))((
))((
))((
))((
))((
kkkk
x
bcbc
axbx

a
caab
cxax
a
caba
cxbx
a
=


+


+


b. Hằng đẳng thức trên còn đúng không nếu thay k = 3 ? .
7. Cho ba số a , b , c là ba số khác nhau và
0
=

+

+

ba
c
ac
b
cb

a
.
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
0
222
=

+

+

ba
c
ac
b
cb
a
.
8. Ba số a , b , c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện a + b + c = 0
Chứng minh rằng
9
=

+

+








+

+

ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
.
9. Cho a 0 và
a

a
1
+
là một số nguyên . Chứng minh rằng với mọi số
nguyên n thì
n
n
a
a
1
+
là một số nguyên .
10.a. Cho a > b > 0 , n N

*
. So sánh hai số A và B :
n
n
n
n
b
b
aaa
aaa
A
++++
++++
=
++++
++++

=

2
12
2
12
bb1
bb1
B ;
1
1
b. So sánh hai số C và D ( có 10 chữ số 0 sau mỗi dấu phẩy ) :
20000000000,2)20000000000,1(
20000000000,2
D ;
20000000000,2)40000000000,1(
40000000000,2
22
+
=
+
=
C
11.a. Cho các số a , b , c đôi một phân biệt đặt :


+

+

=
k ,
))(())(())(( bcac
c
cbab
b
caba
a
S
kkk
k
N .
Tính S
0
, S
1
, S
2
,S
3
.
b. Cho ba số a , b , c đôi một khác nhau đặt :
))((
))((
))((
))((
))((
))((
bcac
bcac

c
cbab
cbab
b
caba
caba
aT
kkk
k

++
+

++
+

++
=
.
Tính T
0
, T
1
, T
2
.
12.Cho các số khác không a , b , c . Tính giá trị biểu thức
200320032003
zyxT
++=

.
Biết x , y , z thoả mãn các điều kiện
2
2
2
2
2
2
222
222
c
z
b
y
a
x
cba
zyx
++=
++
++
.
13.Cho các số a , b , c , x , y , z thoả mãn :





+=
+=

+=
byaxz
axczy
czbyx
Biết rằng a , b , c khác -1 . Tính giá trị của biểu thức sau :
cba
M
+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1
1
.
14.Cho x > 0 thoả mãn điều kiện
7
1
2
2
=+
x
x
. Tính giá trị của biểu thức :
5

5
1
x
xN
+=
.
Biến đổi biểu thức có chứa căn
thức
I
. Một số kiến thức cơ bản
1. Căn bậc hai
Mỗi số dơng a > 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau :
a

> 0 gọi là căn bậc hai số học hay căn bậc hai dơng của a và -
a
< 0 là căn bậc hai âm của a .
Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0 .
Số âm không có căn bậc hai .
Quy ớc : sau này , nếu không nói gì thêm thì ta hiểu rằng
căn bậc hai của số a > 0 là căn bậc hai dơng của a .
2.
Căn bậc n
( n N , n 2 )
a. Định nghĩa : Căn bậc n ( n N , n 2 ) của một số a là một số
thực b (nếu có) sao cho b
n
= a .
b. Chú ý :
Đối với căn bậc lẻ (n = 2k + 1): mọi số đều có căn bậc hai lẻ

và chỉ có một căn bậc hai lẻ . Căn bậc hai lẻ của số dơng là số
dơng , của số 0 là số 0 , của số âm là số âm . Ký hiệu
12
+
k
a

Đối với căn bậc hai chẵn (n = 2k) : số âm không có căn bậc
hai chẵn . số 0 có căn bậc hai chẵn là 0 . Số dơng có hai căn
bậc hai chẵn là hai số đối nhau ký hiệu là
k
a
2
và -
k
a
2
(trong
đó
k
a
2
0)
3.
Một số phép biến đổi căn thức cơ bản

a
. Biến đổi căn thức bậc lẻ

2 1

2 1
2 1 2 1 2 1
k
k
k k k
A A
AB A B
+
+
+ + +
=
=
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
, B 0
k
k
k
k
k
k
A A
B
B
A B A B
+

+
+
+
+
+
=
=
Chuyên đề 3
b.
Biến đổi căn thức bậc chẵn

0AB ,
22
2
2
2
=
=
kk
k
k
k
BABA
AA
0B ,
0B0,AB ,
2
2
2
2

2
2
=
=
k
k
k
k
k
k
BABA
B
A
B
A
Đẳng thức sau thờng đợc sử dụng trong các phép biến đổi căn thức
0A ,
=
mn
m
n
AA
c.
Chú ý :
Trong các biến đổi vừa nêu k , m , n là những số
nguyên dơng
II
. Một số ví dụ

Ví dụ 1
Chứng minh rằng
333
3
3
9
4
9
2
9
1
12
+=
Giải :
Đặt
a
=
3
2
thì a
3
= 2 đẳng thức cần chứng minh là

3
2
3
9
1
1

aa
a
+
=
Ta có 3 = 2 + 1 = a
3
+ 1 = (a + 1)(a
2
- a + 1) .
1 = 2 - 1 = a
2
- 1 = (a - 1)(a
2
+ a + 1) .
Biến đổi vế trái ta có :
3
3
2
3
2
3
23
3
3
3
33
2
1
1
1

)1(3
3

133
3
)1(
3
1
3
)1(9
3
9
1
=
++
=
++
=
+++
=
+
=
+
=
+
=
+
a
aaaa
aaaa

a
a
aa
Vậy :
3
2
3
9
1
1
aa
a
+
=
tức là
333
3
3
9
4
9
2
9
1
12
+=
(đpcm) .

Ví dụ 2
Cho hai số dơng a và b . Chứng minh rằng

Giải
222222
))((2 bababbaaba
++=++
Ta có : 2(
22
ba
+
-a)(
22
ba
+
-b) = 2[a
2
+ b
2
- (a + b)
22
ba
+
+ ab]
=(a
2
+ 2ab + b
2
) - 2(a + b)
22
ba
+
+ (a

2
+ b
2
)
=(a + b)
2
-2(a + b)
22
ba
+
+ (a
2
+ b
2
)
=(a + b -
22
ba
+
)
2
Vì a , b đều dơng nên (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
> a
2
+ b

2

a + b >
22
ba
+
Vậy:
222222
))((2 bababbaaba
++=++

Ví dụ 3
Chứng minh nếu
yx

thì

2222
yxxyxxyxyx
++=++
Giải
: Đặt
yxyxA
++=
thì A 0 và
. 2)2(x
2)()(2
2222
2222
22

2
yxy
yxyxyxyxyxyxyxA
++=
++=++++=
Từ giả thiết ta có x
2
y
2
nên
2222
yxyx
=
. Vậy
A
2
= 2(x
2
+ y
2
) + 2(x
2
- y
2
) = 4x
2

A =
x2

(1)
Nh vậy với mọi số y mà x
2
y
2
thì số A không phụ thuộc
vào y và A =
x2
.
Đặt
22
yxz
=
x
2
z
2
vậy :

2222
yxxyxx
++
=
x2

(2)
Từ (1) , (2) và cách đặt A suy ra :

2222
yxxyxxyxyx

++=++

Ví dụ 4
Với mỗi k nguyên dơng đặt :
( ) ( )
kk
k
S 1212
++=
.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng m , n ( m > n) thì
S
m + n
+ S
m - n
=S
m
S
n
.
Giải
Đặt





=
+=
12

12
2
1
x
x
thì x
1
x
2
= 1
Vậy với mọi số nguyên dơng m , n ( m > n ) thì
S
m + n
+ S
m - n
= x
1
m + n
+ x
2
m + n
+ x
1
m - n
+ x
2
m - n

= x
1

m + n
+ x
2
m + n
+ x
1
n
x
2
n
(x
1
m - n
+ x
2
m - n
)
= x
1
m + n
+ x
2
m + n
+ x
1
m
x
2
n
+ x

1
n
x
2
m
= (x
1
m
+ x
2
m
)(x
1
n
+ x
2
n
) = S
m
S
n
Vậy : S
m + n
+ S
m - n
=S
m
S
n
(đpcm) .

III.
Bài tập

1.Rút gọn biểu thức :
24923013
9045316013
+++=
+=
B
A
521028521028
++++=
C
22244222
223
223
)(
111
)(
11
24)1(3
24)1(3
61510296125,0
22175
78
1
babababa
M
aaaa
aaaa

F
E
D
+
+++
+
+
+
=
++
+
=
+++=
+
+
=
2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
366366
++++=
aaaaA
với a 3
222222222
22
100
1
99
1
1
1
4

1
3
1
1
1
3
1
2
1
1
1
9...99,09...991
+++++++++=
++=
C
B
nn

122
23
++=
xxD
Với

+
+
=
33
1
4
51323
4
51323
3
1
x
3. a. Cho
(
)
(
)
333
22
=++++
yyxx
. Tính E = x + y
b. Cho
3
3
12
1

12

=
x
. Tính F = x
3
+ 3x + 2 .
c. Tính tổng N = a
1
+ a
2
+ ...+ a
99
. Với :
,991, n ,
1)1(
1
=
+++
=
nnnn
a
n
.
4. a. Cho
12
221


=

x
xx
A
a.1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa .
a.2) Rút gọn A .
b. Cho
xx
B

=
2
1
:
xxxx
x
++
+
1
.
b.1) Tìm điều kiện của x để B có nghĩa .
b.2) Rút gọn B .
c. Cho các biểu thức
2
232


=
x
xx
C

và
2
22
3
+
+
=
x
xxx
D
.
c.1) Rút gọn C và D .
c.2) Tìm các giá trị của x để C = D .
d.
. 1
2
1
1
2
2
39a3a
E

+
+



+
+

=
aa
a
aa
Cho
Tìm a để
1E
=
5.Chứng minh đẳng thức :
a.
1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
=


+
++
+
.

b.
( )
2
2
2
2
2
11
11
=++
+
+

++

aa
aa
aa
aa
aa
với a 0 .
c.
=++++++++
bcaccbabcaccba 22




<+
++

c ba nếu
cba nếu
c2
ba2
Với a ,b , c là ba số dơng .
d.



>

=++
2a 1-a2
2a1 2
1212
nếu
nếu
aaaa
e.
3
27
847
6
27
847
6
33
=++
.
6. Chứng minh rằng

4
1
22222
222222
>
+++
+++++
. ( ở vế trái tử có
n dấu căn , mẫu có n -1 dấu căn .
7. a. Cho a , b , c , d , A , B , C , D là những số dơng và
D
d
C
c
B
b
A
a
===
.Chứng minh rằng
))(( DCBAdcbadDcCbBaA
++++++=+++
b. Cho
3
2
3
23 2
3
422
3

242
x : , ayayxyyxx
=+=+++
minh Chứng
.
c. Cho
333
3
222
333
: .
1
111
cbaczbyax
zyx
czbyax
++=++





=++
==
rằngminh Chứng
.
d. Chứng minh rằng nếu
3333
cbacba
++=++

thì với mọi số
nguyên dơng lẻ n , ta đều có :
nnnn
cbacba
++=++
.
8. a. Chứng minh rằng với
8
1
>
a
thì số sau đây là một số nguyên :
33
3
18
3
1
3
18
3
1
+
+
+
+=
aa
a
aa
ax
.

b. Chứng minh rằng
33
27
125
93
27
125
93
+++++=
x
, là một số
nguyên .
c. Cho A là một tập con của tập các số thực R thoả mãn : A Z ,
A y , x , 32
+
nếuA
thì x + y và xy A . Chứng
minh rằng :
A

32
.
9. a. Chứng minh rằng phơng trình x
5
+ x +1 = 0 có nghiệm duy
nhất là :

+
=
33
2
62125
2
62125
1
3
1
x
.
b. Chứng minh rằng x
0
=
3236322
+++
là một
nghiệm của phơng trình : x
4
- 16x
2
+ 32 = 0 .
c. Chứng minh rằng

33
549549
++=
x
là nghiệm của phơng
trình x
3
- 3x -18 = 0 . Từ đó hãy tìm x .
10.a. Chứng minh mỗi số hạng của dãy số a
1
, a
2
, ... , a
k
, ...với
( ) ( )
32
3232
nn
n
a
+
=
là một số nguyên .Tìm tất cả các
giá trị của n để a
n
chia hết cho 3 .
b. Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy số d
1
, d

2
, ... , d
k
, ...
với
2
2
53
2
53










+








+

=
nn
n
d
là một số tự nhiên .Tìm tất cả các giá
trị của n để d
n
là một số chính phơng .
Các chuyên đề về phơng
trình
Phơng trình đa thức một ẩn-Định lý
viét
A. Ph ơng trình
đa thức một ẩn
1.
Kiến thức cơ bản


1.
Ph ơng trình bậc nhất một ẩn :
a.
Định nghĩa

Phơng trình Ax + B = 0 .
Chuyên đề 1
Trong đó x là ẩn , A và B là những số thực hoặc biểu thức có chứa tham
số , đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn x .
b.
Cách giải :
Nếu A 0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất là

A
B
x
=
.
Nếu A = 0 và B = 0 thì tập nghiệm của phơng trình là R .
Nếu a = 0 và B 0 thì phơng trình vô nghiệm .
Chú ý : Nếu A hoặc B là những biểu thức khá cồng kềnh hoặc chứa
nhiều tham số thì phải tinh ý xem phơng trình đã cho có phải là dạng bậc
nhất đối với ẩn hay không .
c.
Ví dụ
:

Ví dụ 1
Giải phơng trình
55
4
56
3
57
2
58
1
+
+
+
=
+
+

+
xxxx
(1) .
1 2 3 4
: (1) 1 1 1 1
58 57 56 55
59 59 59 59

58 57 56 55
x x x x
x x x x
+ + + +

+ + + = + + +
ữ ữ ữ ữ

+ + + +
+ = +
Giải

( )
-59x059x
0
55
1
56
1
57
1
58

1
59
==+
=






++
x
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x = - 59 .

Ví dụ 2
Giải phơng trình

++
++++
=
++
+
+
+
+
+
+

411
a

1
0 cba ; o c , b , a :
. (2) 1
4
cbacb
cba
x
b
xac
a
xcb
c
xba
và Với
cba
xcba
b
xcba
a
xcba
c
xcba
cba
x
b
xac
a
xcb
c
xba

++
++
=
++
+
++
+
++

++
=






+
+
+






+
+
+

+
+

)(4

4
4111)2(:iGiả
cbaxxcba
cbacba
xcba
++==++
=






++
++++
0
0
4111
)(
Vậy phơng trình (2) có nghiệm duy nhất là x =

cba
++

Ví dụ 3
Giải phơng trình :
0
111
0 c , b , a
111
2
++






++=

+

+

bcacabcbaab
cx
ac
bx
bc
ax
vàvới

(3)
1 1 1 1 1 1 a
: (3) 2
bc a bc
1 1 1 1 1 1 1 1 1

bc b c a
b c
x
ac ab b c ac ab
a b c
x
ac ab c bc a ca b ab

+ + = + + + + +
ữ ữ ữ


+ + = + + + + + + + +
ữ ữ ữ ữ

Giải
[ ]
1 1 1

bc
1 1 1 1 1 1
( )
bc ab
1 1 1

( ) 0
ab

a b c a b c a b c
x
ac ab bc ac ab
x a b c
ac ab ac bc
x a b c
ac bc
x a b c
+ + + + + +

+ + = + +
ữ


+ + = + + + +
ữ ữ


+ + + + =
ữ

= + +

Ví dụ 4
Giải phơng trình :
0
111

i
+
+
+
+
+
++=
+

+
+

+
+

accbba
cba
ac
cax
cb
bcx
ba
abx
vớ
(4)
( )
( )
[ ]
cabcab
cabcabx

accbba
accbba
cabcabx
accbba
ac
cabcab
cb
cabcab
ba
cabcab
x
accbba
ba
ab
c
ac
ca
b
cb
bc
ax
accbba
ac
ca
cb
bc
ba
ab
cbax
accbba

++=
=++






+
+
+
+
+







+
+
+
+
+
++=

+
+
+
+
+

+
++
+
+
++
+
+
++
=






+
+
+
+
+

+
++






+
++






+
+=






+

+
+
+
+

+
+
+
+
+
+++=






+
+
+
+
+

x
0
111

111111

111

111

111
(4) : iGiả
2
. Ph ơng trình bậc hai
a
.Định nghĩa
:

Phơng trình bậc hai là phơng trình có
dạng
ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1) .
Trong đó a , b , c là những số thực đã cho , x là ẩn số .
b.
Công thức nghiệm ph

ơng trình
(1)
Biểu thức = b
2
- 4ac đợc gọi là biệt thức của phơng trình (1) .
Ta xét các trờng hợp :
< 0 thì phơng trình (1) vô nghiệm .
= 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm kép :
x
1

= x
2
=
a
b
2

.
> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
a
b
x
a
b
x
2
;
2
21

=
+
=
.
3.
Một số ph

ơng trình quy về ph

ơng trình bậc hai

a
. Ph ơng trình dạng :
af
2
(x) + bf(x) + c = 0 , trong đó
f(x) là hàm số với biến số x .
Đặc biệt khi f(x) = x
2
phơng trình ax
4
+ bx
2
+ c = 0 đợc gọi là ph-
ơng trình trùng phơng .
a.1
Cách giải :


Đặt t = f(x) chuyển phơng trình về dạng
at
2
+ bt + c = 0 Sau khi tìm đợc t , tìm x theo t .
a.2
Ví dụ :

Ví dụ 5
:

Giải phơng trình :
x
4
+ 24x - 112 = 0 . (5)
Giải : Đặt t = x
2
0 , ta có
(5) t
2
+ 24t -112 = 0 t = -28 (loại) hoặc t = 4 .
Với t = 4 thì x = 2 . Vậy phơng trình đã cho có hai
nghiệm là : x = -2 và x = 2 .
b.
Ph

ơng trình dạng:
(x + a)
4
+(x + b)
4
= c .
b.1
Cách giải :
Đặt t =
2
ba
x
+
+

, đa về dạng phơng trình trùng
phơng ẩn t .
b.2
Ví dụ :


Ví dụ 6
:

Giải phơng trình :
(x + 1)
4
+(x + 5)
4
= 40 . (6)
Giải : Đặt t = x + 3 , ta có :
(6) (t - 2)
4
+ (t + 2)
4
= 40 t
4
+ 24t
2
-4 = 0
t =
12148

Vậy x =
12148

- 3
c .Ph ơng trình có dạng


:(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (*),
với a + b =c + d
c.1
Cách giải :
Đặt t = x
2
+ (a + b)x + e , trong đó e là một số
thực đợc chọn thích hợp
c.2
Ví dụ :


Ví dụ 7 :
Giải phơng trình :
(x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) = 112 .(7)
Giải:
( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )( )
(7) 11210343
1125241)7(
22
=++

=++
xxxx
xxxx
11121
73 x t
2
2
===+
+=
t
ax
t 112 3) 3)(t -(t (7)
: có tặtĐ
+)Nếu t = -11 thì x
2
+3x -7 = -11 x
2
+3x + 4 = 0 ,vô
nghiệm
+) Nếu t = 11 thì x
2
+3x -7 = 11 x
2
+3x -18 = 0
x=-6 hoặc x=3
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là x = -6 và x = 3 .
c.3
Chú ý :
Một số phơng trình dạng tơng tự phơng trình (*)
cũng có thể giải đợc theo cách trên

Ví dụ 8
:

Giải phơng trình
(4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 (8)
( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )( )



=
=
=+=+
+=
=+++
=+++
2
3
06t42)1)(t-(t(8)
: ta1112 t :
42111211112
423141112)8(:
2
2
22
t

t
t
xx
xxxx
xxxx
cóặtĐ
iGiả
+) Với t = -3 thì 12x
2
+ 11x + 3 = 0 , phơng trình này vô
nghiệm.
+) Với t = 2 thì 12x
2
+ 11x - 2 = 0
24
21711

=
x
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm
x
1
=
24
21711
+
và x
2
=
24

21711

d.
Ph

ơng trình có dạng
: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 ,
với
2
2
d
b
a
e
=
* Đặc biệt khi



=
=
' db
ae
Ta có phơng trình :

ax
4
+ bx
3
+ cx
2
bx + d + a = 0 ,
Phơng trình này thờng đợc gọi là phơngtrình bậc bốn có hệ số
đối xứng .
d.1
Cách giải :
Thử trực tiếp với x = 0 , nếu x 0 chia cả hai vế
của phơng trình cho x
2
và đặt
bx
d
xt
+=
, rồi đa về phơng trình bậc
hai ẩn t
d.2
Ví dụ
:

Ví dụ 9 :
Giải phơng trình :
2x
4
- 21x

3
+ 74x
2
- 105x + 50x = 0
(9) .
Giải :
Với x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình đã cho . Chia
cả hai vế của phơng trình (9) cho x
2
ta có :
2
2
2
2
2 2
2
2
1 1
(9) 2 21 74 105 50 0
25 5
2 21 74 0 .
5 25
t 10
9
10) 21 74 0 2 21 54 0
2
6
x x
x x
x x

x x
x a x
x x
t
t t t
t
+ + =

+ + + =
ữ ữ

= + = + ì

=

+ = + =

=

Đặt t
2
t có Vậy
(9) 2(t
+) Với
2
9
=
t
thì

=
=
=+
2
2
5
2
95
x
x
x
x
+) Với t = 6 thì



=
=
=+
5
1
6
5
x
x
x
x

Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm :
x =1 ; x = 2; x = 5 ;
2
5
=
x
4
. Ph ơng trình bậc ba

a.
Ph ơng trình bậc ba là ph ơng trình dạ ng
:

ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a 0). (1)
Trong đó a , b , c là những số thực đã cho , x là ẩn số .
b.
Cách giải
:

phơng trình bậc ba tổng quát đã đợc nhà toán học
Cácđanô tìm ra , tuy nhiên vì công thức nghiệm quá phức tạp nên
không trình bày . Trong chơng trình THCS , phơng trình (1) thờng
đợc giải dựa vào nhẩm và đoán một nghiệm nào đó của phơng
trình .Ta chú ý rằng nếu a + b + c + d = 0 thì x = 1 là nghiệm của
phơng trình (1) , còn nếu a - b + c - d = 0 thì x = -1 là một nghiệm
của phơng trình (1) . từ đó suy ra các nghiệm còn lại .

c.
Ví dụ


Ví dụ 10
:

Giải phơng trình 2x
3
+ 5x
2
+ 2x - 9 = 0
(10) .
Giải : Vì 2 + 5 + 2 - 9 = 0 nên x
0
= 1 là một nghiệm của ph-
ơng trình (10) .Ta phân tích vế trái của (10) thành tích
các nhân tử , trong đó có một nhân tử x - 1 , ta có :
(10) (2x
3
- 2x
2
) + (7x
2
-7x) + (9x - 9) = 0
2x
2
(x - 1) +7x(x - 1) + 9(x - 1) = 0
(x - 1)(2x
2

+ 7x + 9) = 0




=++
=
nghiệm Vô , 0972
1
2
xx
x
Vậy nghiệm của phơng trình (10) có nghiệm duy nhất x = 1 .
II. Bài tập
1. Giải các phơng trình :
a.
2001
4
2002
3
2003
2
2004
1
+
+
+
=
+
+

+
xxxx
.
b.
3
)1(
2
2
2
=
+
+
x
x
x
.
c.
1
)1(
11
22
=
+

xx
.
d.
523
)1(
1

)3(
)3(
)4(
2
2
42
22
4
=

++


xx
x
x
x
x
.
e.
22
4
2
12
4
1
2
1

=

+
+







+
x
x
x
x
x
x
.
f.
02
1
3
)1(

2
3
3
3
=

+

+
x
x
x
x
x
.
g.
0
98412636
136126849
98412636
136126849
2468
2468
2468
2468
=
++++
++++
+
++++

++++

aaaa
aaaa
x
xxxx
xxxx
a
2. Giải các phơng trình :
a. x
4
- 4x
3
+ 3x
2
+ 8x -10 = 0.
b. 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0.
c. x
4
- 2x
3
- 6x
2
+16x - 8 = 0.

d. x
4
+ x
2
+ 4x - 3 = 0 .
e. x
4
- 3x
2
- 10x - 4 = 0 .
f. x
3
+ 7x
2
+ 7x + 2 = 0 .
g. x
3
+ x
2
+ x =
3
1

.
h. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 .
i. (1 + x)
2
+(x + 2)
3
+ (x + 3)

4
= 2 .
j. (1 + x)
4
= 2(1 + x
4
) .
k. (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2 .
l. (x
2
+ 3x - 4)
2
+ 3(x
2
+ 3x - 4) = x + 4 .
m. x
4
+ (x - 1)(x
2
- 2x + 2) = 0 .
n. 2000(2001 - 2000x
2
)
2
= 2001 - x.
3. a. Tìm a sao cho phơng trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm

đó dơng
2
3
2
23

=


a
a
a
x
ax
.
b. Tìm m để phơng trình (3m -1)x + m = 2x + 1 có nghiệm với
mọi giá trị của m .
c. Tìm m để phơng trình
1
2
1


=
+

x
x
x
mx

có nghiệm duy nhất .
b. Tìm m để phơng trình (m
2
- m)x = m - 1 có nghiệm duy nhất .
c. Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất :
0
145
352)23(
2
22
=
+
+
xx
aaxax
.
d. Tìm tất cả số nguyên dơng p > 1 sao cho phơng trình sau có
nghiệm duy nhất :
01
1
1
1
23
=+

+++
x
p
ppxx
.
4. Giải phơng trình :
x
x
n
=
+



+
+
+
+

1
1



1
1
1

1
1
1
1
b.
Định lý Viét
I.
Kiến thức cơ bản
1.
Định lý viét đối với ph ơng trình bậc hai
a.
Định nghĩa thuận :
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+
bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì
a
c
x
a
b
xx
==+
2121
x và
.

b.
Định lý đả
o

:Cho hai số , . Khi đó chúng là
nghiệm của phơng trình x
2
+ Sx + P = 0 , trong đó S = + ; P
=
c.
ý nghĩa của định lý Viéet

+ Cho phép nhẩm nghiệm trong những trờng hợp đơn giản .
+ Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng của các nghiệm
và dấu của các nghiệm mà không cần giải phơng trình .
d.
Ví dụ


Ví dụ 1 :
Cho các phơng trình x
2
+ px + 1 = 0 và x
2
+ qx
+ 2 = 0 có các nghiệm lần lợt là a , b và c , d .
Chứng minh rằng :
(b - a)(b - c) = pq - 6
Giải :
Theo hệ thức Viét ta có :

= =
=+



=
=+
2bc
-qcb

1
và
ab
pba
Nên (b - a)(b - c) = b
2
- (a + c)b + ac = [b
2
+ (a +c)b + ac] -2(a +c)b
= (b + a)(b + c) - 2(ab + bc) = (-p)(-q) - 2( 1+ 2) = pq - 6 .
Vậy (b - a)(b - c) = pq - 6 .

Ví dụ 2 :
Cho m 0 và phơng trình mx
2
+ px + q = 0 (1)
có hai nghiện dơng x

1
, x
2
. Chứng minh rằng :
a. Phơng trình qx
2
+ px + m = 0 (2) cũng có hai nghiệm d-
ơng x
3
,x
4
b. x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
4 .
Giải :

a. Phơng trình (1) có hai nghiệm dơng x
1
, x
2
nên

>==
>

=+=
=





>=
>+=

0
0
04

0
0
0
211
211
2
1

211
211
1
m
q
xxP
m
p
xxS
mpp
xxP
xxS là tức
Để ý rằng phơng trình (2) có
2
= p
2
- 4mp =
1
0 nên
phơng trình (2) có hai nghiệm x
3
, x
4
.
Mặt khác
0
2
>=
q
m

P
nên x
3
và x
4
cùng dấu , vì
0
2
>

=

=
q
m
m
p
q
p
S
nên x
3
và x
4
cùng dấu dơng .
b. Ta có : x
1
+ x
2
+ x

3
+ x
4

q
p
m
p

+

=
.
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dơng
q
p
m
p

+

, ta có
mq
p
mq
pm
m
p
mq
pm

m
p
q
p
m
p
=



















+

=

+

22
.
Mặt khác vì
04
2
1
= mpp
nên p
2
4mq
04
2
>=
q
m
q
,
suy ra
2
mq
p
2

.
Vì thế
4hay x , 42
4321
+++

+

xxx
mq
p
q
p
m
p
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



=
=






=

=

mp
qm
mqp

q
p
m
p
2
4
2
.
2.
Định lý Vié t đối với ph ơng trình bậc cao

a.
Định lý thuận
: Nếu phơng trình bậc n :
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ ...+a
1
x + a
0
= 0 , (a
n
0) .
Có n nghiệm x

1
, x
2
, ... , x
n
(các nghiệm không nhất thiết
phân biệt ) thì ta có hệ thức Viét sau :
.
2
.
.
1
1
1
21
2
1232121
1
221

<<<

=



=+++++++
=+++
n
k

n
a
kn
a
k
)(
k
iii
iii
xxx
a
a
xxxxxxxxxx
a
a
xxx
n
n
nnnn
n
n
.)1(
1
0
21
a
a
xxx
n
n

=

b
. Định lý đảo :
Cho n số thực tuỳ ý
1
,
2
, ... ,
n
, đặt
.
2
.
.
21
1212
211
.
1
1
21
nn
k
nn
n
S
iii
S
S

S
n
k
k
iii




=

=

++=
+++=

<<<


Thì
1
,
2
, ... ,
n
là các nghiệm của phơng trình :
x
n
- S
1

x
n-1
+S
2
x
n-2
- + (-1)
k
S
k
x
n - k
+ ...+ (-1)S
n
= 0 .
Chẳng hạn định lý Viét cho phơng trình bậc ba phát biểu
nh sau :
Nếu : x
1
, x
2
, x
3
là nghiệm của phơng trình bậc ba :
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 .
Thì :

.
.
.
321
133221
321
a
d
xxx
a
c
xxxxxx
a
b
xxx
=
=++
=++
c.
Ví dụ


Ví dụ 3 :
Gọi x
1
, x
2
, x
3
là ba nghiệm của phơng trình :

x
3
+ px + q = 0 . p , q R
Chứng minh rằng x
1
3
+ x
2
3
+ x
3
3
= 3x
1
x
2
x
3
.
Giải :

Theo hệ thức Viét cho phơng trình bậc ba ta có x
1
+ x
2
+ x
3
= 0 .
Vì x
1

3
+ x
2
3
+ x
3
3
- 3x
1
x
2
x
3

= (x
1
+ x
2
+ x
3
)( x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
- x

1
x
2
- x
2
x
3
-x
3
x
1
) .
Nên x
1
3
+ x
2
3
+ x
3
3
- 3x
1
x
2
x
3
= 0 .
Suy ra x
1

3
+ x
2
3
+ x
3
3
= 3x
1
x
2
x
3
.

Ví dụ 4 :
Giải phơng trình x
3
+ px
2
+ qx + r = 0 , biết
rằng giữa các nghiệm x
1
, x
2
, x
3
của phơng trình có
mối liên hệ x
1

= x
2
+ x
3

Giải :
Theo hệ thức Viét cho phơng trình bậc ba thì
(3) .
(2) .
(1) .
321
133221
321
rxxx
qxxxxxx
pxxx
=
=++
=++
Vì x
1
= x
2
+ x
3
nên từ (1) suy ra x
1
=
2
p

nh vậy thì
2
32
p
xx
=+
Theo (2) thì
4
)(
2
32132
p
qxxxqxx
=+=
. Vì vậy x
2
, x
3
là
hai nghiệm của phơng trình :
0
42
2
2
=++
p
qX
p
X

.
Chú ý rằng phơng trình này có nghiệm khi và chỉ khi :
2
222
16
5
04
4
5
4
4
4
pqq
pp
q
p
=








=
.
Chẳng hạn khi p = 4 , q = 1 thì x
2
, x

3
là hai nghiệm của
pt :
X
2
+ 2X - 3 = 0 .
Nên



=
=



=
=
1
3

3
1
3
2
3
2
x
x
x
x

hoặc
, suy ra x
1
= x
2
+ x
3
= -2 .
II
. Bài tập
1.Giả sử x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình x
2
+ px - 1 = 0 với p là số
nguyên lẻ . Chứng minh rằng : với số tự nhiên n tuỳ ý , các số S
n
= x
1
n
+
x
2
n
và S
n+1
= x
1

n+1
+ x
2
n+1
là những số nguyên và số nguyên tố cùng nhau .
2. Tìm tất cả các số tự nhiên m , n sao cho các nghiệm của phơng trình
x
2
- m(n + 1)x + m + n + 1 = 0 cũng là số tự nhiên .
3. Cho x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình x
2
- 6x + 1 = 0 . Chứng minh
rằng : với số tự nhiên n tuỳ ý số S
n
= x
1
n
+ x
2
n

là số nguyên và không là
bội của 5 .
4. Chứng minh rằng nếu a
1
a

2
2(b
1
+ b
2
) thì ít nhất một trong hai phơng trình
sau có nghiệm : x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) và x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2) .
5. Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau đây có ít nhất một phơng trình
có nghiệm :
x
2
+ 2ax + bc = 0 (1)
x
2
+ 2bx + ca = 0 (2)
x
2
+ 2cx + ab = 0 (3)

6. Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
- ax + 1 = 0 .
a. Hãy tính S
7
= x
1
7
+ x
2
7
theo a .