chuyen de toan quy tich

Toán quỹ tích
STT Nội dung TLTK
Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)
I-Các tập hợp điểm đã học :
-Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng r không
đổi là đ/tròn (o,r)
-Tập hợp các điểm thuộc miền trong của góc cố định và cách
đều 2 cạnh của góc là tia phân gics của góc đó
-Tập hợp các điểm cách đều 2 đầu 1 đoạn thẳng cố định là đ-
ờng trung trực của đoạn thẳng ấy
-Tập hợp các điểm cách đờng thẳng xy cố định một khoảng h
không đổi là 2 đ/thẳng song song với xy và có khoảng cách
đến xy bằng h
-Tâp hợp các điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dới 1 góc


không đổi là 2 cung chứa góc

dựng trên đoạn AB
II- Các bớc giải bài toán tìm tập hợp điểm:
1) Phần thuận:điểm M có t/c a

điẻm M có t/c b
*
( t/c b
là t/c dẫn đến 1 tập hợp điểm đã học)
Điểm M có t/c b

điểm M

hình H

Giới hạn (néu có) :Điểm M

hình H

là 1 bộ phận của hình H(
H


H)
2) Phần đảo:Điểm M

hình H

thì điểm M có t/chất a
3) Kết luận :tập hợp điểm M có t/c a là hình H

III- Phơng pháp:
*Đoán nhận hình dạng tập hợp điểm :
1) Phơng pháp thực nghiệm :
-Hình dạng: Dựa vào đk của btoán ,tìm 1 số phần tử cần thiết
(ít nhất là 3)thuộc tập hợp các diểm có t/c

và căn cứ vào đó
mà đoán nhận hình dạng của tập hợp thuộc loại đthẳng hay
đtròn
-Lấy ít nhất 3 điểm ,chú ý điểm đặc biệt và điểm bất kì để
biết sơ bộ về hình dạng
VD: Cho nửa đtròn AOB I
M chuyển động trên nửa đtròn
H là hình chiếu của M trên AB.

Trên đoạn thẳng OM lấy N M
Sao cho ON= MH N
Tìm tập hợp điểm N
A O H B
+Dự đoán :
Khi M

A hoặc B thì N

O
Khi M là trung điểm
ằ
AB
thì N

Ivà lấy thêm 1 điểm bất kì
thuộc nửa đtròn thì có điểm N
Ta thấy O,N,I không thẳng hàng ,vậy có thể dự đoán tập hợp
1
phải tìm thuộc loại đtròn đi qua N, I,O
2) Phơng pháp xác định số giao điểm của tập hợp những
điểm có t/chất đặc trng với hình cố định nào đó
Trên 1đờng thẳng cố định có 2 điểm của tập hợp và nếu
đthẳng đó không thuộc tập hợp những điểm trên thì nói
chung nó thuộc loại đtròn .Đặc biệt nó có thể là 2 đthẳng đi
qua 2 điểm ấy :
VD:Cho 3 điểm A,B,C cố định không thẳng hàng .Tìm tập
hợp
3) Phơng pháp chú ý đến tính đối xứng (trục,tâm )của
tập hợp những điểm đặc trng

-Thuộc loại thẳng mà có trục đối xứng thì nó vuông góc với
trục đối xứng
-Thuộc loại tròn mà có trục đối xứng thì tâm của nó nằm trên
trục đối xứng
4) Chú ý đến các phần tử vô tận
-Có 1 điểm vô tận thì tập hợp có thể là đờng thẳng hay nửa đ-
ờng thẳng
VD:Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM trong đó A
cố định ,M di động trên một đờng thẳng cho trớc d ( d không
đi qua A)
+Dự đoán: Gọi I là trung điểm AM ,do tập hợp có chung với
đờng thẳng cố định 1 điểm vô tận nên tập hợp I có thể là đ-
ờng thẳng song song với(d)
A I M

* Chú ý: d
-Khi làm bài toán tìm tập hợp điểm , nếu có những phần tính
toán chung cho cả 2 phần (thuận và đảo ) thì tiến hành trớc
đi ,sau đó mới tách riêng 2 phần để tránh sự lặp lại
4) III- Một số ví dụ
1) VD1:
Cho nủa đtròn tâm O,đkính AB. Điểm C di chuyển trên nửa
đtròn .Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho
CM=CB.Tìm tập hợp các điển M khi C di chuyển trên nửa
đtròn
*Phân tích:
-Yếu tố cố định: Đoạn thẳng AB,điểm O, nửa đtròn có đkính
AB
-Quan hệ không đổi :CM=CB
-Yếu tố chuyển động: Điểm C, điểm M

2
-Điểm phải tìm tập hợp: điểm M
Lu ý: Xét quan hệ giữa điểm ch/động M với điểm cố định
Avà B ta thấy
V
BCM cân ở C nên
ả
0
45M =
.
Điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới 1 góc không đổi
45
0
nên M nằm trên cung chứa góc 45
0
dựng trên AB
Chú ý rằng điểm M không ch/động trên toàn bộ cung chứa
góc nói trên .Khi M tiến đến vị trí A thì AM tiến đến vị trí
AK (AK

AB), điểm M tiến đến điểm K.Vậy điểm M
không nằm trên cung AK.
Do đó cần giới hạn tập hợp điểm cần tìm.
Giới hạn: Khi C B thì M B
Khi C A thì M K
Trong đó AK là tiếp tuyến với đtròn O tại A
Vậy M chỉ chuyển động trên cung BK( trừ 2 điểm B&K)


K

I M
C

C


A O B
*Chú ý :Trong 1 số bài toán ,ngời ta không đòi hỏi
Tìm điểm M có t/c a mà cho dứoi dạng điểm M có t/chất
a di chuyển trên đờng nào?.Khi đó ,nội dung bài toán tơng
ứng với phần thuận (có giới hạn )
2)VD2: Cho đờng tròn ( O) cố định tiếp xúc với đờng thẳng
xy tại điểm A cố định trên đờng tròn .B là điểm di động trên
đờng thẳng xy .Kẻ tiếp tuyến BC với đtròn (C

A).Gọi M là
tâm đtròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi điểm B di chuyển
trên đờng thẳng xy thì điểm M di chuyển trên đờng nào?
*Phân tích :

3
45
C
O
M
x B A y
Yếu tố cố định: Đờng tròn (O),điểm A
-Quan hệ không đổi : OA
-Yếu tố chuyển động: Điểm B, điểm M
-Điểm phải tìm tập hợp: điểm M

Lu ý: Xét quan hệ giữa điểm ch/động M
với điểm cố định Avà O
ta thấy
ã
ã
0 0
90 ; 90OAB OCB= =
(t/c của tiếp tuyến).
Tứ giác OABC có
ã
ã
0
180OAB OCB+ =
nên là tứ giác nội tiếp

MO=MA. y
Tâm M của đtròn ngoại tiép

ABC cách đều 2 điểm cố định
O và A nên M nằm trên trung trực d của OA
-Khi B di chuyển trên xy thì M di chuyển trên đờng trung
trực d của OA(trừ giao điểm của d với OA)
4