Bài giảng vật lý a2 chương 7

CHƯƠNG VII
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Lưỡng tính sóng hạt của vi hạt
1. Lưỡng tính sóng hạt của vi hạt
Xét một chùm ánh sáng đơn sắc song song.
Phương trình dao động sáng tại O:
Phương trình dao động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng qua
M cách mặt sóng qua O một khoảng d:
t2cosA)t(x


)
d2
-tcos(A
)
d
-t(2cosA)
c
d
-t(2cosA)
c
d
-t(x





Gọi n là véc tơ đơn vị theo phương truyền sóng, ta có:
Hàm sóng ánh sáng phẳng đơn sắc:
Thay

Hàm sóng ký hiệu ψ
n.rcosrd 
)
n.r
t(2cosA)
c
d
t(x




2
,,
hh
p
h
E
 








 rpEt
i
exp

o

II. Giả thuyết De Broglie về lưỡng tính sóng hạt của vi hạt
Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động lượng xác
định thì tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc.
Năng lượng của vi hạt:
Động lượng của vi hạt:
Hàm sóng De Broglie của vi hạt tự do:





EhayhE
kphay
h
p














 rpEt
i
exp
o

III. Thực nghiệm xác định lưỡng tính sóng hạt của vi hạt
1. Nhiễu xạ của electron qua khe hẹp
2. Nhiễu xạ của electron trên tinh thể
HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
Xét sự nhiễu xạ của chùm vi hạt qua khe hẹp độ rộng b.
Sau khi đi qua khe hẹp hạt bị nhiễu xạ theo nhiều phương
khác nhau
Xét tọa độ của hạt theo phương x.
Độ bất định về tọa độ của
vi hạt: Δ ≈ b
Hình chiếu véc tơ động lượng của vi hạt theo trục x:
0≤ p
x
≤ psinφ
Độ bất định về hình chiếu động lượng của vi hạt theo trục x:
Δp
x
≈ psinφ
Xét trường hợp các hạt rơi vào cực đại giữa: Δp
x
≈ psinφ
1
Lập luận tương tự ta có:
Δy.Δp
y

≈ h
Δz.Δp
z
≈ h
Ý nghĩa:
Vị trí và động lượng của vi hạt không được xác định đồng
thời. Quy luật vận động của vi hạt theo quy luật thống kê.
Hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian
ΔE.Δt ≈ h



h
p
b
 ,sin
1
hppbpx
x







.sin
1
HÀM SÓNG
Hàm sóng của vi hạt tự do:

Trong đó:
Nếu hạt chuyển động trong trường lực thế thì hàm sóng là
hàm phức tạp của tọa độ và thời gian






rktiexprpEt
i
exp
oo









)t,z,y,x()t,r( 
kp;E  
*
2
2
o

Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

Xét chùm hạt phôtôn truyền trong không gian xung quanh
điểm M. Bao quanh M bằng thể tích ΔV
Theo quan điểm sóng: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với ψ
0
2
Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với số hạt
trong đơn vị thể tích bao quanh M
Số hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M tỉ lệ với ψ
0
2
Số hạt trong đơn vị thể tích càng lớn khả năng tìm thấy hạt
càng lớn.
Vậy ψ
0
2
hay |ψ|
2
là mật độ xác suất tìm thấy hạt
Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V:
1dV
2
V



Điều kiện của hàm sóng
- Hàm sóng phải hữu hạn
- Hàm sóng phải đơn trị
- Hàm sóng phải liên tục
- Đạo hàm bậc nhất của hàm phải liên tục

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Hàm sóng De Broglie:
Trong đó thành phần phụ thuộc vào tọa độ:















 Et
i
exp)r(rpEt
i
exp)t,r(
o








 rp
i
exp)r(
o







 )zpypxp(
i
exp)r(
zyxo

Lấy đạo hàm ∂ψ/∂x ta được:
Lấy đạo hàm bậc hai:
Tương tự cho các biến y và z
)r(p
i
x
x












)r(
p
)r(p
i
x
2
2
x
2
x
2
2
2
2




)(
2
2
2
2
r
p

y
y






)(
2
2
2
2
r
p
z
z






Trong hệ tọa độ Đêcac
Gọi E
đ
là động năng của hạt:
)r(
zyx
)r(

2
2
2
2
2
2


















)r(
p
)r(
ppp
)r(
2

2
2
2
z
2
y
2
x





dđ
mEphay
m
pmv
E 2
2
2
2
22

0)r(E
m2
)r(
d
2



Nếu hạt chuyển động trong trườnglực có thế năng U không
phụ thuộc vào thời gian: E
đ
= E – U
Phương trình Schrodinger cho hạt ở trạng thái dừng;


0)r()r(UE
m2
)r(
2


Ứng dụng phương trình Schrodinger
1. Hạt trong giếng thế một chiều
Xét hạt nằm trong giếng thế một chiều cao vô hạn:
Phương trình Schrodinger:
Đặt:






ax,0xkhi
ax0khi0
U
0
mE2
dx

d
22
2



2
2
mE2
k


0
2
2
2



k
dx
d
Nghiệm của phương trình:
Từ điều kiện liên tục của hàm sóng:
Vậy hàm sóng có dạng:
kxcosBkxsinA)x(



   

, 3,2,1,0sin
00)0sin()0(






n
a
n
kkaAa
BBA


x
a
n
sinA)x(
n


Để tìm A dùng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:
Vậy hàm sóng:
Nhận xét:
- Mỗi trạng thái có một hàm sóng.
-Năng lượng của hạt trong giếng thế biến thiên gián đoạn.
- Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế:
a
A

aA
dxx
a
nA
xdx
a
n
A
aa
2
1
2
)
2
cos1(
2
sin
2
0
2
2
0
2



x
a
n
sin

a
2
)x(
n


2
2
22
n
n
ma2
E


x
a
n
sin
a
2
)x(
2
2
n


2. Hiệu ứng đường ngầm
Xét hạt mang năng lượng E chuyển động theo trục x theo
chiều từ trái sáng phải E < U

0
Miền I
Miền II
Miền III









ax0
ax0U
0x0
U
o
2
2
11
2
1
2
1
2
2
;0

mE

kk
dx
d



 
EU
m
kk
dx
d

0
2
2
22
2
2
2
2
2
2
;0



0k
dx
d

3
2
1
2
3
2


Nghiệm của phương trình:
Trong miền III không có sóng phản xạ nên B
3
= 0
Hệ số truyền qua hàng rào D
Hệ số phản xạ R
xik
1
xik
1
1
11
eBeA)x(


xk
2
xk
2
2
22
eBeA)x( 


)ax(ik
3
)ax(ik
33
11
eBeA)x(


2
1
2
3
A
A
D 
2
1
2
1
A
B
R 
Để tìm D và R dùng điều kiện hàm sóng:
Giải hệ phương trình tìm được:
   
 
322232
32232
22211121

221121
22
22
)()(
)()(
)0()0(
)0()0(
ikAeBeAkaa
AeBeAaa
BAkBAik
BABA
akak
akak
















ak

31
2
eA
n2
ni
2
in1
A















EU
E
k
k
n
02
1



 






 EUm
a
D
0
2
2
exp

Sóng hạt
Song-hat.exe