CUNG và góc LƯỢNG GIÁC

Trong quá trình biên soạn có thể vẫn còn nhiều sai xót, mong mọi người đóng góp ý kiến :

GV: Ha Quang Nhi
Van de 1: CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN
2 2
sin os 1c
α α
+ =
tan .cot 1 ,
2
k k
π
α α α
 
= ≠ ∈
 ÷
 
¢
2
2
1
1 tan ,
os 2
k k
c
π
α α π
α
 
+ = ≠ + ∈
 ÷

 
¢
( )
2
2
1
1 cot ,
sin
k k
α α π
α
+ = ≠ ∈¢
sin
tan
osc
α
α
=
os
cot
sin
c
α
α
α
=
Bài tập 1: Cho
2
π
α π

< <
. Xác định dấu của các giá trị lượng giác:
a)
3
sin
2
π
α
 
−
 ÷
 
b)
os
2
c
π
α
 
+
 ÷
 
c)
( )
tan
α π
+
d)
cot
2

π
α
 
−
 ÷
 
Hướng dẫn: Xác định điểm cuối của các cung
3
2
π
α
−
,… thuộc cung phần tư nào, từ đó xác
định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.
+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định
dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của cung
α
và thực
hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục nằm (Ox) là trục
cosin; khi
α
thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm trên cung phần tư đó, sau
đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm,
cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu
của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= -
Giải
a)
2
π
α π

< <
3
2 2 2
π π π
π α α π
⇒ − < − < − ⇒ < − <
vậy
3
sin 0
2
π
α
 
− >
 ÷
 
Bài tập 2: Tính các giá trị lượng giác của góc
α
biết:
a)
3
sin
5
α
=
với
2
π
α π
< <

b)
4
os ,0
13 2
c
π
α α
= < <
c)
4 3
tan , 2
5 2
π
α α π
= − < <
d)
3
cot 3, 2
2
π
α α π
= − < <
e)
2
sin ,0
5 2
π
α α
= − < <
f)

os 0,8c
α
=
với
3
2
2
π
α π
< <
g)
13
tan ,0
8 2
π
α α
= < <
h)
19
cot ,
7 2
π
α α π
= − < <
i)
1 3
os ,
4 2
c
π

α π α
= − < <
j)
2
sin ,
3 2
π
α α π
= < <
k)
7
tan ,0
3 2
π
α α
= < <
l)
4 3
cot , 2
19 2
π
α α π
= − < <
Hướng dẫn:
+ Nếu biết trước
sin
α
thì dùng công thức:
2 2
sin os 1c

α α
+ =
để tìm
osc
α
, lưu ý:xác định dấu
của các giá trị lượng giác để nhận, loại.
sin
tan
osc
α
α
α
=
;
os
cot
sin
c
α
α
α
=
hoặc
1
cot
tan
α
α
=

+ Nếu biết trước
osc
α
thì tương tự như trên.
+ Nếu biết trước
tan
α
thì dùng công thức:
2
2
1
1 tan
osc
α
α
+ =
để tìm
osc
α
, lưu ý:xác định dấu
của các giá trị lượng giác để nhận, loại.
sin tan . osc
α α α
=
,
1
cot
tan
α
α

=
Giải
a) Do
2
π
α π
< <
nên
os 0,tan 0,cot 0c
α α α
< < <
( )
( )
2 2 2 2
4
os
16
5
sin os 1 os 1 sin
4
25
os
5
c loai
c c
c nhan
α
α α α α
α


=

+ = ⇒ = − = ⇔


= −


sin 3
tan
os 4c
α
α
α
= = −
;
4
cot
3
α
= −
c) Do
3
2
2
π
α π
< <
nên
sin 0, os 0,cot 0c

α α α
< > <
( )
( )
2 2
2
5
os
1 25
41
1 tan os
5
os 41
os
41
c nhan
c
c
c loai
α
α α
α
α

=


+ = ⇒ = ⇔

= −



4
sin os .tan
41
c
α α α
= = −
;
1 41
cot
tan 4
α
α
= = −
Các bài tập còn lại làm tương tự.
Bài tập 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác: (Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7
hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành
vế kia)
2 2
sin os 1c
α α
+ =
tan .cot 1 ,
2
k k
π
α α α
 
= ≠ ∈

 ÷
 
¢
2
2
1
1 tan ,
os 2
k k
c
π
α α π
α
 
+ = ≠ + ∈
 ÷
 
¢
( )
2
2
1
1 cot ,
sin
k k
α α π
α
+ = ≠ ∈¢
sin
tan

osc
α
α
=
os
cot
sin
c
α
α
α
=
( )
2
2 2
2a b a ab b± = ± +
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b± = ± + ±
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b+ = + − +
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b− = − + +
( ) ( )
2 2

a b a b a b− = + −
a)
3 3
sin os
1 sin cos
sin cos
a c a
a a
a a
+
= −
+
Biến đổi:
( )
( )
3 3 2 2
sin os sin cos sin cos osa c a a a sin a a a c a+ = + − +
b)
2 2
sin os tan 1
1 2sin cos t ana 1
a c a a
a a
− −
=
+ +
Biến đổi:
( ) ( )
2 2
sin os sin cos sin cosa c a a a a a− = + −

, chia tử và mẫu
cho
cos a
c)
4 4 6 6 2 2
sin os sin os sin cosa c a a c a a a+ − − =
Biến đổi:
( ) ( )
6 6 2 2 4 2 2 4
sin os sin cos sin sin cos osa c a a a a a a c a+ = + − +
d)
t ana tan
tan a tan
cot cot
b
b
b a
−
=
−
Biến đổi:
1 1
cot cot
t anb tana
b a− = −
e)
( ) ( )
6 6 4 4
2 os 1 3 ossin a c a sin a c a+ + = +

( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 6 2 2 4 2 2 4
2
4 4 2 2 4 4 2 2 2 2
sin os 2 os sin sin cos os 1
2 sin os 1 2sin cos 2 sin os sin os 2sin cos
VT a c a sin a c a a a a c a
a c a a a a c a a c a a a VP
= + = + − + +
= + + − = + + + − =
f)
( ) ( )
4 4 6 6
3 sin os 2 sin os 1x c x x c x+ − + =
Sử dụng
( )
2
2 2
2a b a b ab+ = + −
và
3 3
a b+
g)
2 2 2 2
tan sin tan .sina a a a− =
( )
2
2 2 2
2

sin
sin sin 1 tan 1
os
a
VT a a a VP
c a
= − = + − =
h)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a
+
+ =
+
( )
( ) ( )
2
2
2 2
sin 1 cos
sin 1 2cos os
sin 1 cos sin 1 cos
a a
a a c a
VT VP
a a a a
+ +
+ + +
= = =

+ +
i)
4 4 2
os sin 2cos 1c a a a− = −
Sử dụng
2 2
a b−
j)
2
2
2
1 sin
1 2 tan
1 sin
a
a
a
+
+ =
−
( nếu
sin 1a
≠ ±
)
2 2
2 2 2
1 sin 1 sin

os os os
a a

VP VT
c a c a c a
+
= = + = =
k)
2 2
sin os 1 cot
1 2sin cos 1 cot
a c a a
a a a
− −
=
+ +
( ) ( )
( )
2
sin cos
sin cos sin cos
sin
sin cos
sin cos
sin
a a
a a a a
a
VT VP
a a
a a
a
−

− +
= = =
+
+
l)
2 2 2 2
cot os cot cosa c a a a− =
( )
2 2
2
2
2 2
cos 1 sin
os
os
sin sin
a a
c a
VT c a VP
a a
−
= − = =
m)
2 2 2 2
tan sin tan asina a a− =
n)
t ana sin
cos
sin cot
a

a
a a
− =
o)
2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
a
a
a
+
= +
−
p)
2 2
2 2
2 2
os sin
sin . os
cot tan
c a a
a c a
a a
−
=
−
Bài tập 4: Đơn giản các biểu thức sau:

a)
( )
2 2 2
1 sin cot 1 cotA a a a= − + −
2
2 2 2 2 2 2
2
os
cot sin .cot 1 cot 1 sin sin
sin
c a
A a a a a a a
a
= − + − = − =
b)
2
2cos 1
sin cos
a
B
a a
−
=
+
2 2
os sin
cos sin
sin cos
c a a
B a a

a a
−
= = −
+
c)
( ) ( )
3 3
1 cot sin 1 t ana osC a a c a= + + +
( ) ( )
3 3 2 2
cos sin
1 sin 1 os sin cos sin cos sin os sin cos
sin cos
a a
C a c a a a a a a c a a a
a a
   
= + + + = + + + = +
 ÷  ÷
   
d)
2 2
2 2
sin tan
os cot
a a
D
c a a
−
=

−
( )
( )
2
2
2
2
4
2
2
6
2
4
2
2
2
2
2
1
1 os
sin 1
sin
sin
sin
os
os
. tan
1
1 sin
os

os
os 1
os
sin
sin
c a
a
a
a
a
c a
c a
D a
a
c a
c a
c a
c a
a
a
 
−
−
 ÷
−
 
= = = =
−
 
−

−
 ÷
 
e)
( )
2
sin cos 1
cot sin cos
a a
E
a a a
+ −
=
−
2 2
2
2
sin 2sin cos os 1 2sin cos .sin
2 tan
1
cos .cos
cos sin
sin
a a a c a a a a
E a
a a
a a
a
+ + −
= = =

 
−
 ÷
 
f)
2 2
2
2
1 sin cos
sin
sin
a a
F a
a
−
= −
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
os sin cos sin 1 cot 1 cot
sin sin
F c a a a a a a
a a
 
= − − = − + = + − =
 ÷
 
g)
2

2cos 1
sin cos
a
G
a a
−
=
+
( )
2 2 2
2 2
2cos sin os
os sin
cos sin
sin cos sin cos
a a c a
c a a
G a a
a a a a
− +
−
= = = −
+ +
h)
( ) ( )
2 2
sin 1 cot os 1 t anaH a a c a= + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
cos sin

sin 1 cot os 1 t ana sin sin os os .
sin cos
a a
H a a c a a a c a c a
a a
= + + + = + + +
( )
2
2 2
sin 2sin cos os sin cosa a a c a a a= + + = +
i)
2 2 2
os os .cotI c a c a a= +
I=
2
cot a
j)
2 2 2
sin sin .tanJ a a a= +
J=
2
tan a
k)
2
2cos 1
sin cos
a
K
a a
−

=
+
K=
cos sina a
−
Bài tập 5: Cho
3
t ana
5
=
. Tính giá trị các biểu thức sau:
sin cos
sin cos
a a
A
a a
+
=
−
2 2
2 2
3sin 12sin cos os
sin sin cos 2cos
a a a c a
B
a a a a
+ +
=
+ −
2 2

sin cos
sin os
a a
C
a c a
=
−
Hướng dẫn: Để tính giá trị các biểu thức này ta phải biến đổi chúng về một biểu thức theo tana
rồi thay giá trị của tana vào biểu thức đã biến đổi.
a) Vì
3
t ana
5
=
cos 0a
⇒ ≠
. Chia tử và mẫu của biểu thức A cho cosa ta được:
t ana 1
4
t ana 1
A
+
= = −
−
b) Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho
2
osc a
ta được:
2
2

3tan 12tan 1 116
tan t ana 2 13
a a
B
a
+ +
= = −
+ −
c) Chia cả tử và mẫu của biểu thức C cho
2
osc a
ta được:
2
t ana 15
tan 1 16
C
a
= = −
−
Bài tập 6: Cho
3
sin
4
α
=
và
2
π
α π
< <

. Tính:
a)
2 tan 3cot
os tan
A
c
α α
α α
−
=
+
b)
2 2
cos cot
tan cot
B
α α
α α
+
=
−
Do
2
π
α π
< <
os 0c
α
⇒ <
2

7
cos 1 sin
4
a a= − − = −
;
3 7
tan ;cot
3
7
α α
= − = −
4 175 7
;
19 96
A B= − = −
Bài tập 7: Cho
t an 3cot 6
α α
− =
và
3
2
π
π α
< <
. Tính:
a)
sin osc
α α
+

b)
2sin tan
os cotc
α α
α α
−
+
Do
3
2
π
π α
< <
nên
os 0,sin 0,tan 0c
α α α
< < >
t an 3cot 6
α α
− =
2
3
tan 6 0 tan 6 tan 3 0
tan
α α α
α
⇔ − − = ⇔ − − =

Vì
tan 0

α
>
nên
tan 3 2 3
α
= +
a)
2
1 1 3 2 3
os os ,sin
22 12 3
22 12 3 22 12 3
c c
α α α
+
= ⇒ = − = −
+
+ +
4 2 3
sin os
22 12 3
c
α α
+
+ = −
+
b)
( )
2sin tan 2 22 12 3
21 12 3

os cot
3 2 3 22 12 3
c
α α
α α
− + +
= +
+
+ − +
Bài tập 8: Cho
t ana cot a m+ =
, hãy tính theo m
2 2
tan cotA a a= +
3 3
tan cotB a a= +
( )
2
2
tan cota 2 tan cot 2A a a a m= + − = −
( )
( ) ( )
2 2 2
tan cot tan t ana cot cot 3B a a a a m m= + − + = −
Bài tập 9: Cho
cot 2a =
, hãy tính
3 3
3 3
sin 2cos

os 3sin
a a
A
c a a
+
=
+
Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức chỉ có cota
3 3
3
3
3 3
3
3
sin 2cos
1 2cot 17
sin
os 3sin
cot 3 11
sin
a a
a
a
A
c a a
a
a
+
+
= = =

+
+
Bài tập 10: Cho
2cos 3sin 1
4sin cos 2 2
a a
a
a a
π
π
+
 
= < <
 ÷
−
 
. Tính
sin ,cos ,t ana,cota a a
2cos 3sin 1 sin 5
4cos 6sin 4sin cos tana
4sin cos 2 cos 2
a a a
a a a a
a a a
+
= ⇔ + = − ⇔ = = −
−
1 2
cot
t ana 5

a = = −
2
2
1 4 2
os cos
1 tan 29
29
c a a
a
= = ⇒ = −
+
(do
2
a
π
π
< <
thì
cos 0a <
)
5
sin cos .t ana
29
a a= =
Bài tập 11: Cho
3
sin
5
a =
. Tính

cot 2 tan
t ana 3cot
a a
A
a
−
=
+
Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức A theo
2
sin a
( )
( )
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
cos 2sin
1 sin 2sin
os 2sin 1 3sin 2
sin cos
sin 3cos
sin 3cos 3 2sin 57
sin 3 1 sin
cos sin
a a
a a
c a a a
a a
A

a a
a a a
a a
a a
−
− −
− −
= = = = = −
+ −
+ −
+
Bài tập 12: a) Tính
sin 3cos
cos 2sin
a a
A
a a
−
=
+
biết
t ana 3= −
b) Tính
2 2
2 2
2cos sin cos sin
sin 3cos 4
a a a a
B
a a

+ −
=
+ −
biết
cot 2a =
Hướng dẫn: a) Chia cả tử và mẫu cho cosa b) Chia cả tử và mẫu cho
2
sin a
6 5
;
5 7
A B= = −
Van de 2: ĐƠN GIẢN- TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai
π
”
+ Chú ý: Với
k
∈
¢
ta có:
( )
sin 2 sink
α π α
+ =
( )
os 2 osc k c
α π α
+ =

( )
tan tank
α π α
+ =
( )
cot cotk
α π α
+ =
Bài tập 1: Đơn giản các biểu thức:
a)
( )
2 2
sin sin os sin
2 2
A c
π π
α α α α π
   
= + − + − + −
 ÷  ÷
   
A=1
b)
2 2 2
3
sin sin os
8 8
B c
π π
α

= + −
B=
2
sin
α
Hướng dẫn:
3 3
sin os os
8 2 8 8
c c
π π π π
 
= − =
 ÷
 
c)
( )
5
sin os tan tan
2 2 2
C x c x x x
π π π
π
     
= − + − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
C=-2cosx
Hướng dẫn:
sin sin sin cos

2 2 2
x x x x
π π π
 
     
− = − − = − − = −
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
;
( )
os cosc x x
π
− = −
5
tan tan 2 tan cot
2 2 2
tan cot
2
x x x x
x x
π π π
π
π
     
− = + − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
 

− = −
 ÷
 
d)
( ) ( )
17 9
sin os tan 5 cot
2 2
D x c x x x
π π
π π
   
= + + + + − − −
 ÷  ÷
   
D=-2sinx
Hướng dẫn:
17
os os 8 sinx
2 2
c x c x x
π π
   
+ = + + = −
 ÷  ÷
   
9 9 9
cot cot cot cot 4 cot t anx
2 2 2 2 2
x x x x x

π π π π π
π
 
         
− = − − = − − = − − + = − − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
 
         
 
e)
( ) ( )
3
sin ó cot 2 tan
2 2
E a c a a a
π π
π π
   
= + − − + − + −
 ÷  ÷
   
E=-2sina
Hướng dẫn:
3
tan tan tan cot
2 2 2
a x x a
π π π
π
 

     
− = + − = − =
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
Bài tập 2: Tính:
a)
2 0 2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 30 sin 80A = + + + +
( 8 số hạng)
( ) ( ) ( ) ( )
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 80 sin 20 sin 70 sin 30 sin 60 sin 40 sin 50A = + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 10 os 10 sin 20 os 20 sin 30 os 30 sin 40 os 40 4c c c c= + + + + + + + =
b)
0 0 0 0
os10 os20 os30 os180B c c c c= + + + +
(18 số hạng)
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
os10 os170 os20 os160 os90 os180B c c c c c c= + + + + + +
( ) ( )
( )
( )
0 0 0 0
os10 os10 os20 os20 0 1 1c c c c= − + − + + + − = −
c)

25 9 4 19
sin os tan cot
4 4 3 6
C c
π π π π
= + + −
sin 6 os 2 tan cot 3 sin os tan cot 2
4 4 3 6 4 4 3 6
C c c
π π π π π π π π
π π π π
       
= + + + + + − + = + + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
0 0 0 0
tan10 .tan 20 tan 70 , tan80D =
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0
an10 .tan80 tan 20 .tan 70 an30 .tan 60 tan 40 .tan 50D t t=
( )
0 0
tan10 .cot10 1= =
e)
0 0 0 0
os20 os40 os60 cos180E c c c= + + + +
( ) ( )
0 0 0 0 0
os20 os160 os40 os140 os180 1E c c c c c= + + + + + = −

(
( )
0 0 0 0
os160 os 180 20 os20c c c= − = −
; tương tự những phần còn lại nên
0 0
os20 os160 0c c+ =
)
Van de 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức cộng:
cos( ) cos cos sin sin (1)
cos( ) cos cos sin sin (2)
a b a b a b
a b a b a b
− = +
+ = −
sin( ) sin cos cos sin (3)a b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sin (4)a b a b a b+ = +
( ) ( , , )(5)
1 2
tga tgb
tg a b a b a b k
tgatgb
π
π
−
− = − ≠ +
+
( ) ( , , )(6)
1 2

tga tgb
tg a b a b a b k
tgatgb
π
π
+
+ = + ≠ +
−
Bài tập 1: Tính các giá trị lượng giác của các cung có số đo:
a)
0
15
b)
5
12
π
c)
7
12
π
d)
11
12
π
Hướng dẫn: Phân tích thành tổng hoặc hiệu của hai cung đặc biệt
Phân tích
0 0 0
15 60 45= −
hoặc
0 0

45 30−
rồi sử dụng các công thức cộng
Phân tích
5
12 4 6
π π π
= +
rồi sử dụng các công thức cộng
7
12 3 4
π π π
= +
;
11
12 12
π π
π
= −
Bài tập 2: Chứng minh rằng:
a)
sin cos 2 sin 2 os
4 4
a a a c a
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
b)
sin cos 2sin

4
a a a
π
 
− = −
 ÷
 
c)
cos sin 2 cos
4
a a a
π
 
− = +
 ÷
 
d)
sin 3 cos 2sin
3
a a a
π
 
+ = +
 ÷
 
e)
sin 3 cos 2sin
3
a a a
π

 
− = −
 ÷
 
Hướng dẫn biến đổi VP thành vế trái
f)
1 t ana
tan
4 1 t ana
a
π
−
 
− =
 ÷
+
 
g)
( ) ( )
2 2 2 2
sin sin sin sin os osa b a b a b c b c a+ − = − = −
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin 1 sin sin 1 sin sin sinVT a b b a a b b a a b VP= − = − − − = − =
( ) ( )
2 2 2 2
1 os 1 os os osc a c b c b c a= − − − = −
h)
( )
( )

cot
cot cot 1
os cot cot 1
a b
a b
c a b a b
−
+
=
+ −
Sử dụng công thức cộng sau đó chia hai vế cho sinasinb
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức:
a)
sin os
6 3
sin os
6 3
a c a
A
a c a
π π
π π
   
+ − +
 ÷  ÷
   
=
   
+ + +
 ÷  ÷

   
Sử dụng công thức cộng
3 t anaA =
b)
0 0 0 0
os54 os4 os36 os86B c c c c= −
Sử dụng cung phụ nhau và ct cộng
0
os58B c=
c)
0 0
0 0
tan 64 tan176
1 tan 64 .tan 356
C
+
=
−

3C =
d)
( )
( )
os sin sin
sin sin cos
c a b a b
D
a b a b
+ +
=

− −

cotD b
= −
Bài tập 4: Cho
( )
0 0
3
cos 0 90
5
a a= < <
và
( )
0 0
99
sin 90 180
100
b b= < <
. Tính
( ) ( ) ( )
sin ; os ;tana b c a b a b+ − +
Hướng dẫn: tính
sin ,cosa b
Sau đó sử dụng công thức cộng.
Bài tập 5: Tính
( )
tan x y+
;
( )
tan x y−

biết
1 3
t anx ,sin
2 5
y= =

0
2
y
π
< <
Hướng dẫn: Tính
2
1
cot 1
sin
y
y
= −
sau đó tính tany
Bài tập 6:
a) Tính
tan
3
a
π
 
+
 ÷
 

biết
3
sin
5
a =
và
2
a
π
π
< <
Tính cosa, tana sau đó áp dụng công thức cộng.
48 25 3
tan
3 11
a
π
−
 
+ =
 ÷
 
b) Tính
os
3
c a
π
 
+
 ÷

 
biết
3
sin
3
a =
và
0
2
a
π
< <
(sgk)
c) Tính
tan
4
a
π
 
−
 ÷
 
biết
1
cos
3
a = −
và
2
a

π
π
< <
Công thức nhân
sin 2 2sin cos (1)a a a=
2 2
cos 2 cos sina a a= −
2 2
2cos 1 1 2sin (2)a a= − = −

2
2
2 (3) ( , )
1 2 4 2
tga
tg a a k a k
tg a
π π π
π
= ≠ + ≠ +
−
cos
2
a =
1 cos2a
2
+
; sin
2
a =

1 cos2a
2
−
; tan
2
a =
1 cos2a
1 cos2a
−
+
(Công thức hạ bậc)
Bài tập 1: Biết
1
sin
3
a =
và
2
a
π
π
< <
. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc:
2 ;
2
α
α
a) Do
2
a

π
π
< <
nên
2 2
cos 0 cos
3
a a< ⇒ = −
4 2
sin 2 2sin cos
9
a a a= = −
2 2
7
os2 os sin
9
c a c a a= − =
4 2 7
tan 2 ;cot
7
4 2
a a= =
b)
2
a
π
π
< <
os 0,sin 0
4 2 2 2 2

c
π α π α α
⇒ < < ⇒ > >
2
1 cos 1 cos 3 2 2
sin sin
2 2 2 2 6
a a a a− − +
= ⇒ = =
1 cos 3 2 2
os
2 2 6
a a
c
+ −
= =
t an 3 2 2;cot 3 2 2
2 2
a a
= + = −
Bài tập 2: Tính
os2 ,sin 2 , tan 2c a a a
biết:
a)
5 3
cos ,
13 2
a a
π
π

= − < <
;
5
cos ,
13 2
a a
π
π
= − < <
;
4
cos , 0
5 2
a a
π
= − < <
b)
3 3
sin ,
5 2
a a
π
π
= − < <
c)
1
sin cos
2
a a+ =
và

3
4
a
π
π
< <
Hướng dẫn:
a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi.
12
sin
13
a = −
;
120
sin 2
169
a =
;
2 2
119
os2 os sin
169
c a c a a= − = −
hoặc
2
os2 2cos 1c a a= −
;
120
tan 2
169

a = −
c)
( )
2
1 1 1 3
sin cos sin cos 1 sin 2 sin 2
2 4 4 4
a a a a a a+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇒ = −
3
4
a
π
π
< <
3
2 2 os2 0
2
a c a
π
π
⇒ < < ⇒ >
;
2
7
os2 1 sin 2
4
c a a= − =
3
tan 2
7

a = −
Bài tập 3: Cho
5
sin 2
9
a = −
và
2
a
π
π
< <
. Tính sina, cosa
+ Vì
2
a
π
π
< <
nên
sin 0,cos 0a a> <
+
2
a
π
π
< <
2 2a
π π
⇒ < <

nên cos2a có thể dương và có thể âm
2
2 14
os2 1 sin 2
9
c a a= ± − = ±
TH1:
2 14
os2
9
c a =
1 os2 2 14
cos
2 6
c a
a
+ +
= − = −
;
1 os2 14 2
sin
2 6
c a
a
− −
= =
TH2:
2 14
os2
9

c a = −
1 os2 14 2
cos
2 2
c a
a
+ −
= − =
;
1 os2 2 14
sin
2 6
c a
a
− +
= =
Bài tập 4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
4 4 2
1 3 1
sin os 1 sin 2 os4
2 4 4
a c a a c a+ = − = +
( )
( ) ( )
2
2
4 4 2 2 2 2 2
1
sin os sin os 2sin cos 1 2. sin cos 1 sin 2 1

2
a c a a c a a a a a a+ = + − = − = −
( )
2
1 1 1 os4a 1 1 3 1
1 sin 2 1 1 os4 os4 2
2 2 2 4 4 4 4
c
a c a c a
−
 
= − = − = − + = +
 ÷
 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
b)
6 6
5 3
sin os os4
8 8
a c a c a+ = +
Hướng dẫn:
( )
( )
3 3 2 2
x y x y x xy y+ = + − +
sau đó áp dụng
( )
2
2 2

2x y x y xy+ = + −
c)
5 5
1
sin cos cos sin sin 4
4
a a a a a− =
( ) ( ) ( )
5 5 4 4 2 2 2 2
sin cos cos sin sin cos os sin sin cos os sin os sin a a a a a a c a a a a c a a c a a− = − = − + =
d)
8 8
1
os sin os2 sin 4 sin 2
4
c a a c a a a− = −
Sử dụng
( ) ( )
2 2
a b a b a b− = − +
sau đó sử dụng
( )
2
2 2
2a b a b ab+ = + −
e)
os2 cos sin
1 sin 2 cos sin
c a a a
a a a

−
=
+ +
( )
2 2 2 2
2
os sin os sin

1 2sin cos
sin cos
c a a c a a
VT
a a
a a
− −
= = =
+
+
f)
2
cot t anx
sin 2
x
x
+ =
Hướng dẫn:
2 2
cos sinx os sin

sinx cos sin x cos

x c x x
x x
+
+ = =
g)
cot t anx 2cot 2x x
− =
phân tích như trên
h)
sin 2
t anx
1 os2
x
c x
=
+
Hướng dẫn:
2
2sin cos

os
x x
VT
c x
= =
i)
2
1 os2
tan
1 os2

c x
x
c x
−
=
+
Hướng dẫn:
2
2
2sin

2cos
x
VT
x
= =
j)
3 3
1
os asin sin cos sin 4
4
c a a a a− =
Hướng dẫn: Tương tự như câu c
k)
3 3
sin os sin 2
1
sin cos 2
a c a a
a a

−
= +
−
Sử dụng hằng đẳng thức
3 3
a b−
l)
cos sin cos sin
2 tan 2
cos sin cos sin
a a a a
a
a a a a
+ −
− =
− +
Hướng dẫn: Quy đồng mẫu
m)
2
sin 2 2sin
tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a
−
= −
+
Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng
2
1 cos 2sin

2
a
a− =
n)
2
1 sin
cot
1 sin 4 2
a a
a
π
+
 
= −
 ÷
−
 
2
2
1 os 2cos
2 4 2
1 os 2sin
2 4 2
a
c a
VT VP
a
c a
π π
π π

   
+ − −
 ÷  ÷
   
= = =
   
− − −
 ÷  ÷
   
0)
sin 2 sin
t ana
1 os2 cos
a a
c a a
+
=
+ +
Hướng dẫn:
2
2sin cos

2cos cos
a a
VT
a a
= =
+
p)
2

2 2
4sin
1 os 16cos
2 2
a
a a
c− =
Hướng dẫn:
2
4.4sin os
2 2
sin
2
a a
c
VT VP
a
= =
q)
tan 2
os4
tan 4 tan 2
a
c a
a a
=
−
2
2
2

tan 2 1 tan 2

2 tan 2
1 tan 2
tan 2
1 tan 2
a a
VT
a
a
a
a
−
= = =
+
−
−
r)
4
3 4cos 2 os4
tan
3 4cos2 os4
a c a
a
a c a
− +
=
+ +
HD:
2

os4 2cos 2 1c a a= −
sau đó sử dụng
2
os2 1 2sinc a a− = −
s)
sin sin3 sin 5
tan3
cos os3 os5
a a a
a
a c a c a
+ +
=
+ +
( )
( )
sin 5 sin sin 3

os5 osa +cos3
a a a
VT
c a c a
+ +
= =
+
t)
2 2 2
1 cos
tan os sin
1 cos 2

a a
c a a
a
+
− =
−
Sử dụng công thức hạ bậc
2
1 cos 2cos
2
a
a+ =
Bài tập 5: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a
a)
( ) ( )
6 6 4 4
2 sin os 3 sin osA a c a a c a= + − +
Sử dụng
3 3
a b+

1A = −
b)
( )
4 4
4 sin os os4B a c a c a= + −
Sử dụng
( )
2
2 2

2a b a b ab+ = + −
và
2
os2 1 2sinc a a= −
3B =
c)
4
1
4cos 2cos 2 os4
2
a a c a− −
Sử dụng
2
os2a=2cos 1c a −
3
2
C =
ON TAP CHUONG 6
Chứng minh đẳng thức lượng giác
1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
1 cos os2
cot
sin 2 sinx
x c x
x
x
− +
=
−

HD:
2
2cos osx

2sin cos sinx
x c
VT
x x
−
= =
−
b)
sin sin
2
tan
2
1 cos os
2
a
a
a
a
a c
+
=
+ +
HD:
2
2sin os sin
2 2 2

1 2cos 1 os
2 2
a a a
c
VT
a a
c
+
= =
+ − +
c)
2
2cos 2 sin 4
tan
2cos 2 sin 4 4
a a
a
a a
π
−
 
= −
 ÷
+
 
HD:
( )
( )
( )

( )
2
2
2
2
2cos2 1 sin 2 cos sin
1 t ana
tan
2cos2 1 sin 2 1 t ana 4
cos sin
a a a a
VT a
a a
a a
π
− −
−
   
= = = = −
 ÷  ÷
+ +
   
+
d)
( )
sin
t ana tan
cos cos
a b
b

a sb
−
− =
Hướng dẫn:
sin sin
cos cos
a b
VT
a b
= −
e)
2
1 2sin 1 t ana
1 sin 2 1 t ana
a
a
− −
=
+ +
( )
2 2
2
cos sin

sin cos
a a
VT
a a
−
= =

+
f)
1 sin 4 os4
tan 2
1 os4 sin 4
a c a
a
c a a
+ −
=
+ +
2
2
1 2sin 2 cos2 1 2sin 2

1 2cos 2 1 2sin 2 cos 2
a a a
VT
a a s a
+ − +
= =
+ − +
g)
2 2 2
1 cos
tan os sin
1 cos 2
a a
c a a
a

+
− =
−
2
2 2
2
2cos
2
tan os
2
2sin
2
a
a
VT c a
a
= − =
h)
sin 2 sin
t ana
1 os2 cos
a a
c a a
+
=
+ +
( )
2
sin 2cos 1

2cos cos
a a
VT
a a
+
= =
+
i)
4 4 2
sin os 1 2cosa c a a− = −
j)
6 6 2 2
sin os 1 3sin cosa c a a a+ = −
k)
2 2 2 2
tan sin sin a tana a a− =
l)
2 2 2 2
cot os os cota c a c a a− =
m)
sin 1 cos
1 cos sin
a a
a a
−
=
+
n)
cos 1 sin
1 sin cos

a a
a a
−
=
+
o)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a
+
+ =
+
p)
sin cos 1 cos
sin cos 1 1 sin
a a a
a a a
+ −
=
− + +
Rút gọn biểu thức lượng giác
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức:
a)
2 2 2
os os .cotc a c a a+
b)
2 2 2
sin sin .tana a a+
c)

( ) ( )
2 2
tan cot t ana cota a a+ − −
d)
( )
2 2 2
1 sin cot 1 cota a a− + −
e)
2
2cos 1
sin cos
a
a a
−
+
f)
cos
t ana
1 sin
a
a
+
+
g)
2
cos tan
cos .cot
sin
a a
a a

a
−
h)
( ) ( )
sin sin sin
2
a b a b
π
 
+ + − −
 ÷
 
i)
2
1
os os sin
4 4 2
c a c a a
π π
   
+ − +
 ÷  ÷
   
Chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào a
Bài tập: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b (Độc lập đối với a,b)
a)
sin os
4 4
A a c a
π π

   
= + − −
 ÷  ÷
   
A=0
b)
1 os2 sin 2
cot
1 os2 sin 2
c a a
B a
c a a
− +
=
+ +
D=1
c)
sin 6 cot 3 os6C a a c a= −
( )
( )
2
2sin 3 cos3 os3a/sin3a 2cos 3 1 1C a a c a= − − =
d)
( ) ( )
tan tan cot tan a tanD a b a b b= − − −
( )
1
tan tan tan a tan 1
tan tan
D a b b

b
= − − = =
−
e)
2
2
2 4sin
2cos 1
a
E
a
−
=
−
f)
4 2 2 2
os sin cos sinF c a a a a= + +
g)
4 2 2 2
sin sin cos osG a a a c a= + +
h)
2 2 2
os os os
3 3
H c a c x c x
π π
   
= + + −
 ÷  ÷
   

i)
2 2 2
2 2
sin sin sin
3 3
I a x x
π π
   
= + + + −
 ÷  ÷
   
Tính giá trị của các biểu thức
Bài tập: Tính các giá trị của biểu thức:
a)
cot tana
cot t ana
a
A
a
+
=
−
biết
3
sin
5
a =
và
0
2

a
π
< <
b)
cot t ana
cot tana
a
B
a
−
=
+
biết
3
cos
5
a =
và
3
2
2
a
π
π
< <
c)
cos sin
cos sin
a a
C

a a
+
=
−
biết
t ana 5
=
d)
2sin cos
cos 3sin
a a
D
a a
+
=
−
biết
cot 3a
= −
e)
3 2 3
3 2 3
sin 3sin cos 2cos
2sin sin cos os
a a a a
F
a a a c a
+ +
=
− +

biết
t ana 2
=
BÀI TẬP
Bài tập 1: Tính: a)
os
8
c
π
b)
sin
8
π
c)
tan
8
π
a)
2
1 os
2 2
4
os
8 2 4
c
c
π
π
+
+

= =
. Vì
2 2
os 0 os
8 8 2
c c
π π
+
> ⇒ =
b)
2 2
sin
8 2
π
−
=
c)
sin
8
tan 3 2 2 2 1
8
os
8
c
π
π
π
= = − = −
Cách 2:
2 2

tan 1 2
2 tan 2 tan
8
8 8
tan tan 2 1
4 8
1 tan 1 tan
tan 1 2
8 8
8
π
π π
π π
π π
π

= − +

 
= = ⇔ = ⇔

 ÷
 

− −
= − −


Mà
tan 0 tan 1 2

8 8
π π
> ⇒ = − +
Bài tập 2: Tính các biểu thức:
a)
3 5
os os os
7 7 7
A c c c
π π π
=
b)
0 0 0 0
sin 6 sin 42 sin 66 sin 78B =
c)
2 4 8
os os os os
5 5 5 5
x x x x
C c c c c=
d)
3 5
sin 2sin sin
7 7 7
x x x
D = + +
Hướng dẫn:
Nếu
cos cos2 cos 4 cos8 A x x x x
=

nhân hai vế cho sinx rồi liên tiếp áp dụng ct:
1
sin x cos sin 2
2
x x=
Nếu
sinx. os2 . os4xcos8x A c x c
=
nhân hai vế cho cosx rồi liên tiếp áp dụng ct:
1
sin x cos sin 2
2
x x=
a) Vì
3 4 5 2
os os ; os os
7 7 7 7
c c c c
π π π π
= − = −
2 4
os os os
7 7 7
A c c c
π π π
=
2 4 1 2 2 4 1 4 4 1 8 1
sin . sin os os os sin os os sin os sin sin
7 7 7 7 7 2 7 7 7 4 7 7 8 7 8 7
A c c c c c c

π π π π π π π π π π π π
⇒ = = = = = −
1
8
A = −
b) Vì
0 0 0 0 0 0
sin 78 os12 ;sin 66 os24 ;sin 42 os48c c c= = =
0 0 0 0
sin 6 os12 os24 os48B c c c=
( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
os6 . os6 .sin 6 os12 os24 os48 sin 96 sin 90 6 os 6 os6
16 16 16 16 16
c B c c c c c c B⇒ = = = + = − = ⇒ =
c)
2 4 8 1 16
sin sin os os os os sin
5 5 5 5 5 5 16 5
x x x x x x x
C c c c c= =
d)
2
3 5 5 3 3 2 3 3
sin 2sin sin sin sin 2sin 2sin os 2sin 2sin .2.cos
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
x x x x x x x x x x x
D c
 

= + + = + + = + =
 ÷
 