SKKN môn Toán THPT Phương pháp dựng thiết diện và các dạng toán liên quan tới thiết diện

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM



“
“
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


P
P
H
H
Á
Á
P
P

D
D
Ự
Ự
N
N
G
G


T
T
H
H
I
I
Ế
Ế
T
T


D
D
I
I
Ệ
Ệ

N
N


V
V
À
À


C
C
Á
Á
C
C


D
D
Ạ
Ạ
N
N
G
G


T
T

O
O
Á
Á
N
N


L
L
I
I
Ê
Ê
N
N


Q
Q
U
U
A
A
N
N


T
T

Ớ
Ớ
I
I


T
T
H
H
I
I
Ế
Ế
T
T


D
D
I
I
Ệ
Ệ
N
N
”
”

PHẦN I: MỞ ĐẦU

TÊN ĐỀ TÀI:
     VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 

I. Lý do thực hiện đề tài
I.1. Cơ sở lý luận:
Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó đối với
học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng. Dạng toán liên quan đến thiết
diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng hàng
năm.
Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầu người giải
không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và
phải cần được thực hành nhiều.
I.2. Cơ sở thực tiễn
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không gian, cho
rằng rất khó thực hiện được, bằng chứng khi các em đi thi đại học, cao đẳng các em nói
rằng bài toán hình không gian thường để cuối nếu có thời gian thì làm còn không còn thời
gian thì thôi.
Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự liên hệ
logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành khó đối với các
em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học chuyên đề hình
học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài toán thiết diện, giúp các
em định hướng được đường hướng giải cho dạng bài tập này, tôi viết thành chuyên đề
riêng về thiết diện và các dạng toán liên quan.
I.3. Khảo sát thực tế trước khi thực hiện đề tài:
Cho học sinh lớp 11 (48 em) làm bài tập sau:
Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB

dựng một mặt phẳng vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
(Đề thi ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A)


+ 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH  SC, BK  SC rồi không biết kết luận
thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB.
+ 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH  SC (hoặc BH  SC) rồi khẳng định tam giác
AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tại sao).
+ 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH  SC sau đó chứng minh CHB = CHA (cgc) suy
ra AH  SC thiết diện là tam giác AHB.
+ 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh AB 
(SMC) sau đó dựng MH  SC được thiết diện là tam giác AHB.
Nguyên nhân:
Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra mặt phẳng phụ
chứng minh AB

SC từ đó kẻ MH

SC suy ra thiết diện bởi vấn đề thiết diện không
được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh có định hướng phát hiện vấn đề
(sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về vấn đề này).
Vì những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài này.
II. Phƣơng pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
2. Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4. Phương pháp thống kê
III. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ. Các bài
toán tính toán liên quan đến thiết diện, các bài toán liên quan đến phân chia khối đa

diện…
IV. Bố cục đề tài
Đề tài gồm hai phần nội dung chính:
Cách dựng thiết diện
Ở phần này, tác giả tập trung phân tích phương pháp dựng thiết diện trong
trường hợp tổng quát, trong trường hợp có quan hệ song song, quan hệ vuông góc.
Phương pháp được thể hiện qua một số ví dụ chọn lọc.
: Một số bài toán liên quan đến thiết diện.

Trong phần này, tác giả đi vào hai bài toán liên quan đến thiết diện:
- Tính diện tích thiết diện và bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
diện tích thiết diện.
- Tính tỉ số thể tích khối đa diện khi được phân chia bởi thiết diện. Phần này
dùng để dạy cho học sinh lớp 12.
V. Ứng dụng thực tế
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 11, 12 học sinh ôn thi
đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi.
Thời gian nghiên cứu: 01 năm.

PHẦN II: NỘI DUNG

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT
1. Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P). Phần mặt phẳng của
(P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của
T được gọi là thiết diện (mặt cắt).
2. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng ấy.
3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.

4. Các cách xác định mặt phẳng:
+ Biết ba điểm không thẳng hàng
+ Hai đường thẳng cắt nhau.
+ Một điểm nằm ngoài một đường thẳng.
+ Hai đường thẳng song song.
5. Một số lưu ý:
- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T.
- Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần
biện luận nếu có.
- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc
dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T.
- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T.
- Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu
bài.
- Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là:
+ Tính diện tích thiết diện
+ Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất
+ Thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước
(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).

- Các ví dụ được đánh thứ tự liên tục từ đầu cho đến hết chuyên đề.

B. NỘI DUNG CHÍNH
I. Một số phƣơng pháp dựng thiết diện
I.1.        Ba    àng, hai 
  .
1. Phƣơng pháp giải
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (thường được
gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao điểm của giao tuyến
gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung. Lặp lại quá trình này với các

mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). Gọi I, J là
trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AIJ).
Giải:
Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm
không thẳng hàng A, I, J. Có 2 giao
tuyến gốc là AI, IJ.
Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài IJ
cắt SK tại E ta có E là điểm chung của
(AIJ) và (SAD).
Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ là
các đoạn giao tuyến tiếp theo. Thiết
diện là tứ giác AIJF.
F
E
I
J
K
A
D
C
B
S



Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn thẳng AD,
AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’).
Giải:

Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các cạnh hình
bình hành ABCD.
Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt BB’ tại I,
nối C’F cắt DD’ tại J.
Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.
J
I
E
F
B
A
C
B'
D'
C'
A'
D
M
N

Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó thường
phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác
DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Giải:
Chưa có giao tuyến gốc giữa mặt phẳng
cắt và tứ diện. Mặt phẳng(MNP) có điểm
chung P với mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm

chung nữa ta tìm giao điểm O của MN với
(ABC). Kéo dài DM cắt AB tại M
1
, kéo dài
DN cắt BC tại N
1
mặt phẳng (DM
1
N
1
) chứa
MN cắt (ABC) theo giao tuyến M
1
N
1
nên O là
giao điểm của MN và M
1
N
1
 OP là giao tuyến gốc. Nối OP cắt AB. BC
tại E, F.
N
1
M
1
I
N
O
M

A
B
C
D
K
E
F
P
Hình a

N
1
M
1
I
E
N
O
A
B
C
D
P
F
M

Tùy theo vị trí OP trong tam giác ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK (hình a) hoặc tam
giác EFI (hình b)
Khi MN // M
1

N
1
thì giao tuyến gốc là đường thẳng qua P song song với M
1
N
1
.



Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD)
sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định thiết diện của hình
chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường hợp:
a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD.
b. Đường thẳng d đi qua điểm C.
Giải:
Hình b

a) d là giao tuyến gốc ta tìm
thêm giao điểm của d với các
cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E,
F là giao điểm của AB. AC,
AD với d.
Xét (M, d) và (SAB) có M,
H chung nối MH cắt SB tại N
ta có một đoạn giao tuyến
MN. Tương tự nối ME cắt SC
tại P, nối MF cắt SD tại Q.
Thiết diện là tứ giác
MNPQ.

P
N
Q
A
H
F
S
B
D
E
M
C

b) Tương tự phần a. lúc này
EC
thiết diện là tứ giác
MNCQ.
E

C
N
Q
A
H
F
S
B
D
M

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các tam giác
SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt
phẳng (MNE).
Giải:

Gọi I là trung điểm SA.
Ta có M thuộc BI, N thuộc DI. Từ
1
//
3
IM IN
MN BD
IB ID
  
.
Xét mặt phẳng (MNE) và mặt
phẳng (ABCD) có E chung và MN //
BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo
giao tuyến EF // BD (F  CD).
G
F
E
P
K
N
M
I
A
B
C

D
S
Q

Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm chung
của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K, nối KE, PF. Ta
có thiết diện là ngũ giác EFPQK.
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần lượt chứa
hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai
đường thẳng đó.

I.2. Mặt phẳng (P) đƣợc cho bởi các tính chất song song

I.2.1 d 
 l.
1. Phƣơng pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’
// l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và (Q)
dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi
hai đường thẳng cắt nhau d và d’.
2. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh
SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD.

Giải:
Chọn mp (SBD) chứa BD. Gọi O là
giao điểm AC và BD. Đường thẳng
AH cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm
của AH và SO. Trong mp (SBD) kẻ

qua I đường thẳng song song với BD,
gọi M, N là giao điểm của đường
thẳng đó và SB. SD. Mặt phẳng (P) là
mặt phẳng chứa AH và MN.
Thiết diện là tứ giác AMHN.

H
O
I
N
B
S
A
D
C
M

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh CD
không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC.
a. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P).
b. Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành.
Giải:
a. Chọn mặt phẳng (ABC)  BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC).
Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.
(P) và (BCD) có N chung và
chứa hai đường thẳng song song
nên (P)  (BCD) theo giao
tuyến NF // BC (F  BD), nối MF,
EN.
Thiết diện là tứ giác MENF.

b. Theo cách dựng thiết diện ở
phần a) thiết diện là hình thang
MENF (ME // NF) ta có
1
2
ME BC
nên để MENF là hình
bình hành thì
1
2
NF BC
hay N là
N
E
B
C
D
A
M
F


trung điểm CD.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC. Hãy dựng
thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD.
Giải:
K
E
F

M
N
G
J
I
B
C
D
A

K
E
F
M
N
G
J
I
B
C
D
A

H.1
H.2
Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ. Ta có mặt phẳng
(IAD) chứa G và AD // (P)  (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và song song với AD
cắt AI, ID tại M và N.
Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.
nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại

nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK.
Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.

  
và l.
1. Phƣơng pháp

Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường
thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường
thẳng vừa dựng.
2. Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng tâm tam
giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB.
AC.
Giải:
Gọi O là giao điểm AC và BD. Ta
có trọng tâm M thuộc SO. Mặt phẳng
(M,SB) là (SBD) trong mp này kẻ qua M
đường thẳng song song với SB cắt SD, DB
tại N, K.
Mặt phẳng (M, AC) là mặt phẳng
(SAC) nên qua M kẻ đường thẳng song
song với AC cắt SA. SC tại P, I vậy (P)
chứa NK, PI.
Xét mp (P) và mp (ABCD) có
điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song
với AC cắt AB. BC tại E, F.
Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.

Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết diện của

hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’.
Giải:
Mặt phẳng (M, BD)
là (ABCD) còn mặt phẳng (M,
AC’) khó xác định hơn.
Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,
BD). (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến qua M và song song với
BD cắt AB. CB. CD lần lượt tại

O
I
P
F
E
K
N
M
C
A
B
D
S

N, F, E. (P) sẽ là mặt phẳng qua
E, F và song song với AC’ (trở
thành bài toán 1).
H
N
G

J
I
F
E
B
A
C
B'
D'
C'
A'
D
M

EF cắt AC tại I nên (P)  (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó
cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H.
Thiết diện là ngũ giác MNHJG.
Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi là mặt
phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt
phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA. OB. OE, H
là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng
(P) trong các trường hợp:
a. Qua F song song với B’E và A’O
b. Qua M song song với A’E và OH.
Giải:
a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua F và
song song với A’O khó xác định hơn.
Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ tại K.
(P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O.

Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được
' 2 2 'OO OI A J
nên
'A JIO
là hình bình
hành. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ thì d cắt OA.
AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA.
'AA
.
Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo giao tuyến
KQ // FN (Q thuộc B’A’). Thiết diện là ngũ giác FKQJM. (H1)

Q
J
K
I
H
F
E
M
A'
B'
O
B
A
O'

F
G
T

M
L
H
E
A'
B'
O
B
A
O'

H1
H2
b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua M và
song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M đường thẳng
song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E.
Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB).
Nối MT cắt AB tại G.
Thiết diện là tam giác MLG. (H2).

I.2.3. M  
1. Phƣơng pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì
phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P)

(R) = a’,a’ // a. a’ qua M.
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R).

Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
2. Ví dụ

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M thuộc cạnh
BC không trùng với B và C. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M
và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện là hình gì?
Giải:
Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD)  (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến MN // AB (NAD).
Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD)  (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao
tuyến NE // SA (ESD).
Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB)  (SAB) =
SB
Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến MF // SB (F
SC). Nối EF, ta được thiết diện là tứ giác MNEF.
Ta có (P) và (SCD) có MN // CD (CD // AB)
mà (P)  (SCD) = EF.
Suy ra EF // MN.
Thiết diện MNEF là hình thang.

F
M
E
A
D
C
S
B
N

Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’
sao cho
: ’ : ’AM MD D N NC
. Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua
MN và song song với mp(C’BD).
Giải:
Theo giả thiết:
AM D N AM MD AD
MD NC D N NC D C
   
'
' ' ' ' '

Theo định lý Talet đảo MN, AD’,
DC’ cùng song song với một mặt
phẳng (P) nên MN // (C’BD).
Ta có (ABCD) chứa M
và (ABCD)  (C’BD) = BD
Nên (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến ME // BD (E AB).
F
I
J
E
C
B
D
D'

A'
B'
C'
A
M
N

Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’)  (C’BD) = C’D nên (P) cắt (CDD’C’)
theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’).
Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’.
Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’.
Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’.
Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ.


I.3. Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc
I.3.1. (P) 
1. Phƣơng pháp
Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt phẳng qua M
song song với a và a’.
(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một đường
thẳng d thì a // (P) hoặc a

(P)).
2. Ví dụ
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam giác BCD. Dựng
thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB.
Giải:
Gọi I là trung điểm AB ta có SI 

AB (do tam giác SAB đều), BC 
AB suy ra (P) đi qua M song song
với BC, SI.
Xét mặt phẳng (P) và mặt phẳng
(ABCD) có M chung và cùng song
song với BC nên
   
P ABCD EF
với EF qua M và
song song với BC cắt AB. CD tại E,
F.
G
H
F
E
M
I
D
B
C
A
S

Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại H, trong
(SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G.
Thiết diện là tứ giác EFGH.

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với
đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.
Giải:

Kẻ AH  SC ta có AH  (P).
Ta có:
BD AC BD SA,

nên
BD SC

Vậy (P) chứa AH và song song
BD.
Gọi O là giao điểm AC và BD, E
là giao điểm của SO và AH.

M
N
E
O
C
A
D
B
S
H

Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song song
với BD cắt SD, SB tại M, N
Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.

Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB

= a. AA’ =
2a
, M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P)
qua M và vuông góc với A’B.

Giải:
Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân
tại C nên AB =
2a
. Tứ giác ABB’A’ là
hình vuông  AB’  A’B.
Gọi H là trung điểm AB  CH  AB
 CH  (ABB’A’)  CH  A’B.
Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.

Q
P
E
N
M
H
A
C
B
B'
C'
A'

Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng (ABC) qua
M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì

   
P ABC MN
.

Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt
BB’ tại P. Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được thiết diện là tứ
giác MNPQ.
I.3.2. l.
1. Phƣơng pháp
Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.
Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt phẳng (P) là
mặt phẳng (H, d).
2. Ví dụ
Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S
chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với
SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
Giải:
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có
SO ABC ()
khi đó
SO AB
, gọi M là
trung điểm AB do tam giác ABC đều nên
CM AB
vậy
AB SMC ()
.
Trong mp(SMC) kẻ MH  SC ta có
mặt phẳng (AHB)  SC.
Thiết diện là tam giác AHB.

Ta có :
1
.
2
AHB
S MH AB


.
H
O
M
A
C
B
S

Theo giả thiết AB = a. ta có
2
3a
MC 
,
3
3
a
OC 
,
SO = h,
2
2 2 2

3
a
SC SO OC h   


Ta có: MH.SC = SO.MC
2 2 2
2
3
3
2
23
3
a
h
ah
MH
a h a
h
  


.


2
22
13
2
43

AHB
ah
S MH AB
ha



.
.
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)

 (d

1. Phƣơng pháp
Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song với a. (Sử
dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc với (Q) thì hoặc (Q)
// d hoặc (Q)

d).
2. Ví dụ
Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên bằng
3
.
Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P)
chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải:
Gọi I là trung điểm BC, H là trung
điểm SI. Do hình chóp đều nên BC 
(SAI)
BC AH

.
Mặt khác:
3
3
2
AI AB
= SA
nên tam giác SAI cân ta có AH  SI vì
vậy AH  (SBC) nên (P) // AH.
(P) qua MN và song song AH.
P
Q
F
E
H
D
N
M
A
B
C
S


Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI. Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E đường thẳng
song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC). Xét mặt phẳng (P) và
(SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua F và song song
với BC cắt SB. SC tại Q, P.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.

Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB
= a. AA’ =
2a
, M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng thiết diện của lăng
trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (IKC).
Giải:
Ta tìm một đường thẳng vuông góc
(IKC).
Theo giả thiết:
 
' ' '
'
CI AB
CI ABB A CI A B
CI AA


   




Lại có: AA’ = AB =
2a

nên ABB’A’ là hình vuông nên
A B AB IK AB A B IK  ' ', / / ' '
suy ra
A’B  (IKC).
Vậy (P) chứa MN và song song với A’B.

E
H
G
I
K
N
M
A
C
B
B'
C'
A'

Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G chung, (P)
// A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H, nối NH cắt CB tại E,
nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE.

Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Hai
mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi F là trung điểm SA. M là một
điểm bất kỳ trên AD. (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với mặt phẳng (SAD).
Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Giải:

Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB),
(SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA
 (ABCD). Ta có:
 
AB AD
AB SAD

AB SA







Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song
song với AB.
Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M
chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường
thẳng và song song với AB cắt BC tại
N. (P)  (ABCD) = MN.
N
E
F
A
B
D
S
C
M


Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với AB cắt
SB tại E. Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.
 Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm được
cách dựng thiết diện. Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần phải thực hành
nhiều.

II. Các bài toán liên quan đến thiết diện

II.1. T
 .

1. Một số lƣu ý:
- Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết diện là tính
diện tích đa giác trong mặt phẳng. Vì vậy ta có thể áp dụng tất cả các phương
pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt phẳng để tính.
- Công thức diện tích tam giác:

   
11
sin
2 2 4
       
abc
S ah ab C pr p p a p b p c
R


- Công thức diện tích tứ giác bất kì ABCD:

 
1
. .sin , = ,
2
S AC BD AC BD


- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos.
- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp dụng các
phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacovxki
…dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình học…
- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a
i
, i = 1,2,3…
12
12
n
n
n
a a a
a a a
n
  



, đẳng thức khi a
1
= a
2
=…= a
n
.
2. Ví dụ

Ví dụ 21: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối xứng với

D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.
a. Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK)
b. Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a.
Giải:
a. Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Nối IJ cắt AC tại N, nối IK cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
b. Ta có M, N là trọng tâm các tam
giác ADK, ADJ nên
22
33
AN AC AB AM  

Suy ra MN // BC và
22
33
a
MN BC
.
Áp dụng định lí cosin cho tam giác
AIM:
IM
2
= IA
2
+ AM
2
– 2IA.AMcos60
0
H
M

N
I
B
C
D
K
J
A


Nên
13
6
a
IM IN
.
Gọi H là trung điểm MN ta có IH  MN
và IH =
2
a
.

Vậy S
IMN
=
2
1
26
a
IH MN .

Ví dụ 22: (Học viện quan hệ quốc tế năm 1999 khối D)
Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB. (P) là mặt phẳng qua M song song
với AC và BD.
a. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P)
b. Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi.
c. Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Giải:
a. Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa
M và AC, qua M kẻ đường thẳng và
song song với AC cắt BC tại N. Mặt
phẳng (ABD) chứa M và BD, qua M kẻ
đường thẳng và song song với BD cắt
AD tại Q tiếp tục quá trình được 2 giao
tuyến NP, QP thiết diện là hình bình
hành MNPQ.
N
P
Q
M
B
C
D
A


b. MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi MN = MQ.
MN // AC nên
MN MB AC

MN MB
AC AB AB
  

MQ // BD nên
MQ MA BD
MQ MA
BD AB AB
  