skkn phương pháp dựng thiết diện và các dạng toán trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU
TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU
***
***


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN
VÀ CÁC DẠNG TOÁN
LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN
Lĩnh vực: Toán học
Người viết: Nguyễn Ngọc Minh
Tổ: Toán- Tin
Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Siêu

PHẦN I: MỞ ĐẦU
TÊN ĐỀ TÀI:

 !"#$%&'
I. Lý do thực hiện đề tài
I.1. Cơ sở lý luận:
Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó
đối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng. Dạng toán liên
quan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi
đại học, cao đẳng hàng năm.
Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầu
người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh
hoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều.
I.2. Cơ sở thực tiễn

Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không
gian, cho rằng rất khó thực hiện được, bằng chứng khi các em đi thi đại học, cao
đẳng các em nói rằng bài toán hình không gian thường để cuối nếu có thời gian
thì làm còn không còn thời gian thì thôi.
Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự
liên hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành
khó đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học
chuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài
toán thiết diện, giúp các em định hướng được đường hướng giải cho dạng bài tập
này, tôi viết thành chuyên đề riêng về thiết diện và các dạng toán liên quan.
I.3. Khảo sát thực tế trước khi thực hiện đề tài:
Cho học sinh lớp 11 (48 em) làm bài tập sau:
Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a.
Qua AB dựng một mặt phẳng vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a
và h. (Đề thi ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
1
()*+, +/
+ 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH ⊥ SC, BK ⊥ SC rồi không biết
kết luận thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB.
+ 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH ⊥ SC (hoặc BH ⊥ SC) rồi khẳng định tam
giác AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tại
sao).
+ 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH ⊥ SC sau đó chứng minh ∆CHB = ∆CHA
(cgc) suy ra AH ⊥ SC thiết diện là tam giác AHB.
+ 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh
AB ⊥ (SMC) sau đó dựng MH ⊥ SC được thiết diện là tam giác AHB.
+01:
Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra mặt phẳng

phụ chứng minh AB
⊥
SC từ đó kẻ MH
⊥
SC suy ra thiết diện bởi vấn đề thiết
diện không được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh có định
hướng phát hiện vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về vấn đề
này).
Vì những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài này.
II. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
2. Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4. Phương pháp thống kê
III. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ.
Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện, các bài toán liên quan đến phân
chia khối đa diện…
IV. Bố cục đề tài
Đề tài gồm hai phần nội dung chính:
234/Cách dựng thiết diện
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
2
Ở phần này, tác giả tập trung phân tích phương pháp dựng thiết
diện trong trường hợp tổng quát, trong trường hợp có quan hệ song song,
quan hệ vuông góc. Phương pháp được thể hiện qua một số ví dụ chọn
lọc.
23.5/ Một số bài toán liên quan đến thiết diện.
Trong phần này, tác giả đi vào hai bài toán liên quan đến thiết diện:
- Tính diện tích thiết diện và bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của diện tích thiết diện.
- Tính tỉ số thể tích khối đa diện khi được phân chia bởi thiết diện.
Phần này dùng để dạy cho học sinh lớp 12.
V. Ứng dụng thực tế
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 11, 12 học sinh
ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi.
Thời gian nghiên cứu: 01 năm.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
3
PHẦN II: NỘI DUNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT
1. Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P). Phần mặt
phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P)
cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt).
2. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc
trùng với một trong hai đường thẳng ấy.
3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.
4. Các cách xác định mặt phẳng:
+ Biết ba điểm không thẳng hàng
+ Hai đường thẳng cắt nhau.
+ Một điểm nằm ngoài một đường thẳng.
+ Hai đường thẳng song song.
5. Một số lưu ý:
- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T.
- Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và
phần biện luận nếu có.
- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T
nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh

của T.
- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T.
- Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết
của đầu bài.
- Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là:
+ Tính diện tích thiết diện
+ Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ
nhất
+ Thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước
(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).
- Các ví dụ được đánh thứ tự liên tục từ đầu cho đến hết chuyên đề.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
4
B. NỘI DUNG CHÍNH
I. Một số phương pháp dựng thiết diện
66789:;<=>?@AB5/ .C5DBEF:G.5
CA:=H.+>8=BIC5DBJB>G5BICA:K6
1. Phương pháp giải
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T
(thường được gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao
điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm
chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết
diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD).
Gọi I, J là trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt
phẳng (AIJ).
Giải:
Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm
không thẳng hàng A, I, J. Có 2 giao

tuyến gốc là AI, IJ.
Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài
IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung
của (AIJ) và (SAD).
Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ
là các đoạn giao tuyến tiếp theo.
Thiết diện là tứ giác AIJF.
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn
thẳng AD, AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’).
Giải:
Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các
cạnh hình bình hành ABCD.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
5
Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt
BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J.
Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.
Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó
thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các
tam giác DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
(MNP).
Giải:
Chưa có giao tuyến gốc giữa
mặt phẳng cắt và tứ diện. Mặt
phẳng(MNP) có điểm chung P với
mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm
chung nữa ta tìm giao điểm O của
MN với (ABC). Kéo dài DM cắt AB
tại M

1
, kéo dài DN cắt BC tại N
1
mặt phẳng (DM
1
N
1
) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M
1
N
1
nên O là giao
điểm của MN và M
1
N
1
⇒ OP là giao tuyến gốc. Nối OP cắt AB. BC tại E, F.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
6
Hình a
Tùy theo vị trí OP trong tam
giác ABC ta có thiết diện là tứ
giác EFIK (hình a) hoặc tam giác
EFI (hình b)
Khi MN // M
1
N
1
thì giao tuyến
gốc là đường thẳng qua P song

song với M
1
N
1
.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường
hợp:
a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD.
b. Đường thẳng d đi qua điểm C.
Giải:
a) d là giao tuyến gốc ta tìm
thêm giao điểm của d với các
cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F
là giao điểm của AB. AC, AD
với d.
Xét (M, d) và (SAB) có M, H
chung nối MH cắt SB tại N ta có
một đoạn giao tuyến MN. Tương
tự nối ME cắt SC tại P, nối MF
cắt SD tại Q.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
7
Hình b
b) Tương tự phần a. lúc này
E C≡
thiết diện là tứ giác
MNCQ.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các
tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng (MNE).
Giải:
Gọi I là trung điểm SA.
Ta có M thuộc BI, N thuộc DI.
Từ
1
/ /
3
IM IN
MN BD
IB ID
= = ⇒
.
Xét mặt phẳng (MNE) và mặt
phẳng (ABCD) có E chung và
MN // BD nên (MNE) cắt
(ABCD) theo giao tuyến EF //
BD (F ∈ CD).
Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm
chung của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,
nối KE, PF. Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK.
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần
lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng
song song với hai đường thẳng đó.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
8
I.2.Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song
666789:;<C5*+.?LG->->LM5CA:?=N>.+LM5

CA:O6
1. Phương pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’
cắt d và d’ // l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của
d và (Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi
đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’.
2. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm
thuộc cạnh SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và
song song với BD.
Giải:
Chọn mp (SBD) chứa BD. Gọi O là
giao điểm AC và BD. Đường thẳng AH
cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH
và SO. Trong mp (SBD) kẻ qua I đường
thẳng song song với BD, gọi M, N là giao
điểm của đường thẳng đó và SB. SD. Mặt
phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN.
Thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh
CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC.
a. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P).
b. Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành.
Giải:
a. Chọn mặt phẳng (ABC) ⊃ BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC).
Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
9
(P) và (BCD) có N chung và chứa

hai đường thẳng song song nên
(P) ∩ (BCD) theo giao tuyến NF //
BC (F ∈ BD), nối MF, EN.
Thiết diện là tứ giác MENF.
b. Theo cách dựng thiết diện ở phần
a) thiết diện là hình thang MENF
(ME // NF) ta có
1
2
ME BC=
nên để
MENF là hình bình hành thì
1
2
NF BC=
hay N là trung điểm CD.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC.
Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với
AD.
Giải:
H.1 H.2
Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ. Ta có mặt
phẳng (IAD) chứa G và AD // (P) ⇒ (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và
song song với AD cắt AI, ID tại M và N.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
10
Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.
nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại
nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK.

Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.
666789:;<C5*+.BIC5DB7->->LM5.5CA:=N>
.+?LGO6
1. Phương pháp
Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một
đường thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng
chứa hai đường thẳng vừa dựng.
2. Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng
tâm tam giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M
song song với SB. AC.
Giải:
Gọi O là giao điểm AC và
BD. Ta có trọng tâm M thuộc
SO. Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)
trong mp này kẻ qua M đường
thẳng song song với SB cắt SD,
DB tại N, K.
Mặt phẳng (M, AC) là mặt
phẳng (SAC) nên qua M kẻ
đường thẳng song song với AC cắt SA. SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI.
Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy
(ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB. BC tại E, F.
Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
11
Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết
diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’.
Giải:
PQN/Mặt phẳng (M, BD) là

(ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’)
khó xác định hơn.
Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,
BD). (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến qua M và song song với BD
cắt AB. CB. CD lần lượt tại N, F, E.
(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và
song song với AC’ (trở thành bài
toán 1).
EF cắt AC tại I nên (P) ∩ (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với
AC’ nó cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H.
Thiết diện là ngũ giác MNHJG.
RS/Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d)
(gọi là mặt phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song
với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA.
OB. OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng
trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
a. Qua F song song với B’E và A’O
b. Qua M song song với A’E và OH.
Giải:
a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng
qua F và song song với A’O khó xác định hơn.
Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt
O’B’ tại K. (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
12
Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được
' 2 2 'OO OI A J= =
nên

'A JIO
là hình bình hành. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song
song OA’ thì d cắt OA. AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA.
'AA
.
Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo
giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’). Thiết diện là ngũ giác FKQJM. (H1)
H1 H2
b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua
M và song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua
M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và
song song với A’E.
Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB).
Nối MT cắt AB tại G.
Thiết diện là tam giác MLG. (H2).
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
13
66T6789:;<*+.C5DB7LG->->LM5B89:;$<6
1. Phương pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song
song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P)
∩
(R) = a’,a’ // a. a’ qua M.
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R).
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
2. Ví dụ
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M

thuộc cạnh BC không trùng với B và C. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện là hình gì?
Giải:
Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) ∩ (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo
giao tuyến MN // AB (N∈AD).
Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) ∩ (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo
giao tuyến NE // SA (E∈SD).
Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB)
∩ (SAB) = SB
Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến
MF // SB (F ∈SC). Nối EF, ta được thiết
diện là tứ giác MNEF.
Ta có (P) và (SCD) có MN // CD
(CD // AB) mà (P) ∩ (SCD) = EF.
Suy ra EF // MN.
Thiết diện MNEF là hình thang.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
14
Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc
cạnh D’C’ sao cho
: ’ : ’AM MD D N NC=
. Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi
mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD).
Giải:
Theo giả thiết:
AM D N AM MD AD
MD NC D N NC D C
= ⇒ = =
'
' ' ' ' '

Theo định lý Talet đảo MN, AD’,
DC’ cùng song song với một mặt
phẳng (P) nên MN // (C’BD).
Ta có (ABCD) chứa M
và (ABCD) ∩ (C’BD) = BD
Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến
ME // BD (E ∈AB).
Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’) ∩ (C’BD) = C’D nên (P) cắt
(CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J ∈DD’).
Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’.
Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’.
Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’.
Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
15
I.3. Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc
6T66789:;<C5*+.BIC5DB7LGL+FU=LM5BICA:?6
1. Phương pháp
Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt
phẳng qua M song song với a và a’.
(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một
đường thẳng d thì a // (P) hoặc a
⊂
(P)).
2. Ví dụ
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam
giác BCD. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông
góc với AB.
Giải:

Gọi I là trung điểm AB ta
có SI ⊥ AB (do tam giác SAB
đều), BC ⊥ AB suy ra (P) đi
qua M song song với BC, SI.
Xét mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (ABCD) có M chung
và cùng song song với BC nên
( ) ( )
P ABCD EF
∩ =
với EF
qua M và song song với BC
cắt AB. CD tại E, F.
Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại
H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G.
Thiết diện là tứ giác EFGH.
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông
góc với đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc với SC.
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
16
Kẻ AH ⊥ SC ta có AH ⊂ (P).
Ta có:
BD AC BD SA⊥ ⊥,

nên
BD SC⊥
Vậy (P) chứa AH và song song BD.
Gọi O là giao điểm AC và BD, E là

giao điểm của SO và AH.
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SD, SB tại M, N
Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ =
2a
, M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt
bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B.
Giải:
Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân
tại C nên AB =
2a
. Tứ giác ABB’A’ là
hình vuông ⇒ AB’ ⊥ A’B.
Gọi H là trung điểm AB ⇒ CH ⊥ AB
⇒ CH ⊥ (ABB’A’) ⇒ CH ⊥ A’B.
Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.
Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng
(ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì
( ) ( )
P ABC MN∩ =
.
Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với
AB’ cắt BB’ tại P. Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được
thiết diện là tứ giác MNPQ.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
17
I.3.2. 789:;<C5*+.BICA:?LGL+FU=LM5BICA
:O.

1. Phương pháp
Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.
Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt
phẳng (P) là mặt phẳng (H, d).
2. Ví dụ
Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC
đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng
(P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
Giải:
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có
SO ABC⊥ ( )
khi đó
SO AB⊥
, gọi M là
trung điểm AB do tam giác ABC đều nên
CM AB⊥
vậy
AB SMC⊥ ( )
.
Trong mp(SMC) kẻ MH ⊥ SC ta có mặt
phẳng (AHB) ⊥ SC.
Thiết diện là tam giác AHB.
Ta có :
1
.
2
AHB
S MH AB
∆
=

.
Theo giả thiết AB = a. ta có
2
3a
MC =
,
3
3
a
OC =
,
SO = h,
2
2 2 2
3
a
SC SO OC h= + = +
Ta có: MH.SC = SO.MC
2 2 2
2
3
3
2
2 3
3
a
h
ah
MH
a h a

h
⇒ = =
+
+
.

2
2 2
1 3
2
4 3
AHB
a h
S MH AB
h a
∆
= =
+
.
.
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)

Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
18
6T6T6789:;<C5*+.CA:?LGL+FU=LM5B89:;$<
CV=>;?Q5U=LM5;$<<
1. Phương pháp
Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song
với a. (Sử dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc
với (Q) thì hoặc (Q) // d hoặc (Q)

⊃
d).
2. Ví dụ
Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên
bằng
3
. Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt
bởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải:
Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm
SI. Do hình chóp đều nên BC ⊥ (SAI)
BC AH⇒ ⊥
.
Mặt khác:
3
3
2
AI AB= =
= SA nên
tam giác SAI cân ta có AH ⊥ SI vì vậy
AH ⊥ (SBC) nên (P) // AH.
(P) qua MN và song song AH.
Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI. Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E
đường thẳng song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC).
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo
giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB. SC tại Q, P.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,
CA = CB = a. AA’ =
2a

, M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng
thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt
phẳng (IKC).
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
19
Ta tìm một đường thẳng vuông góc (IKC).
Theo giả thiết:
( )
' ' '
'
CI AB
CI ABB A CI A B
CI AA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Lại có: AA’ = AB =
2a
nên ABB’A’ là hình vuông nên
A B AB IK AB A B IK⊥ ⇒ ⊥' ', / / ' '
suy ra
A’B ⊥ (IKC).
Vậy (P) chứa MN và song song với A’B.
Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G
chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H,

nối NH cắt CB tại E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE.
Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi F là trung điểm
SA. M là một điểm bất kỳ trên AD. (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với
mặt phẳng (SAD). Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Giải:
Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB),
(SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥
(ABCD). Ta có:
( )
AB AD
AB SAD
AB SA
⊥

⇒ ⊥

⊥

Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song
song với AB.
Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M
chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường
thẳng và song song với AB cắt BC tại N.
(P) ∩ (ABCD) = MN.
Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với
AB cắt SB tại E. Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.
PQN/ Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm
được cách dựng thiết diện. Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần
phải thực hành nhiều.

Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
20
II. Các bài toán liên quan đến thiết diện
66 W?5XW=5)?5XQ=CYLYZWB89:=HCD5)?5X=U
?5XW=OM4[4 .
1. Một số lưu ý:
- Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết
diện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng. Vì vậy ta có thể áp dụng
tất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt
phẳng để tính.
- Công thức diện tích tam giác:

( ) ( ) ( )
1 1
sin
2 2 4
= = = = = − − −
abc
S ah ab C pr p p a p b p c
R
- Công thức diện tích tứ giác bất kì ABCD:

( )
·
1
. .sin , = ,
2
=S AC BD AC BD
α α
- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cosϕ.

- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp
dụng các phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức
Cauchy, Bunhiacovxki …dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình
học…
- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a
i
, i = 1,2,3…
1 2
1 2
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥


, đẳng thức khi a
1
= a
2
=…= a
n
.
2. Ví dụ
Ví dụ 21: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối
xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.
a. Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK)

b. Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a.
Giải:
a. Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Nối IJ cắt AC tại N, nối IK cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
21
b. Ta có M, N là trọng tâm các tam
giác ADK, ADJ nên
2 2
3 3
AN AC AB AM= = =
Suy ra MN // BC và
2 2
3 3
a
MN BC= =
.
Áp dụng định lí cosin cho tam giác AIM:
IM
2
= IA
2
+ AM
2
– 2IA.AMcos60
0
Nên
13
6
a

IM IN= =
.
Gọi H là trung điểm MN ta có IH ⊥ MN và
IH =
2
a
.

Vậy S
∆
IMN
=
2
1
2 6
a
IH MN =.
Ví dụ 22: (Học viện quan hệ quốc tế năm 1999 khối D)
Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB. (P) là mặt phẳng qua M
song song với AC và BD.
a. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P)
b. Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi.
c. Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Giải:
a. Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M
và AC, qua M kẻ đường thẳng và song
song với AC cắt BC tại N. Mặt phẳng
(ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường
thẳng và song song với BD cắt AD tại Q
tiếp tục quá trình được 2 giao tuyến NP,

QP thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
22
b. MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi MN = MQ.
MN // AC nên
MN MB AC
MN MB
AC AB AB
= ⇒ =
MQ // BD nên
MQ MA BD
MQ MA
BD AB AB
= ⇒ =
⇒
( )
AC BD MA AC
MN MQ MB MA
AB AB MB BD
= ⇔ = ⇔ = *
Vậy MNPQ là hình thoi khi M thỏa mãn (*).
c. Do MN // AC, MQ // BD nên góc giữa MN, MQ không đổi, giả sử là α
MNPQ
2
BD.AC
S = MN.MQ.sinα = MA.MB.sinα
AB
.
Để diện tích thiết diện lớn nhất thì tích MA.MB lớn nhất.
Mà MA + MB = AB không đổi nên tích đó lớn nhất khi MA = MB hay

M là trung điểm AB.
Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là
tam giác vuông tại A. M là điểm bất kì thuộc AD (khác A. D). Xét mặt phẳng
(P) qua M song song SA. CD.
a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a. b với AB = a. SA = b và M là trung
điểm AB.
Giải:
a. Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung,
(P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song
song với SA cắt SD tại Q. Tương tự qua M kẻ
đường thẳng và song song với CD cắt BC tại
N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD
cắt SC tại P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ.
Có MN //PQ // CD // AB. MQ // SA. SA ⊥ AB
nên thiết diện là hình thang vuông tại M, Q.
b.
MNPQ
1
S = (MN + PQ).MQ
2
có MN = a. MQ =
2
a
= PQ nên
3
8
MNPQ
ab
S =

.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
23
Ví dụ 24: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a.
Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi
qua M và vuông góc với AA’. Đặt AM = x (
3 3
3 2
a a
x< <
).
a. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
b. Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x.
Tìm x để thiết diện đó lớn nhất.
Giải:
a. Theo giả thiết M thuộc OA’.
Ta có SO ⊥ (ABC)
⇒ SO ⊥ AA’, tam giác ABC đều
nên BC ⊥ AA’. Vậy (P) qua M
song song với SO và BC.
Xét (P) và (ABC) có M chung.
Do (P) // BC nên kẻ qua M
đường thẳng song song với BC cắt
AB, AC tại E, F.
Tương tự kẻ qua M đường thẳng
song song với SO cắt SA’ tại N, qua
N kẻ đường thẳng song song với BC
cắt SB, SC tại H, Q.
Ta có thiết diện là tứ giác EFGH.
b. Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang

cân đáy HG, EF. Khi đó:
EFGH
1
S = (EF + GH).MN
2
Ta có MN =
2 3
3
x
và
( )
2 3
HG SN OM
HG x a
BC SA OA
= = ⇒ = −
' '

( )
2 3 2 3
MN MA
MN a x
SO OA
= ⇒ = −
'
'
( ) ( )
EFGH
1 2
S = (EF + GH).MN = 4 3 3 3 2 3

2 3
x a a x− −
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Minh
24