Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Hệ thức lượng trong tam giác

A. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: ĐẶNG THỊ HỒNG VÂN.
2. Ngày tháng năm sinh: 01 - 05 - 1978.
3. Giới tính: Nữ.
4. Địa chỉ: 1/4, Tổ 24, Kp 4, P. Bửu Long, Tp Biên Hòa.
5. Điện thoại: 0613 951729.
6. Chức vụ: Giáo viên.
7. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
1. Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học.
2. Năm nhận bằng: 2000.
3. Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
1. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán.
2. Số năm kinh nghiệm: 11 năm.
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
B. Đề tài
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và
quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Mặt khác, nó còn gắn liền
với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản, … trong
một tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận.
Trong chương trình toán học lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu cho học
sinh một số bài toán khá thú vị cho thấy ứng dụng thực tế của hệ thức lượng
trong tam giác. Đồng thời sách giáo khoa cũng cho học sinh giải một số bài
tập về giải tam giác. Tuy nhiên những bài tập đó chủ yếu chỉ rèn cho học
sinh khả năng sử dụng máy tính cầm tay, không có nhiều dạng bài tập đòi
hỏi khả năng tư duy, suy luận. Bên cạnh đó, với thời lượng học toán 7 tiết/
1 tuần ở học kỳ II, tôi tin rằng việc cung cấp cho học sinh thêm một số bài

tập về “ Hệ thức lượng trong tam giác” là điều cần thiết để các em trao dồi,
rèn luyện thêm những kỹ năng, khả năng suy luận toán học. Đó cũng là lý
do mà tôi chọn viết chuyên đề này.
Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý
thầy cô đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn. Tôi
xin chân thành cảm ơn.
Người viết chuyên đề
Đặng Thị Hồng Vân
Trang 2
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH; gọi BH, CH lần lượt là hình
chiếu của AB và AC trên cạnh huyền BC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, AH = h,
CH = b′, BH = c′. Ta có các hệ thức sau:
1.
2 2 2
a b c= +
2.
2 '
.b b a
=
;
2 '
.c c a
=
3. b.c = a.h
4.
2

' 'h b c=
5.
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
6.
sin
b
B
a
=
;
cos
c
B
a
=
;
tan
b
B
c
=
;
cot
c
B
b
=

7.
sin
c
C
a
=
;
cos
b
C
a
=
;
tan
c
C
b
=
;
cot
b
C
c
=
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a và AC = b
1. Định lý côsin :
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
2 2 2

2 .cosb a c ac B= + −
2 2 2
2 .cosc a b ab C= + −
2. Định lý sin :
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC)
Trang 3
A
c
b
c’ b’
h
H
C
B
a
B
A
C
c
b
a
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác

3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến :
Cho tam giác ABC, gọi m
a
, m
b
, m
c
lần lượt là độ dài các đường trung tuyến
ứng với các cạnh a, b, c. Ta có:
2 2 2
2
2 4
2 2 2
2
2 4
2 2 2
2
2 4
b c a
m
a
a c b
m
b
a b c
m
c
+
= −
+

= −
+
= −
4. Công thức tính diện tích :

1 1 1
. . .
2 2 2
S a h b h c h
a c
b
= = =

1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C ac B bc A= = =

4
abc
S
R
=
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác )

S pr=
( với
2
a b c
p

+ +
=
; r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác )

( )( )( )S p p a p b p c= − − −
(công thức Hê rông)
Trang 4
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
B. BÀI TẬP
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, hai trung tuyến AM = 2 và BN = 3. Tính
các cạnh của tam giác ABC .
Giải
Vì
∆
ABC vuông tại A, nên:
BC = 2AM = 4
Ta có: BN
2
= AB
2
+ AN
2

⇔
9 = AB
2
+
2
1

4
AC

⇔
36 = 4AB
2
+
2
AC
(1)
Mặt khác: BC
2
= AB
2
+ AC
2

⇔
16 = AB
2
+ AC
2
(2)
Từ (1)và (2), ta được: AB =
20
3
và AC =
28
3
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC,

CA, AB và EM là đường cao của tam giác EBC. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2
5BE CF AD+ =
b)
2 2 2
MB MC AB− =
Giải
a)
2 2
BE CF+
=
2 2 2 2
AB AE AC AF+ + +
=
2 2 2 2
1 1
4 4
AB AC AC AB+ + +
=
2 2
5
( )
4
AB AC+
=
2
5
4
BC

=
2
5AD
(đpcm)
b)
2 2
MB MC−
=
2 2 2 2
BE EM EC EM− − +
=
2 2
BE EC−
=
2 2
BE AE−
=
2
AB
(đpcm)
Trang 5
C
A
B
N
M
A
C
B
E

D
F M
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3: Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a, BC = 4a,
·
0
90BDC =
. Tính AB, CD và AC.
Giải
Vẽ DH ⊥ BC ( H ∈ BC)
Ta có ADHB là hình chữ nhật, nên:

BH = AD = 3a
AB = DH



∆ BCD vuông tại D, nên:
( )
2
.DH HB HC HB BC BH= = −
=
( )
2
3 4 3 3a a a a− =
⇒ DH =
3a
⇒ AB = DH =
3a
Ta lại có:

2 2
. .4 4CD CH CB a a a
= = =
⇒ CD = 2a
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC =
2 2 2 2
3 16 19AB BC a a a+ = + =
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh
rằng:
2 2 2
1 1 1
4BK BC AH
= +
Giải
Trong tam giác vuông AHC, dựng đường cao HI
Tam giác vuông BKC có:
//HI BK
HB HC


=

⇒ HI =
1
2
BK (1)
Ta lại có:
2 2 2
1 1 1

HI AH HC
= +
(2)
( HI là đường cao của tam giác vuông AHC)
Từ (1) và (2) ⇒
2 2
2
1 1 1
4 4
BK BC
AH
= +
⇒
2 2 2
1 1 1
4BK BC AH
= +
Trang 6
A
B
D
C
H
A
B
H
C
K
I
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ vuông tại A và A’ và đồng dạnh với
nhau. Chứng minh rằng:
a)
' ' 'aa bb cc= +
b)
1 1 1
' ' 'hh bb cc
= +
Giải
a) Do ∆ABC ∼ ∆A’B’C’, nên:
sinα =
'
'
c c
a a
=
cosα =
'
'
b b
a a
=
⇒
( )
2 2
' ' ' sin cos 'cc bb aa aa
α α
+ = + =
Vậy:
' ' 'aa bb cc= +

b) Do ∆ABC ∼ ∆A’B’C’, nên:
sinα =
'
'
h h
b b
=
cosα =
'
'
h h
c c
=
⇒
2 2
1 1 sin cos 1
' ' ' ' 'bb cc hh hh hh
α α
+ = + =
Vậy:
1 1 1
' ' 'hh bb cc
= +
Trang 7
A
B
α
α
C
H

h
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác trong của góc
ˆ
B
(D
∈
AC). Tính chu vi của tam giác trong mỗi trường hợp sau:
a) AD = 4, DC = 5
b) AD = 1, BD =
10
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , có
2
3
AB
AC
=
, đường cao AH = 6. Tính
HB, AB và AC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 36. Tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp tam giác với cạnh huyền chia cạnh huyền làm hai đoạn theo tỉ số
2
3
.
Tính độ dài các cạnh.
Bài 4: Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp
đường tròn đường kính 10. Tính các cạnh của tam giác này.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong của góc A chia
cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng

15
7
và
20
7
. Tính các cạnh góc
vuông và đường cao AH .
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, từ A kẻ đường bất kỳ cắt BC và CD lần lượt tại E
và F. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
AE AF AB
+ =
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh huyền BC.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2MB MC MA+ =
.
Bài 8: Cho tam giác ABC, có A, B, C là các góc nhọn. Gọi AA’là đường cao hạ
từ A, H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC
a) Chứng minh: tanB. tanC =
'
'
AA
HA
b) Chứng minh: HG // BC
⇔
tanB.tanC = 3
Trang 8
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a và Â =
α
a) Tính BC theo a và
α
.
b) Gọi r là bán kínnh đường tròn nội tiếp
∆
ABC . CM:
.sin
2(1 sin )
2
a
r
α
α
=
+
Giải
a)
2 2 2
2 . .cosBC AB AC AB AC A= + −
=
2 2 2
2 osa a a c
α
+ +
=
2
2 (1 cos )a

α
−
b) Ta có: BC = 2BH = 2a
sin
2
α
Diện tích
∆
ABC là S =
2
1
.sin
2
a
α
Mặt khác: S = p.r
Do đó: r =
S
p
=
2
1
.sin
2
2 .sin
2
a
a a a
α
α

+ +

=
2
1
.sin
2
2 (1 sin )
2
a
a
α
α
+
=
.sin
2(1 sin )
2
a
α
α
+
(đpcm)
Bài 2: Cho góc
·
0
60xOy =
. Từ điểm M trong góc
·
xOy

, ta dựng MA
⊥
Ox và
MB
⊥
Oy. Biết AB = 5. Tính OM.
Giải
Vì MA
⊥
Ox và MB
⊥
Oy
Nên tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM
Do đó
∆
OAB nội tiếp đường tròn đường kính OM
Áp dụng định lý sin cho
∆
OAB, ta có:
0
sin 60
AB
OM=

⇒

5 10
3 3
2
OM = =

Trang 9
A
B
C
H
O
y
x
M
A
B
60
0
5
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
( )
2 2 2 2
2AC BD AD AB+ = +
Giải
Áp dụng định lý côsin cho ∆ACD, ta có:
2 2 2
2 . .cosAC DA DC DA DC D
= + −
Áp dụng định lý côsin cho ∆BC, ta có:
2 2 2
2 . .cosBD AB AD AB AD A
= + −
=
2 2

2 . .cosDC AD DC AD D
+ +
( vì AB = DC và cosD = -cosA )
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, cho AB = c, AC = b; r là bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác ABC và
a
l
là độ dài đường phân giác trong của góc A.
a) Chứng minh rằng:
2
a
bc
l
b c
=
+
b) Chứng minh rằng:
( )
2 2
1
2
r b c b c
 
= + − +
 
c) Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa
·
0
60BAM =
. Chứng minh rằng:

2
3
bc
AM
b c
=
+
.
Giải
a) Ta có:
ABC ABD ACD
S S S= +
⇔
0 0
1 1 1
. . .sin 45 . .sin 45
2 2 2
b c AB AD AC AD= +
⇔
1 1
. . . . .
2 2
a a
b c c l b l= +
⇔
( )
1
.
2
a

b c c b l= +
⇔
( )
2
a
bc
l
b c
=
+
(đpcm)
b) Ta có:
.
2
ABC
a b c
S r
+ +
=
⇔
2 2
1
.
2 2
b c b c
bc r
+ + +
=
⇒
2 2

bc
r
b c b c
=
+ + +
=
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
bc b c b c
b c b c
 
+ − +
 
+ − +
=
( )
( )
2 2
2 2
1
2 2
bc b c b c
b c b c
bc
 
+ − +

 
 
= + − +
 
Trang 10
A
C
D
B
A
B
l
a
C
M
D
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
c) Ta có:
ABC ABM ACM
S S S= +
⇔
0 0
1 1 1
. . .sin 60 . .sin30
2 2 2
b c AB AM AC AM= +
⇔
3 1
. . . . .
2 2

b c c AM b AM= +
⇔
( )
2 . 3.b c c b AM
= +
⇔
2
3
bc
AM
b c
=
+
(đpcm)
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 3, c = 2. Gọi M là trung điểm của AB.
Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM.
Giải
Xét tam giác ABC, ta có:
2 2 2
2
2 4
b a c
CM
+
= −
=
9 16 4 23
2 4 2
+
− =

⇒ CM =
23 46
2 2
=
Mặt khác
2 2 2
16 4 9 11
cos
2 16 16
a c b
B
ac
+ − + −
= = =
⇒
2
121
sin 1 cos 1
256
B B
= − = −
=
135 3 15
256 16
=
Áp dụng định lý sin cho tam giác BCM, ta có:

2
sin
CM

x
B
=
⇒
46
4 46
2
.
2sin 3 15
3 15
2.
16
CM
x
B
= = =
Bài 6: Ba cạnh của một tam giác có số đo là :
2
1x x+ +
; 2x + 1;
2
1x −
a) Tìm x để tồn tại tam giác như trên
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc là 120
0
.
Trang 11
O
M
B

C
A
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Giải
a) Để tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán, điều kiện là:
2
2 2
2
2 2
2 1 0
1 0
3 2 1
2 2 1
2 1
x
x
x x x
x x x
x x x x
+ >


− >


+ + > −


+ > +



+ > + +

⇔
1
2
1 1
1
1
1
2
1
x
x hay x
x
x hay x
x

> −


< − >


>



< − >



>

⇔ x > 1
Vậy: Khi x = 1 thì tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
b) Đặt a =
2
1x x+ +
b =
2
1x −
c = 2x + 1
Ta có: cosA =
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2 2 2
2
1 2 1 1
2 .
2 1 . 2 1
x x x x
b c a
b c
x x

− + + − + +
+ −
=
− +
=
( )
( )
3 2
2
2 2 1
2 1 . 2 1
x x x
x x
− − + +
− +
=
( )
( )
( )
( )
2
2
2 1 1
1
2
2 2 1 1
x x
x x
+ −
= −

+ −
⇒ Â = 120
0
.
Bài 7: Cho tam giác ABC có cạnh a = 9, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC
tại D sao cho AD = DC, cosC =
2
3
.
a) Đặt AD = x. Tính b, c theo x.
b) Suy ra giá trị của b và c.
Giải
a) Đường tròn tâm O nội tiếp ∆ABC và tiếp xúc
với cạnh BC tại D, nên:
x =
2
a b c+ +
- c
⇒ b – c = 2x – a
⇒ b – c = 2x – 9 (1)
Vì AD = CD, nên ∆ADC cân tại D
Mà DH là đường trung tuyến (H là trung điểm của AC) ⇒ DH ⊥ AC
Trang 12
x
x
H
D
O
A
B

C
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Tam giác CDH vuông tại H, có:
cosC =
2.
CH b
CD x
=
⇒
2
2. 3
b
x
=
⇒ b =
4
3
x
(2)
Thay (2) vào (1), ta được c = 9 -
2
3
x
b) Áp dụng định lý côsin cho ∆ABC, ta có:

2 2 2
2 . .cosc a b a b C= + −
⇔
2
2

2 16 4 2
9 81 2.9. .
3 9 3 3
x x x
 
− = + −
 ÷
 
⇔
2 2
4 16
81 12 81 16
9 9
x x x x
− + = + −
⇔
2
12 36 0x x
− =
⇔
0
3
x
x
=


=

Vậy: b = 4 và c = 7.

Bài 8: CMR với mọi tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện
2 2 2
a b c+ ≤
,
ta luôn có :
0,4 0,5
r
h
< <
trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là dộ dài
đường cao hạ xuống cạnh c.
Giải
Diện tích của tam giác: S =
1 1
( ). .
2 2
a b c r c h+ + =
⇒

r c
h a b c
=
+ +
Vì a + b > c, nên
r c
h a b c
=
+ +
<
0,5

c
c c
=
+
(1)
Mặt khác:
2 2 2
2 2
2
c a b
a b ab

≥ +


+ ≥



⇒

2 2 2 2 2
2 2 2 2c a b a b ab≥ + ≥ + +
⇒

2 2 2
2 2c a b ab≥ + +
⇒

2 2

2 ( )c a b≥ +
⇒

2c a b≥ +
Do đó:
r c
h a b c
=
+ +
1
2 1 0,4
2 2 1
c
c c
≥ = = − >
+ +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
0,4 0,5
r
h
< <
Trang 13
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 9: Chứng minh công thức Hê rông
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
trong đó S là
diện tích , a, b, c là ba cạnh của tam giác và
2
a b c

p
+ +
=
.
Giải
Ta có
2
a b c
p
+ +
=
⇒ p – a =
2
b c a+ −
p – b =
2
a c b+ −
p – c =
2
a b c+ −
Do đó: p(p – a)(p – b)(p – c) =
2
a b c+ +
.
2
b c a+ −
.
2
a c b+ −
.

2
a b c+ −
=
1
16
( )
b c a+ +
.
( )
b c a+ −
.
( )
a c b+ −
.
( )
a c b− +
=
1
16
( )
2
2
b c a
 
+ −
 
.
( )
2
2

a c b
 
− −
 
=
1
16
( )
2 2 2
2b c a bc+ − +
.
( )
2 2 2
2a b c bc− − +
=
1
16
( )
2 .cos 2bc A bc
+
( )
2 .cos 2bc A bc
− +
=
1
16
( )
2 1 cosbc A
+
( )

2 1 cosbc A
−
=
1
4

( )
2 2 2
. 1 cosb c A−
=
2
1
. .sin
2
b c A
 
 ÷
 
= S
2

Vậy:
( )( )( )S p p a p b p c= − − −

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC biết:
a)
2 3a =
; b =
3 2

; c =
3 3+
b)
6a =
; b =
2 6
; c =
3 2 6−
Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh a = 6, b = 7, c = 8. Chỉ áp dụng định lý côsin
một lần, chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.
Bài 3: Cho tam giác ABC . Tính độ dài AC, biết:
a)
0
ˆ
120B =
, AB = 6, BC = 10.
b) Â = 60
0
, AB = 8, BC = 13.
Trang 14
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 4: Cho tam giác ABC, biết  = 120
0
, cạnh BC = 13 và AB + AC = 15. Tính
AB và AC.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm của AC và BD, M là trung
điểm của AB. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác OMC.
Bài 6: Tính góc  của tam giác ABC, biết ba cạnh của nó thỏa:
a)
2 2 2 2

( ) ( )b b a c a c− = −
b)
3 3 3
2
b c a
a
b c a
+ −
=
+ −
Bài 7: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần
lượt tại M, D, N. Biết AN = 2, CN = 3,
µ
0
60C =
. Tính các cạnh của tam giác.
Bài 8: Gọi B là điểm cố định nằm trong (O,R). Hai dây AB và CD di động luôn
qua P và vuông góc với nhau.
a) CMR: AC
2
+ BD
2
= const
b) CMR: PA
2
+ PB
2
+PC
2
+ PD

2
= const
c) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh OI =
1
2
BD
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , hai cạnh góc vuông là b và c. M là một
điểm trên cạnh BC sao cho
·
BAM
α
=
. CMR:
.
.cos .sin
b c
AM
b c
α α
=
+
Bài 10: Cho tam giác ABC có
0
ˆ
60B =
, R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính
bán kính x của đường tròn ngoại tiếp
∆
ACI.
Bài 11: Cho tam giác ABC có các đường cao

1
3
a
h =
,
1
4
b
h =
,
1
5
c
h =
. Tính diện
tích tam giác ABC.
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và trung tuyến AM =
c
a
. Chứng
minh rằng:
a)
2 2 2
2b a c= −
b)
2 2 2
sin 2sin sinA B C
= +
Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc tạo bởi hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD là S =

1
2
AC.BD.sinα.
b) Nêu kết quả trong trường hợp AC và BD vuông góc nhau.
Trang 15
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 14: Chứng minh trong tam giác ABC, ta có:
a)
2 2 2
cot cot cot .
a b c
A B C R
abc
+ +
+ + =
b)
( )
2 2
cos cosb c a b C c B− = −
c)
( )
( )
2 2
cos cos cosb c A a c C b B− = −
d)
sin sin .cos sin .cosC A B B A= +
Bài 15: Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của ba cạnh của tam giác ABC. Tam giác
ABC là tam giác gì nếu:
a)
cos cosa B b A=

b)
sin
2cos
sin
A
C
B
=
c)
3 3 3
2
2 cos
b c a
a
b c a
a b C

+ −
=

+ −


=

Bài 16: Gọi S là diện tích tam giác. Chứng minh
a)
2
2 sin .sin .sinS R A B C
=

b)
( )
2
2
1 cos
4 .
sin
C
c a b S
C
−
= − +
c)
( )
. sin sin sinS R r A B C
= + +
d)
( ).tan
2
A
S p p a= −
Bài 17: Cho tam giác ABC có cosA =
5
9
. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho
·
·
ABC DAC=
, DA = 6, BD =
16

3
. Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 18: Cho tam giác ABC có độ đài ba cạnh a, b, c; p là nửa chu vi, r là bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1 1
r
p a p b p c
+ + ≥
− − −
Bài 19: Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC thỏa hệ thức:
9
a b c
h h h r+ + =
thì
tam giác ABC là tam giác đều (trong đó
, ,
a b c
h h h
là các đường cao kẻ từ A, B, C
và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Trang 16
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ
THỨC GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC . CMR: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC
Giải
VT = 2RsinA.cosA + 2RsinB.cosB + 2R.sinC.cosC

= R(sin2A + sin2B + 2sinC.cosC)
= R(2sin(A +B).cos(A – B) + 2sinC.cosC)
= R(2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC)
= 2RsinC[cos(A – B) - cos(A + B)]
= -4RsinC.sinA.sin(-B)
= 4RsinC.sinA.sinB
Bài 2: Cho tam giác ABC . CMR: (a - b)cot
2
C
+ (b - c)cot
2
A
+ (c - a)cot
2
B
= 0
Giải
Áp dụng định lý sin, ta có:
(a - b)cot
2
C
= 2R(sinA - sinB)cot
2
C
= 4Rcos
2
A B+
. sin
2
A B−

.
cos
2
sin
2
C
C
= 4Rsin
2
C
. sin
2
A B−
.
sin
2
sin
2
A B
C
+
= 4R.sin
2
A B−
.
sin
2
A B+
= 2R(cosB – cosA) (1)
CM tương tự: (b - c)cot

2
A
= 2R(cosC – cosB) (2)
(c - a)cot
2
B
= 2R(cosA – cosC) (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra:
(a - b)cot
2
C
+ (b - c)cot
2
A
+ (c - a)cot
2
B

= 2R(cosB – cosA + cosC – cosB + cosA – cosC) = 0 (đpcm)
Trang 17
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho
∆
ABC. CMR:
2 2
sin 2C + c sin 2 2 .sin( )b B bc B C= +
Bài 2: Cho
∆
ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tại

' ' '
, ,A B C
. CMR:
a)
'
( )sin
2
A
a b c a= + −
b)
' '
2 sin sin .sin
2 2 2
a b A B C
a b
 
+ = +
 ÷
 
c)
'
2sin .sin .sin
2 2 2
S A B C
S
=
với S, S
’
là diện tích
∆

ABC và
∆
A’B
’
C
’
.
Bài 3: Cho
∆
ABC, có:
µ
µ
µ
2 4AC B
= =
a) Tính
µ
µ
µ
, , AB C
.
b) Chứng minh:
1 1 1
a b c
= +
.
Bài 4: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a)
( )
cos cos cosb B c C a B C

+ = −
b)
2
2 sin .sin .sinS R A B C
=
c)
( )
2 cos cos cosS R a A b B c C
= + +
d)
4 sin .sin .sin
2 2 2
A B C
r R=

Trang 18
Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác
LỊCH SỬ CỦA HERON
( Thế kỷ I - II sau công nguyên)

Heron là nhà toán học và vật lý vùng Alexandria, không biết ngày
sinh và ngày mất. Các công trình của ông về các chủ đề về toán học và vật
lý học thì quá phong phú về nội dung cũng như nhiều về số lượng tới mức
mà người ta thường xem ông là một tác gia bách khoa trong lĩnh vực này.
Có những lý do giả định rằng ông là một người Ai Cập được huấn luyện
theo kiểu Hy Lạp. Trong mọi luận văn của ông thường nhắm đến tính hữu
dụng thực tiễn hơn là tính hoàn chỉnh về lý thuyết, điều đó cho thấy có sự
pha trộn giữa Hy Lạp và phương Đông. Ông quan tâm đến việc xây dựng
một nền móng khoa học cho kỹ thuật và cho trắc địa.
Các công trình của Heron có thể chia thành hai lớp : hình học ( công

trình Metrica) và cơ học. Các công trình về hình học nói đến các vấn đề đo
lường còn các công trình về cơ học thì mô tả các thiết bị cơ học rất khéo léo
(công trình Pneumatica, Dioptra và Catotrica).
Công trình quan trọng nhất của Heron là "Metrica" về hình học gồm
ba quyển và được tìm thấy ở Constantinple bởi R. Schone vào năm 1896.
Quyển I nói về việc đo diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, hình tam
giác, hình thang, các tứ giác đặc biệt khác nhau, các đa giác đều , vòng tròn
và các cung tròn, ellip, diện tích các hình trụ, hình nón, hình cầu và đới cầu
Trong tác phẩm này, Heron đã rút ra được một công thức nổi tiếng để tính
diện tích một tam giác theo ba cạnh S =
( ) ( ) ( )
p p a p b p c− − −
trong đó
p =
2
a b c+ +
. Heron còn đưa ra cách tính xấp xỉ về căn bậc hai của một số
nguyên không chính phương. Quyển II của Metrica nói về cách tính thể tích
các hình nón, trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình nón cụt, hình cầu,
các đới cầu. Quyển III nói về cách chia một số diện tích và thể tích các
thành phần theo các tỉ số cho trước.
Trang 19