Chuyên đề thể tích khối đa diện

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

HÌNH HỌC LỚP 12
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
TRONG HÌNH HỌC NÂNG CAO
( Bài tập từ trang 28 đến trang 36 )
Bài 15. Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi . Thể tích của khối chóp
S.ABC thay đổi hay khơng nếu :
a/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC
b/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy
c/ Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với mặt phẳng (ABC)?
Giải
a/ Hai mặt phẳng song song nhau thì khoảng cách giữa chúng khơng đổi , cho nên thể
tích của S.ABC khơng đổi .
b/ Thể tích thay đổi ví khi này (P) chỉ song song với một cạnh đáy thì khoảng cách từ S
đến (ABC) thay đổi .
c/ Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên một đường thẳng song song với một mặt phẳng
đến mặt phẳng đều bằng nhau . Vì vậy , thể tích của S.ABC không đổi .
Bài 16. Hãy chia khối tứ diện thành 2 khối tứ diện sao cho tỷ số thể tích của hai khối tứ
diện này bằng một số k cho trước ( k>0).
Giải
Gọi B là diện tích đáy BCD của khối tứ diện ABCD.M là điểm chia CD theo tỷ số k và
AH là đường cao của khối tứ diện .Khi đó ta có :
A
1
VS . ABC = .S BCD . AH
3

Nếu M là điểm chia CD theo tỷ số k :
MC
= k ⇔ MC = kMD . Hai tam giác BCM và BDM có

MD

D
B

cùng chiều cao kẻ từ B xuống đáy CD cho nên :

H
M

S BCM CM
V
=
= k ⇒ S .BCM = k .
S BDM DM
VS . ABDM

C

Vậy : M chính là điểm chia thỏa mãn yêu càu bài tốn .
Bài 17. Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' , biết rằng AA'B'D' là khối tứ diện đều
cạnh a .
Giải
A'
D'
Gọi thể tích khối hộp là V . Thể tích khối chóp
A.A'B'C'D' là V' thì V'=2 VA. A ' B ' D ' .
2

Ta có : VA. A ' B ' D '

Do đó : V'=

2 a 3
1 1
a3 2
= . a. a 2 − 
÷ =
3 2 ÷
3 2
12



a3 2
a3 2
. . Vậy Vh = 2V ' =
V.
6
3

B'

C'

A

B

D

C

Bài 18 . Tính thể tích khối lăng trụ n giác đều có tất cả các cạnh bằng a .
Giải
Tính diện tích đáy B . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy . Xét tam giác có cạnh
bằng a ( Ví dụ OAB -AB=a). Góc ∠AOB =

3600
⇒ nếu gọi H là trung điểm của AB thì:
n

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 1


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
AH
a
AO = R =
=
AB a
1800
0
 180 
 1800  .
= ; ∠AOH =
AH=
. Do đó
sin 

2sin 
÷
÷
2
2
2
 n 
 n 

Vậy S AOB

1
3600
= OA.OB sin
2
n
2




÷
0
0
0
0
2
0
1
180

180
1
a
2
÷ sin 180 cos 180 = a cot 180
= OA .sin
cos
=
2
2
2
2
2
2
8
n
 1800  ÷
2sin 

÷÷
 n 

a2
1800
Diện tích đáy bằng n lần diện tích tam giác OAB suy ra B = n cot
.
8
n
a2
1800 na 3

1800
=
cot
Cho nên thể tích khối trụ là : V = a.n cot
8
n
8
n

Bài 19. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A
AC=b, ∠ACB = 600 . Đường thẳng BC' tạo với mặt phẳng (AAC'C) một góc bằng 300 .
a/ Tính độ dài đoạn thẳng AC' .
b/ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
Giải
A'
C'
Do tam giác ABC vuông tại A cho nên
BA ⊥ AC ⇒ BA ⊥ ( AA'C'C ) ⇔ BA ⊥ AC ' . Vì thế
B'
AC' là hình chiếu của BC' trên mặt phẳng
300
(AA'C'C) suy ra góc BC'A bằng 300 . Trong tam
giác vng ABC ta có AB = AC.tan 600 = b 3 ,
A
2
2
2
2
.
BC = AB + AC = 3b + b = 2b

600 C
b/ Tính thể tích khối lăng trụ .
Trong tam giác vuông ABC' ( vuông tại A ) ta lại
B
có AC ' = AB cot 300 = b 3. 3 = 3b . BC'=2AB=
2b 3

Trong tam giác BCC' ta có : CC ' =

( BC ')

2

− ( BC ) = 12b 2 − 4b 2 = 2 2b . Vậy thể tích
2

khối lăng trụ là :
V = S ABC .CC ' =

1
1
AB. AC.CC ' = b 3b.2 2b = b3 6 .
2
2

Bài 20. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , điểm A'
cách đều ba điểm A,B,C , cạnh AA' tạo với đáy một góc bằng 600
a/ Tính thể tích khối lăng trụ
b/ Chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật
c/ Tính tổng diện tích các mặt bên ( gọi là diện tích xung quanh )?

Giải
a/ Vì A' cách đều các điểm A,B,C cho nên hình chiếu vng góc H của A' trùng với tâm
đáy . Nhưng đáy lại là tam giác đều vì vậy H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp , trọng
2
3

tâm tam giác ABC : AH = a
Trang 2

3 a 3
.
=
2
3

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Trong tam giác AHA' có A'H=AH
tan 600 =

C'

A'

a 3
. 3 =a.
3

Do đó

B'
A

60

0

C

H

I

B

VLT = S ABC . A ' H =

1
1
3
a3 3
AB. AC.sin 600. A ' H = a 2
a=
2
2
2
4

b/ Chứng minh BCC'B' là hình chữ nhật
Ta có :
 BC ⊥ AH
⇒ BC ⊥ ( AHA ') ⇔ BC ⊥ AA'

 BC ⊥ A ' H
 BC ⊥ BB '
⇐ BCC ' B ' là hình chữ nhật .
Nhưng AA'//BB'//CC' cho nên : ⇔ 
 BC ⊥ CC '

c/ Tính diện tích xung quanh .
Ví AH=a cho nên tam giác AHA' là một nửa tam giác đều cạnh bằng 2a : AA'=2AH=2
2 a 3 2a 3
. Vì thế diện tích hình chữ nhật BCC'B' bằng BC.BB'=a.2a=
=
3 2
3
2a 2 ⇔ S BCC ' B ' = 2a 2 (1). Mặt khác hai hình bình hành ABB'A' bằng ACC'A' vì vậy
S ' = 2 S = 2 S ABB ' A '
2a
Trong tam giác vuồng A'BH ta có : A ' B = A ' A = A ' C =
. Trong tam giác cân ABA'
3
2

Ta có : S ABA ' =

2

1
1
a 2 13
a 2 13
 2a   a 
ABA ' I = a. 
− ÷ =
⇒ S ABB ' A ' = 2 S ABA ' =
÷
2
2
4 3
2 3
 3 2

Do đó : S xq = 2.

a 2 13
2a a 2
+ a.
=
2 3
3
3

(

)

13 + 2 =

a2 3
3

(

13 + 2

)

Bài 21. Gọi M nằm trong tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ
M đến bốn mặt của tứ diện là một số khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M . Tính tổng
đó bằng bao nhiêu nếu các cạnh của tứ diện đó bằng a .
Giải
A
Gọi V là thể tích của tứ diện . Nếu tứ diện đã cho là
cố định thì V khơng đổi . Gọi
h1 = d ( M , BCD ) , h2 = d ( M , ABC ) , h3 = d ( M ; ACD ) ,

h4 = d ( M ; ABD ) . Nếu coi M làm đỉnh thì thể tích tứ

diện bằng tổng của 4 khối chóp có 4 đáy là bốn mặt
của tứ diện , và chiều cao là h1 , h2 , h3 , h4 . Cho nên ta
có : V =

1
[ S BCD h1 + SABC h2 + S ACD h3 + S ABD h4 ] . Nhưng vì
3

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

M
B
H

D

C

Trang 3


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

tứ diện là đều cho nên bốn mặt của tứ diện bằng nhau và có diện tích bằng S . Vì thế :
1
1
V = B ( h1 + h2 + h3 + h4 ) = Bh ⇒
3
3
⇔ h1 + h2 + h3 + h4 = h . Với h là khoảng cách từ một đỉnh xuống mặt đối diện .và h được
2

2 a 3
a 6
a 6
tính bằng : ⇔ h = AB − AH = a − 
.
⇒ h1 + h2 + h3 + h4 =

÷ =
3 2 ÷
3
3


2

2

2

Bài 22. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' . Gọi M là trung điểm của AA'. Mặt
phẳng đi qua M ,B'C' chia khối lăng trụ thành hai phần . Tính tỷ số thể tích hai phần đó ?
Giải
Gọi cạnh tam giác đều bằng a ( BC=a ), chiều cao tam giác đều bằng h : AH=h , ta có :
1
11
11
1
VM . ACBB ' = VM . ABC + VBCC ' B ' =
BC. AHAM +
BC.BB '. AH = BC . AH ( MA + BB ' )
2
32
23
6
2
1 a 31 
a 3

B'
A'
= a
h ( 1) .
 + 1÷h =
6
2 2 
8
1
2

Mặt khác : VLT = Bh = a.

a 3
a2 3
.h =
.h .
2
4

C'

Vì vậy thể tích cịn lại :
VM . BCC ' A ' = VLT − VM . ABCB '

Do vậy :

M

B

a2 3
a2 3
a2 3
=
.h −
h=
h .
4
8
8

A
H

VM . ACBB '
=1
VM .BCC ' A '

C

Bài 23. Cho khối chóp S.ABC. Tren ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm
A',B',C' khác với S . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và
S.A'B'C'. Chứng minh rằng :

V
SA SB SC
=
.
.

V ' SA ' SB ' SC '

Giải
Giả sử ta vẽ hình như bên . Gọi
H và H' lần lượt là chân đường
cao kẻ từ A và A' xuống mặt
phẳng SBC . Gọi góc giữa SB và
SC là α ⇒ ( SB; SC ) = α .
1
3

A

A'

Ta có : VS . A ' B 'C ' = S SBC . A ' H '
S

H'
C'

B'

B
H
C

⇔ VS . A ' B 'C ' =

11

SB '.SC 'sin α . A ' H '
32

Tương tự , ta cũng có :
⇔ VS . ABC =

Trang 4

11
SB.SC sin α . AH
32

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
1
SB.SC.sin α AH
V
SB SC AH
6
=
=
.
.
( 1) . Nhưng tam giác SA'H' đồng
Cho nên :
V ' 1 SB '.SC '.sin α A ' H ' SB ' SC ' A ' H '
6
AH

SA
V
SA SB SC
=
=
.
.
dạng với tam giác SAH suy ra :
. Thay vào (1) :
.
A ' H ' SA '
V ' SA ' SB ' SC '

Bài 24. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm cạnh SC ,
mặt phẳng (P) qua AM , song song với BD chia khối chóp thành 2 phần . Tính tỉ số thể
tích của hai phần đó .
Giải
Giao hai đường chéo là O AM cắt SO tại I , kẻ qua
I đường thẳng song song với BD cắt SB và SD tại F
và E . Như vậy thiết diện mà (P) cắt khối đa diện là
tứ giác AEMF .
Gọi :
V1 = VS . AEF ,V2 = VS .EF ,V = VS . ABCD ,V0 = VSABD = VS .CBD =

M
E
D

V
2

Vì M là trung điểm của SC cho nên I là trọng tâm
của tam giác SAC suy ra :

S

SE 2
= (1)
SO 3

A

I

F

C

O
B

Nếu EF // BD thì ta có tỉ số :
V1 SA SE SF
2 2 4
SE SF SI 2
=
.
.
= 1. . = (2)
=

=
=
do (1) . Theo bài 23 , ta có :
V0 SA SD SB
3 3 9
SD SB SO 3
V2 SE SF SM 2 2 1 4 2
=
.
.
= . . = = (2)
Và :
V0 SD SB SC 3 3 2 18 9
V1 + V2 4 2 6 2
2
1
= + = = ⇔ VS . AEMF = V1 + V2 = V0 = V
Lấy (1) +(2) vế với vế :
V0
9 9 9 3
3
3
VS . AEMF
13 1
V 2
=
=
Do đó thể tích phần cịn lại là : V − = V . Tỉ số hai thể tích là :
VAEMF . ABCD 3 2 2
3 3

Bài 25. Chứng minh nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D'
thì :

VA ' B 'C ' D '
3
=k
VABCD

Giải
Giả sử tâm vị tự là O . Theo đầu bài thì :
OB ' = k OB

OA ' A ' H '
=
=k .
OA ' = k OA ⇒ ∆OA ' H ' ~ ∆OAH ⇒
OA
AH

OH ' = k OH
VA ' B 'C ' D ' OA ' OB ' OC '
3
=
.
.
=k
Do đó :
VABCD
OA OB ' OC

ƠN CHƯƠNG I.
( bài tập từ trang 30 đến trang 36- Kể cả phần trắc nghiệm )
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 5


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Bài 1 ( Tr-30 -HH12NC).
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và
AD . Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành 2 phần . Tính thể tích mỗi phần đó .
Giải
A
Gọi tứ diện là khối chóp C.ABD , thì S là diện tích của
đáy ABD , h là chiều cao CH ( kẻ từ C xuống mặt
B'
D'
1
3

phẳng ABD ) thì khi đó : V = Sh .

B

Mặt phẳng ( CB'D') chia khối chóp thành 2 phần có thể
tích là VC . AB ' D ' ,VC . BB ' D ' D . hai khối chóp : C.AB'D' và
C.BB'D'D có cùng chiều cao và
S AB ' D ' =

D

1
1
B ' D '.h '; S ABD = BD.h
2
2

C

1
S
.h
VC . AB ' D ' 3 AB ' D '
11
1
1
S
1
⇒ S AB ' D ' =
BD .h = S ABD ⇒
=
= AB ' D ' =
1
22
2
4
VC . ABD
S ABD 4

S ABD .h
3
VC . AB ' D ' 1 4 1
V 3V
= . = .
Do đó thể tích phần cịn lại là V- =
. Tỉ số thể tích 2 khối là :
VC . BB ' D ' D 4 3 3
4
4

Bài 2.( Tr-31-HH12NC). Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' . Chứng minh rằng 6 trung
diểm của 6 cạnh AB,BC,CC',C'D', D'A' và AA' nằm tren một mặt phẳng và mặt phẳng đó
chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau .
Giải
Gọi O là giao hai dường chéo của hình hộp . Ta thấy MN và RQ cùng song song với AC
và A'C' cho nên MNQR là hình bình hành suy ra MQ
D'
R
A'
và NR cùng đi qua O ( giao hai đường chéo ). Tương tự
Q
NP và SR cũng cùng song song với BD cho nên NPRS
cũng là hình bình hành cho nên NR và PS cùng đi qua
S
B'
C'
O . Hay nói một cách khác là 6 điểm M,N,P,Q,R,S
A O
D

cùng thuộc một mặt phẳng .
M
P
Do O là tâm của khối hộp , đồng thời O cũng là tâm của
N
các hình bình hành vừa chỉ ra ở trên Cho nên O chính là
tâm đối xứng của hình hộp chính vì vậy (P) chia khối
B
C
hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau ( ĐPCM )
Bài 3. (Tr 31-HH12NC).
Cho khối tứ diện ABCD, E , F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD . Hai mặt
phẳng ABF và CDF chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện
a/ Kể tên 4 khối tứ diện đó ?
b/ Chứng tỏ 4 khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau
c/ Chứng tỏ rằng nếu khối tứ diện ABCD là khối tứ diện đều thì 4 khối tứ diện nói trên
bằng nhau ?
Giải
A
a/ Các khối tứ diện là BCFE, ADFE, BDFE và
CAEF .
E
b/ Ta có nhận xét sau :
- Khối tứ diện BCFE có thể coi là khối chóp E.BCF
và khối tứ diện BCFE ta cũng coi như khối chóp
B
E.BDF . Hai khối chóp này có cùng chiều cao ( là
Trang 6

D

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

F
C


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

khoảng cách từ E đến mặt phẳng BCD) và hai đáy có diện tích bằng nhau vì thế cho nên
hai khối chóp này có thể tích bằng nhau . VE . BCF = VE .BDF (1)
- Tương tự hai khối chóp E. ADF và E.ACF cũng có cùng chiều cao ( khoảng cách từ E
đến ADC) và diện tích hai đáy ADF và ACF bằng nha cho nên VE . ACF = VE. ADF (2)
Mặt khác : Gọi H' là hình chiếu của E trên (BCD) và H là hình chiếu của A trên (BCD)
1
2

1
2

1
4

thì EH' bằng 1/2 AH suy ra VE . BCD = VABCD = V ⇒ VEBCF = V
1
4

Tương tự ta cũng chứng minh được : VE . ACF = VE . ADF = V .
Tóm lại 4 khối tứ diện có thể tích bằng nhau và bằng 1/4 thể tích khối tứ diện .
c/ Nếu ABCD là khối tứ diện đều thì (ABF) và (CDF) là hai mặt đối xứng :

Trục EF biến C thành D và biến D thành A cho nên đã biến BCEFF thành DAEFF .
tương tự biến ACEFF thành BDEFF . vì thế 4 khối tứ diện bằng nhau .
Bài 4. ( Tr31-HH12NC).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' =h . Một mặt phẳng (P)
cắt các cạnh AA',BB' CC' lần lượt tại A1 , B1 , C1 . Biết : BB1 = b, AA1 = a, CC1 = c
a/ Tính thể tích 2 phàn của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P)
b/ Với điều kiện nào của a,b,c thì thể tích hai phần đó bằng nhau ?
Giải
Vì BB' song song với mặt phẳng (AA'C'C) cho nên
B'
A'
khoảng cách từ các điểm B' B1 và B đến mặt phẳng
(AA'C'C ) bằng nhau và bằng k .
B1
Ta có :
C'
1
1 ( c + a)
VA1B1C1 ABC = VB1 . ABC + VB1 . ACC1 A1 = Bb + x.
BH
3
3
2
(Do CC1 A1 A là hình thang vng).
x.BH
Nhưng : B =
.
2
1
1

1
Cho nên VA1B1C1 ABC = Bb + B. ( c + a ) = B ( a + b + c ) .
3
3
3

b

a

C1

B

A
H

C

( Với x là cạnh của tam giác ABC)
Tương tự cách tính trên , thì thể tích khối trụ còn lại là :
1
1
VA1 B1C1 A ' B ' C ' = B ( h − a ) + ( h − b ) + ( h − c )  = B 3h − ( a + b + c ) 

 3 

3

b/ Nếu hai thể tích đó bằng nhau thì :

S

Bài 5. (tr31-HH12NC).
Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung
điểm cạnh AB. Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng
trụ thành hai phần . Tính tỉ số thể tích hai phần
đó ?
Giải
Gọi V' là thể tích khối chứa cạnh AA' , cịn V'' là
thể tích cịn lại .Thì (B'C'M) cắt (ABC) theo giao
tuyến MN song song với BC.

C

N

A
B

M

A'
C'

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

H

B'

Trang 7


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
1
1 1
1
Ta có : S AMN = MN . AH ' = . B ' C '. A ' H
2
2 2
2
1
1 1
= .B ' C '. A ' H . = S A ' B 'C '
2
4 4
1
11
S AB 'C ' .SA '
Khi đó : V'= VS . A ' B 'C ' − VS . AMN = S' AB 'C ' .2AA' −
3
34
7S
.AA' 7
= A' B 'C '
= Vhop .
12
12
7
5

Suy ra : V''= V-V'= Vhop − Vhop = Vhop .
12
12
V ' 7 12 7
= . = . Đó là tỉ số hai khối .
Do đó :
V '' 12 5 5

Bài 6. ( Tr12-HH12NC)
Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuông cân có :
AB=BC=a
Gọi B' là trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC ?
b/ Chứng minh rằng SC vng góc với mặt phẳng (AB'C') ?
c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C' ?
Giải
S
- Vì SA=a =AB=BC cho nên tam giác ASB là tam
giác vuông cân suy ra AB ' ⊥ SB
a/ Thể tích khối chóp S.ABC là V thì :
C'
1
1 1
a3
V = S ABC .SA = . a 2 .a =
.
3
3 2
6

B'
C

b/ Chứng minh SC vng góc với (AB'C').
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇔ BC ⊥ AB '
 BC ⊥ BA

Ta có ⇔ 

( 1)

A

Mặt khác :

B

 AB ' ⊥ BC
⇔ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SC (2)

 AB ' ⊥ SB
 SC ⊥ AB '
⇒ SC ⊥ ( AB ' C ') .(3) ( Đpcm)
Nhưng : 
 SC ⊥ AC '

c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C' ?
Xét hai tam giác vuông đồng dạng : SC'A và SAC suy ra :

SC ' SA
=
SA SC

SC ' SA2
SA2
a2
1
=
= 2
= 2
=
2
2
2
SC SC
SA + AC
a + 2a
3
VS . A ' B 'C ' SA SB ' SC '
1 1 1
1
1 a3
=
.
.
= 1. . = ⇒ VS . A ' B 'C ' = VS . ABC =
Mặt khác ta lại có :
VS . ABC
SA SB SC

2 3 6
6
6 6
⇔

Vậy : VS . A ' B 'C ' =

a3
( đvtt )
36

PHẦN TRẮC NGHIỆM
Bài 12.(Tr33-HH12NC)
Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên
Trang 8

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

A. k lần

B. k 2 lần

C. k 3 lần
D. 3 k 3 lần
Giải
3
Ta đã biết : V = abc ⇒ V ' = ka.kb.kc = k abc = k 3V . Vậy đáp án C đúng .

Bài 13.(Tr33-HH12NC)
Tổng diện tích các mặt của hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương đó
là :
A. 64
B. 91
C. 84
D. 48
Giải
Như ta đã biết , hình lập phương có 6 mặt bằng nhau cho nên diện tích S của một mặt là
96: 6 = 16 . Mặt khác kích thước của 1 cạnh hình vng là x 2 = 16 → x = 4 .
Vì vậy thể tích khối lập phương là : 16.4=64 ( đvtt ). Đáp án A là đáp án đúng .
Bài 14.(Tr33-HH12NC)
Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có cơng bội là 2 .
Thể tích hình hộp đã cho là 1728 . Khi đó các kích thước của hình hộp là :
A. 8,16,32
B. 2,4,8
C. 2 3, 4 3,38
D. 6,12,24
Giải
Gọi các cạnh hình hộp là abc ( ahộp là : 1728=2a.4a.a=8 a 3 ⇒ a = 3

1728 3
= 216 = 6 .
8

Vậy đáp án D là đáp án đúng .
Bài 15.(Tr33-HH12NC)
Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng : 5, 10, 13 . Thể tích
của hình hộp đó là :

A. 4.
B. 5
C. 6
D. 8
Giải
Gọi 3 kích thước của khối hộp chữ nhật là a,b,c thì theo giả thiết ta có :
a 2 + c 2 = 5
b2 − c 2 = 5
b 2 = 9  a = 1
 2
 2 2
 2

2
 a + b = 10 ⇔ b + c = 13 ⇔ c = 4 ⇒ b = 2
b 2 + c 2 = 13
a 2 = 5 − c 2
a 2 = 1 c = 3





Do đó thể tích của khối hộp chữ nhật là : 1.2.3=6 . Đáp án C là đúng .
Bài 16.(Tr33-HH12NC)
Một khối trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 37,13,30 và diện tích xung quanh bằng
480. Khi đó thể tích khối lăng trụ là :
A. 2010
B. 1010
C. 1080

D. 2040
Giải
Từ giả thiết : 480= h( 37+13+30) suy ra h=

480
= 6 . Vậy thể tích khối lăng trụ là :
80

V= 6 40. ( 40 − 37 ) ( 40 − 13) ( 40 − 30 ) = 6 40.3.27.10 = 6 9 2 20 2 = 6.180 = 1080
Vậy đáp án C là đáp án đúng .
Bài 17.(Tr33-HH12NC)
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15 , các cạnh bên tạo với đáy 1
góc bằng 300 và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là :
A. 340
B. 336
C. 274 3
D. 124 3
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 9


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
Nếu cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 300 , thì chiều cao h = 8.sin 300 , hay h=4 . . Khi
đó diện tích tam giác đáy là : S= 21( 21 − 13) ( 21 − 14 ) ( 21 − 15 ) = 21.8.7.6 = 84

Vậy thể tích V=84.4= 336 . Cho nên đáp án B là đúng .
Bài 18.(Tr33-HH12NC)
Đáy của một hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 600 . Đường chéo lớn của

đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp . Khi đó thể tích của hình hộp là :
A. a 3

B. a 3 3

C.

a3 3
2

D.

a3 6
2

Giải
Vì đáy là hình thoi có góc nhọn bằng 600 , cho nên hình thoi tạo bởi hai tam giác đều .
Vậy cạnh hình thoi lại bằng a cho nên đường chéo nhỏ của hình thoi bằng a và đường
chéo lớn của hình thoi bằng 2.

a 3
= a 3 . Xét tam giác vng có cạnh huyền bằng
2

đường chéo nhỏ của hình hộp , hai cạnh góc vng là chiều cao h với đường chéo nhỏ
của hình thoi , ta có :

(

h2 = a 3

)

2

1
a3 6
− a 2 = 2a 2 ⇒ h = a 2 . Vậy thể tích V= 2. a 2 sin 600.a 2 =
.
2
2

Đáp án D là dáp án đúng.
Bài 19.(Tr34-HH12NC)
Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm 98
cm3 . Cạnh hình lạp phương đã cho là :
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6cm
D. 3 cm
Giải
3
Gọi cạnh hình lập phương là a , thì từ giả thiết ta có : V+98 = ( a + 2 ) . Với V= a 3
 a = −5(l )
.
a = 3

3
3
2

2
Ta suy ra : a + 98 = a + 6a + 12a + 8 ⇔ a + 2a − 15 = 0 ⇔ 

Vậy đáp án D là đáp án đúng .
Bài 20.(Tr34-HH12NC)
Cho một hình hộp có 6 mặt đều là những hình thoi cạnh a . Góc nhọn bằng 600 . Khi đó
thể tích hình hộp là :
A.

a3 3
3

B.

a3 2
2

C.

a3 2
3

D.

Giải
Như bài 18 , đáy hình thoi là tạo bởi hai tam giác đều
cạnh a . ( Vì góc nhọn bằng 600 ).Qua hình vẽ bên ,
cùng với giả thiết cho các mặt đều là hình thoi ta suy
ra A'O là đường cao của khối hộp .

a3 3
2

A'

a 3
3
3a . Do dó thể tích
Với A'O = AA' 3
2
=
=
2
2
2
3
3a 3a 3
hình hộp là V= a.a 3 =
?
2
2
2

O
A

Bài 21.(Tr34-HH12NC)
Trang 10

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Cho hình lập phương có cạnh bằng a Khi đó thể tích của khối 8 mặt đều mà các đỉnh là
tâm của các mặt của hình lập phương đã cho bằng
a3 3
A.
2

a3
C.
3

a3 2
B.
9

a3
D.
6

Giải
Khi đó cạnh của khối 8 mặt đều là đường trung bình của tam giác mà có hai cạnh bên là
hai đường chéo của hai hình vng , cho nên chiều dài của nó là :

1
a 2.
2

Tâm của hình lập phương cũng chính là tâm đối xứng của khối 8 mặt .
Chiều cao của khối 8 mặt ( hay trục đối xứng của nó ) chính là đoạn thẳng nối 2 tâm của
hai hình vng hai đáy . Vì thế khoảng cách này bằng cạnh hình vng : a
2

1 a 2 
a3
Vậy thể tích khối 8 mặt là V= 
÷ a = . Do đó đáp án D là đúng .
3 2 ÷
6



Bài 23.(Tr34-HH12NC)
Cho khối 12 mặt đều H có thể tích là V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S . Khi đó ,
tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong H đến các mặt của nó bằng :
A.

3V
4S

B.

V
4S

C.

3V

S

D.

V
12 S

Giải
Gọi M là điểm nằm trong H , thì mỗi 1 mặt của khối 12 mặt đều cùng với M tạo thành
một khối chóp , có đáy là mặt của khối 12 mặt , chiều cao là khoảng cách từ M đến mặt
đó . Theo cách lập luận như vậy thì thể tích của khối 12 mặt đều sẽ là tổng các khối chóp
12

1
3

nêu trên . ⇔ V = S ( h1 + h2 + h3 + ... + h12 ) ⇒ ∑ hi =
i =1

3V
. Vậy đáp án C là đáp án đúng .
S

Bài 22.(Tr34-HH12NC)
Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Khi đó thể tích của khối 8 mặt đều mà các dỉnh là
trung điểm của các canh của khối tứ diện đã cho là :
A.

a3 2
24

B.

a3 3
12

C.

a3 2
6

D.

a3 3
24

Giải
Từ giả thiết , cạnh của khối 8 mặt đều là đường trung bình của tam giác các mặt tứ diện
cho nên nó có chiều dài là a/2 . Diện tích của mặt đối xứng là một hình vng cạnh bằng
a/2 . Trục đối xứng có chiều dài bằng chiều dài đường trung bình của tứ diện và bằng :
2

2

 a 3   a 2
1  a  a 2 a3 2
2a 2 a 2
=
. Khi đó V=  ÷
. Vậy đáp án A là đúng .


 2 ÷ − 2 ÷ = 4 = 2
÷  
3 2  2
24



Bài 24.(Tr35-HH12NC)
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy là : 19,20,37 , chiều cao của khối lăng trụ
bằng trung bình cộng củacác cạnh đáy . Khi đó thể tích của khối lăng trụ sẽ là :
A. 2888
B. 1245 2
C. 1123
D. 4273
Giải
Chiều cao h=

19 + 20 + 37 76
19 + 20 + 37 76
=
=
= 38 . Suy ra diện tích đáy của lăng
, p=
3
3
2
2

trụ là

S= 38 ( 38 − 19 ) ( 38 − 20 ) ( 38 − 37 ) = 38.19.18.1 = 114 2 = 114 .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 11


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
76
Vậy thể tích là : V= 114.
= 76.38 =2888. Vậy đáp án A đúng .
3

Bài 25.(Tr35-HH12NC)
Đáy của một hình hộp là hình thoi cạnh 6cm và góc nhọn bằng 450 , cạnh bên hình hộp
dài 10 cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 450 . Khi đó thể tích hình hộp là :
A. 124 3cm3
B. 180 cm3
C. 120 2cm3
D. 180
2cm3

Giải
1
3

Ta có Vh = 2VChop = 2. 62 sin 450.

10 2.36. 2 10
=
= 180

3.2
2
2

Chiều cao h tính bằng cạnh của tam giác vuông cân : 10=h 2 ⇒ h =

10
.
2

S= diện tích đáy = 2.
1
2
a.a.sin 450 = a 2 .
2
2
2
a 2
1 a 2 2 10 5a 2
⇔S=
⇒ Vchop =
.
=
2
3 2
3
2
2
5a 10.36
=

= 120
Vậy Vhop = 2Vchop = 2.
3
3

10

6

450

Bài 26.(Tr35-HH12NC)
Với tấm bìa hình vng , người ta cắt bỏ mỗi góc của tấm bìa một hình vng cạnh bằng
12cm.rồi gấp lại thành một hình hộp khơng có lắp . Nếu dung tích của cái hộp là 4.800
cm3 thì cạnh tấm bìa là :
A. 42
B. 36
C. 44
D. 38
Giải
Gọi cạnh tấm bìa là a thì sau khi cắt bỏ 4 góc , kích thước của một cạnh tấm bìa là :
a-2.12=a-24 . Do đó dung tích là : 4.800=12.

( a − 24 )

2

⇔ ( a − 24 ) =
2

 a − 24 = 20
 a = 44
4.800
= 400 ⇒ 
⇔
⇔ a = 44
12
 a − 24 = −20
 a = 4 < 12

Vậy đáp án C là đáp án đúng
Bài 27.(Tr35-HH12NC)
Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , và cạnh bên tạo với đáy một góc
bằng α . Thể tích của khối chóp là :
a 3 cot α
a 3 tan α
a 2 tan α
a 3 tan α
A.
B.
C.
D.
12

12

12

4

Giải
Do chóp tam giác đều cho nên chân đường cao H trùng với tâm đáy . Suy ra chiều cao h
2a 3
a 3
.tan α =
tan α .
3 2
3
11
1 2 3 a 3
a 3 tan α
0
Thể tích là V=
. Đáp án B là đáp án đúng .
a.a.sin 60 h = a
.
tan α =
32
6
2
3
12

tính dựa vào tam giác vng : h=

Bài 28.(Tr35-HH12NC)
Trang 12

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc α . Thể
tích hình chóp là :
A.

3 3 2
b cos α sin α
4

B.

3 3 2
b cos α sin α
4

C.

3 3
b cosα sin 2 α
4

D.

3 3
b cosα sin α
4

Giải

Từ giả thiết ta suy ra chiều cao hình chóp là : h = bsin α . Chiều cao tam giác đều đáy là :
BH
3b
1 3b
3b 2
cosα ⇒ S = b. cosα =
cosα . ( với cos α =
)
b
2
2 2
4
BH 1  2
3
3
1
1 3b 2
b3
=  b
cosα .b sin α = cosα sin α (*) Vì : cos α =
Do đó V=
 3 2 ÷= 3 = 3
÷
b
b
3 4
4

2
3

BH = h = b.cosα ⇒ h=

Vì vậy (*) V=

b3 cosα
1 b3
3.b3
cosα sin α =
. cos 2α sin α =
cos 2α sin α
4 cosα
cosα 4
4

Cho nên đáp án B là đáp án đúng .
Bài 29.(Tr36-HH12NC)
Cho hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4 , và diện tích một mặt bên bằng
. Thể tích của H là :
A.

4 3
3

B. 4

C.

4
3

D.

2

4 2
3

Giải
Vì tứ giác đều suy ra dáy là hình vng cạnh là a . Theo giả thiết : a 2 = 4 ⇒ a = 2 .
Chiều cao của tam giác cân mặt bên là :
Vậy chiều cao hình chóp là : h ' = h 2 −
1
3

2=

1
2 2
a.h ⇒ h =
= 2 ( a = 2) .
2
a

a2
= 2 −1 = 1.
4

4
3

2
Thể tích V= 2 .1 = . Vậy đáp án C là đáp án đúng .

Bài 30(Tr36-HH12NC)
Cho khối chóp tam giác đều có các cạnh đáy là 6,8,10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và
tạo với đáy một góc 600 . Thể tích của khối chóp là :
A. 16 3

B. 8 3

C. 16

2
3

D. 16 π

Giải
Từ giả thiết các cạnh bằng 6,8,10 thì đáy là tam giác vng cạnh huyền bằng 10 .Suy ra
3
=2 3.
2
1
1
Diện tích đáy là S= 6.8 = 24 . Cho nên V= .24.2 3 = 16 3 . Vậy đáp án A là đúng .
2
3

chiều cao của khối chóp là h = 4.sin 600 = 4

Bài 31(Tr36-HH12NC)
Nếu hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy đều tăng lên n lần thì thể tích của nó tăng
lên :
A. n 2 lần
B. 2 n 2 lần
C. n3 lần
D. 2 n3 lần
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 13


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
2π
Gọi góc ở tâm chắn một cạnh a của đa giác đáy k cạnh là
. Khi đó diện tích 1 tam
ka
1 a
π a2
π 
S1 = a. cot
= cot  ÷
giác cân có chiếu cao là khoảng cách từ tâm đến cạnh là :
2 2
ka 4
 ka 

( na ) cot  π  = n3V

1 ha 2
1
π 
Gọi chiều cao khối chóp là h thì V=
cot  ÷ ⇒ V ' = nh.

÷
3 4
3
4
 ka 
 k .na 
2

Vậy đáp án C là đáp án đúng .
Bài 32(Tr36-HH12NC)
Khi chiều cao của một khối chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy lại giảm đi n
lần thì thể tích của chúng là :
A. Không thay đổi
B. Tăng lên n lần
C. Tăng (n-1) lần
D. Giảm đi n
lần
Giải
Theo kết quả của bài 31 thì :
2

a
 ÷
2

1
V= 1 ha
n
π 
 π  1 . Vậy đáp án D là đáp án đúng .
cot  ÷⇒ V ' = nh.   cot 
÷= V
3 4
3
4
 ka 
 k .na  n

TRONG HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN
Bài 1.(Tr25-HH12CB) . Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh là a
Giải
Khối tứ diện đều là khối chóp có tất cả các mặt đều là tam giác đều và chân đường cao
hình chóp trùng với tâm đáy . Cho nên thể tích của chúng tính bằng :
2

2
1
11
3
1 a 2 3 2a 2 a 3 2
0
2
V = S day h =
a.a.sin 60 . a −  a
 3 2 ÷ = 6 2 . 3 = 12

÷
3
32



Bài 2.(Tr25-HH12CB) . Tính thể tích khối bát diện đều cạnh là a
Giải
Gọi V là thể tích khối bát diện đều , và V' là thể tích khối chóp có
đáy là hình vng có cạnh là a , thì V=2V' .
2

Chiều cao của khối là chóp là

a 2
2a 2 a 2
2
a −
=
÷ = a −
 2 ÷
4
2


2

Diện tích đáy là S= a 2
1
3

Suy ra : V ' = .a 2 .

a 2 a3 2
a3 2
=
⇒ V = 2V ' =
2
6
3

Bài 3.(Tr25-HH12CB)
Cho hình hộp .ABCD.A'B'C'D' . Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối
tứ diện ACB'D'
D'
C'
Giải
Ta có kích thước của khối hộp là a,b,c . Thể tích của
A'
B'
khối hộp là V=abc (1) . Coi B' làm đỉnh thì khối tứ
diện ACB'D' là khối chop B'.ACD'
Nhận xét :
D
Trang 14

C

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
O

A

B


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
1 1
1
1
1
VB '. ABC = . S ABCD h = Vhop . VC . B ' D 'C ' = V , và ta có VD ' ACD = V . . Suy ra thể tích khối tứ
3 2
6
6
6
1
diện là V .
3

Cho nên tỉ số hai thể tích là k=3 .

Bài 4.(Tr25-HH12CB)
Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C'
khác với S . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'.
V
SA SB SC
=
.
.
Chứng minh rằng : V ' SA ' SB ' SC '

Giải
Giả sử ta vẽ hình như bên . Gọi H và H'
lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và
A' xuống mặt phẳng SBC . Gọi góc
α ⇒ ( SB; SC ) = α
giữa SB và SC là
.
1
VS . A ' B 'C ' = S SBC . A ' H '
3
Ta có :
11
⇔ VS . A ' B ' C ' =
SB '.SC 'sin α . A ' H '
32

A
A'

C

C'

H

S
B'

B

Tương tự , ta cũng có :
11
SB.SC sin α . AH
32
1
SB.SC.sin α AH
V
SB SC AH
6
=
=
.
.
( 1)
V ' 1 SB '.SC '.sin α A ' H ' SB ' SC ' A ' H '
6
Cho nên :
.
⇔ VS . ABC =

AH
SA
=
Nhưng tam giác SA'H' đồng dạng với tam giác SAH suy ra : A ' H ' SA ' . Thay vào (1) :
V
SA SB SC
=
.
.

V ' SA ' SB ' SC ' .

Bài 5.(Tr26-HH12CB)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a . Trên đường thẳng qua C và vng góc
với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD=a . Mặt phẳng qua C vng góc với BD
cắt BD tại F và cắt AD tại E . Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Giải
Từ giả thiết AB=a và CD=a , tam giác ABC vuông
D
F
cân tại A suy ra tam giác CAD là tam giác vuông cân
tại C . Mặt phẳng qua C vng góc với BD , thì từ C
a
kẻ CF vng góc với BD . Trong mặt phẳng (ABD) kẻ
FE vng góc với BD cho nên mặt phẳng qua C chính
E
là mặt phẳng (CFE).
C
Do đó : Nếu BD ⊥ ( CFE ) ⇒ BD ⊥ CE
a

B

a

A

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 15

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
CE ⊥ BD
⇒ CE ⊥ ( ABD ) ⇔ CE ⊥ AD .
Mặt khác : 
CE ⊥ BA

Nhưng CAD vuông cân cho nên E là trung điểm của AD . Xét 2 tam giác vuông đồng
DF DC
DF DC 2
=
⇔
=
DC DB
DB DB 2
VD.CFE
CD DE DF
1 1 1
1
DF
a2
1
=
.
.
= 1. . = ⇒ VD.CFE = VD. ABCD
= 2
= . Cho nên
Hay :

VD. ABCD CD DA DB
2 3 6
6
DB a + 2a 2 3
11
111 2
a3
a3
⇒ VD.CFE =
S ABC CD =
a .a =
. Đáp số : VCDFE =
63
632
36
36

dạng : DFC và DCB suy ra :

Bài 6.(Tr26-HH12CB)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d' . Độ dài đoạn thẳng AB=a trượt trên đường thẳng
d , đoạn thảng CD có độ dài bằng b trượt trên đường thẳng d' . Chứng minh rằng thể tích
khối tứ diện ABCD có thể tích khơng đổi .
Giải
Gọi MN =h là đoạn vng góc chung
của hai đường thẳng d và d' . α là góc
A
hợp bởi giữa hai đường thẳng d với d' .
1
2

- Diện tích đáy BCD là S , thì S= bh .
Chiều cao từ A xuống đáy là AH . Khi
đó chiều dài AH = a.sin α .
- Vậy thể tích khối tứ diện là V :

M

a
B

H

α

h

d'
D

d
N
C

b

1
11
1
V = S BCD . AH =

bh.a.sin α = abh.sin α . ( Khơng phụ thuộc vào vị trí của A,B,C,D.
3
32
6

ƠN CHƯƠNG I .
Bài 4.(tr26-HH12CB)
Cho lăng trụ và hình chóp có đáy và chiều cao bằng nhau . Tính tỉ số thể tích của chúng ?
Giải
1
3

1
3

Ta có : VLT = B.h . Còn Vchop = Bh = VLT ⇒

Vchop
VLT

=

1
3

Bài 5. (Tr 26-HH12CB)
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC đơi một vng góc nhau và
OA=a,OB=b và OC=c . Tính đường cao OH của hình chóp ?
Giải
1

3
⊥ BC , OH ⊥ AM . Ta được một số kết quả
Kẻ OM
 BC ⊥ OA
⇒ BC ⊥ ( AOM ) ⇔ BC ⊥ OH (1)
sau : 
 BC ⊥ OM

Ta có V = abc (1)

Trang 16

A
a

H
c

O
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

C
b

M
B


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
OH ⊥ BC

⇒ OH ⊥ ( ABC ) . Chứng tỏ OH là đường cao của chóp O.ABC kẻ
Mặt khác : 
OH ⊥ AM

từ O .
1
1
1
=
+
.
2
2
OM
OC
OB 2
1
1
1
1
1
1
1 1 1
=
+
=
+
+
= 2+ 2+ 2
Trong tam giác vuông OAM :

2
2
2
2
2
2
OH
OA OM
OA OC
OB
a b c
2 2
2 2
2 2
1
a b +b c +c a
abc
=
⇒ OH =
Hay :
.
2
2 2 2
2 2
OH
abc
a b + b 2c 2 + c 2 a 2

Tam giác vuông OBC :

Bài 6. (Tr 26-HH12CB)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a . Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy
một góc bằng 600 . Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vng góc với
SA .
a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b/ Tính thể tích khối chóp S.DBC
Giải
a/ Các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 600 thì:
S
Hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm đáy
Vì đáy là tam giác đều suy ra hai tam giác
SAB=SAC
D
, do đó BD=DC.
a 3
Tam giác ABC có : AM=
, tam giác SAO có :
2

A

a

O

C
M

B
R SAO = 600 ⇒ ∠ASO=300 ⇔ OA =

SA
3 3a
⇒ SA = 2OA = a 3, SO = SA
=
2
2
2

Mặt khác SA ⊥ ( BDC ) ⇒ SA ⊥ DM , cho nên SD là đường cao của chóp S.BDC .
Tam giác AMD có AD=AMcos600 =

a 3 1 a 3
a 3 3 3a
. DM= AM.sin600 =
. =
.
=
2 2
4
2
2
4
2

 a 3  13a 2
a 13
BD = AB − AD = a − 
Tam giác ABD :
 4 ÷ = 16 ⇒ BD = CD = 4 .

÷


1
11
1 3a a 3 a 3 3
Vì vậy : VA. BDC = S BDC . AD =
BC.DMAD = a.
=
3
32
6 4 4
32
3
11 2
a 3
a 3 3 a 3 3 3a 3 3
0 3a
Ta có VS . ABC =
a sin 60
=
⇒ VS .BDC = VS . ABC − VA. BDC =
−
=
32
2
8
8
32
32

3
a 3 3a 3
a 3−
V
SD
SA − AD
4 = 32 = 3.8 = 3
.1.1 =
=
Tỉ số thể tích : S . BCD =
VS . ABC SA
SA
32 4
a 3
a3 3
4
8
2

2

2

2

Bài 7. (Tr 26-HH12CB)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a và CA=7a . Các mặt bên
SAB,SBC ,SCA tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích của khối chóp đó
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 17


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Giải
Do các mặt bên ngiêng đều với đáy một
góc cho nên hình chiếu của S trên đáy trùng
với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Suy ra BH là phân giác góc B . Mặt khác ta

S

AB + BC + CA 5a + 6a + 7a
=
= 9a
2
2
= p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

lại có : p =
Và S ABC

A

= 9a ( 9a − 5a ) ( 9a − 6a ) ( 9a − 7 a ) ,

5a

= 9a.4a.3a.2a = 6a 6

Ta lại có : S ABC = pr . ( Với r =EM) . Suy ra
2

: pr = 6a 2 6 ⇒ r = ME =

7a

600
H
M

6a

N
B

6a 2 6 2a 6
.
=
9a
3

Từ đó suy ra chiều cao SO , tam giác vuông SMH : SH = MH tan 600 =
1
3

C

2a 6
3 = 2a 2 .

3

1
3

Vậy : VS . ABC = S ABC SH = 6a 2 62a 2 = 4a 3 .2 3 = 8a 3 3
Bài 8. (Tr 26-HH12CB)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vng góc với đáy và
AB=a ,AD=b và SA=c . Lấy B',D' theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB' vng góc với
SB , AD' vng góc với SD . Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C' . Tính thể tích khối chóp
S.AB'C'D'
Giải
 AB ' ⊥ SB

⇒ AB ' ⊥ SC . (1)
 AB ' ⊥ BC ( BC ⊥ SAB )


- Kẻ AB' vng góc với SB , AD ' ⊥ SD . Vì 

 AD ' ⊥ SD
⇒ AD ' ⊥ ( SDC ⇔ AD ' ⊥ SC
 AD ' ⊥ DC

S

Tương tự : 

D'

(2) .
 SC ⊥ B ' C '
Từ (1) và (2) ⇒ SC ⊥ ( AB ' D ') ⇔ 
 SC ⊥ D ' C '
Vì vậy ta chỉ kẻ B'C' ⊥ SC và nối C'D' ta được thiết

diện của (AB'D') cắt chóp : AB'C'D'.
Các tam giác : SB'A và SAB , SD'A và SAD dồng
dạng , suy ra ta có các tỉ số đồng dạng :

C'
B'
D
a

A

B
b
SB ' SA
SB ' SA2
c2
=
↔
=
=
;
SA SB
SB SB 2 a 2 + c 2
SD ' SA

SD ' SA2
c2
=
→
=
= 2 2 . Tam giác SC'A ~ SAC suy ra:
SA SD
SD SD 2 b + c
SC ' SA
SC ' SA2
c2
=
↔
=
=
.
SA SC
SC SC 2 a 2 + b 2 + c 2

C

VS . A ' B 'C ' SB ' SC ' VS . A ' D 'C ' SD ' SC ' VS . A ' B 'C ' + VS . A ' B ' C ' SC '  SB ' SD ' 
=
;
=
⇒
=
+

÷

VS . ABCD
Ta có : VS . ABC
SB SC VS . ADC
SD SC
SC  SB SD 
2
Trang 18

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
 c2
c2
c2 
c4
1 
 1
= 2
+ 2 2 ÷= 2
+ 2 2 ÷= k
2
2  2
2
2
2
2  2
a +b +c  a +c b +c  ( a +b +c )  a +c b +c 
VS . A ' B 'C ' + VS . A ' B 'C '
2V

1
1 1
1
⇔ S . AB 'C ' D ' = k ⇒ VS . AB 'C ' D ' = kV = k abc = abck
VS . ABCD
Vậy
V
2
2 3
6
2
abc 5 ( a 2 + b 2 + 2c 2 )
1
c4
1 
 1
VS . AB 'C ' D ' = abc 2
+
=
6


( a + b2 + c2 )  a 2 + c 2 b2 + c 2 ÷ 6 ( a 2 + b2 + c2 ) ( a 2 + c2 ) ( b2 + c2 )

Bài 9. (Tr 26-HH12CB)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy là hình vng cạnh a , cạnh bên tạo với đáy
một góc 600 . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD
cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích khối chóp S.AEMF ?
Giải
- Nối AM cắt SO tại I . Kẻ qua I một dường

S
thẳng song song với BD cắt SB tại E và cắt SD
tại F . Nối EF và MF ta có thiết diện tạo bởi (P)
qua AM và // BD .
Tam giác SEF ~ SBD suy ra :

SE SF SI
=
=
(*)
SB SD SO

M

F

E

Vì M là trung điểm của SC và O là trung điểm
của AC suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC ,

I

A

60 0

D

SI 2

= (1). Trong tam giác vuông SOB
SO 3
O
a 2
a 6
B
C
ta có SO = OB tan 600 =
(2)
3=
2
2
1
1
1 a 6 a3 6
- Tính VS . ABCD = a 2 SO = a 2
(3) ; VS . ABC = VS . ADC = VS . ABCD = V '
=
2
3
3
2
6
VS . AEM SE SM 2 1 1
V
SF SM 2 1 1
=
.
= . = ; ⇔ S . AFM =
.

= . = ( Do từ (*))
Và : ⇔
VS . ABC SB SC 3 2 3
VS . ABC SB SC 3 2 3

suy ra

S

Bài 10. (Tr 27-HH12CB)
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có
tất cả các cạnh bằng a
a/ Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C ?
b/ Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác
ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F . Tính thể
tích hình chóp C.A'B'FE ?
Giải
a/ Vì lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng a suy
ra tam giác hai đáy là tam giác đều , và các mặt
bên là các hình vng .
1 1
3 2

Ta có : VA ' BB 'C = VC. A' BB ' = . a 2 .a =

A

E

C

G
B

F

3

a
6

b/ Vì A'B' song song với mặt phẳng (ABC) cho
nên mặt phẳng qua A'B' và trọng tâm G sẽ cắt

A'

C'
Trang 19

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

M
B'


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

(ABC) theo giao tuyến qua G và song song với AB , cắt AC tại E và cắt BC tại F .Kéo
dài B'F và A'E chúng đồng quy tại S .
V ' SE SC SF
=

.
.
(1)
V SA ' SC ' SB '
SC SE SF
EF
EF 2
=
=
=
=
= .
Nhưng :
SC ' SA ' SB ' A'B' AB 3
V' 2 2 2 8
8
1
1 1
1
Suy ra : = . . = ⇒ V ' = V (2) . Ta có : VC . A' B ' C ' = BCC ' = B. SC ' = V (3)
V 3 3 3 27
27
3
3 3
3
1 
 8
Vậy : VC . A ' B ' FE = V − ( V '+ VC . A ' B 'C ' ) = V −  V + V ÷
3 
 27

Gọi V = VS . A ' B 'C ' ;V ' = VS .CEF ⇒

VC . A ' B ' FE =

10
10 1 1 2 3
5a 3 3
5a 3
V=
a
.3a =
=
27
27 3 2
2
3.18 18 3

Bài 11. (Tr 27-HH12CB)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB'
và Đ' . Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm 2 khối đa diện . Tính tỉ số thể tích hai
khối đó .
Giải
Từ C kẻ đường thẳng
I
song song với BD nó cắt
N
D'
AB và AD tại I và K .
M A

Nối các đường thẳng IE,
'
B'
C'
F
và KF chúng cắt A'B' và
A'D' tại M và N . Suy ra
O
A
D
K
(CEF) cắt khối hộp theo
E
thiết diện là CEMNF.
Ta xét khối đa diện chứa
C
cạnh AA' gọi là V'
B
Xét : B'E=IA'=a/2 suy ra
3
2

IA = a . Mặt khác : IB=

J

a
1
1 3a 3a 3a 9a 3
=

=KD=IA' . V0 = VI .AJK = .S AIK .IA = .
.
2
3
3 2 2 2
8
1
1 1 a a a a3
1 1 a a a3
V1 = VI . A ' MN = S A' MN .IA ' =
=
V2 = VJ . BCE =
a. =
= VK .CDF
3
3 2 2 2 2 48
3 2 2 2 24
9a 3  a 3
a 3  49a 3
−  + 2 ÷=
Như vậy V ' = V0 − ( V1 + 2V2 ) =
8  48
24 
48

Phần thể tích cịn lại là : ?
Bài 12. (Tr 27-HH12CB)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh là a Gọi M là trung điểm A'B' , N là trung
điểm của BC
a/ Tính thể tích khối tứ diện ADMN ?

b/ Mặt phẳng (DNM) chia khối lập phương thành hai khối da diện

Trang 20

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Giải
a/ Tính thể tích khối tứ diện ABMN.
Xét tam giác vng ABN ( vng tại
B)
Ta có S AND = S ABCD − ( S ANB + S DCN )

I
A'

D'

M

2

a
a
= a2 − a =
. Do đó thể tích tứ diện
2
2

B'

ABMN coi như là thẻ tích khối chóp
M.ABD có đáy là tam giác ADN và
chiều cao kẻ từ M xuống đáy = AA'=a
suy ra VM . ADN =

F

E

1 a2
a3
.a =
.
3 2
6

B

C'
A

D

N

C

b/ Nối DN cắt AB tại J . Nối JM cắt
J
BB' tại E và cắt A'B' tại M , cắt AA' tại
I . Nối ID cắt A'D' tại F . Như vậy (DMN) cắt khối chóp theo thiết diện : DNEMF .
Ta đi tính thể tích khối đa diện chứa cạnh AA' . .Tam giác BJN=CDN suy ra JB=CD=a .
EB ' MB ' a 1 1
=
= . =
EB
JB
2 a 2
EB '+ EB 1 + 2
BB ' 3
2
2
1
⇔
=
⇔
= → EB = BB ' = a ⇔ EB ' = a
EB
2
EB 2
3
3
3
a
Tam giác MB'E = tam giác IA'M suy ra EB'=IA'= . Tam giác IA'F đồng dạng với tam
3
FA ' IA ' a 1

1
1
a
=
= .
= ⇒ FA ' = AD =
giác IAD suy ra AD IA 3 a + a 4
4
4
3
1 1
1 a a a a3
11
1 2a a
a3
VI . A ' MF = . A ' M . A ' F .IA ' =
. . =
EB.BN .JB =
.a =
. VJ . BEN =
3 2
6 2 4 3 144
32
6 3 2
18
2
3
1 1
1
a  a 4a 4 a


=
Mặt khác : VJ .?D = . JA. AD.IA = 2a.a.  a + ÷ =
3 2
6
3 3 3
9


Tam giác JEB đồng dạng với tam giác EMB' suy ra

4a 3  a 3 a 3  55a3
−
+ ÷=
. Thể tích hình lập phương
9  144 18  144
V( H ) 55
55a 3 89a 3
3
=a −
=
⇔
=
144
144
V( H ') 89

Do dó : V( H ) = VI .AJD − ( VI . A ' MF + VJ . BEN ) =
3
3

bằng a ⇒ V( H ') = a − V( H )

PHẦN TRẮC NGHIỆM
Bài 6. (tr28-HH12CB)
Cho hình chóp S.ABC . Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SB . Khi đó
tỉ số thể tích hai khối chóp S.A'B'C và S.ABC bằng
A.

1
2

B.

1
3

C.

1
4

D.

1
8

Giải

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 21


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Gọi H là hình chiếu của C trên (SAB). Như vậy hai
khối chóp S.A'B'C ( hay C.SA'B;) và S.ABC ( hay C.
SAB ) có cùng chiều cao CH . Khi đó

S

SA ' SB ' 1
=
=
SA SB 2

1
dt ( SA ' B ') 2 SA '.SB 'sin ( ASB ) 1 1 1
=
= . = .
Với :
1
dt ( SAB )
2 2 4
SA.SB.sin ( ASB )
2
1
dt SA ' B ) h
VS . A ' B 'C 3 (
1

=
= . Vậy đáp án C đúng .
Do đó :
1
VS . ABC
dt ( SAB ) h 4
3

A
'

B'
H

C

A
B

Bài 7. (tr28-HH12CB)
Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A',B',C'D' theo thứ tự là trung điểm của SA,SB,SC,SD . Tỉ
số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD là
A.

1
2

B.

1

4

C.

1
8

D.

1
16

Giải
Vì A',B',C',D' là trung điểm các cạnh SA,SB,SC,SD cho nên mặt phẳng (A'B'C'D') song
song với (ABCD).
SA ' SB ' SC ' SD ' 1
=
=
=
= . Gọi góc giữa AB và BC là góc ∠ABC = ∠A ' B ' C ' .
SA SB SC
SD 2
¼
S .A ' B ' C ' D ' A ' B '.B ' C '.sin A ' B ' C '
1 1 1
=
= . =
Do dó
S ABCD
2 2 4

AB.BC.sin ¼
ABC

Do đó :

(

(

)

)

1
S
h'
VS . A ' B 'C ' D ' 3 A ' B ' C ' D '
1 h' 1 1 1
=
=
= . = . Vậy đáp án C là đáp án đúng .
Suy ra :
1
VS . ABCD
4 h 4 2 8
S ABCD h
3

Bài 8. (tr28-HH12CB)
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là :

A.

a3 2
3

B.

a3 2
4

C.

a3 3
2

D.

a3 3
4

Giải
1 2
a2 3
0
Ta có đáy là một tam giác đều cạnh a , suy ra diện tích: S = a sin 60 =
. Do cạnh
2
4
a3 3
bên bằng a cho nên V =

. Vậy đáp án D là đáp án đúng .
4

Bài 9. (tr28-HH12CB)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB'D' và khối hộp bằng
A.

1
2

B.

1
3

C.

1
4

D.

1
6

Giải
Ta coi tứ diện ACB'D' là khối chóp C.AB'D' . Khối chóp này có chiều cao bằng AA'=
c .Cịn diện tích đáy A'B'D' bằng 1/2 diện tích của hình bình hành đáy .

Trang 22

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218


Suy ra : VC . AB ' D '
Vhop

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012
1 1
. S ABCD h
1
3 2
=
= . Vậy đáp án D là đáp án đúng .
S ABCD h
6

THAM KHẢO MỘT SỐ BÀI TẬP HAY TRONG BTHH-12
Bài 1 ( Bài 23-tr9-BTHH12NC)
Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A1 B1C1 D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và A1 D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a/ Hạ AK vng góc với A1 D ( K thuộc A1 D ) . Chứng minh rằng AK=2
b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 .
Giải
B1
C1
a/ Từ giả thiết thì hai đáy là những hình vng .
 AB ⊥ ( AA1 D ) → AB ⊥ AK

⇒ AK là

 AK ⊥ A1 D


Ta nhạn xét : 

A
1

 x = A1 K

AA1 D ⇒ AK 2 = A1 K .KD ⇔ 
4 = x ( 5 − x )


D1

K

đoạn vng góc chung của hai đường thẳng AB và
A1 D vì thế AK=2 ( giả thiết cho ).
b/ Theo đầu bài thì AK=2 , A1 D =5 . Trong tam
giác vuông

C
B
A

D

 25 − 5 = 2 5 ↔ AA1 = 1

 x = A1 K
 x = A1 K = 1
2
.
⇔ 2
⇒
↔ AD = A1 D 2 − AA1 = 
 25 − 20 = 5 ↔ AA1 = 4
 x = A1 K = 4
 x − 5x + 4 = 0

 4 + 1 = 5 ↔ A1 K = 1
2
2
Do đó : VAA1 K ↔ AA1 = AK + A1 K = 
 4 + 16 = 2 5 ↔ A1 K = 4

2
VABCD. A B C D = AD .AA1 = 20. 5 ↔ A1 K = 1
1 1 1 1

Vậy : VABCD. A B C D = AD 2 .AA1 = 10. 5 ↔ A1K = 4

1 1 1 1

Bài 2.( Bài 24-tr9-BTHH12NC).
Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là tam giác đều , mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy
một goác 300 và tam giác A'BC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ .
Giải
Vì VABC đều , suy ra kẻ AK vng góc với BC thì K

A'
B'
là trung điểm của BC . AA' ⊥ ( ABC ) cho nên
∠AKA ' = 300 . Từ đó A'K=2AA' (1) . Gọi cạnh tam
C'
giác đều đáy bằng a , A'K =x ( x>0) . Ta có :
A'K x
= .
2
2
1
Từ giả thiết : 8 = a.x ⇔ a.x = 16 .(1)
2
x 3 a 3
AK = x.sin 600 =
=
⇒ a = x (2). Từ (1) và (2)
2
2

AA'=A'K sin300 =

B

A
K
C
1
2

suy ra x=a=4 . Và AA'=2 . Vậy thể tích khối lăng trụ là V= a 2 sin 600.2 =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

a2 3
=8 3 .
2
Trang 23


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Bài 3.( Bài 25-tr9-BTHH12NC).
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C' D' có đáy là hình bình hành và ∠BAD = 450 . Các
đường chéo AC' và DB' lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 . Hãy tính thể tích
khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2 .
Giải
Vì AC' tạo dáy 1 góc bằng 450 cho nên tam giác
A'
D
ACC' vng cân suy ra AC=CC' (1). Vì DB' tạo
0
0
'
đáy một góc bằng 60 suy ra ∠BB ' D = 30 suy ra
BD=

DB '
. Nếu chiều cao hình lăng trụ bằng 2 thì
2

có nghĩa là BB'=2 = CC' =AC . Xét tam giác BAD
ta có : BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 AB. AD.cos450 (1)
Trong tam giác ABC :
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC.cos1350 (2) . lấy (1) (2) vế với vế ta được :

B'

C'
A

450
D

B

C
2
2
BD − AC = −2 AB. AD
− 2 ABBC
2
2
= −2 AB. AD 2 . (3) .Trong tam giác BB'D có B'D=2 BB' = 2.2=4 và BD = BB'
2
cot 300 =
. Trong tam giác ACC' : AC=CC'=2 . Thay vào (3) ta có kết quả sau :
3
4
8
4

⇔ − 4 = −2 2 AB. AD ⇒ AB. AD =
=
.
3
3.2 2 3 2
2

2

Vậy : VABCD. A ' B 'C ' D ' = AB. AD sin 450 AA'=

4

2
4
.2 = .
3
3 2 2

Bài 4.( Bài 27-tr9-BTHH12NC).
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật với AB= 3 , AD= 7 . Hai mặt
bên (ABB'A') và ( ADD'A') lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 . Tính thể tích
khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Giải
Kẻ A'H vng góc với đáy . Kẻ HI vng góc với
B'
C'
AD , và HK vng góc với AB suy ra
∠A ' IH = 600 ; ∠A ' KH = 450 . Chính là góc nghiêng
của hai mặt phẳng (ABB'A') và (ADD'A') với đáy .

A'
D'
Từ đó suy ra tam giác A'KH vng cân A'H=KH
B
.Tam giác vng A'IH có góc IA'H = 300 suy ra
C
3
A'H=2IH (2) .AIHK là hình chữ nhật Đặt A'H =x ,
thì A'I =

A' H
2x
=
và AI=
0
sin 60
3

AA'2 − A ' I 2 =

H

A

I

7

D

3 − 4x2
= HK . Nhưng HK=A'H x.
3

cot 450 = x . Suy ra :

3
3 − 4 x2
3
. Vậy VABCD. A ' B 'C ' D ' = AB. AD.x = 7. 3. = 3
=x⇔x=
7
3
7

Bài 5.( Bài 28-tr9-BTHH12NC).
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với mặt bên (ABB'A') có diện tích bằng 4 .
Khoảng cách giữa cạnh CC' và mặt bên (ABB'A') bằng 7 . Tính thể tích hình lăng trụ
Trang 24

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218


Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Giải
Chú ý : Đây là một bài toán rất hay . Khoảng
cách từ một đường thẳng song song với một
mặt phẳng bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song , trong đó một mặt phẳng

chứa đường thẳng // .
Ta dựng hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Khi đó

A'
B'

ABC . A ' B ' C '

C'
A

1
VABC . A ' B 'C ' = VABCD. A ' B 'C ' D ' Mặt khác :
2
VABCD. A ' B 'C ' D ' = S ABB ' A ' .h Với : S ABB ' A ' = 4 và

( h = d ( CDD'C') ; ( ABB ' A ')  = 7 ) . Vậy : V



D'

D
B

C

1
= .4.7 = 14 .
2

Bài 6.( Bài 29-tr9-BTHH12NC).
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB=
2 . Cho biết mặt phẳng (AA'B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA'= 3, ∠AA'B= góc
nhọn , góc giữa mặt phẳng (A'AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Hãy tính thể tích khối
lăng trụ .
Giải
B'
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (AA'B) và (ABC).
Kẻ A'K vng góc với giao tuyến AB , Vì góc AA'B
nhọn cho nên K thuộc tia AB . Kẻ KM vng góc với
A'
AC , theo định lý ba đường vng góc suy ra A'M
C'
⊥ AC , do đó ∠A ' MK = 600 . Giả sử A'K=x , ta có :

3

AK = AA'2 − A ' K 2 = 3 − x 2 ;

(

)

A
2 ( 3 − x2 )
x
Mặt khác , MK = A ' K cot 60 =
⇒
2

3
x
3
1
3 5
=
⇔x=
. Vậy VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' K = AC.CB. A ' K =
3
5
2
10

B

K

2

2
¼
MK = AK sin KAM = 3 − x 2 sin 450 =
. 3 − x2
2

M

C

0

Bài 7.( Bài 43-tr11-BTHH12NC).
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi B',D' lần lượt là trung điểm của
SB,SD . Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D'
và S.ABCD
Giải
Kẻ OC'' song song với AC' , suy ra SC'=C'C''=C''C .
S
VS . AB ' C ' SB ' SC ' 1 1 1
SC ' 1
=
.
= . = .
= . Ta có :
VS . ABC
SB SC 2 3 6
SC 3
VS . AB ' C ' 1
= . Chứng minh tương tự ta
Từ đó suy ra :
VS . ABCD 12

Vậy

cũng có :

VS . AD 'C ' 1
V
V
+V

1
= ⇒ S . AB ' C ' D ' = S . AB ' C ' S . AD ' C ' =
VS . ABCD 12
VABCD
VABCD
6

C'

D'

B'
A
B

C''

D

O
C

Bài 8.( Bài 44-tr11-BTHH12NC).
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Trang 25