Hệ thống một số dạng bài HSG toán 9

HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN HSG
Bài 1: cho x> y> 0 và 2x
2
2y
2
Tính giá trị biểu thức:
x y
E
x y
+
=
−
Giải Xét E
2
= 9 suy ra E = 3
Bài 2: Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= 14 và a + b +c = 0. tính giá trị biểu thức: a
4
+ b
4
+ c
4
Giải:
- Tính 14
2
= (a

2
+ b
2
+ c
2
)
2

- Tinh: (a + b +c)
2

- KQ= a
4
+ b
4
+ c
4
= 49
Bài 3: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:
x
2
+ 2y + 1 = 0
y
2
+ 2z + 1 = 0
z
2
+ 2x + 1 = 0 Tính x
200
+ y

200
+ z
200
HD: Cộng vế ta có kết quả: x = y = z = -1 suy ra x
200
+ y
200
+ z
200
= 3
Bài 4: Cho x, y , z là các số không âm thỏa mãn:
x + xy + y = 1
y + yz + z = 3
z + xz + x = 7 Tính giá trị biểu thức: M = x
2
+ y
2
+ z
2
HD: x + xy + y = 1 Suy ra x( y + 1) + (y+1) = 1 + 1 Suy ra (x+1) (y+1) = 2
Tương tự (y+ 1) (z+ 1) = 4
(x + 1) (z+ 1) = 8 Nhân vế (x+1)
2
(y+1)
2
(z+1)
2
= 64
KQ: M = 28
Bài 5:Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 3 4 1 1999 2000
A = + + + + + + + +
Là một số hữu tỷ
Giải: Chứng minh công thức:
2
2 2 2 2
1 1 1 1
(1 ) 1
( 1) ( 1)k k k k
+ + = + +
− −
Kết quả: A=1998 +
1 1
2 2000
−
là một số hữu tỷ
Bài 6: Tính:
2
2
2
1999 1999
1 1999
2000 2000
P = + + +
Giải: 2000
2
= (1999 + 1)

2
= 1999
2
+ 2.1999 + 1
Vậy : 1 + 1999
2
= 2000
2
– 2.1999
Giải ra được P = 2000.
Bài 7: Chứng minh số:
3
3
3
2 1
( 2 1)
3
A
−
= +
Là một số nguyên?
Giải :

3
3
3
3
3
2 1
( 2 1) .

3
A
−
= +
KQ : A= 1
Bài 8: Chứng minh đẳng thức:

3 3
20 14 2 14 2 20 4+ − − =
HD: đặt vế trái bằng x tính x
3
rồi suy ra x = 4
Bài 9: Tương tự giải chứng minh các đẳng thức sau:
a)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
b)
3 3
5 2 7 5 2 7 2+ − − =
Bài 9: Chứng minh đẳng thức:
3
3
3 3 3
1 2 4
2 1
9 9 9
− = − +
HD giải: Đặt
3
2 a=

suy ra: 2 = a
3
đẳng thức cần chứng minh tương đương:

2
3
3
1
1
9
a a
a
− +
− =
Bài 10: Rút gọn: A =
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 2000 1998 1999 2000
+ +
+ + +

HD giải: Nhận xét:
1 1 1
2 1 1 2 1 2
1 1 1
3 2 2 3 2 3
= −
+
= −
+

Bài 11: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05
2010 chữ số 1 2009 chữ số 0
Chứng minh
1ab +
là số tự nhiên.
Giải: b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6
2009 chữ số 0 2010 chữ số 0 2010 chữ số 9
⇒
ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a
2
+ 6a + 1 = (3a + 1)
2
⇒

Naaab ∈+=+=+ 13)13(1
2
Bài 12: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: 13n + 3
Giải:
Đặt 13n + 3 = y
2
(y
∈
N)
⇒
13(n - 1) = y
2
– 16
⇔
13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒

(y + 4)(y – 4)

13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4

13 hoặc y – 4

13
⇒
y = 13k
±
4 (với k
∈
N)
⇒
13(n - 1) = (13k
±
4)
2
– 16 = 13k.(13k
±
8)
⇒
13k
2
±
8k + 1
Vậy n = 13k
2

±

8k + 1 (với k
∈
N) thì 13n + 3 là số chính phương
Bài 13: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 2
8
+ 2
11
+ 2
n
là số chính phương
Giả sử 2
8
+ 2
11
+ 2
n
= a
2
(a
∈
N) thì
2
n
= a
2
– 48
2
= (a + 48) (a – 48)
2
p

. 2
q
= (a + 48) (a – 48) với p, q
∈
N ; p + q = n và p > q
⇒
a + 48 = 2
p

⇒
2
p
2
q
= 96
⇔
2
q
(2
p-q
– 1) = 2
5
.3
a – 48 = 2
q
⇒
q = 5 và p – q = 2
⇒
p = 7
⇒

n = 5 + 7 = 12
Thử lại ta có: 2
8
+ 2
11
+ 2
n
= 80
2

B ài 14: : Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
xy + 3x - 5y = -3
Giải : a) Cách 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18
⇔
(x – 5) (y + 3) = -18
Cách 2 :
3
18
5
3
35
+
−=
+
−
=
yy
y
x
B ài 15 : Tìm nghiệm nguyên. x

3
- 2y
3
- 4z
3
= 0
Giải :
⇔
x
3
= 2(y
3
+ 2z
3
)
VP

2
⇒
x
3


2
⇒
x

2 đặt x = 2k
8k
3

= 2(y
3
+ 2z
3
)
⇔
4k
3
= y
3
+ 2z
3
⇒
y
3
= 4k
3
- 2z
3
= 2(2k
3
- z
3
)
⇒
y chẵn. Đặt y = 2t ta có :
8t
3
= 2(2k
3

- z
3
)
⇒
4t
3
= 2k
3
- z
3
⇒
z
3
= 2k
3
- 4t
3

⇒
z chẵn
⇒
z = 2m
⇒
8m
3
= 2(k
3
- 2t
3
)

⇒
k chẵn
B ài 16: Giải hệ phương trình





=++
++=++
2004200320032003
222
3zyx
zxyzxyzyx
Giải:






=++
++=++
)2(3
)1(
2004200320032003
222
zyx
zxyzxyzyx
Ta có:

PT (1)
0222222
222
=−−−++⇔ zxyzxyzyx
0)()()(
222
=−+−+−⇔ xzzyyx
zyx
==⇔
Thế vào (2) ta có:
20042003
33 =x
20032003
3=x
suy ra
3=x
Do đó x= y=z = 3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là:
(x;y;z) = (3;3;3)
B ài 17: Giải các hệ phương trình






++=+
++=+
6
5

2233
22
xyyxyx
yyxx
Đặt: x-y=a; x+y =b
Hệ đã cho trở thành



=
=+
)2(6
)1(5
2
ba
aab
Từ PT (2) ta suy ra
0
≠
a
Do đó:
2
6
a
b =
Thế vào (1) ta được:
5
6
=+ a
a

065
2
=+−⇔ aa
(Vì
0≠a
)
0)3)(2( =−−⇔ aa




=
=
⇔
3
2
a
a
+)
2
3
2 =⇒= ba
Hay








−
=
=
⇔





=−
=+
4
1
4
7
2
2
3
y
x
yx
yx
+)
3
2
3 =⇒= ba
Hay








−
=
=
⇔





=−
=+
6
7
6
11
3
3
2
y
x
yx
yx
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y) =







−






−
6
7
;
6
11
;
4
1
;
4
7
Bài 18: Giải các hệ phương trình
a)



=++
=++
xyzzyx

zyx
444
1
Giải:
Nhận xét: Từ BĐT
0)()()(
222
≥−+−+− accbba
Ta suy ra:
(*)
222
cabcabcba ++≥++
áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta được
222222444
xzzyyxzyx ++≥++
)( zyxxyz ++≥

⇔
xyzzyx ≥++
444
Đẳng thức xẩy ra khi:
3
1
=== zyx
Vậy hệ đã cho có nghiệm là:







=
3
1
;
3
1
;
3
1
);;( zyx
Bài 19: Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng:
( )
2 2 2
1
a b c
a b c
b c a
+ ≥ + +
Giải
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 0
2 2 2 0
0
a c b a c b a bc b ac c ab

ac a ab b ab b bc c bc c ca a
ac a b ab b c bc c a dpcm
⇔ + + − − − ≥
⇔ − + + − + + − + ≥
⇔ − + − + − ≥ ⇒
Bài 20: Cho a, b, c > 0. CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3a b c a b a c b c b a c abc+ − + + − + + − ≤
(1)
Giải
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2
/ , 0
1 3 0
0
0
0
0
G s a b c
abc a b c a b a c b c b a c

a a ab ac bc b b bc ba ac c c ac bc ab
a a b a c b b c b a c c a c b
a b a ac b bc c a c b c
a b a b c c a c b c
≥ >
⇔ − + − + + − + + − ≥
⇔ − − + + − − + + − − + ≥
⇔ − − + − − + − − ≥
⇔ − − − + + − − ≥
⇔ − + − + − − ≥
Suy ra ĐPCM.
Bài 21: Chứng minh rằng:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
) 1
) 4 4 4 4 8 1
a a b c d ab ac ad
b a b c ab ac bc
+ + + ≥ + +
+ + ≥ − +
Giải:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
) Ta có
=

4 4 4 4
0
2 2 2 4
a a b c d ab ac ad
a a a a
ab b ac c ad d
a a a a
b c d
+ + + − − −
     
− + + − + + − + +
 ÷  ÷  ÷
     
     
= − + − + − + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
2
) Ta có : 4 4 4 4 8
4 4 4 4 8
2 4 4 2
2 2 0

b a b c ab ac bc
a ab b c ac bc
a b c c a b
a b c
+ + − + −
= − + + + −
= − + + −
= − + ≥
Bài 22: Cho a + b > 1 . Chứng minh:
4 4
1
8
a b+ >
Giải
( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
4 4
1
0
2 2
1
2 8
a b
a b a b

a b
a b
+
− ≥ ⇒ + ≥ >
+
⇒ + ≥ >
Bài 23: Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c
Tìm GTNN của P nếu a > 0
Giải: Ta có: P =
2
2 2 2
2
4 4 2 4
b b b b b
a x x c a a c
a a a a a
 
 
+ + + − = + + −
 ÷
 ÷
 
 
Nếu a > 0 thì P
≥
2
4
b

c
a
−
. Vậy minP =
2
4
b
c
a
−
khi
2
b
x
a
= −
Nếu a < 0 thì P
≤
2
4
b
c
a
−
. Vậy maxP =
2
4
b
c
a

−
khi
2
b
x
a
= −
Bài 25: Cho x – 2y = 2. Tìm GTNN của Q = x
2
+ 2y
2
– x + 3y
Giải:
2 2
2 2
2 2 2 2 4 8 4 2 2 2 3
3 9 11 11
6 9 2 6
2 16 8 8
x y x y Q y y y y y
y y y y
− = ⇒ = + ⇒ = + + + − − +
 
= + + = + + − ≥ −
 ÷
 
Vậy minQ =
11 3
khi
8 4

x− = −
Bài 26: Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y
6≥
. Hãy tìm GTNN của P =
6 8
3 2x y
x y
+ + +
Giải
Ta có:
( )
3 3 6 8 3 3 6 8
.6 2 . 2 . 9 6 4 19
2 2 2 2 2 2
x y x y
P x y
x y x y
= + + + + + ≥ + + = + + =
Vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4.
Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1. Tìm GTNN của biểu thức
A = x
4
+ y
4
+ z
4
Giải
Áp dụng BĐT BCS ta có
( )
( ) ( ) ( )

( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 4 4 4
1
1 1 1 1
1 1 3
minP = khi x = y = z =
3 3 3
xy yz zx x y z x y z x y z
x y z x y z
P
= + + ≤ + + + + = + +
⇒ ≤ + + ≤ + + + +
⇒ ≥ ⇒
Bài 28: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m.
. 2 1 (1)
2 3 (2)
m x y m
x my
+ = +


+ =
