Tài liệu "Hệ thống một số phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .."

Phần I. Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài.
Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen
thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: tốt nghiệp, cao đẳng, đại
học, trung học chuyên nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chơng trình
toán phổ thông. Mặt khác do đối tợng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng
gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong sách giáo khoa còn ít và cha đa dạng. Để việc dạy và
học phần này chủ động hơn và có hiệu quả hơn tôi viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại
trà.
Việc giải quyết bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến hàm số có tác dụng
to lớn đối với học sinh:
- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giải cho bài, học sinh thấy đ ợc
mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn,
hiệu quả giờ dạy cao hơn.
- Thứ hai: Việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp
học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo. Khi giải
bài toán này học sinh thờng xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan nh: Giải phơng trình,
biến đổi tơng đơng, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ
năng biến đổi ...
- Thứ ba: Thông qua việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của
hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy nh: Phân tích, tổng hợp, có khả năng
đặc biệt hoá, khái quát hoá bài toán. Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh các phẩm chất
trí tuệ nh: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạo mỗi khi gặp một
bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giải khác nhau, chọn ra cách giải hay nhất.
Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ các vấn
đề khác nên học sinh gặp khó khăn nh lúng túng khi tìm đờng lối giải có khi vận dụng
một cách máy móc dập khuôn.
Vì những lí do trên, tài liệu này "Hệ thống một số phơng pháp giải bài toán
xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh hay mắc
phảitrong quá trình giải bài toán".

II. Nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu.
Nhằm đề xuất phơng pháp giúp việc dạy và học nội dung bài toán xác định tính
đồng biến, nghịch biến của hàm số đạt kết quả cao hơn.
III. Phơng pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu các sách giáo khoa, tài liệu tham
khảo và các tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phơng pháp giảng dạy ở
trờng THPT.
IV. Cấu trúc kinh nghiệm.
Chơng I.
Các kiến thức cơ bản.
Chơng II.
Các dạng bài toán về tính đơn điệu.

1


Phần II. Nội dung kinh nghiệm.
Chơng I. Các kiến thức cơ bản.
I. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
1. Định nghĩa.
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói:
- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu x1 ; x 2 ∈ (a;b) mµ
x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )

- Hµm sè y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu x1 ; x 2 ∈ (a;b) mµ

x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 )

- Hµm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu
trên khoảng đó.

2. Điều kiện tơng đơng với định nghĩa.
Giả sử x1 ; x 2 (a;b), x1 ≠ x 2 ;

y 2 − y1 f ( x 2 ) − f ( x1 )
=
x 2 x1
x 2 x1

y
> 0 trên khoảng (a;b).
x
y
< 0 trên khoảng (a;b).
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b)
x

- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b)

Từ đó suy ra:

lim
- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) f(x) = x0

khoảng (a;b).
lim
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) f(x)= x0

khoảng (a;b).

y

0 trên
x
y
0 trên
x

II. Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số.
1. Định lí 1
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a, NÕu f’(x)>0 ∀ x ∈ (a;b) th× y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.
b, Nếu f(x)<0 x (a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
2. Định lí 2
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f(x) 0 (hoặc f(x) 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên (a;b)
thì y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
3. Điểm tới hạn
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x 0 (a;b). Điểm x 0 đợc gọi là
một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f(x) không xác định hoặc bằng 0.
4. Quy tắc tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số đợc thông qua bảng biến thiên.
a, Tìm các khoảng giới hạn.
b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.
III. Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng.
2


1. Hàm số bậc nhất
y= ax+b
(a 0)

- Tập xác định: R
y = a.
a>0 y > 0 Hàm số luôn đồng biến.
a<0 y < 0 Hàm số luôn nghịch biến.
2. Hàm số bậc hai
y = ax 2 + bx + c
(a 0)
- Tập xác định: R
y’ = 2ax + b.
y’ = 0 ⇔ x =

b
2a

+ Nếu a>0


x
y

b
2a



+

-

+

+ Nếu a<0


x

0

y

+

y

+

-

b
2a

0

+



4a

y

4a



+




b
;+ )
2a
b
;
).
2a


b
;+
2a
b
;
).
2a

Hàm số đồng biến trên (

Hàm số nghịch biến trên (

và nghịch biến trên (

) và đồng biến trên (



- Vẽ đồ thị:
a>0

a<0
8

8

6

6

-

4a

4

2

-10

4

2

b
2a

-5

5

-10

10

-5

-2

-2

-4

-4

-6

4a

-6

-8

-8

y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)

3. Hµm sè bËc ba
- Tập xác định: R
y = 3ax 2 + 2bx + c
= 3a x +



2

(a ≠ 0)

b 
b − 3ac
 −
3a 
3a
2

3

b
2a

5

10

∞


2

=

b 
∆

3a x +
 −
3a 
3a


* a, ∆ = b 2 − 3ac < 0 ⇒ y’ cïng dÊu víi a.
Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến.
Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến.
* Bảng biến thiên:
a>0
+
x
x
y
+

y



+

y

a<0

+

-

+

y





* Đồ thị:
a>0

a< 0
8

8
6

6
4

4
2

2

-1
0

-1
0

-5

5

-5

5

10

10
-2

-2
-4

-4
-6

-6
-8

* b, = b 2 − 3ac = 0 ⇒ y’ cïng dÊu víi a víi ∀x ≠ −

b
.
3a



NÕu a> 0 hµm sè bËc ba luôn đồng biến trên khoảng ;



khoảng

b
và đồng biến trên
3a

b

;+ .
3a

Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến ;

b
và nghịch biến trên khoảng
3a

b

;+ .

3a


* §å thÞ:
a>0

a< 0

4


8

8
6

6

4

4
2

2

-1
0

-1
0

-5

5

-5

5

10

10
-2

-2
-4

-4

-6

-6
-8

* c, ∆ = b − 3ac > 0 ⇒ y’ = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x 2 ( x1 < x 2 ).
a>0
x1
x2
x
−∞
y’
+
0
0
+
y
f( x1 )
2

−∞
x
y’
y

+∞
+∞

f( x 2 )
a<0

x1

-

+

+

x2

0

+

0

-

f( x 2 )



f( x1 )
* Đồ thị:
a>0

a<0

8
1
0

6
8

4
6

2
4

-1
0

-5

5

10

2

-2
-1
0

-5

5

-4
-2

-6
-4

-8

4. Hàm số trùng phơng
y = ax 4 + bx 2 + c
(a 0)
- Tập xác định: R
y = 4ax 3 + 2bx = 2 x( 2ax 2 + b )
- NÕu b > 0 ⇒ y’ = 0 cã một nghiệm x = 0
a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và nghịch biến trên khoảng ( 0 ; + ).
a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) và đồng biến trên khoảng ( 0 ; + )
* Bảng biến thiên:
-6

5

10


x
y
y

a>0
0



+

+
+

-

0

+

a<0
0



x
y
y

+

+

0
f(0)

-





f(0)
* Đồ thị :
a>0

a<0
10

6

8

4

6

2

4
-10

-5

5

10

2

-2

-4

-10

-5

5

10

-2

-6

-4

-8

-6

b

2a

- Nếu b 0 y = 0 cã ba nghiƯm ph©n biƯt x = 0 ; x =
* Bảng biến thiên:
a>0
x



y
y

+

b
2a



-

0

+

b
2a

f(

b
2a

0
0
f(0)

-

+

0

)

+

f(

b
2a

+

)

a<0
x

y
y

-

0
f(



b
2a



b
2a

b
2a

0
+

0

-

)

0
f(

f(0)

* Đồ thÞ:
6

+∞

b
2a

+
)

−∞


a>0
8

6

4

2

-1

0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

a<0
8

6

4

2

-1
0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

Chơng ii. Các dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số
Bài toán 1.
Cho hàm số y = f(x). HÃy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
* Phơng pháp giải:
- TXĐ.
- Tìm điểm tới hạn.
- Lập bảng biến thiên.
- Suy ra chiều biến thiên của hàm số.
* Ví dụ 1: Xác định các khoảng đơn điệu cđa hµm sè:
a, y = 2 - x - x 2 .
b, y = x 3 + 3x − 4 .
c, y = x 4 − 2 x 2 − 3 .
d, y =

x 2 + 3x + 2
.
x

e, y =

x +2
.
3 x −1

Gi¶i:
a, HS tù gi¶i.
b, y = x 3 + 3x − 4 .
- TX§: R
- y’ = 3x 2 + 3 > 0 , ∀x ∈R
;
⇒ Hµm số đồng biến trên khoảng ( +)
c, y = x 4 − 2 x 2 − 3 .
- TX§: R
7


- y’ = 4 x 3 − 4 x = 4 x( x 2 − 1)
Y’ = 0

x = 0
⇔x =
1

x =1


Bảng biến thiên:

x
y
+
y

-1
0

+

0
0

-

1
0

+

+
+

;
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1 ) và (0;1)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1; + )
* Ví dụ2: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:
a, y = e x - x.
b, y = x. lnx.
Giải:

a. TXĐ: R .
y’ = e x - 1.
y’ > 0 ⇔ e x - 1 > 0 ⇔ e x > 1 = e 0 ⇔ x > 0.
y’ < 0 x < 0.
;
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 )
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞ )
b, y = x. lnx.
*
TX§: R +

y’ = lnx + x.

1
= lnx + 1
x

1
.
e
1
y’ < 0 ⇔ lnx < 1 = ln e −1 ⇔ x < e −1 = .
e
1
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; )
e
1

Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;+ )
e

y > 0 ⇔ lnx > 1 = ln e −1 ⇔ x > e 1 =



Bài toán 2:
Cho hàm số y = f(x). Có tập xác định R. Tìm điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến.
* Phơng pháp giải:
- Tính y.
- Hàm số luôn đồng biến y 0, x R
Bài toán trở thành Tìm điều kiện để y’ ≥ 0, ∀x ∈R ”.
+) Gi¶ sư y’ = f’(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
Để hàm số đồng biến
+) Giả sử y = f(x) =

ax + b

a> 0
⇔
∆ ≤ 0

(a ≠ 0)
8


Ta thấy: Hàm số có đạo hàm là một nhị thức bậc nhất hoặc có đạo hàm
đồng
dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không bao giờ đồng biến đợc.
+) Giả sử y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
y’ = 0 Luôn có ít nhất một nghiệm thực, do đó hàm số tơng ứng không thể đồng

biến.
* Chú ý: Dạng bài toán tìm điều kiện để hàm số y = f(x) luôn nghịch biến làm tơng tự nh
trên.
* Ví dụ 1:
Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên R.
y = x + cosx.
Giải:
TXĐ: R
1
y = 1 - sinx 0, x R . Vì sin x Hàm số luôn đồng biến trên R.
* Ví dụ 2:
Cho hàm sè y = x 3 − 3( 2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
Giải:
y = 3x 2 − 6( 2m + 1) x + (12m + 5) .
2
∆’ = 9( 2m +1) − 3(12m + 5)
= 36m 2 + 36m + 9 − 36m − 15
= 36m 2 − 6 = 6( 6m 2 − 1)
§Ĩ hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:
2
y 0, ∀x ∈R ⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ ( 6m 1) 0

Vậy các giá trị của m cần tìm là

1
1
m
6
6

.

1
1
m
6
6

* Ví dụ 3:
Cho hàm số y =(m - 3)x - (2m + 1 )cosx. T×m m để hàm số luôn nghịch biến.
Giải:
y = (m - 3) + (2m + 1)sinx
Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:
y 0, x R ( m − 3) + ( 2m +1) sin x ≤ 0 , x R .
Đặt t = sinx với 1 t 1 .
Bài toán trở thành: Xác ®Þnh m ®Ĩ:
t [
g(t) = (m - 3) + (2m + 1).t ≤ 0, ∀ ∈ −1;1]

 g ( − 1) ≤ 0  ( m − 3) − ( 2m + 1) ≤ 0
⇔
⇔
 g ( 1) ≤ 0  ( m − 3) + ( 2m + 1) 0
4 m

2
3

Vậy giá trị của m cần tìm là: 4 m
* Ví dụ 4:

− m − 4 ≤ 0
⇔
3m − 2 ≤ 0

2
3

9

m≥ −4

⇔ 2
 m ≤ 3


Cho hµm sè y = x 3 − ( 2m + 1) x 2 − ( 2m 2 − 3m + 2) x + 2m( 2m − 1) . Chøng minh rằng hàm
số không thể luôn luôn đồng biến.
Giải:
y = 3 x 2 − 2( 2m + 1) x − ( 2m 2 − 3m + 2) .
2
∆’ = ( m + 1) + 3( 2m 2 − 3m + 2)
= m 2 + 2m + 1 + 6m 2 − 9m + 6
= 7( m 2 − m + 1)
V× ( m 2 − m + 1) > 0, ∀m ⇒ ∆ > 0, ∀m . Do ®ã, y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, m .
Suy ra đạo hàm không > 0 với mọi x. Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến.
* Bài toán 3
Cho hµm sè y = f(x;m), m lµ tham sè. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên
khoảng ( ;+).
* Phơng pháp giải:

y = f(x;m).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;+ ) y ' ≥ 0 , ∀x > α .
+) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax 2 + bx + c (a 0). Hoặc y luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;+).

a> 0

0

hoặc

a > 0
∆ > 0


⇔  g(α ) > 0

α > S
 2


+) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax + b (a 0). Hoặc y luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;+).

a> 0

g( ) 0

* Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;+).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:

y=

2 3

x 2mx 2 + ( m 2 − 2m − 1) x + 1 ®ång biÕn trong kho¶ng (1;+ ) .
3

Gi¶i:
y’ = 2 x 2 − 4mx + ( m 2 − 2m − 1)
∆’ = 4m 2 − 2( m 2 − 2m − 1)
= 2( m 2 + 2m + 1)
= 2( m + 1) 2 ≥ 0
-) NÕu m = -1 ⇒ y ' = 2( x + 1) 2 ≥ 0 . Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến

trong khoảng (1;+ ) . Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp.
-) Nếu m -1 ⇒ ∆' > 0 , y’ cã hai nghiÖm phân biệt x1 ; x 2 . Giả sử x1 < x 2 .
Ta cã, y’ ≥ 0, ∀x ∉ ( x1 ; x 2 ) .
10



Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng ( −1;+ ) lµ:

m≠ −1
∆ ' > 0


⇔  m 2 − 6m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 3 − 2 2 vµ m ≠ -1
 y' (1) ≥ 0
S

m< 1
 <1

2
VËy: m ≤ 3 − 2 2
* VÝ dụ 2: Xác định m để hàm số:

y = 2 x 3 − 3(m + 2) x 2 + 6( m + 1) x − 3m + 6 ®ång biÕn trong kho¶ng (5;+ ) .
Gi¶i:
2
y’ = 6 x − 6(m + 2) x + 6( m + 1)
y’ = 0 cã hai nghiÖm x = 1, x = m + 1.
∞
-) NÕu m = 0 ⇒ y ' ≥ 0 Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến (5;+ ) .
Do đó, giá trị m = 0 thÝch hỵp.
-) NÕu m ≠ 0: y’ cã hai nghiƯm phan biƯt x1 ; x 2 . Gi¶ sư x1 < x 2 .
Ta cã, y’ ≥ 0, ∀x ( x1 ; x 2 ) .

Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng (5;+ ) là:
0, ∀ > 5 ⇔ x1 < x 2 ≤ 5 ⇔ m + 1 ≤ 5 ⇔ m ≤ 4
x
y’
m 4 thoả mÃn yêu cầu bài toán.
Vậy
* Ví dụ 3: Xác định m để hàm số:

y=

mx 2 + 6 x 2

nghịch biến trong khoảng (1;+ ) .
x+2

Giải:

TXĐ: R\ {2}
y’ =

mx 2 + 4mx + 14
( x + 2) 2

y ' ≤0, ∀ ≥1 ⇔ mx 2 + 4mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ 1
x


m< 0

⇔  m(5m + 14) ≥ 0 ⇔

S
− 2= < 1

2

m< 0
 14

14
 m≤ − ⇔ m≤− 5
5


 − 2 < 1

* Bµi toán 4:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số.
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ).
* Phơng pháp giải:
y = f(x;m).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ∞; α ) ⇔ y ' ≥ 0 , ∀x < α .
+) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). Hc y’ lu«n cïng dÊu víi g(x).

11


Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ). ⇔

a> 0

∆ ≤ 0

a > 0
∆ > 0


hc ⇔  g ( α ) > 0

α < S
 2


+) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax + b (a 0). Hoặc y luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ).

a< 0

g( α ) ≥ 0

* Chó ý: T¬ng tù cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
;
y = x 3 − 3( 2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 ®ång biÕn trong kho¶ng ( −∞ 1) .
Gi¶i:
y’ = 3 x 2 − 6(2m + 1) x + (12m + 5)
∆’ = 9(2m + 1) 2 − 3(12m + 5)
= 36m 2 + 36m 6 36m
= 6(6m 2 1)
x
;
Để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1) , thì y ≥ 0, ∀ < −1 .

∆ ' ≤ 0


∆ > 0
  y ' ( − 1) > 0

 S
 2 > −1


(

)

 6m 2 − 1 ≤ 0
 2
  6m > 0
⇔ 
24m + 14 > 0

  2( 2m + 1) > − 1


1
 1
≤m ≤
−
6
6

 7
1
⇔ −
6
 12

 
1
m >

6



⇔m>−

7
12

12

1
 1
−
≤m≤

6
6


1
m < −
6


1
m >
⇔ 
6




7
m > −
12


3
m > −
4





Vậy m >

7
12

* Ví dụ 2: Xác định m để hàm số:
y=

mx + 4
x+m

;
nghịch biến trong khoảng ( 1) .

Giải:

TXĐ: R\ { m}
y =

m2 4
( x + m) 2

;
;
Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1) , thì y giảm trên khoảng ( 1)

m2 − 4 < 0
 − 2< m< 2
⇔
⇔
 − m ∉ ( − ∞ ;− 1)  − m 1

2 < m 1

* Bài toán 5:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số.
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ).
* Phơng pháp giải:
y = f(x;m).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) ⇔ y ' ≥ 0 , ∀x < α .
+) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax 2 + bx + c (a 0). Hoặc y luôn cùng dấu với g(x).
Nếu a>0 thì


> 0

> 0


Hoặc ≤ 0 hc
 g ( β ) > 0 hc
 g(α ) > 0
 S
S
β <
 <α
 2
2

∆ > 0

NÕu a>0 th×  g ( α ) > 0
 g( β ) > 0

+) Gi¶ sư y’ = g(x) = ax + b (a 0). Hoặc y luôn cùng dÊu víi g(x).
Ta cÇn cã y’ ≥ 0, ∀x ∈(α; β )

a> 0

⇔  g( α ) ≥ 0
 g( β ) ≥ 0


hc

a< 0


⇔  g( α ) ≥ 0
 g( β ) ≥ 0


13


 g( α ) ≥ 0
⇔
 g( β ) ≥ 0

* Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y = x 3 + mx 2 m đồng biến trong khoảng (1;2 ) .
Gi¶i:
2
y’ = − 3x + 2mx
x= 0
2
y’ = 0 ⇔ 3x − 2mx = 0 ⇔  2m
x=
 3
Gi¶ sư x1 < x 2 . Ta cã, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x 2 ) . Hµm số đồng biến trong khoảng (1;2 )
y ' > 0, (1;2 ) . Điều kiện phải có là:
x
x1 = 0 < 1 < 2 < x 2 =

2m
3

 − 3g ( 1) < 0
⇔
 − 3g ( 2) ≤ 0


 − 3 + 2m > 0
m>
⇔ 2
⇔
 − 12 + 4m ≥ 0  m ≥ 3

víi g(x) = − 3x 2 + 2mx

3
⇔m≥3

VËy m ≥ 3
* VÝ dụ 2: Xác định a để hàm số:
y=

x3
+ ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x đồng biến trong khoảng (0;3) .
3

y = x 2 + 2( a − 1) x + a + 3

Gi¶i:

∆' = a 2 − a + 4 > 0, ∀a

⇒ y’ cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x 2 . Gi¶ sư x1 < x 2 . Ta cã, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x 2 ) . Hàm số
đồng biến trong khoảng (0;3)
y ' > 0, ( 0;3) . Điều kiện phải cã lµ:
x
x1 ≤ 0 < 3 ≤ x 2

 − 1g ( 0) ≤ 0
⇔
 − 1g ( 3) ≤ 0

víi g(x) = − x 2 + 2( a − 1) x + a + 3

14


 g ( 0) ≥ 0
⇔
 g( 3) ≥ 0
VËy a ≥

 a + 3≥ 0
⇔
 − 9 + 6( a − 1) + a + 3 ≥ 0

a≥ −3

⇔ 12
a 7

a

12
7

12
7

Phần III: Kết quả kinh nghiệm
Tài liệu này đà đạt đợc một số kết quả:
- Hệ thống đợc các phơng pháp giải toán xác định tính đơn điệu của hàm số, mỗi
phơng pháp đợc minh häa b»ng mét sè vÝ dơ cơ thĨ.

15


- Thông qua việc giải bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số giúp học sinh
cùng cố, đào sâu kiến thức, thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ các kiến thức toán học.
- Việc giải bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số không chỉ nhằm hình thành
kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh mà còn phát huy đợc tính tích cực, độc lập, sáng
tạo của học sinh. Đây chính là vấn đề mấu chốt, là mục tiêu cơ bản của dạy học hiện đại.
Những két quả trên đây tuy còn nhỏ bé nhng cũng giúp cho việc giảng dạy và học
tập đợc chủ động và đạt kết quả cao hơn. Học sinh có tiến bộ và yêu thích môn toán hơn.
Tuy nhiên tài liệu vẫn còn sơ sài, rất mong sự đóng góp của đồng nghiệp để tài liệu
đợc đầy đủ và hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.

16