Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi

Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang

Một chút thư giãn cho các thày sau một kì luyện thi.
Không dành cho những bạn lười suy nghĩ.
Ai đã đọc phần đầu của bài viết thì bỏ qua để đọc tiếp.
Ai chưa đọc chữ nào thì đọc từ đầu.


MỞ ĐẦU:

Hãy dừng lại ở trang 1 đã!

Bằng những hiểu biết của mình về dao động tắt dần, hãy giải bài tập sau:

Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm một vật có khối lượng m = 100g gắn vào 1 lò xo có độ cứng
k = 10N/m. Hệ số ma sát trượt giữa vật và sàn là 0,1. Ban đầu đưa vật đến vị trí lò xo bị nén một đoạn
7cm và thả ra. Tính quãng đường vật đi được cho tới khi dừng lại. Lấy g = 10 m/s
2
.



Có phải kết quả của bạn là 24,5cm không?
Kết quả của tôi tính được là 24cm.


Nếu bạn không cùng kết quả với tôi, xin hãy đọc bài viết sau đây. Có thể là tôi sai mà chưa phát
hiện ra. Nhưng cũng có thể là bạn sai. Dù thế nào thì tôi cũng rất mong nhận được phản hồi!
Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang

ĐẶT VẤN ĐỀ:

Dao động tắt dần là một trong những nội dung khó của chương dao động cơ trong chương trình vật lý
12. SGK vật lý 12 – Nâng cao đã khảo sát một cách sơ lược dao động tắt dần của một vật dưới tác dụng
của ma sát nhớt. Có thể tóm tắt như sau:
+ Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian.
+ Nguyên nhân: Khi vật dao động trong môi trường ( không khí, nước, dầu…) thì các phần tử môi
trường đã tác dụng lực cản lên vật ( lực đó gọi là ma sát nhớt). Lực ma sát nhớt làm cho cơ năng
của vật dao động chuyển thành nhiệt.
+ Dao động tắt dần càng nhanh nếu môi trường càng nhớt.
Cái khó khi nghiên cứu về loại dao động này là độ lớn của lực ma sát nhớt phụ thuộc vào tốc độ của
vật. Khi vật dao động càng đến gần vị trí cân bằng thì lực ma sát nhớt tác dụng vào nó càng lớn.
Để viết được phương trình của một vật dao động tắt dần, ta phải lập và giải được phương trình vi phân
bậc hai. Việc này cần đến các công cụ của toán cao cấp và vượt ra ngoài phạm vi kiến thức toán THPT.
Chính bởi vậy, khi nói về dao động tắt dần của một vật trong một môi trường, SGK cả cơ bản và nâng
cao đã đề cập đến một cách hết sức sơ lược, chủ yếu là nhằm cho HS nắm được khái niệm dao động tắt
dần là gì, do nguyên nhân nào gây ra, có ứng dụng gì trong thực tế… mà không đi sâu vào khảo sát định
lượng bằng các biểu thức. Tôi nghĩ làm như thế là hợp lý, vì việc khảo sát chi tiết loại dao động này khó
và cũng không thực sự cần thiết.
Trong bài viết này, tôi cũng nói về dao động tắt dần, nhưng trong một trường hợp , đơn giản hơn. Đó
là trường hợp

VẬT DAO ĐỘNG TẮT DẦN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC CẢN
CÓ ĐỘ LỚN KHÔNG ĐỔI.
(Ví dụ như dao động tắt dần dưới tác dụng của ma sát trượt)

Có nhiều cách để tiếp cận vấn đề. Ở đây, tôi sử dụng phương pháp so sánh.
Giả sử ta có một con lắc lò xo được đặt trên một mặt sàn nằm ngang. Ban đầu, lò xo có chiều dài tự
nhiên và vật ở vị trí O. Ta kéo vật đến A và thả ra, vật sẽ dao động tắt dần dưới tác dụng của lực ma sát
trượt. Ta lưu ý là ma sát trượt có độ lớn không phụ thuộc vào tốc độ của vật.

Bây giờ ta hãy so sánh chuyển động của vật với một con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng.

O
A
l
0
Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang


So sánh hình 1 và hình a.
Ở hình a: Vật chuyển động từ A theo phương thẳng đứng đi lên B.
Trọng lực P:
+ Có độ lớn không đổi và ngược hướng với chuyển động.
+ Không làm ảnh hưởng đến chu kì dao động của con lắc.
+ Làm cho vị trí cân bằng của con lắc được kéo xuống một đoạn l
0
= mg/k.
Ở hình 1: Lực cản F cũng có độ lớn không đổi và ngược hướng chuyển động. Vậy nó cũng có vai trò
như trọng lực P ở hình a. Vậy tác dụng của lực cản F
C
ở hình 1 là:
+ Không làm ảnh hưởng đến chu kì riêng của con lắc.
+ Làm cho vị trí cân bằng của dao động chuyển từ O đến vị trí mới là O
1
( với OO
1
= F
C

/k)

Vậy, trong nửa chu kì đầu, vật nhận O
1
là vị trí cân bằng tạm thời và dao động điều hòa từ A đến B.

Tương tự, so sánh hình 2 và hình b ta sẽ thấy

Trong nửa chu kì tiếp theo, vật nhận O
2
làm vị trí cân bằng tạm thời và dao động điều hòa từ B đến C.

F
C
P
l
0
B O O
1
A
B




O
O
1

A
F
C
B O
2
O C
C


O
O
2




B

Hình 1
Hình 2
Hình b
Hình a
Chiều chuyên động
Chiều
chuyển
động
Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang

Vậy ta có thể hình dung, một “chu kì” dao động tắt dần gồm hai nửa chu kì như hình vẽ sau:


Ở hình vẽ này, ta lưu ý những điều sau:

+ Thời gian mỗi nửa chu kì bằng nhau và bằng ½ chu kì dao động riêng của con lắc.
+ O
1
và O
2
đối xứng nhau qua O và cách nhau đoạn O
1
O
2
= 2F
C
/k
+ Dễ thấy: OA – OB = O
1
O
2
= 2Fc/k. Nghĩa là: Sau mỗi nửa chu kì, vị trí biên lại nhích gần lại O
một đoạn bằng 2Fc/k.

Bây giờ, ta vận dụng những điều rút ra ở trên để giải một số bài tập:

Bài 1(ĐH 2010). Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật
nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ
là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10

m/s
2
. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là
A. 40
3
cm/s. B. 20
6
cm/s. C. 10
30
cm/s. D. 40
2
cm/s.

Giải:
Ta có : AO = 10cm.
OO
1
= F
ms
/k = µ.m.g/k = 0,02m = 2cm. Suy ra: O
1
A = 8cm.
 =
k 1
5 2
m 0,02
 
rad/s.
Tốc độ của vật lớn nhất trong nửa chu kì đầu tiên khi nó qua vị trí cân bằng.
V

max
= O
1
A.  = 8.5
2
= 40
2
cm/s. Chọn D.

Bài 2: Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng 100g gắn vào lò xo có độ cứng 0,01N/cm dao
động tắt dần chậm từ thời điểm t = 0 với biên độ ban đầu là 10cm. Trong quá trình dao động, lực cản tác
dụng vào vật có độ lớn không đổi 10
-3
N. Tính tốc độ lớn nhất của vật sau thời điểm t = 21,4s. Lấy 
2
= 10.
A. 58 mm/s B. 59 mm/s. C. 56 mm/s D. 57 mm/s
Giải:
Ta tính được:  =
k 1
π
m 0,1
 
rad/s.
T = 2s. Vậy mỗi nửa chu kì là 1s.
Sau mỗi nửa chu kì, vị trí biên tiến lại gần O một đoạn bằng
3
3
c
2F 2.10

2.10 m 2mm
k 1


  

Sau 21s ( tức là sau 21 nửa chu kì) vị trí biên tiến lại gần O đoạn 21.2 = 42mm.
Ban đầu vật cách O 100mm. Sau 21s, vật cách O 100 – 42 = 58mm.
Ở thời điểm t = 21s, vật bắt đầu từ biên cách O 58mm đi về vị trí cân bằng. Sau 0,5s (một phần tư chu
kì) nó sẽ đạt được tốc độ cực đại tại vị trí O
1
(ở phía trước và cách O một đoạn 1mm.).
Tốc độ cực đại mà vật đạt được là:
V
max
= AO
1
.  = 57.  (mm/s) Chọn D.

Nhận xét: Kết quả sẽ  nếu phải tính tốc độ cực đại sau thời điểm t = 21,6s.
O
2
O
O O
1
B C A
Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang


Bài 3. Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm một vật có khối lượng m = 100g gắn vào 1 lò xo có độ

cứng k = 10N/m. Hệ số ma sát trượt giữa vật và sàn là 0,1. Ban đầu đưa vật đến vị trí lò xo bị nén một
đoạn và thả ra. Khi vật đi qua điểm E, tốc độ của vật đạt cực đại lần thứ nhất và bằng 60cm/s. Hỏi vật sẽ
đi qua điểm E mấy lần nữa và hãy tính tốc độ của vật mỗi khi nó đi qua E.

Giải:

Ta tính được:  = 10rad/s O
1
O = O
2
O = F
ms
/k = 0,01m = 1cm.
Sau mỗi nửa chu kì thì vị trí biên tiến lại gần O đoạn bằng O
1
O
2
= 2cm.
Lần đầu tiên vật đạt vận tốc cực đại tại E ( trùng với O1, là vị trí cân bằng tạm thời của lượt đi)

Ta có : v
max1
= . AO
1
. Suy ra AO
1
= 60/10 = 6cm.
Khi đi từ trái sang phải, vật lấy O
1
làm tâm dao động, khi đi từ phải sang trái, vật lấy O

2
làm tâm dao
động. Vậy ta vẽ được quá trình dao động của vật như ở hình trên.
Dựa vào hình vẽ, ta suy ra sau thời điểm đầu tiên đạt tốc độ cực đại tại E, còn có hai thời điểm nữa
vật đi qua E.
Thời điểm thứ hai, vật qua E khi nó đi từ B đến C. Tốc độ của vật khi đó là tốc độ của vật dao động
điều hòa với biên độ 4cm khi có li độ 2cm.
2 2 2 2
v
ω A x 10 4 2 20 3
    
cm/s.
Thời điểm thứ ba vật đi qua E khi nó đi từ C đến O
2
. Tốc độ của vật khi đó là tốc độ cực đại của một
vật dao động điều hòa với biên độ 2cm.
V
3
= . CE = 10.2 = 20 cm/s.
Lưu ý: Khi tới O
2
thì vật dừng lại ở đó, vì tại đây lực đàn hồi của lò xo là 0,1N không thắng được
lực ma sát nghỉ cực đại ( lớn hơn 0,1N) để làm cho vật chuyển động từ trạng thái nghỉ. (Một sai lầm mà
mọi người hay mắc phải là cho rằng: Khi dừng lại thì vật ở O, lò xo có chiều dài tự nhiên)
Đến đây, bạn đọc đã biết vì sao mình có kết quả là 24,5cm chưa?

Bài 4. Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu, kéo vật đến vị trí lò xo bị dãn
9,5cm và thả ra thì sau khi đi được quãng đường 8,5cm, vật đạt được tốc độ cực đại là 85cm/s. Bỏ qua lực
cản của không khí tác dụng vào vật.
a. Hãy tính quãng đường vật chuyển động từ lúc bắt đầu dao đông đến lúc dừng lại.

b. Tính thời gian chuyển động của vật.
Giải.

a. Nửa chu kì đầu, vật lấy O
1
là vị trí cân bằng tạm thời. Theo đề bài thì O
1
cách O một đoạn 1cm. Do
đó O
1
O
2
= 2cm. Quá trình dao động của vật được thể hiện như trên hình vẽ. Lưu ý rằng, trong nửa chu kì
cuối cùng, vật bắt đầu đi từ E, lấy O
1
là tâm dao động tạm thời, chuyển động tới F thì dừng lại ở đó ( vì tại
đây, lực đàn hồi có độ lớn bằng ma sát trượt, không thắng được ma sát nghỉ cực đại để kéo vật chuyển
động từ trạng thái nghỉ)
Từ hình vẽ, ta tính được quãng đường chuyển động của vật cho tới khi dừng lại là:
S = 2(8,5 + 4,5 + 0,5 + 6,5 + 2,5) = 45cm.
A C E O B
O
2
O
1
6

6

4

4

2

2

Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang




b. Thời gian chuyển động của vật gồm có 5 nửa chu kì ( 3 lượt đi và 2 lượt về).
Vậy t = 5T/2 = 2,5T
Chu kì T được tính theo tốc độ cực đại lần thứ nhất tại O
1
.
 
1
max1 1 1
max1
2π.AO2π 2π.8,5
v AO .
ω AO . T 0,2π s
T v 85
     

Thay vào trên ta suy ra thời gian chuyển động của vật là:
t = 2,5.0,2 = 0,5 (s)

Nhận xét: Trong mọi trường hợp, cuối cùng vật sẽ dừng lại ở một vị trí biên ( vì khi đó nó có vận
tốc bằng không và lực đàn hồi của lò xo không đủ để kéo nó đi nữa). Nếu ban đầu vật đi từ một vị trí biên
thì thời gian dao động của vật sẽ luôn là một số nguyên của nửa chu kì.

KẾT LUẬN:

+ Đây là một vấn đề không phải dễ nói để học sinh hiểu được. Nếu có thời gian, và nếu cảm thấy
học sinh có thể nắm bắt được thì các thày cô hãy nghiên cứu và giảng cho các em. Nếu không, có thể chỉ
cần nói như sách giáo khoa là đủ.
+ Tôi đã đọc một số tài liệu của các tác giả viết về dao động tắt dần, trong đó tác giả có xây dựng
các công thức nhằm giúp các em HS vận dụng để giải nhanh bài tập trắc nghiệm, đó là một ý tưởng hay.
Nhưng tôi thấy cần phải xem lại một số công thức. Có phải nó đúng trong mọi trường hợp không? Chúng
ta cần phải nghĩ lại một cách nghiêm túc.

Các thày cô hãy suy nghĩ xem, những công thức ở trang sau sẽ áp dụng được trong trường hợp nào?
Khi nào thì nó sai?

Cám ơn những ai quan tâm đến vấn đề này và góp ý cho tôi!
A C E F D B
O
1

O
2
O
O
0,5
4,.5
8,.5
8,.5

4,.5
6,.5
6,.5
2,.5
2,.5
0,5
Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang


Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang

PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHÍNH XÁC:
THỜI GIAN DAO ĐỘNG, QUÃNG ĐƯỜNG VẬT ĐI ĐƯỢC CHO ĐẾN KHI DỪNG HẲN.

Theo lập luận trên thì vị trí dừng lại cuối cùng của vật sẽ là một điểm nào đó nằm trong đoạn O
1
O
2
, vì
khi vật nằm trong đoạn đó, lực đàn hồi nhỏ hơn lực ma sát nghỉ cực đại. Do vậy không thể kéo vật chuyển
động từ trạng thái đứng yên được.
Từ đó suy ra, nửa chu kì dao động cuối cùng, vật sẽ chuyển động từ một điểm M nào đó nằm ngoài
đoạn O
1
O
2
đến điểm M’ nằm trong đoạn O
1
O
2

.



Giả sử sau m nửa chu kì thì vật đến M ( để bắt đầu thực hiện nửa chu kì dao động cuối cùng)
Gọi A
0
là biên độ dao động ban đầu của vật ( Đúng hơn phải gọi là khoảng cách từ vị trí ban đầu của
vật đến )
Gọi
c
1 2
2F
δ O O
k
 
là độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì.
Sau m nửa chu kì, vật đến M cách O một đoạn OM = A
0
- m.
Do M nằm ngoài O
1
O
2
nên OM >
2
δ
OO
2


Do M’ nằm trong đoạn O
1
O
2
nên O
2
M = O
2
M’
1 2
O O
δ
 
. Và do vậy, OM = OO
2
+ O
2
M
3
δ
2


Từ những điều trên ta suy ra:
0
δ 3δ
A mδ
2 2
  

Suy ra:
0 0
A A
3 1
m
δ 2 δ 2
   

Tổng số nửa chu kì dao động mà vật thực hiện cho đến khi dừng lại là: N = m + 1.
Từ biểu thức trên ta có:
0 0
A A
1 1
N
δ 2 δ 2
   

Vậy số nửa chu kì dao động mà vật thực hiện được cho đến khi dừng lại là giá trị nguyên nằm trong
nửa khoảng
0 0
A A
1 1
;
δ 2 δ 2
 


 







Bây giờ, nếu biết số nửa chu kì mà vật dao động thực hiện cho đến khi tắt hẳn là N, ta tính thời gian
dao động và quãng đường vật đi được như sau:
+ Thời gian dao động của vật là: t = N.
T
2

+ Quãng đường vật đi được : S = S
1
+ S
2
+ + S
N

Trong đó S
1
, S
2
, …, S
N
là quãng đường mà vật đi được sau những nửa chu kì tương ứng.
O
1

O
2

O
M
M’
Nửa chu kì thứ m
Nửa chu kì cuối
x
Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang

Bây giờ, ta hãy đi tìm mối quan hệ giữa các quãng đường S
1
, S
2
, … S
N
này.



Giả sử ban đầu vật đi từ A.
Nửa chu kì đầu tiên vật đi từ A đến B. Quãng đường đi được là S
1
= 2O
1
B.
Nửa chu kì thứ hai vật đi từ B đến C. Quãng đường đi được là S
2
= 2O
2
B.
Ta có S

1
- S
2
= 2O
1
B - 2O
2
B = 2O
1
O
2
= 2
Tương tự như vậy hiệu số giữa quãng đường đi được trong nửa chu kì thứ hai và quãng đường đi
được trong nửa chu kì thứ ba là:
S
2
- S
3
= 2O
2
C - 2O
1
C = 2O
1
O
2
= 2.
………………………….
Vậy độ dài các quãng đường S
1

, S
2
, …., S
N
trong các nửa chu kì tương ứng lập thành một cấp số cộng
với công bội q = - 2.
Theo công thức tính tổng N số hạng ban đầu của cấp số cộng ta có:
 
1 2 N 1 N
N
S S S S S S
2
     
Với S
N
= S
1
+ Nq = S
1
- N.2.
Thay vào trên ta có: S =
 
2
1 1 1
N
S S N.2
δ NS N δ
2
   

Tóm lại: Để tính chính xác thời gian và quãng đường trong dao động tắt dần, ta thực
hiện theo các bước sau:
1. Tính độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì
c
1 2
2F
δ O O
k
 

2. xác định số nửa chu kì dao động: Đó là giá trị nguyên của N, với
0 0
A A
1 1
N
δ 2 δ 2
   

3. Tính thời gian của dao động: t = N.
T
2

4 . Tính quãng đường của dao động:


1
S N. S N
δ
 

( với S
1
là quãng đường vật đi
được trong nửa chu kì đầu tiên)


O
1

O
2

O
B
Nửa chu kì đầu tiên
Nửa chu kì thứ hai
x
A
C
Dao động tắt dần với lực cản có độ lớn không đổi Nguyễn văn Đạt – Lạng Giang 1, Bắc Giang

ÁP DỤNG:
Quay trở lại làm bài tập ví dụ 4:
Bài 4. Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu, kéo vật đến vị trí lò xo bị dãn
9,5cm và thả ra thì sau khi đi được quãng đường 8,5cm, vật đạt được tốc độ cực đại là 85cm/s. Bỏ qua lực
cản của không khí tác dụng vào vật.
a. Hãy tính quãng đường vật chuyển động từ lúc bắt đầu dao đông đến lúc dừng lại.
b. Tính thời gian chuyển động của vật.

Lời giải:

a. Theo đề bài O
1
O = 1cm. Suy ra  = 2cm. Và có A
0
= 9,5cm.
Số nửa chu kì dao động mà vật thực hiện cho đến khi dừng lại là giá trị nguyên của N, trong biểu
thức:
0 0
A A
1 1
N
δ 2 δ 2
   
. Thay số :
9,5 1 9,5 1
N
2 2 2 2
   
. Suy ra N = 5.
Quãng đường vật đi được trong nửa chu kì đầu tiên là: S
1
= 2.8,5 = 19 cm.
Tông quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại là:



1
S N. S N
δ
 

= 5(19 - 5.2) = 45cm.
b. Chu kì T được tính theo tốc độ cực đại lần thứ nhất tại O
1
.
 
1
max1 1 1
max1
2π.AO2π 2π.8,5
v AO .
ω AO . T 0,2π s
T v 85
     

Tổng thời gian chuyển động của vật là: t = N
T
2
= 5.0,1 = 0,5 (s)