Tiểu luận tốt nghiệp phép chia trên tập hợp số nguyên

Trang 1



n
I HC C

B C



LU TT NGHIP

 


P HP S 


ng dn:
Th.S Nguy
c tp:
Tr

Lp:

C



Trang 2






 2
 4
 4
 4
 5
 5
 5
 6
 6
 6
 6
 6
 6
 7
 7
 8
 8
 8
 8

 9
 9
 9
 10
2.7 . 11
 ma. 11
2.9 . 12
 12
 12
 14
 14
 14
3.2 . 20
3.2.1 . 20
3.2.2 . 24
3.2.4 . 28
3.2.5 . 30
3.2.6  36
3.2.7  41
3.2.8  44
3.2.9  46
3.2.10  49
3.2.11  51


Trang 3



3.2.12 . 53

 56
 57
 60


























Trang 4




i gn lin vch s n c
mc ting. Trong thi hin
t thit phn t

n hic mi c
o nhng 
c khoa hc. S n ca khoa hc t 
nn tng ca khoa hc. Vy d ph c cung cp tri
thc bit phi bi
 t
n th gi

p THCS, kin thn ca b 
ni qu, c
v u, nc sinh cn phi nm
 

Song mu cng na v i vi
i h t n c
i thy phi tht s ng dy
 o t c k 

u kin thc, k  tng khi.
i s n cha d tuy

i vi hc sinh,  nhng rt d nh
b d tuyi khi gic bing b
t hai d tuyi tr n lu
ba d tuyp dn ln
c sinh r y s cn
thi p hp s   
 
t


Trang 5




 
t rng hin nay kiu dy h
, truyn th kin thc theo kiy nhc
th u dy hc c p nhc bii v
, d
ti hn rt nhiu th
ng lu h. Ngay c nhng h
vy, mi ch i hn

 m kin thc lt h th
tp rt kiu, mt di gi
m. Do vc sinh rc m
 n thc mong mi ca


V ng hc tp b a ht
i thng, phi thc s i mng dy,
phng ca hc sinh nh
cc lng li quyn
 m c sinh v nh
cu ca thc hic
 c.

 ng dy b i thy cn phi
cung cp cho hc sinh nhng kin thn cn thit, nhng k o, mt
h th  gii quy
ng  
.



ng nhu ci mng dy
hin nay.


Trang 6



c, ch g lc t hc ca hc sinh, tu
kic tp b 


n cho hc sinh nhng k  
cha d tuyi.

 n th v quy t  tuyi ca mt biu
tha du tr tuyi.
c mt s kinh nghim ca b: p hp s

c sinh nhn tho, ch ng
trong gii 



Gi thit
H
01
: Nhu cu thit yu c i vi h
H
02
: M n nhu cu tng hc cc sinh c


1. c tin v   bic cp

2. Nhm mm y
3. Phi bit truyt ni dung c n h 
hp vi tt c ng hc sinh?
4. Sung phi cho h 
T?


 u ti hc Cn 
Phm vi thu thp s lii hc C

Trang 7




c thc hi

c hi  o mt s 
 n ni dung thc hin c th 

[1] S hc  Nguy.
[2] n lc cp II  .
[3] n lc     Nguyn Ngc
m.
[4]  s hc  i Mau.
[5] p s hc v i s  T  t bn GD 1985.
[6] Thi p II  o b
[7]  hi s  i Mau    .
[8]  c  t bn H
[9]  hc chn lc  S 
[10]  bng gi    

[11] S hc  .

Trang 8



 CHIA


Tp s u bng ch  c  
 p Z g t  
Z = ( Z

) (Z
+
) (0) ; Z = ( Z

) (N)

.
Tc s , s m    n
t : a   t a  Z ; a < 0 .
Trong ti bao gi c hic . Khi a chia c

c c thu t cho b , ta vit a  b . Khi a chia
hi s cc s ca a . Ta vib .
 t bit du hiu chia h :
s   ch 
t cho 5 . tt cho 10. T s chia ht cho
t cho 4 . T s chia ht cho 8 .
 s  bi u
t s ca s t choa 3 ; cho 9 .
 s   bit s c
nu hit cho 11 .
t chia ht ca mt tu : Nu a chia ht cho c , b chia h
c lu a  u
c l
Mt tha s chia h t cho a .
.

2.2 
Cho 2 s  c hai s t sao
cho:
a = bq + r Vi 0  r   b
 b   


Trang 9



 xy ra  b s 
r   b}
c bit cho b hay b chia ht a.

u: ab hay b\ a
Vy: a  b   .

2.3 
Cho hai s a, b. Nu tn ti s q sao cho a=b.q ng a chia ht cho
bu
ab
) , hay b chia ht a i a bi s 
gibi) ca bb c s c) ca b.
: 15 = 5.3chia ht cho 3, 3 chia ht 15, 15 bi ca 3, 3  c ca 15
c bit, s 0 chia ht cho mi s  1 chia ht mi s i s
0 chia h i s  1 t hai
1 u s b|a  i c-b c ca a
trong nhing hp, nu n  t i ta ch c t 
ca n. Mt s t 1c t 1 c gs
.
 t   c ghp s.
Mc s ca n c gng n1, -1, n, -n. S  
c s ng. 1, -1, n, -c tng ca n.
2.4 
s  (b

0n ti duy nht hai s 
v b    
  - tuyi ca b.)
c bit: + Na chia ht cho b.
+ Nu r

0 .
2.5 

1. Vi  a  0  a  a


Trang 10



2. Nu a   c  a  c
3. Vi  a  0  0  a
4. N b ; b  a  a = b
5. Nu a  t k  ac  b
6. Nu a  b  (a)  (b)
7. Vi  a  a  (1)
8. Nu a   b  a  c  b
9. Nu a  n  a  mn
10. Nu a + b   c  b  c
11. Nu a   a
n
 b
n

12. Nu ac   c  b
13. Nu a  b, c  t k am + cn  b
14. Nu a   d  ac  bd
15.  p chia ht cho n!
16. a
n
 )=> a

 p

2.6 
Gi N =
011nn
a aaa


1. Du hiu chia ht cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N  2  a
0
 2  a
0
{0; 2; 4; 6; 8}
+ N  5  a
0
 5  a
0
{0; 5}


Trang 11



+ N  4 (hoc 25) 
01
aa
 4 (hoc 25)
+ N  8 (hoc 125) 
01
aaa

2
 8 (hoc 125)
2. Du hiu chia h
+ N  3 (hoc 9)  a
0
+a
1

n
 3 (hoc 9)
3. Mt s du hi
+ N  11  [(a
0
+a
1
- (a
1
+a
3
 11
4.ng d
a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2


n-2
+b
n-1
)
a
n
+b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
-ab
n-2
+b
n-1
)
*H qu:
a
n
-b
n
( a-b) Vi n,a-b 0
a
n
+b
n
 (a+b) Vi n l,a+b 0
2.7 .
Mi s t c vii d . S 

 duy nht.

1 2 3 k
n n n n
1 2 3 k
a = p .p .p p
(vi
1 2 k
p ,p , p
  
1 2 k
n ,n , n
 t
t s n sau:
t 2.7.1: c cng
1 2 3 k
m m m m
1 2 3 k
a = p .p .p p
(vi
1 2 k
m ,m , m
 t 
     
1 1 2 2 k k
0 m n ; 0 m n ; ;0 m n
)
t 2.7.2: S c c
    
  

1 2 k
n 1 n 1 n 1
.
t 2.7.3: S t s a bc chung ca
1 2 k
n ,n , n
.
 ma.
 t t s  

p
a a p

H qu t t s  


p1
a 1 p



Trang 12



2.9 c.

 
 
     

        
n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1
a b a b a a b a b a b ab b

H qu: V t 
2.9.1)

nn
a b a b
.
2.9.2)
   
   
mm
mn mn n n n n
a b a b a b
.
2.9.3)
   

  
       
2n 1
2n 1 2n 1 2n 1
a b a b a b a b
.

: Cho m l u hai s  
i b theo modun m.
u: a  b (modun)

Vy: a  b (modun)  a - b  m
t
1. Vi  a  a  a (modun)
2. Nu a  b (modun)  b  a (modun)
3. Nu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)
4. Nu a   d (modun)  a+c  b+d (modun)
5. Nu a   d (modun)  ac  bd (modun)
6. Nu a  b (modun), d  

d
b
d
a

(modun)
7. Nu a  b (modun), d >  Uc (a, b, m)

d
b
d
a

(modun
d
m
)


N 
(m)

   
i m, (a, m) = 1

(m)
 1 (modun)

(m)



Trang 13



a s 
m = p
1
1
p
2
2

k
k
vi p
i
 p; 
i
 N
*


(m)
= m(1 -
`1
1
p
)(1 -
2
1
p
-
k
p
1
)
2
N  
( P - 1)! + 1  0 (modp)

Trang 14






p mu.
 1: Chng minh
  
4 3 2
A(n)=3n 14n 21n 10n 24
.
Gii
 chng minh
A(n) 24

ta cn chng minh
A(n) 3

A(n) 8

c bi v chng minh
A(n) 3
mng
nht lch theo 3 r thun tin cho vi
A(n) v i gii sau:
   
   A(n) = n n 1 n 2 3n 5 A(n) 3
 t cho s 3)
L
      
     A(n) = n n 1 n 2 4 n n 1 n 2 n 3 3 8


    
   n n 1 2 n n 1 n 2 4 8

   
  n n 1 n 2 n 3 8
do trong 4 s 
ti cht s i 4.
 2: Chng minh
  
32
A(n) = n 51n 481n 3 48
.

Gii
Ta thy so v u th s cc A(n) ln. Ta
m h s bt
A(n) = B(48)+ F(n)
ng minh
F(n) 48
.
i gii vn t
             
3 2 3 2 2 3 2
A(n) = n 51n 481n 3 n 3n n 3 48n 480 48 F(n) n 3n n 3 48


   
  F(n) = n 3 n 1 n 1
.
Vi
n = 2k+1 (k Z)

       
    F(n) = 2k 2 2k 2k 2 8 k 1 k k 1
.
 
F(n) 16 v× k k 1 2
l
F(n) 3

   
k 1 k k 1 3

F(n) 16

F(n) 3

F(n) 48 A(n) 48
.

 3: Chng minh

2
A(n) = 4n 3n 5 6
vi m
Gii
Ta hi 
c li gii


Trang 15



n. Tt n u ta vit A(n) theo d thun l
i gii sau:
  
        
22
A(n) = 4n 3n 5 =4n 3n 1 6 4n 1 n 1 6
v
 ng
n = 6k + 1; n = 6k + 5

 nguy
*) Vi
n = 6k + 1

     
    A(n) = 24k 3 6k 2 6 8k 1 3k 1 6

*) Vi
n = 6k + 5

     
    A(n) = 4n 1 6k 6 4n 1 k 1 6 6

Tiu kt 1:
 a mt biu thc dc khi chia cho
mt s. K   gii quyng minh A(n) chia h
1) Vi  ng hn k=a.b.c vi a,b,c
 
2) Chng minh A(n) chia ha s c
3)  chng minh A(n) chia ht cho s ch n theo a r
4)  thun li cho ving vit A(n) v dc ca bin n s
c gii biu thc cn thay th).
 4: Chng minh


n 2 2n 1
B(n) = 11 12 133
vi
nN
.

Gii
Ta Ta thy dng ca biu tha. Chia cho s n vi
ho. Va cho mt s t quan
trnh l-ng th  s dng hng th
ta ct hin hi i gii sau:

       
n 2 2n 1 2 n 2n n n n n n
B(n) = 11 12 11 .11 12.12 121.11 12.144 12.144 12.11 133.11

 B(n) 133
vi
 
     
n n n n
n N v× 12.144 12.11 12 144 11 144 11 133

 5: Chng minh
n 2 n 2n 1
B(n) = 5 +26.5 +8 59
vi
nN
.
Gii


Trang 16

Ta thy:
 
    
n n n n n n n n
B(n) = 25.5 +26.5 +8.64 51.5 8.64 59.5 8 64 5 59


  
nn
64 5 64 5 59.
.
 6: Chng minh
 

n
2
B(n) = n 1 1 n
vi
nN
.
Gii



           
  

             

n n 1 n 2 n 3

B(n) = n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1


       
  
         
n 1 n 2 n 3
n 1 n 1 n 1 n 1 1
(biu thc gm n -1 ngo

       
  
             
n 1 n 2 n 3
n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n n


 
    
k
n 1 1 n 1 1 n
vi mi k t 
Vy
2
B(n) n
vi
nN
.
 7: Chng minh


2n
2
B(n) = 2 5 7
vi
nN
.
Gii
 hiu
2n
2
B(n)=2 5 7 víi n N
 v 
ca B(n) khi chia cho 7. S d
n
-b
n
 c tp ta chn b=1. Vi
-ma ta bit rng
6
2 1 7.


6
21
chia ht cho

3
21



2
21
c

3
2 1 7.
Via
 s 


3
2 1 7


2k
2 1 7
vi mi
k N.
Do vy ta cn phch 2
2n

ca 2
2n
khi chia cho 3). D thy
   
2n n
2 4 3k 1 (k N).
i gii sau:

 

   
2n n n
2 4 4 1 1 =3k+1
(vi
k N.
) 
  
n
4 1 4 1 3.

 

       
3k 1 k k
B(n) 2 5 2.8 5 2 8 1 7 7

  
k
8 1 8 1 7
.

 


1) Viu thc v dng hi 


Trang 17

2) S d vit biu thc v d!
3) S d- chn bi nh nht ca mt s ng hia .
 8: Chng minh

n
S(n) = 16 15n 1 225
vi
nN
.
Gii
Biu thc S(n) cha c c. Vic s d n   gp
i vi d truy hi v n ta s dng
chng minh kiu qui np (ta cn ch 
 vi gii sau:
 
   
 


       
              
n n 1
n 1 n n n
S(n) = 16 15n 1 S(n 1) 16 15 n 1 1
S(n 1) S(n) 16 15 n 1 1 16 15n 1 16 16 1 15 15 16 1 225



n

16 1 15.
V 
Mt 
  
0
S(0) =1 6 15.0 1 0 225
t cho 255 vi m
nN
.
 9: Chng minh

n
3n
n
S =2 1 3
vi
n N *
.
Gii
Ta chng minh bp.
Gi s i n =
n N *
t
      
k k k
2 k 3 k 3 k
k
S 2 1 3 hay 2 1 q3 2 q3 1



    
   


 
 



       
       
  
k 1 k k k k
3
3 3 3 2.3 3
k1
2
k k k k 2 k.2 k
k 2 k.2 1 k k 1
S 2 1 2 1 2 1 2 2 1
q.3 . q.3 1 q.3 1 1 q.3 q .3 3q.3 3
q.3 .3 q .3 q.3 1 3

y nu
k
k
S3




k1
k1
S 3 .

M

1
31
1
S 2 9 3
 
n
n
S3
vi mi
n N *
.


  dng minh bng qui n


Trang 18



c. Ni dung cng minh biu
thc S(n) tht (T) v ca n t 
t m.q + r.  c bng qui np nc S(n+r)
theo S(n).

p vn dng.
 Chng minh rng:
a) 2
51
- 1 chia ht cho 7

b) 2
70
+ 3
70
chia ht cho 13

c) 17
19
+ 19
17
chi ht cho 18 d) 36
63
- 1 chia ht cho 37
e) 2
4n
-1 chia ht cho 15 vi n N
ng dn  : a) 2
51
- 1 = (2
3
)
17
- 1 2
3

- 1 = 7
b) 2
70
+ 3
70
(2
2
)
35
+ (3
2
)
35
= 4
35
+ 9
35
4 + 9 = 13
c) 17
19
+ 19
17
= (17
19
+ 1) + (19
17
- 1)
17
19
+ 1 

17
- 1 19 - 
19
+ 1) + (19
17
- 1)
hay 17
19
+ 19
17
18
d) 36
63
- 1 36 - 1 = 35 7
36
63
- 1 = (36
63
+ 1) - - 2
e) 2
4n
- 1 = (2
4
)
n
- 1 2
4
- 1 = 15
 Chng minh rng:
a) n

5
- n chia ht cho 30 vi n  N ;
b) n
4
-10n
2
+ 9 chia ht cho 384 vi mi n l n Z
c) 10
n

+18n -28 chia ht cho 27 vi n N ;
ng dn  :
a) n
5
- n = n(n
4
- 1) = n(n - 1)(n + 1)(n
2
+ 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n
2
+ 1) chia h
(n - a ba s t 
M
5
- n = n(n
2
- 1)(n
2
+ 1) = n(n
2

- 1).(n
2
- 4 + 5) = n(n
2
- 1).(n
2
- 4 ) + 5n(n
2
- 1)


Trang 19



= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n
2
- 1)
- 2)(n - a 5 s t t cho 5
5n(n
2
- 1) chia ht cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n
2
- 1) chia ht cho 5 (**)
T 
t A = n
4
-10n
2

+ 9 = (n
4

-n
2
) - (9n
2
- 9) = (n
2
- 1)(n
2
- 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
 t n = 2k + 1 (k


A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)

A chia ht cho 16 (1)
- a 4 s a bi c
i ca 24 hay A chia ht cho 24 (2)
T ia ht cho 16. 24 = 384
c) 10
n

+18n -28 = ( 10
n
- 9n - 1) + (27n - 27)
- 27 27 (1)
+ 10
n

- 9n - 1 = [(
n
9 9
+ 1) - 9n - 1] =
n
9 9
- 9n = 9(
n
1 1
- n) 27 (2)
 
n
1 1
- n 3 do
n
1 1
- t s  s chia ht cho 3
T 
 Chng minh rng vi mi s :
a) a
3
- a chia ht cho 3
b) a
7
- a chia ht cho 7
ng dn  :
a) a
3
- a = a(a
2

- 1) = (a - a ba s n ti mt s 
bi c- 1) a (a + 1) chia ht cho 3
b) ) a
7
- a = a(a
6
- 1) = a(a
2
- 1)(a
2
+ a + 1)(a
2
- a + 1)
Nu a = 7k (k

t cho 7
Nu a = 7k + 1 (k


2
- 1 = 49k
2
+ 14k chia ht cho 7


Trang 20



Nu a = 7k + 2 (k



2
+ a + 1 = 49k
2
+ 35k + 7 chia ht cho 7
Nu a = 7k + 3 (k


2
- a + 1 = 49k
2
+ 35k + 7 chia ht cho 7
ng ht tha s chia ht cho 7
Vy: a
7
- a chia ht cho 7.
 Chng minh rng A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + 100
3
chia ht cho B = 1 + 2 + 3 + + 100
ng dn  :

 chng minh A chia ht cho B ta chng minh A chia h


3
+ 100
3
) + (2
3
+ 99
3
) + +(50
3
+ 51
3
)
= (1 + 100)(1
2
+ 100 + 100
2
) + (2 + 99)(2
2
+ 2. 99 + 99
2
) + + (50 + 51)(50
2
+ 50. 51 + 51
2
)
= 101(1
2
+ 100 + 100
2
+ 2

2
+ 2. 99 + 99
2
+ + 50
2
+ 50. 51 + 51
2
) chia ht cho 101 (1)
L
3
+ 99
3
) + (2
3
+ 98
3
) + + (50
3
+ 100
3
)
Mi s hng trong ngou chia ht cho 50 (2)
T t cho B
3.2 .
3.2.1 .
p mu.
 1:  
100
cho 8? Cho 7? Cho 56.
Gii

a cho mt s t t s k c vn dng
u kt 2.


2
3 1 8.
ng h qu 
   
100 50.2 2
3 1 3 1 3 1 8.
Vy 3
100

 

6
3 1 7.
Ta cn vit 3
100
chia 3
6k
 s dng h qu 4.1

 
   
100 4 96 4 96 4
3 3 .3 3 3 1 3 .

   
96 6.16 6

3 1 3 1 3 1 7

4


100

 a 3
100
khi chia cho 56 ta xu vi
100




Trang 21



Gi s 3
100
= 56k + r vi
0 r 56
t
100

i
0 r 56

nN

Vy 3
100
chia h


Theo kt qu 3
100

100
3 = 7x + 4 = 8y+1


7x 21 8y 24 7 x 3 8 y 3 .







x 3 8m
y 3 7m
vi


100
m Z x 8m 3 3 7 8m 3 4 56m 25

Vy 3

100
chia h

2: a
102
7
124
khi chi cho 11.
Gii
c ht ta l c

102
102
n n 7
7
Ta có 124 3 124 3 121 11 với mọi n N. Do vậy để tìm d 124 khi chia cho 11
ta tìm d của 3 khi chia cho 11.



102
10 10 5 2
5 2 5 7 5
102
Theo định lý Fec-ma thì 3 1 11. Vì 3 1 3 1 và 3 1 nên ta kiểm tra thêm
3 1 và 3 1 khi chia cho11. Ta đợc 3 1 11 vì thế ta viết 3 theo 3 . muốn
thế ta phân hoạch 7 theo 5. Tơng tự nh trên ta có lời giải sau:

102 2 100 4.25
7 7 .7 49 7 1 49



4.25 4
7 1 7 1 5






102
102
102
7 5k 4 4 5k 4 5k 4 5k 5
47
7 5k 4 (k N).
Ta có 3 3 3 .3 3 3 1 3 chia cho 11 d 4 vì 3 1 3 1 11
và 3 81 chia cho 11 d 4. Vậy 124 khi chia cho 11 có d 4.


Tiu kt 4:
t
k
t
m
a

k
*) Để tìm d của một lũy thừa tầng dạng x khi chia cho một số p nào đó ta sử dụng
một kỹ thuật tạm gọi là "hạ tầng". Bằng định lý Fec-ma ta tìm đợc a để x 1 p nh
vậy ta cần tìm d của m theo a.

Tiếp tục kỹ thuật trên ta lần lợt hạ các tầng của
lũy thừa trở về bài toán cơ bản tìm d của lũy thừa khi chia cho một số tự nhiên.



Trang 22



 s a mt s a s

p vn dng.

 
100

a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125.
ng dn  :
a) Lu tha ci bi c
3
= 8 = 9 - 1

100
= 2. (2
3

)
33
= 2.(9 - 1)
33
= 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7
Vy: 2
100

 
100
= (2
10
)
10
= 1024
10
= [B(25) - 1]
10
= B(25) + 1
Vy: 2
100

c)S d
2
100
= (5 - 1)
50
= (5
50

- 5. 5
49

50.49
2
. 5
2
- 50 . 5 ) + 1
 phn h s ca khai tri ha tha s 5 vi s 
lc bu chia ht cho 5
3
= 125, hai s hng tip theo:
50.49
2
. 5
2
- 50.5
t cho 125 , s hng cu
Vy: 2
100


Vit s 1995
1995
ng c t 

ng dn  :
t 1995
1995
= a = a

1
+ a
2

n.

Gi
3 3 3 3
1 2 3 n
S a a + a + + a
=
3 3 3 3
1 2 3 n
a a + a + + a
+ a - a


Trang 23



= (a
1
3
- a
1
) + (a
2
3
- a

2

n
3
- a
n
) + a
Mi du ngou chia hi du ngoa ba s t p. Ch
c 
 l chia h l chia h
  s ta 2
100
vit trong h th.
ng dn  :
 s t 
100
cho 1000
c h 
100
cho 125
Vn d
100

100
 ch s t 
th 626 hoc 876
Hi
100
chia h
100

= 16
25
chi h s t
ht cho 8
 126, 376, 626 hoc 876 ch t cho 8
Vy: 2
100
vit trong h th s t
T ch s t
  sau cho 7:
a) 22
22
+ 55
55
b)3
1993

c) 1992
1993
+ 1994
1995
d)
1930
2
3

ng dn  :

22
+ 55

55
= (21 + 1)
22
+ (56  1)
55
= (BS 7 +1)
22
+ (BS 7  1)
55

= BS 7 + 1 + BS 7 - 
22
+ 55
55

b) Lu tha ci bi c
3
= BS 7  1
Ta th
3
1993

= 3
6k + 1
= 3.(3
3
)
2k
= 3(BS 7  1)
2k

= 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3
c) Ta thy 1995 chia h
1992
1993
+ 1994
1995
= (BS 7  3)
1993
+ (BS 7  1)
1995
= BS 7  3
1993
+ BS 7  1


Trang 24




1993

1992
1993
+ 1994
1995
= BS 7 (BS 7 + 3) 1 = BS 7
d)
1930
2

3
= 3
2860
= 3
3k + 1
= 3.3
3k
= 3(BS 7 1) = BS 7
3.2.2 .
p mu.
:
a) Chng minh


2
3n 1 170
t cho 289 vi
nN
.
b) Chng minh

2
n 3n 5
t cho 121 vi
nN
.
Gii

2
2
2
2
a) Nếu 3n + 1 17 mà 17 nguyên tố nên 3n 1 289 mà 170 không chia hết cho 289
3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N
Nếu 3n+1không chia hết cho 17 thì 3n 1 170 không chia hết cho 17
3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N




2
n 3n 5
t cho 121 vi
nN


2
4 n 3n 5 không chia hết cho 121với n N




2

22
2
Ta có 4 n 3n 5 4n 12n 20 2n 3 11
Tơng tự câu a ta chứng minh đợc 2n 3 11 không chia hết cho 121.



Tiu kt 5:
k
kk
Để chứng minh S không chia hết cho p (p là một số nguyên tố) ta viết S dới dạng
S=B Q trong đó Q p nhng Q không chia hết cho p . Nếu gặp khó khăn khi viết theo
một lũy thừa ta có thể chọn thêm một h

k
ệ số m với điều kiện (m,p)=1 và xét m.S khi
chia cho p .

p vn dng.
Chng minh


2 1 2 1
21 17 15 không chia hết cho 19 với n
nn
N
.
3.2.3 Chng minh mt s p s.

Trang 25



p mu.
1: Chng minh

n
n
S 19.8 17
t hp s vi mi
nN
.
Gii
ng nhng minh S
n
chia ht cho mt s u ta s
dng qui nt th t.
n
n
0
1
2
3
4
Ta chỉ quan tâm đến ớc nguyên tố của S 19.8 17
S 36 có ớc nguyên tố 3, 2
S 169 có ớc nguyên tố 13
S 1233 có các ớc nguyên tố 3, 137
S 9745 có các ớc nguyên tố 5

S 77841 có các ớc nguy






n
n
n
ên tố 3

Ta thử một qui luật n chia 4 d 0 hoặc 2 thì S 3
n chia cho 4 d 1 thì S 13
n chia 4 d 3 thì S 5

i gii sau:

n
n
k k k
n
nn
S 19.8 17
*) Với n=2k (k N) ta có S 19.64 17 19 64 1 36 3 vì 64 1 64 1 3
mà S 3 nên S là hợp số với mọi n=2k (k N)

4k 1 4k 1 4k
n
4k 1 4k 4k 4
*) Với n=4k+1 (k N) ta có S 19.8 17 13.8 13 6.8.8 4
13.8 13 48 8 1 52 13 vì 8 1 8 1 13






nn
4k 3 4k 3 4k 3
n
4k 3 3 3 4k 4k 4
mà S 13 nên S là hợp số với mọi n=4k +1(k N)
*) Với n=4k+3 (k N) ta có S 19.8 17 20.8 17 8
20.8 17 8 8 . 8 1 5 vì 8 1 8 1 5








nn
n
mà S 5 nên S là hợp số với mọi n = 4k + 3 (k N).

Vậy S là hợp số với mọi n N

2: Chng minh rng: Vi n N

(n)
= n(2n + 7) (7n + 1) chia ht cho 6
Gii