TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT HAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (701.63 KB, 14 trang )
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 1
Chuyên đề
: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
§1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
1.1 Quy tắc cộng
Ví dụ: Có 8 quả táo và 6 quả lê. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quả ấy?
Hd
Có 8 cách chọn táo và 6 cách chọn lê, và khi chọn táo (hoặc lê) thì không chọn lê (hoặc táo).
Do đó có cả thảy cách chọn một trong 14 quả đã cho.
Quy tắc cộng: Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối
tượng x, không trùng với bất kỳ cách chọn đối tƣợng y nào, thì có cách chọn đối tượng “x
hoặc y”.
Tổng quát, quy tắc cộng có thể phát biểu nhƣ sau:
Nếu có
cách chọn đối tƣợng
,
cách chọn đối tƣợng
,…,
cách chọn đối
tƣợng
, và nếu cách chọn
không trùng với bất kỳ cách chọn đối tƣợng
nào
, thì có
cách chọn đối tƣợng “
”.
Ví dụ: Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có chữ số khác nhau?
Giải
Số có 1 chữ số lập được từ các chữ số 1; 2; 3: Có 3 số là 1; 2; 3.
Số có 2 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1; 2; 3: Có 6 số là 12; 21; 13; 31; 23; 32.
Số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1; 2; 3: Có 6 số là 123; 132; 213; 231; 312;
321.
Vì các cách lập trên đôi một không trùng nhau, nên theo quy tắc cộng, có cả thảy
cách lập những số khác nhau có chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3.
1.2 Quy tắc nhân
Ví dụ: Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, hoặc máy bay. Từ tỉnh B tới tỉnh
C có thể đi bằng tàu thủy hoặc máy bay. Muốn đi từ A tới C, bắt buộc phải qua B. Hỏi có bao nhiêu
cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C ?
Giải
Ứng với mỗi cách đi từ tỉnh A tới tỉnh B, có 2 cách đi từ tỉnh B tới tỉnh C.
Vì có 4 cách đi từ tỉnh A tới tỉnh B, nên có cả thảy cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C.
Quy tắc nhân: Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách chọn đối tượng x như
thế, có n cách chọn đối tượng y, thì có cách chọn đối tượng “x rồi y”.
Tổng quát, quy tắc nhân có thể phát biểu nhƣ sau:
Nếu có
cách chọn đối tƣợng
, sau đó, với mỗi cách chọn đối tƣợng
nhƣ thế, có
cách chọn đối tƣợng
; sau đó, với mỗi cách chọn
nhƣ thế, có
cách chọn đối
tƣợng
;…; Cuối cùng, với mỗi cách chọn
nhƣ thế, có
cách chọn đối
tƣợng
, thì có
cách chọn đối tƣợng “
”.
Quy tắc nhân có thể phát biểu ngắn gọn hơn như sau:
Nếu một phép chọn đƣợc thực hiện qua n bƣớc liên tiếp: Bƣớc 1 có
cách; Bƣớc 2 có
cách;…; Bƣớc n có
cách, thì phép chọn đó có thể đƣợc thực hiện theo
cách
khác nhau.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 2
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số ?
Giải
Gọi
,
và số cần tìm là
thỏa:
.
Chọn
: Có 6 cách.
Chọn
: Có 7 cách.
Chọn
: Có 4 cách.
Vậy theo quy tắc nhân có cách lập các số thỏa mãn ycbt. Nói cách khác, từ các chữ
số đã cho, có thể lập được 168 số chẵn có 3 chữ số.
Ví dụ 1’: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác
nhau ?
Giải
Gọi
,
và số cần tìm là
thỏa:
.
Trường hợp
:
+ Chọn
: Có 1 cách.
+ Chọn
: Có 6 cách.
+ Chọn
: Có 5 cách.
+ Do đó theo quy tắc nhân có số cần tìm (có chữ số tận cùng bằng 0).
Trường hợp
:
+ Chọn
: Có 3 cách.
+ Chọn
: Có 5 cách.
+ Chọn
: Có 5 cách.
+ Do đó theo quy tắc nhân có số cần tìm (có chữ số tận cùng bằng 2; 4 hoặc 6).
Vì các trường hợp trên không giao nhau nên theo quy tắc cộng có cả thảy số cần
tìm. Nói cách khác, từ các chữ số đã cho, có thể lập được 105 số chẵn có 3 chữ số khác nhau.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số ? KQ: 256
Ví dụ 2’: Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? KQ: 4!
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số có 2 chữ số, mà tất cả các chữ số đều là chẵn ? KQ: 20
Ví dụ 3’: Có bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau, mà tất cả các chữ số đều là chẵn ? KQ: 16
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số giữa đều giống nhau?
KQ: 900
Ví dụ 5: Có bao nhiêu số có 6 chữ số và chia hết cho 5? KQ: 180.000
Ví dụ 5’: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5? KQ:
Chú ý 1:Sự khác nhau cơ bản giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân là:
Quy tắc cộng: Các hành động độc lập với nhau.
Quy tắc nhân: Các hành động liên tiếp nhau.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 3
Dạng 1: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng.
PHƢƠNG PHÁP: Để thực hiện yêu cầu bài toán, nếu ta chia thành các trường hợp (phương án)
khác nhau thì dùng quy tắc cộng.
Bt 1: Một trường THPT được cử 1 học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn 1
học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 11B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết
rằng lớp 11A có 15 học sinh tiên tiến và lớp 11B có 13 học sinh tiên tiến.
Bt 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số
?
Dạng 2: Các bài toán sử dụng quy tắc nhân.
PHƢƠNG PHÁP: Để thực hiện yêu cầu bài toán, nếu ta chia thành các công đoạn (các bước) liên
tiếp thì dùng quy tắc nhân.
Bt 3: Cho 3 thành phố A, B, C. Biết rằng từ thành phố A đi đến thành phố B có 4 con đường khác
nhau; Từ thành phố B đến thành phố C có 6 con đường khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A
đến C mà phải qua B.
Bt 4: Đội bóng bàn của thành phố A có 5 đấu thủ và của thành phố B có 4 đấu thủ. Cần chọn 1 đấu
thủ của thành phố A để đấu với đấu thủ của thành phố B. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế?
Bt 5: Cho 8 chữ số . Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.
Bt 6: Một học sinh phải thi 3 môn trong 6 ngày từ thứ hai đến thứ bảy (mỗi ngày chỉ thi 1 môn).
Hỏi nhà trường có bao nhiêu khả năng lâp lịch thi.
Dạng 3: Các bài toán phối hợp hai quy tắc
Bt 7: Một ban nhạc có 7 nam, 11 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Một người ra hát.
b) Một đôi song ca nam nữ.
Bt 8: Trong một hộp có chứa 5 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ, các viên bi đôi một khác nhau. Có bao
nhiêu khả năng:
a) Lấy ra từ hộp 1 viên bi.
b) Lấy ra từ hộp 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ.
Bt 9: Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu:
a) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau mà không chia hết cho 5?
b) Số chẵn gồm 6 chữ số, biết chữ số thứ ba luôn lẻ?
c) Số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho chữ số 5 luôn có mặt trong các số đúng 1 lần và chữ số
đầu tiên lẻ.
Bt 10: Một nữ sinh trung học, khi đến trường có thể chọn một trong 2 cách trang phục là: Quần
xanh áo sơ mi, hoặc áo dài quần trắng. Biết nữ sinh đó có 7 quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6
áo sơ mi; Hỏi cô có bao nhiêu bộ trang phục?
Bt 11: Một người có 7 áo; trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt, trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn áo và cà vạt nếu:
a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được.
b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 4
Bài tập ôn
Bt 12: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách văn, 2 quyển sách ngoại ngữ.
a) Nếu chọn 2 quyển sách thì có bao nhiêu cách chọn.
b) Nếu chọn 2 quyển sách khác thể loại thì có bao nhiêu cách chọn.
Bt 13 (Đh XD 1998): Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ
số .
Bt 14 (Db A_2008): Cho tập hợp
. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4
chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số của E.
Bt 15 (Db D_2006): Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có
5 chữ số khác nhau và mỗi số được lập đều nhỏ hơn 25000.
Bt 16 (Db A_2007): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác
nhau.
Bt 17: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 1000.
Bt 18: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương của số
.
Bt 19: Mỗi cạnh của một hình vuông được chia thành n đoạn bằng nhau bởi điểm chia
(không tính 2 đầu mút mỗi cạnh). Gọi a_số tứ giác tạo thành và b_số các hình bình hành trong a tứ
giác đó. Xác định n biết .
Bt 20: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt. Hỏi có:
a) Bao nhiêu vectơ khác
có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập n điểm đã cho.
b) Bao nhiêu đoạn thẳng với 2 đầu mút thuộc tập n điểm đã cho.
§2. HOÁN VỊ_ CHỈNH HỢP_ TỔ HỢP
2.1 Hoán vị
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử
. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ
tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A (Gọi tắt là một hoán vị của A).
b) Quy ƣớc & tên gọi: Cho , khi đó Đọc là n giai thừa và được tính như sau:
và .
c) Số các hoán vị: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
2.2 Chỉnh hợp
a) Định nghĩa: Cho tập hợp D có n phần tử
. Khi đó lấy ra k phần tử của D
và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của D (Gọi tắt là
một chỉnh hợp chập k của D).
b) Số các chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập kcuar một tập hợp có n phần tử là:
, với .
Chú ý 2:Do ta quy ước
nên công thức
đúng với mọi .
Nhận xét 1: Cho tập D có n phần tử. Khi đó một hoán vị của D chính là một chỉnh hợp chập n của
D. Vậy
.
2.3 Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập hợp D có n phần tử
. Mỗi tập con của D có k () phần
tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của D (Gọi tắt là một tổ hợp chập k của D).
b) Số các tổ hợp : Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:
với .
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 5
c) Hai tính chất cơ bản của số
: i)
.
2i)
.
d) Sự giống và khác nhau giữa chỉnh hợp & tổ hợp:
Sự giống nhau giữa chỉnh hợp & tổ hợp là cả hai đều chọn k phần tử từ một tập hợp có n phần
tử .
Sự khác nhau giữa 2 khái niệm là ở chỉnh hợp có sự sắp xếp thứ tự, vai trò, vị trí các phần tử
được chọn là khác nhau; Còn ở tổ hợp thì k phần tử được chọn không được xếp thứ tự, chúng có
vai trò như nhau.
Dạng 4: Một số bài tập về hoán vị.
Bt 21: Cho tập hợp A
. Hãy viết tất cả các hoán vị của tập A.
Bt 22: Cho 5 chữ số .
a) Hãy viết 4 hoán vị của tập hợp 5 chữ số đã cho.
b) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
c) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
d) Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên đã nói ở câu b).
Bt 23: Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau,
trong đó ba chữ số chẵn phải đứng liền nhau.
Bt 24: Một nhóm gồm 8 người, trong đó có 2 người là vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 8
người này thành một hàng dọc sao cho hai vợ chồng không được đứng kề nhau?
Bt 25: Có ba cặp vợ chồng, trong dó có 2 vợ chồng ông bà Vương đến dự một bữa tiệc. Họ được
xếp ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn.
a) Họ có bao nhiêu cách xếp?
b) Có bao nhiêu cách xếp trong đó hai ông bà Vương phải ngồi cạnh nhau?
c) Có bao nhiêu cách xếp trong đó hai ông bà Vương không ngồi cạnh nhau?
Dạng 5: Một số bài tập về chỉnh hợp.
PHƢƠNG PHÁP: Ta dùng chỉnh hợp khi xếp k phần tử vào n vị trí có thứ tự (Bài toán về các số,
chọn người có chức năng, nhiệm vụ khác nhau).
Bt 26: Hãy viết tất cả các chỉnh hợp chập 2 của tập hợp
.
Bt 27: Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn gồm 3 người, trong đó có một bí thư,
một phó bí thư, một ủy viên, biết rằng trong chi đoàn có 20 đoàn viên?
Bt 28: Từ 6 chữ số , cần lập ra các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Hỏi có bao
nhiêu số như thế. Hãy tính tổng các số tự nhiên đó.
Bt 29: Một lớp có 25 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một học
sinh làm lớp trưởng, một học sinh làm lớp phó, và một học sinh làm thủ quỹ.
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng là học sinh nam?
Bt 30: Từ 10 chữ số có thể lập được bao nhiêu số x có 6 chữ số khác nhau
khi biết:
a) x_số lẻ bé hơn 600000.
b) x chia hết cho 5.
c) Trong x phải có mặt ba chữ số .
Bt 31: Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao
cho trong đó luôn có mặt ba chữ số .
Bt 32:
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 6
Bt 33: C
Dạng 5: Một số bài tập về tổ hợp.
Bt 34: Hãy viết tất cả các tổ hợp chập 2 và chỉnh hợp chập 2 của tập hợp
.
Bt 35: Cho một đa giác lồi H có 15 cạnh.
a) Có bao nhiêu vectơ khác
, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của H.
b) Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là các đỉnh của H.
Bt 36: Tìm số đường chéo của các đa giác lồi sau đây:
a) Đa giác có 12 cạnh.
b) Đa giác có n cạnh .
c) Đa giác có số cạnh và số đường chéo bằng nhau.
Bt 37: Một lớp có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ.
a) Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một học sinh làm lớp trưởng, một học sinh làm lớp phó, và
một học sinh làm thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng là học sinh nam?
b) Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 6 học sinh để tham gia trồng cây, hỏi có bao nhiêu cáchc họn
sao cho có ít nhất 4 học sinh nam và một học sinh nữ?
Bt 38 (ĐHQG HCM_2001): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không qua một lần.
Bt 39: Cho 2 đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 12 điểm phân biệt và trên
đường thẳng b có 8 điểm phân biệt.
a) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng trên.
b) Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng a vab đã cho.
Bt 40 (B_2005): Một đôi thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có
4 nam và 1 nữ.
Bt 41: Giả sử có 8 vận động viên bóng bàn tham dự một giải đấu. Trong vòng đầu của giải, ban tổ
chức cần phân ra 4 cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành 4 cặp đấu.
Bt 42: Tổ một có 10 người, tổ hai có 9 người. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 8 người sao
cho mỗi tổ trên có ít nhất là hai người.
Bt 43: Chứng minh rằng
.
Bt 44 (ĐHQG HN_1999): Chứng minh rằng:
, với .
Bt 45: Chứng minh rằng:
.
Dạng 7: Chứng minh đẳng thức liên quan đến
.
PHƢƠNG PHÁP: Sử dụng các công thức sau để biến đổi vế này thành vế kia, hoặc cả 2 vế cùng
bằng một biể thức nào đó , hoặc hiệu 2 vế bằng 0.
;
.
;
;
Bt 46: Chứng minh rằng:
a)
, .
b)
.
c)
.
d)
.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 7
Bt 47 : Chứng minh rằng:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
Bt 48 : Chứng minh:
, với .
Bt 49 : Cho . Chứng minh:
Bt 50 : Cho k, n là các số nguyên dương với k < n. Chứng minh rằng:
(1)
Từ (1) hãy suy ra rằng với mọi số nguyên dương m ta có:
. (2)
(3)
Hãy tính tổng .
Bt 51 : Tính
, với .
Dạng 8: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa các số
.
PHƢƠNG PHÁP
Đặt điều kiện :
Đối với , điều kiện là .
Đối với
, điều kiện là
.
Đối với
, điều kiện là
.
Đối với
, điều kiện là
.
Biến đổi và rút gọn để tìm nghiệm.
Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm.
Bt 52(Db A_2002): Tìm các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình:
.
Lƣu ý: Khi giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, có chứa các số:
thì cần có kỹ
năng rút gọn , giản ƣớc. Ta thƣờng dùng các kỹ thuật sau:
.
ng t cho
Bt 53(Db D_2003): Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
.
Bt 54(Db B_2007): Tìm x, y thỏa mãn hệ:
.
Bt 55(Db B_2006): Cho 2 đường thẳng song song
. Trên
có 10 điểm phân biệt, trên
có
n điểm phân biệt . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thỏa mãn
điều kiện trên.
Bt 56(Db A_2004): Cho tập A gồm n phần tử, . Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của
tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A.
Bt 57: Giải phương trình:
.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 8
Bài tập ôn luyện:
Bt 58(ĐHQG TpHCM_1997): Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2
sách Toán, 4 sách Văn, 6 sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các quyển sách lên
một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?
Bt 59(ĐH Cần Thơ_2001): Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền
nhau?
Bt 60(HSG 12_1997): Tính tổng của tất cả Số nhận được từ các hoán vị các chữ số của số
1234567.
Bt 61(Db A_2006): Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Bt 62(Db B_2003): Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm
6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3
chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị.
Bt 63 : Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng thành hàng ngang. Có bao nhiêu tình huống
mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
Bt 64 (Db A_2003): Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau?
Bt 65(Db A_2003) : Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số
có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
Bt 66(Db B_2005) : Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số
gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1; 5?
Bt 67 : Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1
đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc
công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi:
a) Có bao nhiêu kết quả có thể?
b) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất?
c) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong 4 giải?
Bt 68 : Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có 2 người nào có điểm bằng nhau.
a) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người cao điểm nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể?
b) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?
Bt 69 : Một tổ học sinh gồm 10 bạn, trong đó có 3 bạn học sinh hay nói chuyện. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang mà 3 bạn học sinh hay nói chuyện không đứng
cạnh nhau từng đôi một.
Bt 70 (Db A_2005): Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
Bt 71 (Db B_2003): Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em, trong đó số
học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bt 72 : Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi thanh
lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
Bt 73 : Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham
gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không quá 1 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
Bt 74 (Db D_2003): Từ 9 chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn
mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 9
Bt 75 (Db B_2005): Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
Bt 76 (Db D_2006): Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có
10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy.
Bt 77 : Cho 2 đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a ta chọn 12 điểm phân biệt và trên
đường thẳng b ta chọn 11 điểm phân biệt.
a) Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên 2 đường thẳng.
b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên 2 đường thẳng này.
Bt 78 : Một đa giác lồi n cạnh (n > 3). Ta kẻ tất cả các đường chéo. Biết rằng không có 3 đường
chéo nào trong chúng đồng quy. Tìm số giao điểm của các đường chéo này.
Bt 79 : Một đại đội gồm 2n chiến sĩ, cần bố trí vào n nhà dân khác nhau sao cho mỗi nhà có đúng 2
chiến sĩ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Bt 80 : Giả sử có 2n vận động viên bóng bàn tham dự một giải đấu. Trong vòng đầu của giải, ban tổ
chức cần phân ra n cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành n cặp đấu?.
Từ đó hãy chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì:
luôn chia hết cho
.
Bt 81 : Một đoàn khách du lịch gồm n người được xếp vào r khách sạn
. Yêu cầu đặt ra
là đưa
khách ở tại khách sạn
, trong đó
là các số tự nhiên thỏa mãn
điều kiện
. Chứng minh rằng số cách phân phối khách thỏa mãn yêu cầu trên
là:
.
Từ đó suy ra rằng với mỗi số nguyên dương m ta có:
.
Chứng minh đẳng thức_Tính giá trị biểu thức_Giải phương trình & bất
phương trình
Bt 82 : Chứng minh rằng:
.
Bt 83 : Cho k, n :. Chứng minh:
Bt 84 (ĐH AN _2001): Cho , . Chứng minh:
.
Bt 85 (B_2008): Chứng minh:
, .
Bt 86 (D_2005): Tính giá trị biểu thức
,
biết rằng
,
*
.
Bt 87 Db D_2005: Tìm số nguyên lớn hơn 1 thỏa mãn:
.
Bt 88 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện:
.
Bt 89 (Db A_2007): Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và
n điểm phân biệt khác A, B, C, d. Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ điểm đã cho là 439.
Bt 90 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
, .
b)
c)
.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 10
§3. NHỊ THỨC NEWTON
Dạng 9: Chứng minh đẳng thức liên quan đến
_ Chứng minh bất đẳng thức.
PHƢƠNG PHÁP
Cách 1: Dùng khai triển
, rồi sau đó chọn x thích hợp.
Cách 2: Khai triển một biểu thức hoặc hai biểu thức bằng 2 cách khác nhau; Sau đó đồng nhất hệ
số; (Ta dùng cách này khi đẳng thức cần chứng minh có một vế là tổng của các tích
).
Bt 91 : Chứng minh rằng:
a)
.
b)
.
Bt 92 : Gọi T_số các tập con (kể cả tập rỗng)của một tập hợp có n phần tử. Chứng minh:
.
Bt 93 : Chứng minh:
.
Bt 94 : Chứng minh rằng:
Bt 95 : Chứng minh rằng:
Bt 96 : Chứng minh rằng:
Bt 97 : Chứng minh rằng:
.
Bt 98 : Rút gọn các tổng sau:
a)
.
b)
.
Bt 99 : Rút gọn biểu thức:
(với ).
Bt 100 : Chứng minh rằng:
.
Bt 101 (A_2005) : Tìm số nguyên dương n sao cho:
.
Bt 102 : Chứng minh:
.
Bt 103 (A_2007): Chứng minh rằng:
,
.
Bt 104 (B_2003): Cho
. Tính tổng:
Bt 105 : Chứng minh rằng:
.
Dạng 10: Tìm số hạng hoặc hệ số của số hạng thỏa mãn điều kiện cho trƣớc.
PHƢƠNG PHÁP
Khai triển nhị thức
0
n
k n k k
n
k
C a b
=
0
n
k n k k
n
k
C b a
Xác định số hạng chứa
là:
, .
Từ giả thiết tìm k, suy ra số hạng hoặc hệ số cần tìm.
Bt 106 : Tìm số hạng chứa
trong khai triển
.
Bt 107 : Tìm hệ số của
trong khai triển
.
Bt 108 : Tìm hai số hạng đứng chính giữa và số hạng không chứa x khi khai triển
.
Bt 109 (Db A_2008): Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Newton của
, biết rằng
.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 11
Bt 110 (2012): Cho
thỏa mãn:
. Tìm số hạng chứa
trong khai triển nhị thức
, với .
Bt 111 : Biết tổng các hệ số trong khai triển
bằng 1024. Hãy tìm số hạng chứa
.
Bt 112 : Tìm hệ số của
trong khai triển
.
Bt 113 : Khai triển đa thức
.
Hãy xác định hệ số
.
Bt 114 : Xác định hệ số của
trong khai triển
.
Bt 115 (ĐHSP HN_2001): Trong khai triển
thành đa thức
,
. Hãy tìm hệ số
lớn nhất.
Bt 116 : Tìm số hạng lớn nhất và tính giá trị số hạng đó trong khai triển
.
Bt 117 : Tìm các số hạng nguyên khi khai triển
.
Bài tập ôn luyện
Bt 118 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
.
Bt 119 : Chứng minh rằng:
Bt 120 : Giải pt:
Bt 121 : Chứng minh rằng:
Bt 122 (ĐH VINH_2001): Chứng minh rằng:
Bt 123 (D_2008): Tìm
thỏa mãn:
.
Bt 124 : Tính tổng:
Bt 125 : Chứng minh:
Bt 126 : Chứng minh rằng:
Bt 127(A_2006): Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Newton của
,
biết rằng
.
Bt 128 (B_2007): Tìm hệ số của
trong khai triển nhị thức Newton của đa thức
, biết
n_số nguyên dương thỏa mãn
Bt 129 (Db A_2005): Tìm hệ số của
trong khai triển của đa thức
, trong đó n_số
nguyên dương thỏa mãn:
.
Bt 130 (D_2007): Tìm hệ số của
trong khai triển thành đa thức của
.
Bt 131 (D_2003): Với n_số nguyên dương, gọi
là hệ số của
trong khai triển thành đa
thức của
. Tìm n để
.
Bt 132 : Đặt
. Tính hệ số của
.
Bt 133 : Tìm hệ số của số hạng chứa
khi khai triển
.
Bt 134 (HVKTQS 2000) : Khai triển
.
Hãy tìm
.
Bt 135 (A_2008): Cho khai triển
, trong đó n nguyên
dương và các hệ số
thỏa mãn hệ thức
. Hãy tìm số lớn nhất
trong các số
.
Bt 136 (Db D_2005): Tìm
sao cho
đạt giá trị lớn nhất.
Bt 137 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 12
Bt 138 : Tính các tổng sau:
a)
.
b)
.
Bt 139 (Db B_2008): Cho số nguyên n thỏa mãn
. Tính tổng:
.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 13
§4. BIẾN CỐ_ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
4.1 Biến cố
a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu: Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử), thường
kí hiệu là T, là một thí nghiệm hay hành động mà:
Kết quả của nó không đoán trước được.
Có thể xác định được tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và
kí hiệu là .
b) Biến cố (Sự kiện): biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không
xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là
một kết quả của thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là
. Khi đó ta
nói biến cố A được mô tả bởi tập
.
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mô
tả bởi tập và được kí hiệu là .
Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố không
thể được mô tả bởi tập và được kí hiệu là .
4.2 Xác suất của biến cố:
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn
và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất
của A, kí hiệu là P(A), được xác định như sau:
.
Chú ý 4: Từ định nghĩa trên suy ra
.
b)Định nghĩa thống kê của xác suất: Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta
tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần.
Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một
số xác định, số đó gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê (Số này cũng chính là P(A) trong định
nghĩa cổ điển của xác suất). Như vậy, tần suất được xem như là giá trị gần đúng của xác suất. Trong
khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn được gọi là
xác suất thực nghiệm.
Dạng 11: Mô tả không gian mẫu, tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố.
PHƢƠNG PHÁP: Xem lại phần tóm tắt lí thuyết.
Bt 140 : Mô tả không gian mẫu của phép thử “Gieo một con súc sắc”.
Bt 141 : Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử “Gieo ba đồng xu phân biệt”.
Bt 142 : Xét phép thử T là chọn ngẫu nhiên 500 thanh niên ở lứa tuổi từ 18 đến 25 và đếm xem có
bao nhiêu người có thói quen hút thuốc lá. Hãy xác định không gian mẫu của phép thử này?
Bt 143 : Xét T_phép thử “Gieo một con súc sắc”. Xét biến cố B:” Số chấm trên mặt xuất hiện là số
lẻ” và biến cố C:”Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố”. Hãy viết các tập hợp
.
Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 14
Bt 144 : Xét phép thử T là gieo một đồng tiền xu liên tiếp 3 lần. Gọi A là biến cố “Có đúng hai lần
đồng tiền ra mặt ngửa” và B_biến cố “Số lần xuất hiện mặt ngửa là một số lẻ”. Hãy viết tập hợp mô
tả biến cố A và tập hợp mô tả biến cố B.
Bt 145 :
Bt 146 :
Bt 147 :
Bt 148 :
Bt 149 :
Bt 150 :
Bt 151 :
Bt 152 :
Bt 153 :
Bt 154 :
Bt 155 :
Bt 156 :
Bt 157 :
Bt 158 :
Bt 159 :
Bt 16 :
