bai tap da thuc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.76 KB, 15 trang )
NHÓM 5
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình trên R và trên C:
a/ 4x
3
– 36x
2
+ 84x – 20 = 0 ( 1 )
* Trên R
( 1 ) ⇔ x
3
– 9x
2
+ 21x – 5 = 0
⇔ (x – 5)( x
2
– 4x + 1) = 0
x = 5
⇔
x
2
– 4x + 1 = 0
x = 5
⇔
x = 2 -
3
x = 2 +
3
* Trên C
Đặt y = x – 3 ⇒ x = y + 3 Khi đó ta được :
( y + 3)
3
– 9( y + 3)
2
+ 21( y + 3) – 5 = 0
⇔ y
3
– 6y
+ 4 = 0 ( 2 )
Đặt y = u + v .Khi đó :
( 2 ) ⇔ ( u + v)
3
– 6(u + v) + 4 = 0
⇔ u
3
+ v
3
– 3uv( u + v) – 6( u + v) + 4 = 0
⇔ u
3
+ v
3
+ 4 + ( u + v)( -3uv – 6) = 0
Tìm u, v thoả hệ: u
3
+ v
3
= -4
-3uv – 6 = 0
u
3
+ v
3
= -4
u
3
v
3
= -8
⇒ u
3
, v
3
là nghiệm của phương trình: t
2
+ 4t – 8 = 0
t = -2 + 2
3
u
3
= -2 + 2
3
⇔ ⇔
t = -2 - 2
3
v
3
= -2 - 2
3
Chọn u
1
=
3
2 2 3
− +
⇒ u
2
= εu
1
; u
3
= ε
2
u
1
v
1
=
3
2 2 3
− −
⇒ v
2
= ε
2
v
1
; v
3
= εv
1
Nghiệm của (2) là:
y
1
= u
1
+ v
1
=
3
2 2 3− +
+
3
2 2 3
− −
y
2
= u
2
+ v
2
=
3
2 2 3− +
( -
1
2
+ i
3
2
) +
3
2 2 3
− −
( -
1
2
- i
3
2
)
y
3
= u
3
+ v
3
=
3
2 2 3− +
(-
1
2
- i
3
2
) +
3
2 2 3− −
(-
1
2
+ i
3
2
)
Vậy nghiệm của ( 1 ) là :
x
1
= y
1
+ 3 =
3
2 2 3− +
+
3
2 2 3− −
+ 3
x
2
= y
2
+ 3 =
3
2 2 3− +
( -
1
2
+ i
3
2
) +
3
2 2 3− −
( -
1
2
- i
3
2
) + 3
x
3
= y
3
+ 3 =
3
2 2 3− +
(-
1
2
- i
3
2
) +
3
2 2 3− −
(-
1
2
+ i
3
2
) + 3
b)
06
3
=−−
xx
(1)
Đặt
vux
+=
ta được
06)()(
3
=−+−+
vuvu
0)13)((6
33
=−++−+⇔
uvvuvu
Ta tìm u,v thoả
=
=+
3
1
6
33
uv
vu
=
=+
⇔
27
1
6
33
33
vu
vu
Vậy u,v là nghiệm của phương trình
0
27
1
6
2
=+−
tt
có
27
242
'
=∆
nên
−=
+=
27
242
3
27
242
3
t
t
−=
+=
⇒
27
242
3
27
242
3
3
3
v
u
ta chọn
3
1
27
242
3
+=
u
,
3
2
27
242
3
−=
u
12
uu
ε
=
,
1
2
3
uu
ε
=
,
1
2
2
vv
ε
=
,
13
vv
ε
=
trong đó
2
3
2
1
i
+−=
ε
,
2
3
2
1
2
i
−−=
ε
khi đó
nghiệm của phương trình (1) là:
−−+−
−++−=+=
−−++
−++−=+=
−++=+=
3333
333
3333
222
33
111
27
242
3
27
242
3
2
3
27
242
3
27
242
3
2
1
27
242
3
27
242
3
2
3
27
242
3
27
242
3
2
1
27
242
3
27
242
3
ivux
ivux
vux
d) x
3
+ 3x
2
- 6x + 4 = 0 (1)
Đặt y = x + 1 ⇒ x = y – 1. Ta được
(y – 1)
3
+ 3(y – 1)
2
– 6(y – 1) + 4 = 0 ⇔ y
3
– 9y + 12 = 0 (2)
Đặt y = u + v, ta được (u + v)
3
– 9(u + v) + 12 = 0
⇔ u
3
+ v
3
+ 12 + (u + v)(3uv – 9) = 0
u
3
+ v
3
+ 12 = 0
Ta tìm u, v thỏa
3uv – 9 = 0
u
3
+ v
3
= -12
⇒
u
3
v
3
= 27
⇒ u
3
,v
3
là nghiệm của t
2
+ 12t + 27 = 0
t = -9 u
3
= -9
Có ∆’ = 9 ⇒
t = -3 v
3
= -3
ta chọn u
1
= -
3
9
, v
1
= -
3
3
u
2
= ε.u
1
, u
3
= ε
2
.u
1
, v
2
= ε
2
.v
1
, v
3
= ε.v
1
trong đó,
ε = -
1
2
+ i.
3
2
, ε
2
= -
1
2
- i.
3
2
Khi đó, nghiệm của (2) là y
1
= u
1
+ v
1
, y
2
= u
2
+ v
2
, y
3
= u
3
+ v
3
và nghiệm của (1) là
x
1
= y
1
– 1 = -
3
9
-
3
3
- 1
x
2
= y
2
– 1 = -
3
9
(-
1
2
+ i
3
2
) -
3
3
(-
1
2
- i
3
2
) – 1
x
3
= y
3
– 1 = -
3
9
(-
1
2
- i
3
2
) -
3
3
(-
1
2
+ i
3
2
) – 1
e)
3
6 9 0x x
− + =
Phương trình có nghiệm trong R là: x = -3
Phương trình có nghiệm trong C là :
3
3 3
2
3 3
2
x
i
x
i
x
= −
−
=
+
=
f)
3 2
9 18 28 0x x x
+ + + =
Giải
3
2
2
6 9 0
( 3)( 3 3) 0
3 0
3 3 0
3
3 3
2
3 3
2
x x
x x x
x
x x
x
i
x
i
x
− + =
⇔ + − + =
+ =
⇔
− + =
=−
+
⇔ =
−
=
3 2
2
2
9 18 28 0
( 7)( 2 4) 0
7 0
2 4 0
7
1 3
1 3
x x x
x x x
x
x x
x
x i
x i
+ + + =
⇔ + + + =
+ =
⇔
+ + =
= −
⇔ = − +
= − −
Phương trình có nghiệm trong R là: x=-7
Phương trình có nghiệm trong C là:
7
1 3
1 3
x
x i
x i
= −
= − −
= − +
g/ x
3
– 3x
2
– 3x + 11 = 0 ( 1 )
* Trên R : Tự giải
* Trên C :
Đặt y = x - 1 ⇒ x = y + 1 Thay vào ( 1 ) ta được :
( y + 1)
3
– 3( y + 1)
2
– 3( y + 1) + 11 = 0
⇔ y
3
– 6y + 6 = 0 ( 2 )
Đặt y = u + v , ta được :
( u + v)
3
– 6( u + v) + 6 = 0
⇔ u
3
+ v
3
+ 6 + ( u + v)( 3uv – 6) = 0
Tìm u, v thoả hệ:
u
3
+ v
3
+ 6 = 0 u
3
+ v
3
= -6
⇔
3uv – 6 = 0 u
3
v
3
= 8
⇒ u
3
, v
3
là nghiệm của phương trình: t
2
+ 6t + 8 = 0
t = -2 u
3
= -2
⇔ ⇒
t = - 4 v
3
= -4
u
1
= -
3
2
; u
2
= εu
1
; u
3
= ε
2
u
1
Chọn
v
1
= -
3
4
; v
2
= ε
2
v
1
; v
3
= εv
1
Nghiệm của ( 2 ) là:
y
1
= u
1
+ v
1
= -
3
2
-
3
4
y
2
= u
2
+ v
2
= -
3
2
( -
1
2
+ i
3
2
) -
3
4
( -
1
2
- i
3
2
)
y
3
= u
3
+ v
3
= -
3
2
( -
1
2
- i
3
2
) -
3
4
( -
1
2
+ i
3
2
)
Vậy nghiệm của ( 1 ) là :
x
1
= y
1
+ 1 = -
3
2
-
3
4
+ 1
x
2
= y
2
+ 1 = -
3
2
( -
1
2
+ i
3
2
) -
3
4
( -
1
2
- i
3
2
) + 1
x
3
= y
3
+ 1 = -
3
2
( -
1
2
- i
3
2
) -
3
4
( -
1
2
+ i
3
2
) + 1
Bài 2 : Giải các phương trình trên R và trên C:
b.
4 3 2
4 3 2 1 0x x x x
− + + − =
(1)
Đặt
1y x
= −
⇒
1x y
= +
Ta được
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
1 4 1 3 1 2 1 1 0y y y y
+ − + + + + + − =
⇔
4 2
3 1 0y y− + =
(2)
Đặt
2
t y=
từ phương trình (2) ta được
2
3 1 0t t
− + =
có
5
∆ =
nên
2
2
3 5 3 5
2 2
3 5 3 5
2 2
t y
t y
+ +
= =
− −
= =
⇒
Vậy (2) có 4 nghiệm là
1
3 5
2
y
+
=
;
2
3 5
2
y
+
= −
;
3
3 5
2
y
−
=
;
4
3 5
2
y
−
= −
s
Vậy (1) có 4 nghiệm
1
3 5
1
2
x
+
= +
;
2
3 5
1
2
x
+
= −
;
3
3 5
1
2
x
−
= +
;
4
3 5
1
2
x
−
= −
c)
4 3 2
2 8 2 7 0x x x x
+ + + + =
(1) trên C
Đặt
1 1
2 2
y x x y= + ⇒ = −
. Thế vào (1) ta được:
4 3 2
4 2
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2( ) 8( ) 2 7 0
2 2 2 2
13 125
5 0
2 16
13 13 11
( ) 2 5
4 2 4
y y y y
y y y
y y y
λ λ λ λ
− + − + − + − + =
÷
⇔ + − − =
⇔ + + = + + + +
Ta chọn
λ
sao cho vế phải có dạng bình phương. Tức là
0∆ =
2 2
3 2
13 11
5 4.2 0
2 4
8 52 22 25 0
λ λ λ
λ λ λ
⇔ − − + =
÷
⇔ + + − =
Giải phương trình chọn
1
2
λ
=
ta được:
2
2 2 2
2 2
2 2
13 1 1 1 13 1 11
( ) 2. 5 .
4 2 2 2 2 2 4
15 25 5
5
4 4 2
y y y
y y y y
+ + = + + + +
÷
⇔ + = + + = +
÷ ÷
2 2
2 2
15 5 5
0
4 2 4
15 5 25
0
4 2 4
y y y y
y y y y
+ = + − + =
⇔ ⇔
+ = − − + + =
Giải ra có 4 nghiệm y là:
1 2 3 4
1 2 1 2 1 2 6 1 2 6
; ; ;
2 2 2 2
i i i i
y y y y
+ − − + − −
= = = =
Ta lại có
1
2
x y
= −
nên suy ra các nghiệm x là:
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 2 1
2 2 2
1 1 2 1
2 2 2
1 1 2 6 1
1 6
2 2 2
1 1 2 6 1
1 6
2 2 2
i
x y i
i
x y i
i
x y i
i
x y i
+
= − = − =
−
= − = − = −
− +
= − = − = − +
− −
= − = − = − −
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1
2
3
4
1 6
1 6
x i
x i
x i
x i
=
= −
= − +
= − −
d)
4 3 2
2 8 2 7 0x x x x
+ + + + =
(1) trên C
Đặt
3 3
2 2
y x x y= + ⇒ = −
. Thế vào (1) ta được:
4 3 2
4 2
2 2 2 2
3 3 3
( ) 6( ) 6( ) 8 0
2 2 2
15 155
9 0
2 16
15 15 95
( ) 2 9
4 2 4
y y y
y y y
y y y
λ λ λ λ
− + − + − − =
⇔ − + − =
⇔ − + = − + − +
Ta chọn
λ
sao cho vế phải có dạng bình phương. Tức là
0
∆ =
2 2
3 2
15 95
9 4.2 0
2 4
8 60 190 81 0
λ λ λ
λ λ λ
⇔ − − + =
÷
⇔ − + − =
Giải phương trình chọn
1
2
λ
=
ta được:
2
2 2 2
2 2
2 2
15 1 1 1 15 1 95
( ) 2. 9 .
4 2 2 2 2 2 4
13 81 9
9
4 4 2
y y y
y y y y
− + = − + + +
÷
⇔ − = − + = −
÷ ÷
2 2
2 2
13 9 5
0
4 2 4
13 9 31
0
4 2 4
y y y y
y y y y
− = − − + =
⇔ ⇔
− = − + + − =
Giải ra có 4 nghiệm y là:
1 2 3 4
1 2 1 2 1 32 1 32
; ; ;
2 2 2 2
i i
y y y y
+ − − + − −
= = = =
Ta lại có
3
2
x y
= −
nên suy ra các nghiệm x là:
1 1
2 2
3 3
4 4
3 1 2 3
1
2 2 2
3 1 2 3
1
2 2 2
3 1 32 3
2 2 2
2 2 2
3 1 32 3
2 2 2
2 2 2
i
x y i
i
x y i
x y
x y
+
= − = − = −
−
= − = − = − −
− +
= − = − = − +
− −
= − = − = − −
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1
2
3
4
1
1
2 2 2
2 2 2
x i
x i
x
x
= −
= − −
= − +
= − −
e)
4 3 2
2 2 4 8 0x x x x
− + + − =
Giải
Đặt
1
2
x y
= +
suy ra:
4 3 2
4 2
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2( ) 2( ) 4( ) 8 0
2 2 2 2
1 91
5 0
2 16
1 95
( ) (1 2 ) 5
2 16
y y y y
y y y
y y y
λ λ λ λ
+ − + + + + + − =
⇔ + + − =
⇔ + + = + − + + +
Chọn λ sao cho vế phải là một dạng bình phương, tức là chọn λ sao cho ∆
y
= 0.
2
3 2
1 95
25 4( 2 )( ) 0
2 16
99 105
8 10 0
2 8
λ λ λ
λ λ λ
⇔ − + + + =
⇔ + + − =
Chọn
1
4
λ
=
, vậy ta được:
2 2 2
2
2
3 1
( ) (2 5)
4 4
4 0
1 0
1 15 2 15
2 2
1 15 2 15
2 2
1 5 5
2 2
1 5 5
2 2
y y
y y
y y
i i
y x
i i
y x
y x
y x
+ = −
− + =
⇔
+ − =
+ +
= =
− −
= =
⇔ ⇔
− − −
= =
− +
= =
Trong R phương trình có nghiệm là :
5
2
5
2
x
x
−
=
=
Trong C phương trình có nghiệm là:
2 15
2
2 15
2
5
2
5
2
i
x
i
x
x
x
+
=
−
=
−
=
=
f)
22
234
−+−−
xxxx
=0 (1)
Đặt
4
1
−=
xy
suy ra
4
1
+=
yx
. Thế vào (1) ta được:
02)
4
1
(2)
4
1
()
4
1
()
4
1
(
334
=−+−+−+−+
yyyy
64
131
8
11
8
11
2)
16
11
(
2222
+−+−=+−⇔
λλλλ
yyy
Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương. Tức là
0)
64
131
8
11
(2)
16
11
(0
22'
=+−−−⇔=∆
λλλ
y
0
256
121
32
131
4
11
2
23
=+−+−⇔
λλλ
Giải phương trình trên chọn
8
1
=
λ
ta được
64
131
8
1
.
8
11
)
8
1
(
8
11
8
1
2)
8
1
16
11
(
2222
+−+−=+−
yyy
222
)
8
11
2
1
()
16
9
(
−=−⇔
yy
+−=−
−=−
⇔
8
11
2
1
16
9
8
11
2
1
16
9
2
2
yy
yy
=−+
=+−
⇔
0
16
31
2
1
0
16
13
2
1
2
2
yy
yy
=−+
=+−
⇔
031816
013816
2
2
yy
yy
Giải ra ta được 4 nghiệm y đó là :
4 2
11 11 403
0
8 8 256
y y y
⇔ − + − =
16
384
1
i
y
+
=
;
16
384
2
i
y
−
=
16
2164
3
+−
=
y
;
16
2164
3
−−
=
y
Ta lại có
4
1
+=
yx
nên suy ra các nghiệm x là :
4
1
16
384
4
1
11
+
+
=+=
i
yx
4
1
16
384
4
1
22
+
−
=+=
i
yx
4
1
16
2164
4
1
33
+
+−
=+=
yx
4
1
16
2164
4
1
44
+
−−
=+=
yx
g)
0562766
234
=−++−
xxxx
(1)
Đặt
2
3
2
3
+=⇒−=
yxxy
. Thế vào phương trình (1) ta được:
056)
2
3
(27)
2
3
(6)
2
3
(6)
2
3
(
234
=−+++++−+
yyyy
0
16
275
18
2
15
24
=−+−⇔
yyy
4
125
2
15
182)
2
15
(
2222
+−+−=+−⇔
λλλλ
yyy
Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương. Tức là
)
4
125
2
15
(290
22'
+−−⇔=∆
λλλ
y
081
2
125
152
23
=+−+−⇔
λλλ
Giải phương trình trên chọn
2
=
λ
. Ta được
4
81
184)2
4
15
(
222
+−=+−
yyy
222
)
2
9
2()
4
7
(
−=−⇔
yy
+−=−
−=−
2
9
2
4
7
2
9
2
4
7
2
2
yy
yy
=−+
=+−
⇔
02584
01184
2
2
yy
yy
Giải ra ta được 4 nghiệm y là :
4
724
1
i
y
+
=
;
4
724
2
i
y
−
=
4
1164
3
+−
=
y
;
4
1164
3
−−
=
y
Ta lại có
2
3
+=
yx
. Ta suy ra các nghiệm x là:
2
3
4
724
2
3
11
+
+
=+=
i
yx
2
3
4
724
2
3
22
+
−
=+=
i
yx
2
3
4
1164
2
3
33
+
+−
=+=
yx
2
3
4
1164
2
3
44
+
−−
=+=
yx
h/ x
4
+ 2x
3
– 2x
2
+ 6x – 15 = 0 ( 1 )
* Trên C :
( 1 ) ⇔ x
4
+ 2x
3
+ x
2
– 3x
2
+ 6x – 15 = 0
⇔ ( x
2
+ x)
2
= 3x – 6x + 15
⇔ ( x
2
+ x)
2
+ 2( x
2
+ x)y + y
2
= 3x
2
– 6x + 15 + 2( x
2
+ x)y + y
2
⇔ ( x
2
+ x + y)
2
= ( 2y + 3)x
2
+ ( y – 3)2x +( y
2
+ 15) ( 2 )
Tìm giá trị của y sao cho vế phải của phương trình là một phương trình bậc 2:
( 2): ( y – 3)
2
– ( 2y + 3)( y
2
+ 15) = 0
⇔ y
2
– 6y + 9 – ( 2y
3
+ 3y
2
+ 30y + 45) = 0
⇔ y
3
+ y
2
+ 18y + 18 = 0 ( 3 )
Ta có nghiệm của ( 3 ) là y = -1.Thay vào ( 2 ) ta được :
( x
2
+ x – 1)
2
= x
2
– 8x + 16
⇔ ( x
2
+ x – 1)
2
= ( x – 4 )
2
x
2
+ x – 1 = x - 4 x
2
= -3 = 3i
2
⇔ ⇔
x
2
+ x – 1 = - x + 4 x
2
+ 2x – 5 = 0
x
1
= i
3
⇔ x
2
= - i
3
x
3
= -1 +
6
x
4
= -1 -
6
i)
4 3 4
2 4 2 3 0x x x x
− + + − + =
Đặt
1
2
x y
= +
ta được:
4 3 2
4 2
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2( ) 4( ) 2( ) 3 0
2 2 2 2
5 45
0
2 16
5 5 5
( ) 2
4 4 2
y y y y
y y y
y y y
λ λ λ λ
+ − + + + − + + =
⇔ + + + =
⇔ + + = − − + +
Chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương, tức là chọn λ sao cho ∆
y
=0
2 2
2 2
5 5
1 4.2 ( ) 0
2 4
1 8 20 10 0
λ λ λ
λ λ λ
− + − =
⇔ − − + =
Chọn
1
2
λ
=
, vậy ta được
2 2 2
2
2
7 1
( ) ( )
4 2
4 4 9 0
4 4 5 0
2 32
4 32
4
4
2 32
4 32
4
4
2 4
4
2 4
4
y y
y y
y y
i
y
i
x
i
y
i
x
i
y
x i
i x i
y
+ = −
− + =
⇔
+ + =
+
=
+
=
−
=
−
⇔ ⇔
=
− +
=
=
− − = −
=
Trong R phương trình vô nghiệm.
Trong C phương trình có bốn nghiệm là:
4 32
4
4 32
4
i
x
i
x
x i
x i
+
=
−
=
=
= −
