bài tập phân thức toán 8

Trường THCS Lê Quý Đôn – Bến Cát Bài tập chương II – Đại số 8
BÀI TẬP PHÂN THỨC
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 3 3 4
7
5 35
x y x y
xy
= ; b)
( )
( )
2
2
2
2
2
x x
x
x
x x
+
=
+
+
; c)
2
2
3 6 9
3 9
x x x

x x
− − +
=
+ −
; d)
3 2
4 2
10 5 5
x x x x
x
− − −
=
−
; e)
5 20
7 8
y xy
x
= ; f)
( )
( )
3 5
3
2 5 2
x x
x
x
+
=
+

;
Bài 2:Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.
a)
2
2
6 3
2 1 4 1
A x x
x x
+
=
− −
; b)
2
4 3 7 4 7
2 3
x x x
A x
− − −
=
+
;
Bài 3:Ba phân thức sau có bằng nhau không?
2 2
2 2
2 2 4
; ;
1 1 2
x x x x
x x x x

+ − + −
− + − −
.
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
a)
3
2 2 2
7 ( 2 )
14 ( 2 )
xy x y
x y x y
−
−
b)
2 2
18 (2 3)
12 (3 2 )
x y x
xy x
−
−
c)
2
16 9
4 3
x
x
−
+
d)

2
3
4 8
2(2 )
a ab
b a
−
−
e)
2
2
16 ( 7)
6 9
x
x x
− +
+ +
f)
3
4
3 3
1
x x
x
+
−
g)
2
2
6

4 3
x x
x x
+ −
+ +
h)
( )
cba
cba
++
−+
2
2
i)
yxxyx
yxxyx
−−+
+−−
2
2
j)
+ +
+ +
2
(x 2)(x 3)
x 7x 12
k)
2
(2 4)( 3)
( 2)(3 27)

x x
x x
− −
− −
l)
xzzyx
xyzyx
2
2
222
222
++−
+−+
Bài 2:Thực hiện phép tính và rút gọn:
1)
3 3 3
1 2 3 2 2 4
6 6 6
x y x
x y x y x y
− + −
+ +
2)
2 2 3
5 3
2 5
x
x y xy y
+ +
; 3)

1 1
2 ( 2)(4 7)x x x
+
+ + +
;
4)
2
5 8
4( 2)
4 8
x
x
x x
-
+
+
+
5)
11 13 15 17
3 3 4 4
x x
x x
+ +
+
− −
6)
2
3 5 25
5 25 5
x x

x x x
+ −
+
− −
7)
3 3
3 5 5 15
4 4
x x
x y x y
+ −
−
; 8)
4 7 3 6
2 2 2 2
x x
x x
+ +
−
+ +
; 9)
2
2 2 2 2
xy x
x y y x
−
− −
;
10)
2 2

2 2
5 5x y y x
x y xy
+ −
−
; 11)
62
3
+x
xx
x
62
6
2
+
−
−
12)
xx
x
66
2
2
−
−
-
44
1
2
−x

Bài3: Rút gọn các biểu thức sau:
1/
2
1 1 4
1 1 1
x x
x x x
+ −
− −
− + −
2/
2
4 3 12
2 2 4
x x x
x x x
− +
+ − −
3/
+
+ −
− + −
2
3x 21 2 3
x 9 x 3 x 3
4/
2 2
3 1 1 3
1

( 1) 1
x x
x
x x
+ +
- +
+
- -
; 5/
2 2
4 2 2 3 3 1
1
1 ( 1)
x x x
x
x x
- - -
- +
+
- -
6/
yx
x
2−
+
yx
x
2+
+
22

4
4
xy
xy
−
7/
23
1
−x
2
94
63
23
1
x
x
x
−
−
−
+
8/
2
3 2
2 2 1
1 1 1
x
x x x x
+
+ +

− + + −
9/
2
2 3
1 2
1
1 1
x
x x x
+
+ −
− + +
10/
2
7 36
6 6
x
x x x x
− +
+ +
11/
xyy
x
xxx
x
36
41
2
23
3

−
−
−
++
−
12/
−
+ +
− −
2
1 2x 2x 1
2x 2x 1 2x 4x
A =
2 4 8
1 1 2 4 8
1 1 1 1 1x x x x x
+ + + +
− + + + +
.
Bài 3:Tính và rút gọn các biểu thức đại số sau :
1/
2 2
1 4
2 8
x x
x x x x
+ −
− − +
g
2/

2
2
2 36
4 24 2
x x
x x x
+ −
+ + −
g
3/
2 2
2 2
5 6 4 4
:
7 12 3
x x x x
x x x x
− + − +
+ + +
4/
2 2
2 2 3 3
2
:
x xy y x y
x xy y x y
− + −
− + +
5/
12

9
:
44
155
2
2
++
−
+
−
xx
x
x
x
6/
12
64
:
77
486
2
2
+−
−
−
+
xx
x
x
x

7/
12
36
:
55
244
2
2
++
−
+
−
xx
x
x
x
8/
12
49
:
55
213
2
2
++
−
+
+
xx
x

x
x
9/
1 2 3
: :
2 3 1
x x x
x x x
+ + +
+ + +
10/
1 2 3
: :
2 3 1
x x x
x x x
+ + +
 
 ÷
+ + +
 
11/
1 2 3
:
2 3 1
x x x
x x x
+ + +
+ + +
g

Bài 4:Rút gọn các biểu thức đại số sau:
A =
2
2 2 2
6x 1 6x 1 x 36
x 6x x 6x x 1
+ − −
 
+
 ÷
− + +
 
2 2
x 1 2x x 1 10 x
B . .
x 10 x 2 x 10 x 2
− − −
= +
+ + + +
Năm học 2009 – 2010 1 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bến Cát Bài tập chương II – Đại số 8
C
x x 1 x x 1
:
x 1 x x 1 x
+ −
   
= − −
 ÷  ÷
− +

   
D = ( x – 3 ) ( x
2
+ 3x + 9 ) – x
2
( x – 1
+ − − −
 
= + − +
 ÷
+ +
 
2
x 2 2 2 4x x 3x 1
E 3 :
3x x 1 x 1 3x
A =
66
)12)(1(
3
2
+
+−+
x
xxx
:
444
1
2
2

+−
−
xx
x

B =
2 2
2 1 1
( ) : ( )
x x y
xy y xy x x y
−
+ +
− −

2 2
2 2 2 2
x y y x y x
C .
x y x xy xy y
 
−
= −
 ÷
− − −
 
D =
2
1 4
( ) : ( 1)

1 1 2 2
x x
x
x x x
+ − +
+ − −

2
3 2
x 2 x 1 x 1
Q :
x 1 x x 1 1 x 2
+ −
 
= + +
 ÷
− + + −
 
2
3 2 2 3 2
x x 1 1 2x
R :
x x x 1 x 1 x 1 x x x 1
+
 
 
= + −
 ÷
 ÷
+ + + + − − + −

 
 
( ) ( )
3 2
2
x 3x 9 x x 3 x 2
S 1 :
x 9 x 3 x 2 x 2 x 3
 
− − − +
 
= − + −
 
 ÷
− + − − +
 
 
Bài 5:Chứng minh đẳng thức
1/
2 2 3 2
2 2
2
2 2
x y xy y xy y
x xy y x y
+ + +
=
+ − −
2/
2 2

3 2 2 3
3 2 1
2 2
x xy y
x x y xy y x y
+ +
=
+ − − −
3/
1 1 5 3
5 ( 5) 5
x
x x x x x
−
+ + =
+ + +
Bài 6:*CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a)
x y y z z x
xy yz zx
− − −
+ +
; b)
( )( ) ( )( ) ( )( )
y z x
x y y z y z z x z x x y
+ +
− − − − − −
.
Bài 7: Tìm ĐKXĐ của phân thức

Cho các phân thức sau:
A =
)2)(3(
62
−+
+
xx
x
B =
96
9
2
2
+−
−
xx
x
C =
xx
x
43
169
2
2
−
−
D =
42
44
2

+
++
x
xx
E =
4
2
2
2
−
−
x
xx

F =
8
1263
3
2
−
++
x
xx
G =
2
3 1
5
x
x
−

−
; H =
2
2 1
x x
x
−
+
; I =
2
2
3 2
1
x x
x
− +
+
J =
2
2
2
4 4
x x
x x
−
− +
;
a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định.
b)Tìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0.
c)Rút gọn phân thức A,B,C,D,E,F

Tìm số chưa biết
Bài 1:Tìm x, biết:
1/
2 2
3
0
4 ( 2)
x
x x
+ =
− +
2/
2
1
1 0
1
x
x x
+ − =
+ +
Bài 2:Với giá trị nào của x thì giá trị các biểu thức sau bằng 0.
1/
( 5)
5
x x
x
+
−
2/
2

3 6
3 9 3
x x
x x x
− +
− − +
Bài 3: Với giá trị nào của x thì 2 biểu thức sau có giá tri bằng nhau:
1/
3
x 1−
và
2
2
( 1)
x
x −
2/
3
1
2( 3)x
−
+
+
và
2
2
9x
−
−
Bài 4:

1/ Tìm x để biểu thức
3 2
1
x
A
x
−
=
+
có giá trị bằng 1
2/ Tìm x để biểu thức
2 2
2 4 3( 1)
:
4 1
x x
B
x x
+ −
=
− −
có giá trị bằng
1
2
Bài 5:Tìm giá trị của x để :
Năm học 2009 – 2010 2 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bến Cát Bài tập chương II – Đại số 8
1/ Biểu thức A =
3
2x −

có giá trị dương, giá trị âm
2/ Biểu thức B =
5
2 1x
−
+
có giá trị dương, giá trị âm
3/ Biểu thức C =
1
2
x
x
−
+
có giá trị dương, giá trị âm
4/ Biểu thức D =
2 3
1
x
x
+
−
có giá trị không âm
Bài 6:a)Tìm các số a và b sao cho phân thức
2
3
5
3 2
x
x x

+
− −
viết được thành
2
2 ( 1)
a b
x x
+
− +
b)Tìm A, B, C để có :
2
3 3 2
2
( 1) ( 1) ( 1) 1
x x A B C
x x x x
− +
= + +
− − − −
.
c) Tìm a,b,c sao cho
2 2
1
( 1)( 1) 1 1
ax b c
x x x x
+
= +
+ − + −
;

d)Tìm a,b,c sao cho
1
( 1)( 2) 1 2
a b c
x x x x x x
= + +
+ + + +
;
Tính giá trị của biểu thức
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
4 4
2 2
ax a x
a ax x
−
+ +
với a = 3, x =
1
3
; b)
3 2
3
6
4
x x x
x x
+ −
−
với x = 98 c)

3
3 5
3
3
x x
x x
+
+
với x =
1
2
−
;
d)
4 3
2 3
2
2
x x
x x
−
−
với x =
1
2
−
; e)
2
2
10 5

16 8
ab a
b ab
−
−
với a =
1
6
, b =
1
7
; f)
7
15 8
1a
a a
+
+
với a = 0,1;
g)
2 2
2 4
0,2 0,8
x y
x y
−
−
với x + 2y = 5; h)
2 2
9

1,5 4,5
x y
x y
−
+
với 3x - 9y = 1.
i)
2 2
x 2x y 1 1
:
x yxy y xy x
 
 
−
+ +
 
 
− −
  
với x = 1; y =
1
2
−
:
2/ Tính giá trị của biểu thức
a)
2 2
2 7 10
9 9
x x

x x
− −
−
− −
với x = 3,1 b)
2 2
3 5 3
4 4
y y
y y
− −
+
− −
với y = -3
3/ Cho
20
a
b
=
.Tính giá trị các biểu thức :
a)
a b
a
+
b)
2 3a b
b
−
c)
2

( )a b
a b
−
×
4/ Cho 3y – x = 6.Tính giá trị các biểu thức :
2 3
2 6
x x y
A
y x
−
= +
− −
5/ Cho 3x – y = 3z và 2x + y = 7z. Tớnh giỏ trị của biểu thức :
2
2 2
2x xy
M
x y
−
=
+
( với
0, 0x y≠ ≠
)
Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị nguyên
Tìm những giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
1/
3
2 1x −

2/
2
5
1x
−
+
3/
3
2
x
x +
4/
3 2
4
a
a
−
−
5/
2
2
2
4
x
x
+
+
6/
2
3 6

5
x x
x
− +
−
7/
2
( 3)x
x
−
Tìm GTNN,GTLN
Bài 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
2
3
4
A
x
=
− −

2
2
2 4
B
x x
=
− + −
2
3
6 15

C
x x
−
=
− +
+
−
= = =
+ + +
x 1945
1 5
D E F
1946 x 1 2x 6 3
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau :
Năm học 2009 – 2010 3 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bến Cát Bài tập chương II – Đại số 8
2
1
3
A
x
=
+

2
1
2 4
B
x x
=

+ +
2
4
4 5
C
x x
−
=
− − +
+
= = − − =
+ −
x 3
2008 5 2
B C 3 . x D
x 2009 2 5 4
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1:Cho phân thức A =
2 3 6 5
2 3 2 1 (2 3)(2 1)
x
x x x x
+
+ −
+ + + +
(x
≠

2
3

−
; x
≠

2
1
−
).
a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để A = -1
Câu 2:Cho phân thức A =
)5)(5(
102
5
2
5
1
−+
+
−
−
+
+
xx
x
xx
(x
≠
5; x
≠

-5).
a/ Rút gọn A
b/ Cho A = -3. Tính giá trị của biểu thức 9x
2
– 42x + 49
Câu 3:Cho phân thức A =
2
9
18
3
1
3
3
x
xx
−
−
−
+
+
(x
≠
3; x
≠
-3).
a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để A = 4
Câu 4:Cho phân thức A =
xx
x

x
x
x
x
5
550102
255
2
2
+
+
+
−
+
+
(x
≠
0; x
≠
-5).
a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để A = - 4.
Câu 5: Cho
1x
xx
2x3x
5x
1x
1x
2x3x

1x2
A
2
2
2
2
−
+
+
+−
+
−
−
+
−
+−
+
=
a) Rút gọn A
b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
Câu 6:Cho phân thức:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2x 2x x 3
P(x)

x x 9 x 1
+ −
=
− +

a) Tìm tập xác định của phân thức
b) Rút gọn và tính giá trị của P(x) khi x = 0,5
c) Tìm x sao cho P(x) = 0
Câu 7:Cho biểu thức :






−⋅






+
+
−
−
−
= 1
2
2

1
4
2
2
1
2
xx
x
x
x
A
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x
2
+ x = 0
c) Tìm x để A=
2
1
d) Tìm x nguyên để A nguyên dương.
Câu 8:: Cho biểu thức :






+
−







+
−
−
−
−
−
−
=
3
1
1:
3
1
3
4
9
21
2
xx
x
x
x
x
B
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của biểu thức B tại x thoả mãn: |2x + 1| = 5

c) Tìm x để B =
5
3
−
d) Tìm x để B < 0.
Câu 9::Cho phân thức A =
2
2
2 1
1
x x
x
+ +
-
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức A được xác định?
b) Rút gọn phân thức trên.
c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức A là một số nguyên
Câu 10 Cho biểu thức:
2
4
:
4
42
.
8
8
2
2
2
3

3
+








−
+−
+
−
−
+
=
x
x
xx
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
Năm học 2009 – 2010 4 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bến Cát Bài tập chương II – Đại số 8
b) Tìm x để P < 0
c) Tìm x để P =

1
1
+
x

d) Tính P khi
312
=−
x
e) Tính trị nhỏ nhất của P
Câu 11: Rút gọn các phân thức sau: a,
2
2 2
x xy
y x
−
−
b,
2 2
2 2
2
x y
x xy y
−
− +
Câu 12: Quy đồng mẫu thức 2 phân thức sau
2
1x +
và
4

2
1
x
x −
Câu 13: Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức:
Q =
1
1
1
1
1
1
x
+
+
+
2
2 2 8 4
:
2 4 2 4 4 2
x x
P
x x x x
+ − −
 
= + +
 ÷
− + − −
 
a, Tìm điêu kiện của x để P xác định ?

b, Rút gọn P ?
Câu 14: Tính: (3 đ) a.
5
5 5
x
x x
+
+ +
; b.
( ) ( )
1
1 1
x
x y y y
−
− −
;c.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 4 3 4
:
2 5 2 5
x y x y
x x
− + − +
− −
.
Câu 15: Cho phân thức:
2
2 1

1
x x
x
− +
−
.
a. Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?
b. Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức tại x = 2010.
Câu 16:Phát biểu quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức?
Ap dụng: Tính:
3
10
3
1
3 +
+
+
+
−
+
+ x
x
x
x
x
x
Câu 17: Rút gọn các phân thức sau:
a)
33
55

−
−
x
x
b)
22
2
9
3
yx
xyx
−
+
Câu 18: Rút gọn các phân thức sau rồi quy đồng mẫu thức:
xx
x
−
+
3
55
và
324
42
3
2
−
++
x
xx
Câu 19: Cho biểu thức:







−
−








−
+
+
=
xxx
x
A
2
1
4
.1
1
1
2

a) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
Câu 20: Biến đổi các biểu thức sau thành một phân thức đại số. a)
x
1
1+ b)
x
1
1
1
1
+
+
Câu 21: Cho các phân thức sau:
A =
)2)(3(
62
−+
+
xx
x
B =
96
9
2
2
+−
−
xx
x

C =
xx
x
43
169
2
2
−
−
D =
42
44
2
+
++
x
xx
E =
4
2
2
2
−
−
x
xx

F =
8
1263

3
2
−
++
x
xx
a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định.
b)Tìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0.
c)Rút gọn phân thức trên.
Câu 22: Thực hiện các phép tính sau:
a)
62
1
+
+
x
x
+
xx
x
3
32
2
+
+
b)
62
3
+x
xx

x
62
6
2
+
−
− c)
yx
x
2−
+
yx
x
2+
+
22
4
4
xy
xy
−
Năm học 2009 – 2010 5 Nguyễn Văn Thuận
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bến Cát Bài tập chương II – Đại số 8
d)
23
1
−x
2
94
63

23
1
x
x
x
−
−
−
+

Câu 23:Tính giá trị của biểu thức:
A =
( )
( )
( )
( )
3
2
xx41x
x2x22x
−+
+−
với x = -1/2 B =
1y3y3y
yyxyx
23
2
−+−
+−−
với x = -3/4, y = ½

C =
22
44
xaxa
xaax
++
−
với a = 3, x = 1/3
Câu 24:Rút gọn phân thức
a)
xa
ax
−
−
b)
32
25
)(
)(
ax
ax
−
−
c)
yxy
xyx
−
+−
2
)32)((

d)
yzxyxzx
yzxyxzx
+++
−−+
2
2
Câu 25: Rút gọn biểu thức rồi thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
A =
22
44
xaxa
xaax
++
−
với a = 3, x = 1/3
Câu 26:Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y

1
2233
31
19
2
−
−+−
+
−
−
y

yxxy
x
x
với x ≠ 1/3 ; y ≠ 1
Câu 27:Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a)
ab
ab
;
bx
bx
;
xa
xa
222
+++
b)
222
yx
1
;
)yx(
yx
−−
+
c)
axx
ax
;
aax2x

x
222
−
+
+−
d)
9x
x23
;
x6x2
1x7
22
−
−
+
−

e)
22
x2y8
yx
;
y2x
4
;
x5
7
−
−
−

g)
1x
2
;
1xx
x2
;
1x
1x
23
+
+−+
−
Câu 28:: Thực hiện phép tính:
a)
2
x4
2x5
2x
3
2x
4
−
+
+
−
+
+
b)
2

9
)1(
3
21
3
1
x
xx
x
x
x
x
−
−
+
+
−
+
−
+
c)
12
23
1
6
12
23
222
++
−

+
−
+
+−
+
xx
x
xxx
x
Câu 29:: Thực hiện phép tính:
a)
2
4
25
2
3
2
4
x
x
xx
−
+
−
−
−
+
b)
2
9

)1(
3
21
3
1
x
xx
x
x
x
x
−
−
−
+
−
−
−
+
c)
1x2x
2x3
1x
6
1x2x
2x3
222
++
−
−

−
−
+−
+
Câu 30: Rút gọn biểu thức sau:
a)
2x
x1
.
10x
1x
2x
x
.
10x
1x
22
+
−
+
−
+
++
−
b)
( ) ( )
2
2
2
2

2
22
x
yx
.
yx
y
x
yx
.
yx
yx
−
+
−
−
+
+
Câu 31:: Cho biểu thức:
A =








+
−

+
−
+
+
+
)5x(x2
x550
x
5x
10x2
x2x
2
a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định
b) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng 1
c) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng -1/2
d) Tìm x để giá trị của biểu thức A > 0
Câu 32:Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
a) A =
ab
b
ba
a2
.
b2a2
ba
ba
ab2
22
−
+

+






+
−
+
−

b) B =
( )






−
−
−
+
−
−
−
22222
23
yx

y
yx
x
.
yx
xyx
yx
x
Câu 33: Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của x để biểu thức M =
34
x
4x
.
2x
x
22
+








−
+
−
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất ấy.

Câu 34. rút gọn phân thức sau:
Năm học 2009 – 2010 6 Nguyễn Văn Thuận