Định nghĩa và ý nghĩa của Đạo hàm t1

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a)Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os.
Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t).
Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t
o
?
s’
O
s(t
o
)
s(t)
s
M
o
M
Giải
{Tại t
o
}
{Tại t}
MM
o
= s(t) – s(t
o
)

Tại thời điểm t
o
chất điểm đi được quãng đường là s(t
o
) còn tại thời điểm
t chất điểm đi được quãng đường là s(t).
Vậy trong khoảng thời gian từ t
o
đến t, chất điểm đi được quãng đường
là:
Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số
0
( ) ( )
o
s t s t
t t
−
−
Là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm.
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a)Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os.
Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t).
Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t
o
?
s’

O
s(t
o
)
s(t)
s
M
o
M
Giải
{Tại t
o
}
{Tại t}
Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình
của chất điểm.
Khi t – t
o
càng nhỏ (tức là t càng gần t
o
) thì vận tốc trung bình càng thể
hiện chính xác mức độ nhanh chậm của chuyển động tại t
o
.
Vì vậy người ta coi giới hạn (nếu có)

0
→
−
−

( ) ( )
lim
o
o
t t
s t s t
t t
Là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t
o

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a)Bài toán tìm vận tốc tức thời
b)Bài toán tìm cường độ tức thời (SGK)
0
→
−
=
−
( ) ( )
( ) lim
o
o
o
t t
s t s t
v t
t t

Vận tốc tức thời tại thời điểm t
o
là:
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t
o
là:
0
→
−
=
−
( ) ( )
( ) lim
o
o
o
t t
Q t Q t
I t
t t
0
→
−
−
( ) ( )
lim (*)
o
o
x x
f x f x

x x
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
o
∈(a;b).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi
là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
o
và kí hiệu là f ’(x
o
) (hoặc y’(x
o
) ),
tức là:
0
→
−
−
( ) ( )
lim
o
o
x x
f x f x
x x

0
→
−
=
−
( ) ( )
'( ) lim
o
o
o
x x
f x f x
f x
x x
0∆ →
∆
=
∆
'( ) lim
o
x
y
y x
x
Chú ý:
∆ = −
o
x x x
Là số gia của đối số tại x
o

∆ = − =( ) ( )
o
y f x f x
Là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại x
o

+ ∆ −( ) ( )
o o
f x x f x
Khi đó:

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x
2
. Hãy tính y’(- 2) bằng định nghĩa?
Hướng dẫn:
( ) ( )
* 2 2y f x f∆ = − + ∆ − −
( )
( )
2
2 4
4
x
x x

= − + ∆ −
= ∆ − + ∆
* 4
y
x
x
∆
= − + ∆
∆
( )
0 0
* lim lim 4 4
x x
y
x
x
∆ → ∆ →
∆
= − + ∆ = −
∆
( )
: ' 2 4KL y − = −
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối tại x

o
, tính
∆y= f(x
o
+ ∆x) – f(x
o
)
Bước 2: Lập tỉ số
y
x
∆
∆
Bước 3: Tìm
0
y
∆ →
∆
∆
lim
x
x
2
1
1= =) ( )
o
a f x x
x
taïi
1 2= − =) ( )
o

b g x x x taïi
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
2
1
1= =) ( )
o
a f x x
x
taïi
1 2= − =) ( )
o
b g x x x taïi
Giải
+ Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x
o
= 1
+ Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x
o
= 2
Ta có:
( )
2
1
1 1 1
1
∆ = + ∆ − = −

+ ∆
( ) ( )y f x f
x
1 1∆ = + ∆ −y x
2
2
2
1
− ∆ − ∆
=
+ ∆
( )
( )
x x
x
2
2
2
1
∆ − ∆ − ∆
=
∆ ∆ + ∆
( )
( )
y
+
x
x x
x x
0∆ →

∆
=
∆
lim
y
+
x
x
Vậy
1 2= −'( )f
+
1 1y
x
∆ + ∆ −
=
∆ ∆
x
x
+
0 0
1 1y
x
∆ → ∆ →
∆ + ∆ −
=
∆ ∆
lim lim
x x
x
x

0
1 1
2
1 1
∆ →
= =
+ ∆ +
lim
x
x
0
1 1
∆ →
∆
=
∆ + ∆ +
lim
( )
x
x
x x
Vậy
1
2
2
='( )g
2
2
0
2

1
∆ →
− ∆ − ∆
∆ + ∆
( )
lim
( )
x
x x
x x
2
0
2
1
∆ →
− − ∆
=
+ ∆
lim
( )
x
x
x
2= −
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.
Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
o

thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý:
* Hàm số y = f(x) gián đoạn tại x
o
thì nó khơng có đạo hàm tại x
o
* Mệnh đề đảo của định lý 1 khơng đúng.
Ví dụ:
Chứng minh rằng hàm số

liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
2

− ≥
=


( )
x
f x
nếu x 0
x nếu x < 0
0 0
0
+ −
→ →
= =lim ( ) lim ( ) ( )
x x
f x f x f xTa có nên liên tục tại x = 0.
2

0 0
0
+ +
∆ → ∆ →
∆ −∆
= =
∆ ∆
lim lim
x x
y x
x x
Mặt khác
0 0
1
− −
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
lim lim
x x
y x
x x
và
Hàm số không có đạo
hàm tại x = 0.(đpcm)
Hướng dẫn giải
D. - 4
C. - 1,08
Củng cố

Câu 1 : Số gia của hàm số y = 3x
2
– 1 tại điểm x
0
= 1 ứng với số
gia
∆
x = - 0,2 là :
A. 1,32
B. - 0,08
D. 0,92
Câu 2 : Đạo hàm của hàm số y = x
2
+ 2x tại điểm x
0
= -3 là :
A. 4
B. 3
C. - 3
Câu 3 : Đạo hàm của hàm số tại điểm là :
A. -1/2 B. 2
C.
D. 1/2
1
y
x
=
2
o
x = ±

Câu 4 : Đạo hàm của hàm số tại điểm x
0
= - 3 là :
1
1
x
y
x
+
=
−
A.1/4
1
2
B. 3/8
C 2
D. 1
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.