bài tập hình học 10 học kỳ 2

Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
§3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
A. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao.
c
b
h
H
c'
b'
a
A
B
C
Ta có các hệ thức sau:
2 2 2
2
2
2
2 2 2
.
.
.
. .
1 1 1
cos ;sin cos
tan cot ;cot tan
BC AB AC
AB BH BC
AC CH BC

AH HB HC
AH BC AB AC
AH AB AC
AC AB
sinB C C B
BC BC
AC AB
B C B C
AB AC
= +
=
=
=
=
= +
= = = =
= = = =
B. Hệ thức lượng trong tam giác thường
Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c, đường cao AH=h
a
và các đường trung tuyến
AM=m
a
, BN=m
b
,CP=m
c
P
N
M

H
C
B
A
1.

Định lí côsin
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
Hệ qủa:
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
1
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos
2
cos
2

cos
2
b c a
A
bc
a c b
B
ac
a b c
C
ab
+ −
=
+ −
=
+ −
=
2

Định lí sin
2
sin sin sin
2 sin
2 sin
2 sin
a b c
R
A B C
a R A
b R B

c R C
= = =
=


⇒ =


=

(Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
3.Độ dài đường trung tuyến của tam giác
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 4 4
2
2 4 4
2
2 4 4

a
b
c
b c a
b c a
m
a c b
a c b
m
a b c
a b c
m
+ −
+
= − =
+ −
+
= − =
+ −
+
= − =
4. Các công thức tính diện tích tam giác
Với tam giác ABC, ta kí hiệu h
a
, h
b
, h
c
là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC,
CA, AB; R; r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác;

2
a b c
p
+ +
=
là nửa chu vi
tam giác.
Diện tích S của tam giác ABC được tính theo các công thức sau:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1
2 2 2
1 1 1
2
2 2 2
3
4
4
5
a b c
S ah bh ch
S abSinC acSinB bcSinA
abc
S
R
S pr

S p p a p b p c
= = =
= = =
=
=
= − − −
( Công thức (5) gọi là công thức Hê-rông)
II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trước ( trong đó có ít nhất là một
cạnh)
1. Phương pháp:
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
2
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
• Sử dụng trực tiếp định lí côsin và định lí sin.
• Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để
việc giải toán thuận lợi hơn.
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có b=7cm, c=5cm và
3
cos
5
A =
.
a) Tính a và diện tích tam giác ABC.
b) Tính h
a
,R và r.
Giải

a) Theo định lí côsin ta có:
( )
2 2 2 2 2
3
2 cos 5 7 2.5.7. 32 4 2
5
a b c bc A a cm= + − = + − = ⇒ =
2 2
9 16 4
sin 1 cos 1 sin
25 25 5
A A A= − = − = ⇒ =
( vì sinA>0)
2
1 1 4
sin .7.5. 14( )
2 2 5
S bc A cm= = =
b) Ta có:
1 2 28 7 2
.
2 2
4 2
a a
s
S a h h
a
= ⇒ = = =
Theo định lí sin:
( )

4 2 5 2
2
4
sin 2sin 2
2.
5
a a
R R cm
A A
= ⇒ = = =
14 28 14 7
.
7 5 4 2 12 4 2 6 2 2 3 2
2
s
S p r r
p
= ⇒ = = = = =
+ + + + +
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có
2 3a =
cm, b=2cm và
µ
0
30C =
.
a)Tính cạnh c, góc A và diện tích S của tam giác ABC.
b)Tính đường cao h
a
và đường trung tuyến m

a
của tam giác ABC.
Giải
a)Theo định lí côsin ta có:
( )
( )
2
2 2 2 2
3
2 cos 2 3 2 2.2 3.2. 4 2
2
c a b ab C c cm= + − = + − = ⇒ =
Vậy tam giác ABC cân tại A vì có b=c=2 cm
µ
µ µ
( )
0 0 0 0 0
30 180 30 30 120C B A⇒ = = ⇒ = − + =
2
1 1 1
sin .2 3.2. 3( )
2 2 2
S ab C cm= = =
b)Ta có:
1 2 2 3
. 1
2
2 3
a a
s

S a h h
a
= ⇒ = = =
cm
Vì tam giác ABC cân tại A nên
1
a a
h m= =
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có
3a =
cm, b=4cm và c=6 cm.
a)Tính diện tích S của tam giác ABC và đường cao h
a

b)Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và đường trung tuyến m
a
của tam giác ABC.
Giải
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
3
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
a) Ta có:
3 4 6 13
2 2 2
a b c
p
+ + + +
= = =
Theo công thức Hê-rông ta có:
13 13 13 13 455

3 4 6
2 2 2 2 4
S
   
= − − − =
 ÷ ÷ ÷
   
Đường cao
2 455 2 455
3 3
a
S
h
a
= = =
b)Bán kính đường tròn nội tiếp
455
455
4
13
26
2
s
r
p
= = =
Độ dài đường trung tuyến m
a
của tam giác ABC
( ) ( )

2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 6 4 3
95 95
2 4 4 4 4 2
a a
b c a
b c a
m m
+ − + −
+
= − = = = ⇒ =
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có
2 3 , 2 2 , 6 2a cm b cm c cm= = = −
. Tính các góc A, B, đường
cao h
a
và bán kính đường tròn nội tiếp r, ngoại tiếp R

của tam giác ABC.
Giải
Theo định lí côsin ta có:
( )
( )
( )
µ
2 2 2
0
4 1 3

8 6 2 2 12 12 4 4 3 1
cos
2 2
8 3 8
4 2 6 2 8 3 1
120
b c a
A
bc
A
−
+ − + + − − −
= = = = = −
−
− −
⇒ =
( )
( )
( )
µ
2 2 2
0
4 3 3
6 2 2 12 12 8 12 2 12 2
cos
2 2
4 18 4 6
2 6 2 2 3 4 2 3 3
45
a c b

B
ac
B
−
+ − + − + − −
= = = = =
−
− −
⇒ =
Đường cao
( )
2 acsin 2
sin 6 2 3 1
2
a
S B
h c B
a a
= = = = − = −
( )
( )
( )
1 2
acsin 2 3 6 2
3 6 2
acsin
2 2
.
1
2 3 2 2 6 2 6 3 1

2
B
s B
S p r r
p a b c
a b c
−
−
= ⇒ = = = = =
+ +
+ + − + +
+ +
2 2
2 2
sin 2sin
2
2
2
b b
R R
B B
= ⇒ = = =
Vấn đề 2.
Chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố của một tam giác.
1.Phương pháp
• Dùng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh cả hai vế cùng bằng
một biểu thức nào đó, hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức đã
biết là đúng. Khi chứng minh cần khai thác các giả thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích
hợp làm trung gian cho quá trình biến đổi.
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin

4
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Gọi m
a
, m
b
, m
c
là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC. Chứng
minh rằng:
a)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 3
a b c
m m m a b c+ + = + +
; b) sinA=sinBcosC+sinCcosB;
c)
2 sin .sin
a
h R B C=
; d)
( )
2 2
cos cosb c a b C c B− = −
.
Giải
a) Ta có:
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
4
4 2 1
2
4 2 2
4
4 2 3
2
4
a
a
b b
c
c

b c a
m
m b c a
a c b
m m a c b
m a b c
a b c
m

+ −

=


= + −


+ −
 
= ⇔ = + −
 
 
= + −
 
+ −


=



Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 3
a b c
m m m a b c+ + = + +
(ĐPCM)
b) Theo định lí sin ta có:
2 sin
2 2 sin
sin sin sin
2 sin
a R A
a b c
R b R B
A B C
c R C
=


= = = ⇒ =


=

Thay các giá trị này vào biểu thức a=b cosC+c cosB ta có:
2RsinA=2RsinB cos C + 2R sin C cos B
sin sin cos sin cosA B C C B⇒ = +
c) Ta có
2

2
4
2 .
2
2 .sin .2 .sin 2 . 2 sin .sin
a a
a a
abc
s bc
R
h bc R h
a a R
bc R B R C R h h R B C
= = = ⇒ =
= = ⇒ =
d)
Ví dụ 2. Tam giác ABC có b+c=2a. Chứng minh rằng:
a) 2sinA=sinB+sinC; b)
2 1 1
a b c
h h h
= +
Giải
a)Theo định lí sin ta có:
2
2
sin sin sin sin sin sin sin sin
2sin sin sin
a b c a b c a
R

A B C A B C B C
A B C
+
= = = ⇒ = =
+ +
⇒ = +
b) Diện tích tam giác ABC
1 1
.
2 2 4 2
c c
abc ab
S abSinC c h h
R R
= = = ⇒ =
Tương tự ta có:
2 1
;
2 2
c a
a
ac bc R
h h
R R bc h
= = ⇒ =
. Do đó:
1 1 1 1 1 1 2 2 .2 2
2 2 2
2 2
b c a

b c a R
R R R
ac ab
h h ac ab abc abc bc h
R R
+
 
+ = + = + = = = =
 ÷
 
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
5
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
Ví dụ 3. Tam giác ABC có bc=a
2
. Chứng minh rằng:
a) sin
2
A=sinB.sinC; b)
2
.
b c a
h h h=
Giải
a) Theo giả thiết ta có: bc=a
2
.
Thay
2 sin
2 sin

2 sin
a R A
b R B
c R C
=


=


=

vào giả thiết trên ta có:
2 2 2
4 sin 2 sin .2 sin sin sin .sinR A R B R C A B C= ⇒ =
(đpcm)
b)Ta có:
2
a b c
s ah bh ch= = =
Do đó:
2 2 2 2
. . . .
a b c b c a b c
a h b c h h a h h h h h= = ⇒ =
(đpcm)
Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a)
2 2 2
cot cot cot

a b c
A B C R
abc
+ +
+ + =
; b)
( )
( )
2 2
cos .cos .cosb c A a c C b B− = −
Giải
a) Ta có:
2 2 2
2 2 2
cos
2
cot
sin
2
b c a
A b c a
bc
A R
a
A abc
R
+ −
+ −
= = =
Tương tự, ta có:

2 2 2
cot
a c b
B R
abc
+ −
=
;
2 2 2
cot
a b c
C R
abc
+ −
=
Từ đó suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
cot cot cot
b c a a c b a b c a b c
A B C R R R R
abc abc abc abc
+ − + − + − + +
+ + = + + =
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2

2 2 2
2 2 2 2
) .cos .cos
2 2
1
2
1
2
cos
2
a b c a c b
b VP a c C b B ac ab
ab ac
c a b c b a c b
bc
a c b b c b c
bc
b c a
b c b c A
bc
+ − + −
= − = −
 
= + − − + −
 
 
= − + − +
 
+ −
= − = −

Vấn đề 3
Giải tam giác
1. Phương pháp
Một tam giác thường được xác định khi biết ba yếu tố. Trong các bài toán giải tam giác, người
ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau:
- Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó( g, c, g )
- Biết một góc và hai cạnh kề góc đó ( c, g, c)
- Biết ba cạnh (c, c, c)
Để tìm các yếu tố còn lại của tam giác ta thường sử dụng các định lí côsin, định lí sin, định lí
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180
0
và đặc biệt có thể sử dụng các hệ thức lượng trong
tam giác vuông.
2. Các ví dụ
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
6
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết a=7cm, b=23cm,
µ
0
130C =
. Tính c,
µ
A
,
µ
B
Giải
Theo định lí côsin ta có:
( )

2 2 2 2 2 0
2 cos 7 23 2.7.23 os130 785
28
c a b ab C c
c cm
= + − = + − ≈
⇒ ≈
Theo định lí sin ta có:
µ
0
0
a sin 7sin130
sin 0,1915
sin sin 28
11 2'
a c C
A
A C c
A
= ⇒ = ≈ ≈
⇒ ≈
µ µ
µ
( )
( )
0 0 0 0 0
180 180 11 2' 130 38 58'B A C= − + = − + ≈
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết a=14cm, b=18cm, c=20cm. Tính
µ
A

,
µ
B
,
µ
C
Giải
Theo định lí côsin ta có:
µ
2 2 2 2 2 2
0
18 20 14 528
cos 0,7333
2 1.18.20 720
42 50'
b c a
A
bc
A
+ − + −
= = = ≈
⇒ ≈
µ
2 2 2 2 2 2
0
14 20 18 272
cos 0,4857
2 1.14.20 560
60 56'
a c b

B
ac
B
+ − + −
= = = ≈
⇒ ≈
µ
µ µ
( )
( )
0 0 0 0 0
180 180 42 50' 60 56' 76 14'C A B= − + = − + ≈
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
1. Cho
ABC∆
vuông tại A. Kẻ đường cao AH.
a) Cho AB=15, AC=8. Tính BC, AH.
b) Cho BC=9, HC=4. Tính AB, AC, AH.
c) Cho HB=3, HC=12.Tính AB, AC, BC, AH.
d) Cho AB=4, HC=6. Tính AC, BC, AH.
e) Chứng minh rằng: AB
2
.CH=AC
2
.BH.
f) Chứng minh rằng: AH=BC.sinB. sinC.
2. Cho
ABC
∆
. Gọi a=BC, b=AC, c=AB.

a) Cho
µ
0
60A =
,b=
2 7
, c=4. Tính cạnh a, bán kính R và diện tích của tam giác ?
b) Cho
µ
0
60A =
,b=
8
, c=5. Tính chiều cao AH và trung tuyến AM ?
c) Cho a=21, b=17, c=10. Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ?
3. Cho
ABC∆
. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2
2 2 2
tan .cot
c a b
A B
b c a
+ −
=
+ −
; b)
( ) ( )

sin sin sinb c A a B C+ = +
;
c)
.cos .cosa b C c B= +
; d)
2 2 2
cot
4
b c a
A
S
+ −
=
( S là diện tích tam giác ABC) ;
e)
2 2 2
cot cot cot
4
b c a
A B C
S
+ +
+ + =
f)
2
2 sin sin sinS R A B C=
;
g)
( )
cot cot

a
a h B C= +
;
4. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi
2 2 2
5
b c a
m m m+ =
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
7
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
5. Giải tam giác biết:
a) a=24, b=13, c=15.
b) a=17,4;
µ
0
44 33'B =
;
µ
0
64C =
CHƯƠNG 3.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình tham số
• Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
;

o o o
M x y
và có vectơ chỉ phương
( )
1 2
;u u u=
r
là
( )
1
2 2
1 2
2
0
o
o
x x tu
u u
y y tu
= +

+ ≠

= +

• Phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
;

o o o
M x y
và có hệ số góc k là :
( )
o o
y y k x x− = −
• Nếu
∆
có vectơ chỉ phương
( )
1 2
;u u u=
r
với
1
0u ≠
thì hệ số góc của
∆
là
2
1
u
k
u
=
• Nếu
∆
có hệ số góc là k thì
∆
có một vectơ chỉ phương

( )
1;u k=
r

2. Phương trình tổng quát
• Phương trình của đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
;
o o o
M x y
và có vectơ pháp tuyến
( )
;n a b=
r
là:
( ) ( )
( )
2 2
0 0
0 0a x x b y y a b− + − = + ≠
• Phương trình
( )
2 2
0 0ax by c a b+ + = + ≠
gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận
( )
;n a b=
r

làm vectơ pháp tuyến.
• Đường thẳng
∆
cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình theo đoạn chắn
là
( )
1 , 0
x y
a b
a b
+ = ≠
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + =
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
ta xét số nghiệm của hệ phương trình
( )
1 1 1

2 2 2
0
0
a x b y c
I
a x b y c
+ + =


+ + =

• Hệ (I) có một nghiệm:
1
∆
cắt
2
∆
• Hệ (I) vô nghiệm:
1
∆
//
2
∆
• Hệ (I) vô số nghiệm:
1
∆
2
≡ ∆
►Chú ý: Nếu
2 2 2

0a b c ≠
thì: •
1
∆
cắt
2
∆
1 1
2 2
a b
a b
⇔ ≠
•
1
∆
//
2
∆
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
8
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
•
1
∆
//

2
∆
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = =
4.Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + =
có vectơ pháp tuyến
( )
1 1 1
;n a b=
ur
và
( )
2 2 2
;n a b=
uur
được tính bởi công thức:
·
( )

( )
1 2
1 2 1 2
1 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
os , os ,
n n
a a b b
c c n n
n n
a b a b
+
∆ ∆ = = =
+ +
ur uur
ur uur
ur uur
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
( )
;
o o o
M x y
đến đường thẳng
∆
có phương trình
0ax by c+ + =

được cho
bởi công thức
( )
0 0
0
2 2
,
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Vấn đề 1.
Viết phương trình tham số của đường thẳng
1. Phương pháp
Để viết PTTS của đường thẳng
∆
ta thực hiện các bước:
- Tìm vectơ chỉ phương
( )
1 2
;u u u=
r
của đường thẳng
∆
;
- Tìm một điểm
( )

;
o o o
M x y
thuộc
∆
;
- Phương trình tham số của
∆
là:
1
2
o
o
x x tu
y y tu
= +


= +

Chú ý:
• Nếu
∆
có hệ số góc là k thì
∆
có một vectơ chỉ phương
( )
1;u k=
r

• Nếu
∆
có vectơ pháp tuyến
( )
;n a b=
r
thì
∆
có vectơ chỉ phương
( )
;u b a= −
r
hoặc
( )
;u b a= −
r
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng
∆
trong mỗi trường hợp sau:
a)
∆
đi qua điểm M(1;2) và có vectơ chỉ phương
( )
3;4u =
r
;
b)
∆
đi qua điểm M(2;5) và có vectơ pháp tuyến

( )
2; 3n = −
r
;
c)
∆
đi qua điểm M(1;5) và có hệ số góc
4k =
;
d)
∆
đi qua hai điểm A(1;5) và B(3;6).
Giải
a) Phương trình tham số của
∆
là:
1 3
2 4
x t
y t
= +


= +

b)
∆
có vectơ pháp tuyến
( )
2; 3n = −

r
nên có vectơ chỉ phương
( )
3;2u =
r
.
Phương trình tham số của
∆
là :
2 3
5 2
x t
y t
= +


= +

Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
9
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
c)
∆
có hệ số góc
4k
=
nên
∆
có vectơ chỉ phương
( )

1;4u =
r

Phương trình tham số của
∆
là :
1 1
5 4
x t
y t
= +


= +

d)
∆
đi qua hai điểm A(1;5) và B(3;6) nên
∆
có vectơ chỉ phương
( )
2;1u AB= =
r uuur

Phương trình tham số của
∆
là :
1 2
5 1
x t

y t
= +


= +

Vấn đề 2
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
1. Phương pháp
Để Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
ta thực hiện các bước:
- Tìm một vectơ pháp tuyến
( )
;n a b=
r
của
∆
;
- Tìm một điểm
( )
;
o o o
M x y
thuộc
∆
;
- Viết phương trình
∆
theo công thức:

( ) ( )
0 0
0a x x b y y− + − =
;
- Biến đổi về dạng:
0ax by c+ + =
Chú ý:
- Nếu đường thẳng
∆
cùng phương với đường thẳng d:
0ax by c+ + =
thì
∆
có phương trình
tổng quát:
' 0ax by c+ + =
- Nếu đường thẳng
∆
vuông góc với đường thẳng d:
0ax by c+ + =
thì
∆
có phương trình
tổng quát:
'' 0bx ay c− + + =
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
trong mỗi trường hợp sau:
a)

∆
đi qua điểm M(1;1) và có vectơ pháp tuyến
( )
3; 2n = −
r
;
b)
∆
đi qua điểm M(-5;-2) và có vectơ chỉ phương
( )
4; 3u = −
r
;
c)
∆
đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc
1
2
k = −
;
d)
∆
đi qua hai điểm A(2;0) và B(0-3).
Giải
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
có dang
( ) ( )
3 1 2 1 0 3 2 1 0x y x y− − − = ⇔ − − =
b) Đường thẳng

∆
có vectơ chỉ phương
( )
4; 3u = −
r
nên có vectơ pháp tuyến
( )
3;4n =
r
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
có dạng :

( ) ( )
3 5 4 2 0 3 4 23 0x y x y+ + + = ⇔ + + =
c) Phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc
1
2
k = −
là :
( )
1
1 2 2 0
2
y x x y+ = − − ⇔ + =
d) Đường thẳng
∆
cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A(2;0) và B(0;-3) có phương trình theo đoạn

chắn là
1 3 2 6 0
2 3
x y
x y+ = ⇔ − − =
−
Ví dụ 2. Cho ΔABC, có A(1;4), B(3;-1), C(6;2).
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
10
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
a) Lập Phương trình tổng quát của đường thẳng BC.
b) Lập Phương trình quát của đường cao AH và trung tuyến AM.
Giải
M
H
B
C
A
a) Đường thẳng BC có vtcp là
(3;3)BC =
uuur
⇒ BC có vtpt là
(3; 3)n = −
r
. Khi đó đt BC có phương trình tổng quát là
3(x – 3) – 3(y + 1) = 0⇔ x – y – 4 = 0
b) + Đường cao AH có vtpt là
(3;3)BC =
uuur
. Khi đó đường cao AH có ptr tổng quát là:

3(x – 1) + 3(y – 4) = 0⇔ x + y – 5 = 0.
+ M là trung điểm của AC nên M(
7
2
;3).
Đường trung tuyến AM có vtcp là
5
; 1
2
AM
 
= −
 ÷
 
uuuur
⇒ AM có vtpt là
5
1;
2
n
 
=
 ÷
 
r
. Khi đó đường trung
tuyến AM có ptr tổng quát là: x – 1 +
5
2
(y – 4) = 0 ⇔ 2x + 5y – 22 = 0.

Vấn đề 3
Vị trí tương đối của hai đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng
1. Phương pháp.
a) Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + =

+ Ta xét các trường hợp sau: Nếu
2 2 2
0a b c ≠
thì: •
1
∆
cắt
2
∆
1 1
2 2
a b
a b
⇔ ≠
•
1
∆

//
2
∆
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠
•
1
∆
//
2
∆
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = =
+ Ta xét số nghiệm của hệ phương trình:
( )
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
I
a x b y c
+ + =



+ + =

• Hệ (I) có một nghiệm:
1
∆
cắt
2
∆
• Hệ (I) vô nghiệm:
1
∆
//
2
∆
• Hệ (I) vô số nghiệm:
1
∆
2
≡ ∆
b) Góc giữa hai đường thẳng
1 2
;∆ ∆
được tính bởi công thức:

·
( )
( )
1 2
1 2 1 2

1 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
os , os ,
n n
a a b b
c c n n
n n
a b a b
+
∆ ∆ = = =
+ +
ur uur
ur uur
ur uur
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
11
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
2.Các ví dụ.
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) d:
2 0x y+ − =
và d’:
2 3 0x y+ − =
b) d:
1 4
2 2
x t

y t
= −


= +

và d’:
2 4 10 0x y+ − =
c) d:
1 5
2 4
x t
y t
= − −


= +

và d’:
6 5
2 4
x t
y t
= − +


= −

Giải
a) Ta có:

1 1
2 1
≠
. Vậy d cắt d’
b) Phương trình tổng quát d là:
2 5 0x y+ − =
Ta có:
1 2 5
2 4 10
−
= =
−
. Vậy
'd d
≡
c) Phương trình tổng quát của d là:
4 5 6 0x y+ − =
Phương trình tổng quát của d’ là:
4 5 14 0x y+ + =
Ta có:
4 5 6
4 5 14
−
= ≠
. Vậy d//d’
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d:
4 2 6 0x y− + =
và d’:
3 1 0x y− + =
a) Tìm giao điểm của d và d’.

b) Tính góc giữa d và d’.
Giải
a) Giao điểm của d và d’ là điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
2
4 2 6 0
5
3 1 0 1
5
x
x y
x y
y
−

=

− + =


⇔
 
− + =


=


Vậy d cắt d’ tại điểm
2 1
;

5 5
 
−
 ÷
 
b)
·
( )
·
( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
0
4.1 2.3
10 2
os , '
2
20. 10
4 2 . 1 3
, ' 45
a a b b
c d d
a b a b
d d
+ +
= = = =
+ + + +
⇒ =
Ví dụ 3. Tìm giá trị của m để đường thẳng d:

1 0mx y+ + =
hợp với đường thẳng d’:
2 7 0x y− + =
góc
30
0
Giải
Ta có
·
( )
( )
( )
( )
0
2 2
2
2
2
.2 1 1
3
os , ' 30
2
1. 2 1
8 5 3
2 1
3
16 11 0
4
5 1
8 5 3

m
c d d
m
m
m
m m
m
m
+ −
= ⇔ =
+ +

= +
−
⇒ = ⇒ − − = ⇒

+
= −


Vấn đề 4
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
12
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
1.Phương pháp
- Để tính khoảng cách từ điểm
( )
;
o o o

M x y
đến đường thẳng
∆
có phương trình
0ax by c+ + =

ta dùng công thức
( )
0 0
0
2 2
,
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
- Nếu đường thẳng
∆
:
0ax by c+ + =
chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ
∆
,
ta luôn có:
+ Một nửa mặt phẳng chứa các điểm
( )
1 1 1
;M x y

thỏa mãn
1 1 1
( ) ax 0M by c∆ = + + >
+ Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm
( )
2 2 2
;M x y
thỏa mãn
2 2 2
( ) ax 0M by c∆ = + + <
- Cho hai đường thẳng cắt nhau
1
∆
,
2
∆
có phương trình:
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + =
Gọi d và d’ là hai đường thẳng chứa đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
1
∆
,
2

∆
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
, ' , ,
a x b y c a x b y c
M x y d d d M d M
a b a b
+ + + +
∈ ∪ ⇔ ∆ = ∆ ⇔ =
+ +
Vậy phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
1
∆
,
2
∆
là
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
= ±
+ +

Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) A(3;5), Δ: 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1;-2), d: 3x – 4y – 26 = 0
c) C(1;2), m: 3x + 4y – 11 = 0
Giải
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
a)
2 2
4.3 5.3 1
28 28
( ; )
5
25
4 3
d A
+ +
∆ = = =
+
b)
( )
( )
2
2
3.1 4. 2 26
15
( ; ) 3
5
3 4
d B d
− − −

= = =
+ −
c)
2 2
3.1 4.2 11
0
( ; ) 0
5
3 4
d C m
+ −
= = =
+
.
Ví dụ 2. Cho đt
∆
:
2 2
3
x t
y t
= +


= +

a) Tìm điểm M thuộc
∆
và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng

∆
với đường thẳng x+y+1=0
c) Tìm điểm M trên
∆
sao cho AM ngắn nhất.
Giải
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
13
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
a)
d
5
A(0;1)
M(2+2t;3+t)
Ta có:
5AM AM= =
uuuur

2 2 2 2 2
1
(2 2 ) (2 ) 5 (2 2 ) (2 ) 25 5 12 17 0
17
5
t
t t t t t t
t
=


⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔ + − = ⇔


= −

Vậy có hai điểm M
1
(4;4) và M
2
24 2
;
5 5
 
− −
 ÷
 
b)
( )
2 2 ;3
: 1 0
M t t
d x y
+ + ∈∆
+ + =
( )
2 2 ;3 2 2 3 1 0 2M t t d t t t+ + ∈ ⇔ + + + + = ⇔ = −
Vậy tọa độ
( )
2;1M −
c)
( )
2 2 ;3M t t+ + ∈∆

( ) ( )
2 2 ;2 ; 2;1AM t t u
∆
= + + =
uuuur uur
Ta có AM ngắn nhất
( ) ( )
6
2 2 2 2 0
5
AM u t t t
∆
⇔ ⊥ ⇔ + + + = ⇔ = −
uuuur uur
Vậy tọa độ của
2 9
;
5 5
M
 
−
 ÷
 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
1. Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng r biết:
a. r đi qua M(2; –3) và có vectơ pháp tuyến
n ( 4;1)
= −
r

b. r đi qua 2 điểm A(0; 5) và B(4; –2)
c. r đi qua điểm N(6 ; –1) và có hệ số góc k =
2
3
−

d. r đi qua P(–3 ; 2) và vuông góc với đường thẳng : 4x – 5y +1 = 0.
2. Cho phương trình tham số của r
x 2 t
y 4 3t
= −


= +

a. Tìm toạ độ điểm M nằm trên r và cách A(–3 ; –1) một khoảng là
5 2
.
b. Tìm điểm N trên r sao cho AN ngắn nhất.
c. Tìm toạ độ giao điểm của đường thằng r và đường thẳng x + y = 0.
3. Lập phương trình tổng quát của 3 đường trung trực và 3 cạnh của rABC biết các trung điểm của
BC, CA và AB là M(4; 2), N(0; –1), P(1; 4).
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
14
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
4. Cho rABC với A(3; 2), B(1;1), C(5; 6).
a. Viết phương trình tổng quát các cạnh của rABC.
b. Viết phương trình tổng quát đường cao AH, đường trung tuyến AM.
5. Cho M(2; 1) và đường thẳng d: 14x – 4y + 29 = 0. Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên d và tìm toạ
độ điểm đối xứng M’ của M qua đường thẳng d.

6. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau:
a. r
1
: 2x + 3y – 5 = 0 và r
2
: 4x – 3y – 1 = 0 b. r
1
: 2x + 1,5y + 3 = 0 và r
2
:
x 2 3t
y 1 4t
= +


= −

7. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: a. M(5; 1) và r: 3x – 4y – 1 = 0
b. M(–2; –3) và r:
x 2 3t
y 1 4t
= − +


= − +

8. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d
1
và d
2

trong các trường hợp:
a. d
1
: 3x – y + 1 = 0 và d
2
: 2x – 4y + 6 = 0 b. d
1
: 2x – 3y + 7 = 0 và d
2
:
x 3 2t
y 1 3t
= −


= +


c. d
1
: x = 2 và d
2
:
x 3 3t
y t

= − +


=




9. Cho 2 điểm A(–1; 2), B(3; 1) và đường thẳng r :
x 1 t
y 2 t
= +


= +

. Tìm điểm C trên r sao cho tam giác
ABC là tam giác cân tại C.
10. Viết phương trình đường thẳng r đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm P(–1; 2) , Q(5; 4).
11. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(-2,1) và pt đường thẳng CD là 3x - 4y + 2 = 0. Viết phương
trình các đường thẳng còn lại của hình bình hành.
12. Tìm m để hai đường thẳng: x+(2m−3)y−3=0 và
x 1 t
y 2 t
= −


= −

vuông góc với nhau.
§2 . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. phương trình đường tròn.
* Phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)
2

+ (y – b)
2
= R
2
.
* Nếu a
2
+ b
2
– c > 0 thì phương trình x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm
I(a ; b), bán kính R =
cba −+
22
* Nếu a
2
+ b
2
– c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
* Nếu a
2
+ b
2

– c< 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình:x
2
+ y
2
–2ax –2by + c = 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình là:
(x
0
– a)(x – x
0
) + (y
0
– b)(y – y
0
) = 0
II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1.
Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.
1. Phương pháp.
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
15
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
Cách 1. - Đưa phương trình về dạng

x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 (1)
- Xét dấu biểu thức m=a
2
+ b
2
– c .
- Nếu m>0 thì (1) là Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) và bán kính R =
cba −+
22
Cách 2. - Đưa phương trình về dạng
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= m (2)
- Nếu m>0 thì (2) là Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) và bán kính R =
m
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1.
Trong các phương trình sau, phương trình nào phương trình của đường tròn? Tìm tâm và bán
kính của đường tròn đó(Nếu có).
a)
2 2
2 4 9 0x y x y+ + − + =
; b)
2 2

6 4 13 0x y x y+ − + − =
; c)
2 2
2 2 8 4 6 0x y x y+ − − − =
Giải
a) Phương trình
2 2
2 4 9 0x y x y+ + − + =
có dạng x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Ta có
2 2 1
2 4 2
9 9
a a
b b
c c
− = = −
 
 
− = − ⇒ =
 
 
= =
 

( )

2
2 2 2
1 2 9 0a b c+ − = − + − <
Vậy Phương trình
2 2
2 4 9 0x y x y+ + − + =
không phải là phương trình đường tròn.
b) Phương trình
2 2
6 4 13 0x y x y+ − + − =
có dạng x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Ta có
2 6 3
2 4 2
13 13
a a
b b
c c
− = − =
 
 
− = ⇒ = −
 
 
= − = −
 

( )
2 2 2 2
3 ( 2) 13 0a b c+ − = + − − − >
Vậy Phương trình
2 2
2 4 9 0x y x y+ + − + =
là phương trình đường tròn tâm I(3;-2),bán kính
R =
26
c)
2 2 2 2
2 2 8 4 6 0 4 2 3 0x y x y x y x y+ − − − = ⇔ + − − − =
có dạng x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Ta có
2 4 2
2 2 1
3 13
a a
b b
c c
− = − =
 
 
− = − ⇒ =
 

 
= − = −
 

( )
2 2 2 2
2 1 3 0a b c+ − = + − − >
Vậy Phương trình
2 2
4 2 3 0x y x y+ − − − =
là phương trình đường tròn tâm I(2;1),bán kính
R = 2
2
Vấn đề 2.
Lập phương trình của đường tròn .
1.Phương pháp.
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
16
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
Cách 1.
- Tìm tọa độ tâm I(a;b) của đường tròn (C);
- Tìm bán kính R của (C);
- Viết phương trình (C) theo dạng(x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
.(1)
Chú ý:

- (C) đi qua A, B
2 2 2
IA IB R⇔ = =
- (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng
r
tại A
( )
,IA d I⇔ = ∆
- (C) tiếp xúc với hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
( ) ( )
1 2
, ,d I d I R⇔ ∆ = ∆ =
Cách 2.
- Gọi phương trình của đường tròn (C) là x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 (2)
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn là a, b,c.
- Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn (C).
2.Các ví dụ.
Ví dụ 1. Lập phương trình của đường tròn ( C) trong các trường hợp sau:
a) ( C) có tâm I(-2;3) và đi qua M(2;-3)
b) ( C) có tâm I(-2;3) và tiếp xúc với đường thẳng x – 2y + 7 = 0
c) (C) có đường kính AB với A(1;1) và B(7;5)

Giải
a) Ta có: bán kính
( ) ( )
2 2
2 2 3 3 16 36 52R MI= = + + − − = + =

Vậy phương trình của đường tròn ( C) là : (x+2)
2
+ (y-3)
2
=52
b) Ta có:
( )
( )
2
2
2 2.3 7
2
,
5
1 2
R d I
− − +
= ∆ = =
+ −
Vậy phương trình của đường tròn ( C) là: (x+1)
2
+ (y-2)
2
=4/5

c) Tâm I của (C) là trung điểm của AB.
Ta có
1 7
4
2 2
1 5
3
2 2
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
+
+

= = =



+
+

= = =


Do đó

( ) ( )
2 2
1 4 1 3 9 4 13R AI= = − + − = + =
Vậy phương trình của đường tròn ( C) là: (x-4)
2
+ (y-3)
2
=13
Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-2;4), B(5;5), C(6;-2)
Giải
Xét phương trình đường tròn (C ) có dạng x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
(C) đi qua A, B, C khi và chỉ khi ta có hệ phương trình sau

( )
( )
( )
4 8 20 1
4 16 4 8 0
25 25 10 10 0 10 10 50 2
36 4 12 4 0
12 4 40 3
a b c
a b c
a b c a b c
a b c
a b c


− + = −
+ + − + =



+ − − + = ⇔ + − =
 
 
+ − + + =
− − =


Cộng (1) và (2) vế với vế ta được 14a+2b=30
Cộng (1) và (3) vế với vế ta được 16a-12b=20
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
17
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
Suy ra
14 2 30 7 15 2
16 12 20 4 3 5 1
a b a b a
a b a b b
+ = + = =
  
⇔ ⇔
  
− = − = =
  
Do đó c=-20

Vậy phương trình của đường tròn ( C) là:
2 2
4 2 20 0x y x y+ − − − =
Vấn đề 3.
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
1.Phương pháp.
Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) thuộc đường tròn (C )
-Tìm tọa độ tâm I(a;b) của đường tròn (C);
- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) có phương trình là:
(x
0
– a)(x – x
0
) + (y
0
– b)(y – y
0
) = 0.

Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến
r
với (C) khi chưa biết tiếp điểm :
- Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định
r
:
r
tiếp xúc với đường tròn với (C) tâm I(a;b), bán kính R
( )
,R d I⇔ = ∆
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (C) có phương trình
x
2
+ y
2
- 4x + 8y -5 = 0
a. Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A( -1; 0)
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0.
Giải
a) Tâm I(2;-4), bán kính: R=5
b) Ta có: A(-1;0) thuộc (C)
PT trình tiếp tuyến tại A là : (-1-2) (x+1) +(0+4) (y-0)=0
⇔
3x-4y+3=0
c) PT Tiếp tuyến T vuông góc với d nên có dạng: 4x+3y+c=0
Ta có T tiếp xúc với (C)
⇔
d(I, T)=R

29
4 25
21
c
c
c
=

⇔ − = ⇔

= −

vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
T1: 4x+3y+29=0
2: 4x+3y-21=0
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
1. Trong các phương trình sau, phương trình nào phương trình của đường tròn? Tìm tâm và bán kính
của đường tròn đó.
a. x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 1 = 0 b. x
2
+ y
2
– 6x + 8y + 50 = 0 c.
2 2
(x 3) (y 4)
1

2 2
− −
+ =
2. Lập phương trình đường tròn (C) biết:
a. (C) có tâm I(6; 1), tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0.
b. (C) có đường kính AB biết A(1 ; -2), B(0 ; 3) .
c. (C) có bán kính R=1, tiếp xúc với trục hoành và có tâm nằm trên đường thẳng: x +y – 3 = 0
d. (C) đi qua 3 điểm A(1 ;2), B(5 ; 2), C(1 ; –3).
3. Cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 5. Lập phương trình tiếp tuyến d.
a. Tại điểm M(1; 4).
b. Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
18
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x+3y-1=0
d. Biết tiếp tuyến song song đường thẳng : 3x-5y+1=0
4. Cho đường tròn (C): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 5. Lập phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đi qua điểm A(3; –2).
5. Ba đường thẳng r
1
: x – 2y + 8 = 0, r
2

: 2x – y + 4 = 0 và r
3
: y = 0 tạo thành rABC. Viết
phương trình đường tròn ngoại tiếp rABC.
§3 . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP.
1) Định nghĩa:
(E) =
{ }
aMFMFM 2
21
=+
F
1
F
2
= 2c, a > c
2) Phương trình chính tắc:
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 với b
2
= a
2

– c
2
3) Hình dạng và các yếu tố:
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố:
• A
1
A
2
= 2a: trục lớn
• B
1
B
2
= 2b : trục nhỏ
• Bốn đỉnh:A
1
(-a;0),A
2
(a;0), B
1
(0;-b),B
2
(0;b)
• Hai tiêu điểm: F
1
(-C;0), F
2
(C;0)
• Tiêu cự: F

1
F
2
= 2c
II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN.
Vấn đề 1.
Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó.
1. Phương pháp.
- Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc
của elip
- Lập phương trình chính tắc của một elip theo công thức:
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 với b
2
= a
2
– c
2
•

Tiêu cự: F
1

F
2
= 2c
• A
1
A
2
= 2a: trục lớn
• B
1
B
2
= 2b : trục nhỏ
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
19
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011


( )
1 2
2EM MF MF a
∈ ⇔
+ =
-Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của elip (E )
• Bốn đỉnh:A
1
(-a;0),A
2
(a;0), B
1

(0;-b),B
2
(0;b)
• Hai tiêu điểm: F
1
(-c;0), F
2
(c;0)
2.Các ví dụ.
Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 8 và trục nhỏ bằng 6.
b) Đi qua một tiêu điểm là (12;0) và điểm (13;0) nằm trên elip.
c) Tiêu cự bằng 16, độ dài trục nhỏ bằng 12.
d) Đi qua hai điểm
9
4;
5
M
 
 ÷
 
và
12
3;
5
N
 
 ÷
 
e) Đi qua điểm

3 4
;
5 5
M
 
 ÷
 
và tam giác
1 1
MF F
vuông tại M.
Giải
a) Ta có
2 8 4
2 6 3
a a
b b
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy phương trình chính tắc của elip là:
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) Phương trình chính tắc của một elip có dạng
2
2
2
2

b
y
a
x
+
= 1
Vì ( E ) có một tiêu điểm F
2
(12;0) nên c=12. Ta có:
( ) ( )
2 2
2
2 2
13 0
13;0 1 169E a
a b
∈ ⇒ + = ⇒ =

2 2 2
169 144 25b a c
= − = − =
Vậy phương trình chính tắc của elip là:
2 2
1
169 25
x y
+ =
c) Ta có
2 16 8
2 12 6

c a
b b
= ⇒ =
= ⇒ =
Suy ra
2 2 2
36 64 100a b c
= + = + =
Vậy phương trình chính tắc của elip là:
2 2
1
100 64
x y
+ =
d) Phương trình chính tắc của một elip có dạng
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1
Do (E) đi qua qua hai điểm
9
4;
5
M

 
 ÷
 
và
12
3;
5
N
 
 ÷
 
nên thay tọa độ của M và N vào phương trình
của (E) ta được:
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
20
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011

2
2 2
2
2 2
16 81
1
25
25
9 144
9
1
25
a

a b
b
a b

+ =


=
 
⇔
 
=



+ =


Vậy phương trình chính tắc của elip là:
2 2
1
25 9
x y
+ =
e) Phương trình chính tắc của một elip có dạng
2
2
2
2
b

y
a
x
+
= 1
Vì
( )
3 4
;
5 5
M E
 
∈
 ÷
 
nên ta có
2 2
9 16
1
5 5a b
+ =
(1)
Ta có
·
0
1 2 1
90 OFF MF OM
= ⇒ =
2 2
2 2

3 4 9 16
5
5 5
5 5
c OM
   
⇒ = = + = + =
 ÷  ÷
   
Và
2 2 2 2
5a b c b
= + = +
Thay vào ( 1 ) ta được:

( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
4 2
9 16
1 9 16 5 5 5
5
5 5
16 4
b b b b
b
b
b b

+ = ⇔ + + = +
+
⇔ = ⇔ =
Suy ra
2 2
5 4 5 9a b
= + = + =
Vậy phương trình chính tắc của elip là:
2 2
1
9 4
x y
+ =
Vấn đề 2.
Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó.
1.Phương pháp.
Các thành phần của elip (E):
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1
- Trục lớn của (E) nằm trên Ox, A
1
A

2
= 2a ;
- Trục lớn của (E) nằm trên Oy, B
1
B
2
= 2b ;
-Hai tiêu điểm: F
1
(-c;0), F
2
(c;0), Với
2 2
c a b
= −
;
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
• Bốn đỉnh:A
1
(-a;0),A
2
(a;0), B
1
(0;-b),B
2
(0;b)

• Tỉ số
1
c
a
<
Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
;x a y b
= ± = ±

Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
21
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ơn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
x(t)=5sin(t ) , y(t)=4cos(t )
Series 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
P
Q
R
S
a

-a
b
-b
O
A1
A2
B2
B1
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1 : Xác định độ dài các trục,tọa độ tiêu điểm,tọa độ đỉnh của (E):
a)
2 2
1
25 9
x y
+ =
; b) 4x
2
+9y
2
=1
Giải
a) Phương trình chính tắc của một elip có dạng
2
2
2
2
b
y
a

x
+
= 1 .Do đó:
2
2
25 5
3
9
a a
b
b

= =


⇔
 
=
=



2 2
25 9 16 4c a b
= − = − = =
Vậy (E ) có:
- Trục lớn: A
1
A
2

= 2a=10
- Trục nhỏ: B
1
B
2
= 2b=6
- Hai tiêu điểm: F
1
(-4;0),F
2
(4;0),
- Bốn đỉnh: A
1
(-5;0), A
2
(5;0), B
1
(0;-3), B
2
(0;3)
b) 4x
2
+9y
2
=1
⇔

2 2
1
1 1

4 9
x y
+ =
Phương trình chính tắc của một elip có dạng
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 .Do đó:
2
2
1 1
4 2
1 1
9 3
a a
b b
 
= =
 
 
⇔
 
 
= =

 
 

2 2
1 1 5 5
4 9 36 6
c a b
= − = − = =
Vậy (E ) có:
Độ dài trục lớn: A
1
A
2
= 2a =1
Độ dài trục nhỏ: B
1
B
2
= 2b =
2
3
Hai tiêu điểm:F
1
(-
5
6
; 0),F
2
(
5

6
;0)
Bốn đỉnh: A
1
(-
1
2
;0), A
2
(
1
2
;0), B
1
(0;-
1
3
), B
2
(0;
1
3
)
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Tốn - Tin
22
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
Vấn đề 3.
Điểm M di động trên một elip.
1. Phương pháp.
Để chứng tỏ đểm M di động trên một elip ta có hai cách:

x(t )=5sin(t ) , y (t )=3cos(t)
Series 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
M
Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F
1
, F
2
là một hằng số 2a
(F
1
F
2
<0). Khi đó M di động trên elip ( E ) có hai tiêu điểm F
1
, F
2
và trục lớn là 2a.
Cách 2: Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M(x;y) có tọa độ thỏa mãn phương trình:
2

2
2
2
b
y
a
x
+
= 1
Với a, b là hai hằng số thỏa mãn
0 .b a
< <
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Trong đường tròn C
1
(F
1
;2a) cố định và một điểm F
2
cố định nằm trong C
1
. Xét đường tròn
di động C có tâm M. Cho biết C luôn đi qua điểm F
2
và C luôn tiếp xúc với C
1
. Hãy chứng tỏ M di
động trên một elip.
Giải
Ta có C(M;R)

2
MF R
⇒ =
(1)
C(M;R) tiếp xúc trong với C
1
(F
1
;2a)
1
2MF a R
⇒ = −
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế được:
1 2
2MF MF a
+ =
Vậy M di động trên một elip có hai tiêu điểm F
1
, F
2
và trục lớn 2a.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn
7cos
5sin
x t
y t
=



=

Trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.
Giải
Ta có:
2
2
2 2
2
2
cos os
7cos
7 49
1
5sin
49 25
sin
sin
5
25
x x
t c t
x t
x y
y t y
y
t
t



= =


=

 
⇒ ⇒ ⇒ + =
  
=

 
=
=




Vì
2 2
os sin 1c t t+ =
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
23
Tài liệu nội bộ hướng dẫn ôn tập hình học 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011
Vậy M di động trên một elip có phương trình .
2 2
1
49 25
x y
+ =
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ:

1. Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:
a)
1
1625
22
=+
yx
b) 4x
2
+ 16y
2
– 1 = 0 c) x
2
+ 4y
2
= 1 d) x
2
+ 3y
2
= 2
2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết.
a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E).
b) F
1
(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12)
c) Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5.
d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x =
3,4
±=±

y
3. Tìm những điểm trên elip (E) :
1
9
2
2
=+ y
x
thỏa mãn :
a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải.
b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
4. Cho elip (E) :
1
49
22
=+
yx
.
a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E).
b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.
5. Trong mặt phẳng Oxy cho (E):
2 2
x y
1
25 9
+ =
a. Xác định toạ độ các tiêu điểm, đỉnh, tâm sai và độ dài các trục của elip.
b. Tìm các điểm M thuộc (E) sao cho 3MF
1
– 2MF

2
= 1.
6. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a. Có một đỉnh có toạ độ (0; –2) và một tiêu điểm F
1
(–1; 0)
b. (E) đi qua hai điểm
3
M 5;
2
 
 ÷
 ÷
 
và N(–2 ; 1)
c. Biết độ dài trục nhỏ bằng 10 và tâm sai e =
3
7
.
7. Cho phương trình elip (E):
2 2
x y
1
100 36
+ =
. Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là
F
1
F
2

(F
1
, F
2
là 2 tiêu điểm của elip.
Trường PTDT Nội Trú Tỉnh Gia Lai Tổ: Toán - Tin
24