Bai tập hình học 10

Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Vectơ là đoạn thẳng có dònh hướng Ký hiệu :
AB
uuur
;
CD
uuur
hoặc
a
r
;
b
r

• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối : Ký hiệu
0
r
• Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau
• Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng
• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Bài tập SGK : 1, 2, 3, 4, 5 trang 9 SGK nâng cao
Bài 2: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ
AB
uuur
;

OB
uuur
b) Có độ dài bằng 
OB
uuur

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh :
MQNPQPMN == ;
Bài 5 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm đối
xứng B qua O . Chứng minh :
CBAH '=
Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD . Dựng
BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,,
.
Chứng minh
OAQ =
§2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A: Tóm tắt lý thuyết :
• Đònh nghóa: Cho
AB a=
uuur r
;
BC b=
uuur r
. Khi đó
AC a b= +
uuur r r

• Tính chất : * Giao hoán :

a b+
r r
=
b a+
r r
* Kết hợp (
a b+
r r
) +
c
r
=
(a b+
r r
+
c
r
)
* Tín h chất vectơ –không
a
r
+
0
r
=
a
r
• Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :
AB
uuur

+
BC
uuur
=
AC
uuur
• Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
+
AD
uuur
=
AC
uuur
• Quy tắc về hiệu vec tơ : Cho O , B ,C tùy ý ta có :
CBOCOB =−
B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
B1: TRẮC NGHIỆM
Câu1: Phát biểu nào sau đây là đúng:
a) Hai vectơ không bằng nhau thì có độ dài không bằng nhau
b) Hiệu của 2 vectơ có độ dài bằng nhau là vectơ – không
c) Tổng của hai vectơ khác vectơ –không là 1 vectơ khác vectơ -không
d) Hai vectơ cùng phương với 1 vec tơ khác
0
r
thì 2 vec tơ đó cùng phương với nhau
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD, goi O là giao điểm của AC và BD, phát biểu nào là đúng
a)
OA

=
OB
=
OC
=
OD
b)
AC
=
BD
c) 
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
0
d)
AC
-
AD
=
AB
Câu 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a)
AB
=

AC
b)
GA
=
GB
=
GC
c) |
AB
+
AC
| = 2a d) 
AB
+
AC
=
2
3

AB
-
AC

Câu 4: Cho
AB
khác
0
và cho điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa 
AB
=

CD

a) vô số b) 1 điểm
c) 2 điểm d) Không có điểm nào
Câu 5: Cho
a
và
b
khác
0
thỏa
a
=
b
. Phát biểu nào sau đây là đúng:
a)
a
và
b
cùng nàm trên 1 đường thằng b) 
a
+
b
=
a
+
b

c) 
a

-
b
=
a
-
b
d)
a
-
b
= 0
Câu 6: Cho tam giác ABC , trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a)
AB
+
BC
uuur
= |
AC
uuur
| b) 
GA
+
GB
+
GC
= 0
c) |
AB
+

BC
| =
AC
d) |
GA
+
GB
+
GC
| = 0
B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK cơ bản ;
Bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt
AO
uuur
=
a
r
;
BO
uuur
=
b
r
Tính
AB
uuur
;
BC

uuur
;
CD
uuur
;
DA
uuur
theo
a
r
và
b
r
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính 
BC
uuur
+
AB
uuur
 ; 
AB
uuur
-
AC
uuur
 theo a
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
a) 
AO
uuur

-
AD
uuur
= 
MO
uuuur

b) 
AC
uuur
-
AD
uuur
= 
NB
uuur

Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EA
uuur
=
CB
uuur

+
ED
uuur
b)
AD
uuur
+
BE
uuur
+
CF
uuur
=
AE
uuur
+
BF
uuur
+
CD
uuur
c)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EF
uur

+
GA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur
+
GF
uuur

d)
AB
uuur
-
AF
uuur
+
CD
uuur
-
CB
uuur
+
EF
uur
-
ED

uuur
=
0
r

Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử
ONOBOAOMOBOA =−=+ ,
. Khi nào điểm M nằm trên
đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OOEODOCOBOA =++++
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng
với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
''' OCOBOAOCOBOA ++=++
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA
uuur
+
OB
uuur
+
OC
uuur
+
OD
uuur
+
OE
uuur

+
OF
uuur
=
0
r
b)
OA
uuur
+
OC
uuur
+
OE
uuur
=
0
r
c)
AB
uuur
+
AO
uuur
+
AF
uuur
=
AD
uuur

d)
MA
uuuur
+
MC
uuur
+
ME
uuur
=
MB
uuur
+
MD
uuuur
+
MF
uuur
( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
Chứng minh rằng :
RF
uuur
+
IQ
uur
+
PS
uur
=

0
r
Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HD
uuur
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng
HA
uuur
+
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HH '
uuuur
Bài 12: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 
CA
uuur
+
CB
uuur

 = 
CA
uuur
-
CB
uuur

§3: TÍCH CUẢ VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
• Cho k∈R , k
a
là 1 vectơ được xác đònh:
* Nếu k ≥ 0 thì k
a
cùng hướng với
a
; k < 0 thì k
a
ngược hướng với
a
* Độ dài vectơ k
a
bằng k .
a

• Tính chất :
a) k(m
a
) = (km)
a

b) (k + m)
a
= k
a
+ m
a
c) k(
a
+
b
) = k
a
+ k
b
d) k
a
=
0
r
⇔ k = 0 hoặc
a
=
0
r
•
b
r
cùng phương
a
r

(
a
r
≠
0
r
) khi và chỉ khi có số k thỏa
b
r
=k
a
r
• Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho
AB
uuur
=k
AC
uuur
• Cho
b
r
không cùngphương
a
r
, ∀
x
r
luôn được biểu diễn
x
r

= m
a
r
+ n
b
r
( m, n duy nhất )

B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
B1: trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của AC và BD .Tìm câu sai
a)
AB
+
AD
=
AC
b)
OA
=
2
1
(
BA
+
CB
)
c)
OA
+

OB
=
OC
+
OD
d )
OB
+
OA
=
DA
Câu 2: Phát biểu nào là sai
a) Nếu
AB
=
AC
thì |
AB
| =|
AC
| b)
AB
=
CD
thì A, B,C, D thẳng hàng
c) 3
AB
+7
AC
=

0
r
thì A,B,C thẳng hàng d)
AB
-
CD
=
DC
-
BA
Câu 3: Cho tứ giác ABCD có M,N là trung điểm AB và CD .
Tìm giá trò x thỏa
AC
+
BD
uuur
= x
MN
uuuur
a) x = 3 b) x = 2 c) x = -2 d) x = -3
Câu 4: Cho tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’
Đặt P =
' ' 'AA BB CC+ +
uuur uuur uuuur
. Khi đó ta có
a) P =
'GG
uuuur
b) P = 2
'GG

uuuur
c) P = 3
'GG
uuuur
d) P = -
'GG
uuuur
Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a)
AB
=
AC
b) |
AB
+
AC
| = 2a c)
GB
uuur
+
GC
uuur
=
3
3
a
d)
AB
uuur
+

AC
uuur
= 3
AG
uuur
Câu 6: Cho tam giác ABC ,có bao nhiêu điểm M thỏa 
MA
+
MB
+
MC
 = 5
a) 1 b) 2 c) vô số d) Không có điểm nào
Câu 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a có I,J, K lần lượt là trung điểm BC , CA và AB .
Tính giá trò của |
AI BJ CK+ +
uur uuur uuur
|
a) 0 b)
3 3
2
a
c)
3
2
a
d) 3a
Câu 8: Cho tam giác ABC , I là trung điểm BC ,trọng tâm là G . Phát biểu nào là đúng
a)
GA

= 2
GI
b) 
IB
+
IC
= 0
c)
AB
+
IC
=
AI
d) GB + GC = 2GI
B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK : Bài 4, 9 trang 17 SGK cơ bản ; bài 21 đến 28 trang 23, 24 SGK nâng cao
Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên
cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đònh bởi các hệ thức
OACNAABOMABC =−−=+ 3;
. Chứng minh MN // AC
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , điểm M là 1 điểm bất kỳ :
a) Tính
MS
uuur
=
MA

uuuur
+
MB
uuur
+
MC
uuur
+
MD
uuuur
theo
MO
uuuur
Từ đó suy ra đường thẳng MS quay quanh 1 điểm cố đònh
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa 
MA
uuuur
+
MB
uuur
+
MC
uuur
+
MD
uuuur
= a ( a > 0 cho trước )
c) Tìm tập hợp điểm N thỏa 
NA
uuur

+
NB
uuur
 = 
NC
uuur
+
ND
uuur

Bài 5: Cho tam giác ABC ; trên BC lấy D ; E thỏa BD = DE = EC . Gọi I là trung điểm BC
S là 1 điểm thỏa
SA
uuur
=
AB
uuur
+
AD
uuur
+
AE
uuur
+
AC
uuur

Chứng minh rằng 3 điểm I ; S ; A thẳng hàng
Bài 6 :Cho tam giác ABC. Điểm I nằm trên cạnh AC sao cho CI =
4

1
CA, J là điểm mà
ABACBJ
3
2
2
1
−=
.
a) Chứng minh :
ABACBI −=
4
3
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng
c) Hãy dựng điểm J thỏa điều kiện đề bài
Bài 7 : Cho tam giác ABC .
a) Tìm điểm K sao cho
CBKBKA =+2
B) Tìm điểm M sao cho
OMCMBMA =++ 2
Bài 8: Cho tam giác ABC.
BI
=
3
1
BC
;
CJ
=
3

1
CA
;
AK
=
3
1
AB
a) Chứng minh rằng:
IC
+
JA
+
KB
=
0
AI
+
BJ
+
CK
=
0
. Suy ra ABC và IJK cùng trọng tâm
b) Tìm tập hợp M thỏa: 
MA
+
MB
+
MC

=
2
3

MB
+
MC

2
MB
+
MC
=2
MA
+
MB

c) Tính
IK
;
IJ
theo
AB
và
AC
Bài 9: Cho tam giacù ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB .
G là trọng tâm tam giác ABC
1) Chứng minh rằng
AI
+

BJ
+
CK
=
0
.Suy ra tam giác ABC và IJK cùng trọng tâm
2) Tìm tập hợp điểm M thỏa :
a) 
MA
+
MB
+
MC
=
2
3

MB
+
MC

b) 
MB
+
MC
 = 
MB
-
MC


3) D, E xác đònh bởi :
AD
= 2
AB
và
AE
=
5
2
AC
. Tính
DE
và
DG
theo
AB
và
AC
.
Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng
Bài 10 : Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G , M là 1 điểm nằm trong tam giác.
Vẽ MD ; ME ; MF lần lượt vuông góc với 3 cạnh của tam giác
Chứng minh rằng
MD
uuuur
+
ME
uuur
+
MF

uuur
=
3
2

MG
uuuur
§4 :TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ :
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
• Trục là đường thẳng trên đó xác đònh điểm O và 1 vectơ
i
r
có độ dài bằng 1.
Ký hiệu trục (O;
i
r
) hoắc x’Ox
• A,B nằm trên trục (O;
i
r
) thì
AB
=
AB
i
r
. Khi đó
AB
gọi là độ dài đại số của
AB

• Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox ⊥ Oy. Ký hiệu Oxy hoặc (O;
i
r
;
j
r
)
• Đối với hệ trục (O;
i
r
;
j
r
), nếu
a
r
=x
i
r
+y
j
r
thì (x;y) là toạ độ của
a
r
. Ký hiệu
a
r
= (x;y)

• Cho
a
r
= (x;y) ;
b
r
= (x’;y’) ta có
a
r
±
b
r
= (x ± x’;y ± y’)
k
a
r
=(kx ; ky) ; ∀ k ∈ R
b
r
cùng phương
a
r
(
a
r
≠
0
r
) khi và chỉ khi có số k thỏa x’=kx và y’= ky
• Cho M(x

M
; y
M
) và N(x
N
; y
N
) ta có
P là trung điểm MN thì x
p
=
2
M N
x x+
và y
P
=
2
M N
y y+
MN
uuuur
= (x
M
– x
N
; y
M
– y
N

)
• Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì x
G
=
3
A B C
x x x+ +
và y
G
=
2
A B C
y y y+ +

B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
B1 : BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho
a
r
=(1 ; 2) và
b
r
= (3 ; 4). Vec tơ
m
ur
= 2
a
r
+3
b

r
có toạ độ là
a)
m
ur
=( 10 ; 12) b)
m
ur
=( 11 ; 16) c)
m
ur
=( 12 ; 15) d)
m
ur
= ( 13 ; 14)
Câu 2: Cho tam giác ABC với A( -3 ; 6) ; B ( 9 ; -10) và G(
1
3
; 0) là trọng tâm . Tọa độ C là :
a) C( 5 ; -4) b) C( 5 ; 4) c) C( -5 ; 4) d) C( -5 ; -4)
Câu 3: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giá trò của m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1
Câu 4: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D để ABDC là hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 5 :Cho
a
r
=3
i
r

-4
j
r
và
b
r
=
i
r
-
j
r
. Tìm phát biểu sai :
a) 
a
r
 = 5 b) 
b
r
 = 0 c)
a
r
-
b
r
=( 2 ; -3) d) 
b
r
 =
2

Câu 6: Cho A(3 ; -2) ; B (-5 ; 4) và C(
1
3
; 0) . Ta có
AB
uuur
= x
AC
uuur
thì giá trò x là
a) x = 3 b) x = -3 c) x = 2 d) x = -4
Câu 7: Cho
a
r
=(4 ; -m) ;
b
r
=(2m+6 ; 1). Tìm tất cả các giá trò của m để 2 vectơ cùng phương
a) m=1 ∨ m = -1 b) m=2 ∨ m = -1 c) m=-2 ∨ m = -1 d) m=1 ∨ m = -2
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(1 ; 2) ; B( 5 ; 2) và C(1 ; -3) có tâm đường tròn ngoại tiếp I là
a) I = (3 ;
1
2
−
) b)I = (3 ; -1) c) I = (-3 ;
1
2
−
) d) I = (3 ;
1

2
)
Câu 9:Cho
a
r
=( 1 ; 2) và
b
r
= (3 ; 4) ; cho
c
r
= 4
a
r
-
b
r
thì tọa độ của
c
r
là :
a)
c
r
=( -1 ; 4) b)
c
r
=( 4 ; 1) c)
c
r

=(1 ; 4) d)
c
r
=( -1 ; -4)
Câu 10:Cho tam giác ABC với A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) và C(4 ; 3). Tìm D để ABCD là hình bình hành
a) D(3 ; 10) b) D(3 ; -10) c) D(-3 ; 10) d) D(-3 ; -10)
B2 :TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :29 đến 36 TRANG 30, 31 SGK nâng cao
Bài 2 : Cho tam giác ABC . Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài 3 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 4 : Cho tam giác đều ABC cạnh a . Chọn hệ trục tọa độ (O;
i
;
j
), trong đó O là trung
điểm BC,
i
cùng hướng với
OC
,
j
cùng hướng
OA
.
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5 : Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ (O;
i

;
j
), trong đó O là tâm lục giác đều ,

i
cùng hướng với
OD
,
j
cùng hướng
EC
.
Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 .
Bài 6:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)
AD
uuur
– 2
BD
uuur
+ 3
CD
uuur
=
0
r
b)
AD
uuur
– 2

AB
uuur
= 2
BD
uuur
+
BC
uuur
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
Bài 7 :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Bài 8: Cho
a
r
=(2; 1) ;
b
r
=( 3 ; 4) và
c
r
=(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ
u
r
= 2
a
r

- 3
b
r
+
c
r
b) Tìm tọa độ của vectơ
x
r
thỏa
x
r
+
a
r
=
b
r
-
c
r
c) Tìm các số m ; n thỏa
c
r
= m
a
r
+ n
b
r

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
ACABACAB −=+
b) Vectơ
ACAB +
vuông góc với vectơ
CAAB +
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
DCBCAC =−

b)
DADCmDB +=
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác đònh các điểm A’ , B’ sao cho
CAkBBBCkAA == ','
. Tìm q tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA .
Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ
MCMBMAv 2−+=
không
phụ thuộc vào vò trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
vCD =
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối
xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :

OHOCOBOA
HOHCHBHA
HOHDHA
=++
=++
=+
2
2
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh
OGOH 3
=
. Từ đó kết luận gì về 3
điểm G, H, O.
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh :
a)
0''' =++ DDCCBB
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦAHAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0
0
đến 180
0
)
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Đònh nghóa : Trên nửa dường tròn đơn vò lấy điểm M thỏa góc xOM = α và M( x ; y)
*. sin góc α là y; ký hiệu sin α = y
*. cos góc α là x
0

; ký hiệu cos α = y
0

*. tang góc α là
y
x
( x

≠ 0); ký hiệu tan α =
y
x
*. cotang góc α là
x
y
( y ≠ 0); ký hiệu cot α =
x
y
• Bảng giá trò lượng giác của các góc đặc biệt
α
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
Sin α 0

2
1
2
2
2
3
1
Cos α 1
2
3
2
2
2
1
0
tan α 0
3
3
1
3

Cot α

3
1
3
3
0
• Hai góc bù nhau:
Sin( 180

0
- ∝) = sin ∝
Cos ( 180
0
-∝) = - cos ∝
Tan (180
0
-∝) = - Tan ∝ (∝ ≠ 90
0
)
Cot ( 180
0
-∝) = - Cot ∝ ( 0 <∝< 180
0
)
B.VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trò lượng giác của góc
a. 45
0
b. 120
0
Giải:
a. Sin 45
0
=
2
2
, cos 45
0
=

2
2
, tan 45
0
=1, cot 45
0
= 1
b. Sin 120
0
=
2
3
, cos 120
0
= -
2
1
, tan120
0
= -
3
, cot120
0
= -
3
3
Ví dụ 2: Tính giá trò biểu thức
A = Cos 20
0
+ cos 80

0
+ cos 100
0
+ cos160
0
Giải:
A = Cos 20
0
+ cos 80
0
+ (-cos 80
0
) + ( - cos 20
0
) = 0
C : BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trò biểu thức:
a. A=( 2sin 30
0
+ cos 135
0
– 3 tan 150
0
)( cos 180
0
-cot 60
0
)
b. B= sin
2

90
0
+ cos
2
120
0
- cos
2
0
0
- tan
2
60
0
+ cot
2
135
0
Bài 2: Đơn gianû các biểu thức:
a) A= Sin 100
0
+ sin 80
0
+ cos 16
0
+ cos 164
0
b) B= 2 Sin (180
0
- ∝) cot∝ - cos(180

0
- ∝) tan ∝ cot(180
0
- ∝) . (Với 0
0
< ∝<90
0
)
Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin
2
x +cos
2
x = 1 ( 0
0
≤ x ≤ 180
0
)
b)Tính sinx khi cosx =
3
5
c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx =
2
3
d) Chứng minh rằng 1 + tan
2
x =
2
1
cos x
( Với x ≠ 90

0
)
e) Chứng minh rằng 1 + cot
2
x =
2
1
sin x
( Với 0
0
< x < 1800
0
)
Bài 4 : Tính giá trò biểu thức:
A = cos 0
0
+ cos10
0
+ cos20
0
+ . . . . . . + cos 170
0
B= cos
2
120
0
- sin
2
150
0

+2 tan135
0

Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
b) cos(A + C) + cos B = 0
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0
Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa
a)
AB
uur
và
AC
uur
b)
AB
uur
và
BC
uur
c)
AG
uuur
và
BC
uur
d)
GB
uur
và

GC
uur
c)
GA
uuur
và
AC
uur
§2: TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
• Cho
OA
uuur
=
a
r
và
OB
uur
=
b
r
. Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ
a
r
và
b
r
Ký hiệu (
a

r
;
b
r
)
Nếu
a
r
=
0
r
hoặc
b
r
=
0
r
thì góc (
a
r
;
b
r
) tùy ý
Nếu (
a
r
;
b
r

) = 90
0
ta ký hiệu
a
r
⊥
b
r
•
),cos(. bababa =
Bình phương vô hướng
a
r
2
= 
a
r

2
.
• Các quy tắc: Cho ∀
a
b
c
; ∀ k ∈R
a
.
b
=
b

.
a
( Tính giao hoán)
a
.
b
= 0 <=>
a
⊥
b
(k
a
,
b
= k (
a
b
)
a
(
b
±
c
) =
a
b
±
a
c
(Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )

• Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố đònh, Một đường thẳng  thay đổi,
luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B
Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu:
P
M/(O)
P
M/(O) = MO
2
– R
2
=
.MA MB
uuur uuur
Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì
P
M/(O) = MT
2

• Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho
→
a
= (x, y) ,
→
b
= (x', y') ; M(x
M
, y
M

), N(x
N
, y
N
); ta có

→
a
.
→
b
= x.x' + y.y'
|
→
a
| =
22
+ yx
Cos (
→
a
,
→
b
) =
2222
'+'.+
'+'
yxyx
yyxx

→
a
⊥
→
b
⇔ xx' + yy' = 0
MN = |
→
MN
| =
22
)_(+)_(
NMNM
yyxx
B : CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho
→
a
= (1, 2),
→
b
= (-1, m)
a) Tìm m để
→
a
,
→
b
vuông góc
b) Tính độ dài

→
a
,
→
b
; tìm m để |
→
a
| = |
→
b
|
Giải
a)
→
a
⊥
→
b
⇔ -1 + 2m = 0⇔ m =
2
1

b) |
→
a
| =
5=4+1
|
→

b
| =
2
m+1
|
→
a
| = |
→
b
| ⇔
2
+1=5 m
⇔ m =
2±
Ví dụ2: cho  đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính
AB
.
AC
;
AC
.
CB
;
AG
.
AB
;
GB
.

GC
;
BG
.
AG
;
GA
.
BC
Giải
AB
.
AC
= a.a cos 60
0
=
2
1
a
2
AC
.
CB
= a.a cos 120
0
= -
2
1
a
2

AG
.
AB
=
20
2
1
=30cos
3
3
aa
a
GB
GC
=
=120cos
3
3a
3
3a
0
6
a
2
-
BG
AG
=
6
=60

3
3
3
3
2
0
aaa
cos
GA
BC
=0 vì
GA
⊥
BC
Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N
b)Tính cos của góc MON
Giải
a) p ∈ ox => P( x
p,
0)
MP = NP <=> MP
2
= NP
2
<=> (x
p
+2)
2
+ 2

2
= ( x
p
-2)
2
+ 1
2
Vậy P (
4
3
,0)
b)
)1,4(=ON),2,2(=OM -
Cos MON = cos(
OM
,
ON
)=
17.8
1.2+4.2-
=
34
3
-
C. BÀI TẬP:
A. Trắc nghiệm :
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a ; BC = 2a
* Tính tích vô hướng
CA
uuur

.
CB
uuur
a) a
2
b) 3a
2
c) a
2
3
d)
1
2
a
2
* Tính tích vô hướng
BA
uuur
.
BC
uuur
a) a
2
b) a
2
3
c) - a
2
d)
1

2
a
2
Câu 2: Cho
a
r
=(3; -1) và
b
r
=(-1; 2). Khi đó góc giữa
a
r
và
b
r
là
a) 30
0
b) 45
0
c) 135
0
d) 90
0
Câu 3:Cho
a
r
=( 2 ; 5) và
b
r

= (3 ; -7). Khi đó góc giữa
a
r
và
b
r
là
a) 45
0
b) 30
0
c) 135
0
d) 120
0
Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giá trò của m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1
Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D để ABDC là hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4). Tam giác ABC là tam giác gì
a) Cân b)Vuông cân c) Vuông d)Đều
Câu 7: Cho
AB
uuur
=(2x - 5 ; 2) ;
AC
uuur
=(3 – x; -2). Đònh x để A , B , C thẳng hàng
a) x = 2 b) x = -2 c) x = 1 d) x = -1
Câu 8: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Phát biểu nào đúng

a)
AB
=
AC
b)
AG
=
3
2
AC
c)
AG
.
AB
=
AG
AC
d)
GA
2
+
GB
2
+
GC
2
=
0
2
Câu 9:Cho (O,5), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16

a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15
C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4). Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC:
a) I(2;5) b) I(
2
3
; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4)
Câu 11:Đường tròn qua 3 điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I là :
a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5)
Câu 12: Phát biểu nào là sai
a) Nếu
AB
=
AC
thì |
AB
| =|
AC
| b) Nếu
a
b
=
a
.
c
thì
b
=
c
c)
AB

.
AC
=
BA
.
CA
d)
AB
-
CD
=
DC
-
BA
Câu 13: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a)
AB
=
AC
b) |
AB
+
AC
| = 2a c)
AB
.
AC
= a
2
d)

AG
.
BC
= 0
Câu 14 : Cho hình vuông ABCD cạnh a .Kết quả nào đúng
a)
AB
.
AC
= a
2
b)
AB
.
AD
= a
2
c)
AC
.
BD
= 2a
2
d)
AB
.
CD
= 0
Câu 15:Cho (O,30), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96
a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81

Câu 16:Chỉ ra công thức đúng
a)
a
2
=
a
b)
a
2
= ± |
a
| c)
a
2
= ±
a
d )
a
2
= |
a
|
Câu 17 : Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tích vô hướng
AB
.
BC
nhận kết quả nào
a) a
2

2
3
b) -
2
2
a
c)
2
2
a
d) a
2
Câu 18:Cho
AB
.
CD
= AB. CD thì phát biểu nào sau đây là đúng:
a)
AB
ngược hướng
CD
b) A, B, C, D thằng hàng
c)
AB
cùng hướng
CD
d)
AB
=
CD

Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vng tại C thì giá trị của m là :
a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7
Câu 20: Cho
a
r
=(m
2
-2m+2 ; 3m-5),
b
r
=(2;1) . Tìm giá trò của m để
a
r
⊥
b
r

a) m = 1 b)m = -
1
2
c)m = 1 hoặc m = -
1
2
d) Cả a ; b ; c đều đúng
Câu 21: Cho
a
r
=(4;3) và
b

r
=(1;7). Khi đó góc giữa 2 vec tơ (
a
r
,
b
r
) là :
a) 30
0
b) 45
0
c) 60
0
d) Kết quả khác
Câu 22: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm:
*. Phương tích của G với đường tròn đường kính BC
a) -
2
a
6
b)
2
a
4
c) -
2
a
3
d) -

2
a
2
*. Phương tích của A với đường tròn đường kính BC
a)
2
a
2
b)
2
a
4
c) a
2
d)
2
3a
4
Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a:
*. Phương tích của A với đường tròn đường kính CD
a) a b)a
2
c)2a
2
d)
a
2
*. Phương tích của A với đường tròn tâm C có bán kính = a
a)
2

a
2
b)
2
a
4
c) a
2
d) 2a
2
B.Tư luận
Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1).
a) Chứng minh rằng tam giác vuông
b) Xác đònh tâm đương tròn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 2: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6)
a) Tìm M ∈ x’Ox để tam giác ABM cân tại M
b) Tìm N ∈ y’Oy để tam giác ABN vuông tại N
c) Xác đònh H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm
d) Xác đònh C thỏa 3
AC
uuur
- 4
BC
uuur
= 2
AB
uuur
e) Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG
f) Xác đònh I ∈ x’Ox để |

IA
uur
+
IB
uur
+
IN
uur
| đạt giá trò nhỏ nhất
Bài 3: Cho A(-2;1) và B(4;5)
a) Tìm M ∈ x’Ox để tam giác ABM vuông tại M
b) Tìm C để OACB là hình bình hành
Bài 4: Cho
a
r
=(
1
2
; -5) và
b
r
=( k ; -4). Tìm k để:
a)
a
r
cùng phương
b
r
b)
a

r
vuông góc
b
r
c) |
a
r
| = |
b
r
|
Bài 5: Cho
a
r
=(-2; 3) ;
b
r
=( 4 ; 1)
a) Tính cosin góc hợp bởi
a
r
và
b
r
;
a
r
và
i
r

;
a
r
và
j
r
;
a
r
+
b
r
và
a
r
-
b
r

b) Tìm số m và n sao cho m
a
r
+n
b
r
vuông góc
a
r
+
b

r
c) Tìm
d
r
biết
a
r
.
d
r
= 4 và
b
r
.
d
r
= -2
Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2).
a) Tam giác ABC là tam giác gì . Tính diện tích tam giác
b) Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Tính G, H , I và CMR
GH
uuur
+2
GI
uur
=
0
r
Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)

a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm M ∈ trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B
d) Tam giác ABC là tam giác gì ?
e)Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Bài 8: Cho ∆ ABC có AB=7, AC=5, Â = 120
0
a) Tính
AB
.
AC
,
AB
.
BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC)
Bài 9: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng:

DA
BC
+
DB
CA
+
DC
AB
=0
Từ đó suy ra một cách chứng minh đònh lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy”
Bài 10: Cho  ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR:
BC

AD
+
CA
BE
+
AB
CF
=0
Bài 11 : Cho  ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = ∝ và AD là phân giác
của góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thò
AD
qua
AB
,
AC
b) Tính độ dài đoạn AD
5) Cho 2 điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= 2 R, AM
∩
BN =I
a) Chứng minh:
AM
AI
=
AB
AI
BN
BI
=
BA

BI
b) Tính
AM
AI
+
BN
BI
theo R
Bài 11: Cho đoạn AB cố đònh, AB= 2a, k ∈ IR, Tìm tập hợp điểm M sao cho:
a)
MA
MB
= k
b) MA
2
- MB
2
= k
2

Bài 12: Từ điển M ở ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B ∈ (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của
đường tròn (0) cắt nhau tại I, IO ∩ AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần
lượt cắt AB tại C; cắt đường tròn (0) tại E, F
Chứng minh :
a.
MD.MC=MB.MA
b. OF
2
=
OM.OH

c.
IH.IC=FI.IE

d. P
M/(ICD)
+ P
I/(MCH)
= IM
2
( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: ∆ : ICD, MCH)
Bài 13:. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng
thuộc một đường tròn khi và chỉ khi
MD.MC=MB.MA
Bài 14:. Trong mặt phẳng toạ độ cho
→→→
j 5-i
2
1
=u
và
→→→
ik= j4-v
Tìm các giá trò của k để :
a.
→→
⊥ vu
b.
→→
v=u
Bài 15:. Cho

→
a
= (-2, 3),
→
b
= (4,1)
a. Tim côsin của góc giữa mỗi cặp vectơ sau :
*
→
a
và
→
b
,
→
a
và
→
i
,
→
a
+
→
b
và
→
a
-
→

b
b. Tìm các số k và l sao cho
→
c
= k
→
a
+ l
→
b
Vuông góc với
→
a
+
→
b

c. Tìm vectơ
d
biết
.a d 4
b.d 2
=
= −





r r

r r
Bài 16:. Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ của
a. Điểm M ∈ ox sao cho ∆ MAB vuông tại M
b. Điểm N ∈ oy sao cho NA = NB
c. Điểm K ∈ oy sao cho3 điểm A,K,B thẳng hàng
d. Điểm C sao cho ∆ ABC vuông cân tại C
Bài 17:. Cho 3 điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4)
a. Tính chu vi và diện tích ∆ ABC
b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’
c. Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC; từ đó
chứng minh 3 điểm I,H,G thẳng hàng.
Bài 18:. Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một
đường tròn
Bài 19:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D.
Bài 20: Cho M cố đònh ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’. Gọi
D là giao điểm của TT’ và AB. H và I lần lượt là trung điểm của của TT’ và AB
a) CMR :
MA
.
MB
=
MO
MH
=
MI
MD
b) Cho AB = 8 cm. Gọi (C
1
) là đường tròn tâm A, bán kính = 4 cm, (C
2

) là đường tròn tâm
B, bán kính = 3cm. Tìm tập hợp N thoả
P
N/(C
1
) +
P
N/(C
2
) = 15
Bài 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11. Qua I vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD
Cho IA = 12, tính IB
Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 22: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD. Tính IC ; ID
a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ;
3
8
IC
ID
=
Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB . Cho AB = 5
a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường tròn ngoại tiếp ∆AOB cắt MO tại E. Tính OE
Bài 24: Cho (O;30); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT. Đường thẳng
IO cắt đường tròn tại E và F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Bài 25: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy tại H
CMR :
. 'HA HA
=

. 'HB HB
=
. 'HC HC

Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài. Qua M
lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’)
CMR MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy
điểm M ( không ở trên đường BC kéo dài). CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)
Bài 28: tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM
cắt đường thẳng BC tại 1 điểm thứ 2 là E và cắt (O) tại D. AD cắt BC tại F.Chứng minh rằng:
a)
.FB FC
=
.FE FM
b)
.EB EC
=
.EF EM
c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF
Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt nhau
M. Vẽ MH vuông góc với OP.
a) CMR : 5 điểm O , A , B, M , H ở trên 1 đường tròn
b) Tìm tập hợp M khi PAB quay quanh P
c)Gọi I là trung điểm AB, N là giao điểm của PAB và MH . CMR
.PA PB
=
.PI PN
Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O)
sao cho MA =

3
2
R
. Từ M vẽ tiếp tuyến MT
a) Tính MT theo R
b) Gọi TH là đường cao trong ∆TMO. Chứng minh rằng :
.MH MO
=
.MA MB
c) Tính ℘
H/(O)
d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp
e) AD và BC cắt nhau tại N. CMR :
.AN AD
+
.BN BC
= 4R
2

Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3). Tìm tập hợp M thỏa ℘
M/(A)
+℘
M/(B)
= 15
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M, N là 2 điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B. AM
và AN cắt (O) tại M
1
và N
1
.

a) CMR tứ giác MNN
1
M
1
nội tiếp
b) Giả sử AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM
1
; AN
1
; sin M
1
AN
1
, M
1
N
1

Bài 32: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB . H là hình chiếu của M xuống AB . Đường
tròn đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E
a) CMR tứ giác APQB nội tiếp
b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy
Bài 33: Cho 3 điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự. AB = 5 ; BC = 7. Đường tròn di động qua A , B
có tâm là O. Vẽ 2 tiếp tuyến CT ; CT’. Gọi D là giao điểm TT’ với AB. Gọi H; I lần lượt là trung
điểm của đọan TT’, AB
a) Tìm tập hợp T; T’
b) CMR :
.CA CB
=
.CO CH

=
.CI CD
c) CMR : Điểm D cố đònh. Suy ra tập hợp H
Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB cắt (O)
tại D và E
a) Tính AO , AE , AD
b) Qua A vẽ AH ⊥BC và cắt (O) tại F ; K. Lấy M ∈ (O). Gọi BM∩AH = I ; CM∩AH = J
Chứng minh rằng
.IF IK
=
.IH IJ
Bài 35: Cho 2 đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ tại I
và cắt tiếp tuyến chung qua A tại M
a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’
b) CMR: IA
2
= IB.IB’. Suy ra OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’
c) CMR : IM
2
= IO.IO’. Suy ra BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’
§3 : HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
• Các ký hiệu trong ∆ ABC
Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c
m
a
, m
b
, m
c

: độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C
h
a
, h
b,
h
c
: Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C
P =
2
++ cba
: nữa chu vi ∆ ABC
S : diện tích tam giác
R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆.
• Đònh lý Côsin : a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cos A
B
a
A
C
c b
h
a
m
a