đề thi HSG trường môn toán 7 có đáp án

Trường THCSDL Đoàn Thị Điểm
Họ tên học sinh:…………………………….
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1( 4điểm)
a) Tính:
A =






−++






++− 2,275,2
13
11
7
11
:
13
3
7
3
6,075,0

B =








+








+
9
225
49
5
:
3
25,022
7
21,110
b) Tìm các giá trị của x để:
xxx 313 =+++

Câu2( 2 điểm)
Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
≤++
cabcab
.
Câu 3( 4điểm)
a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng
lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12.
b) Vận tốc của máy bay,ô tô, tàu hoả lần lượt tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời
gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ.
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4( 2 điểm)
Biết
cabcbaRcba .;0,,;,,
2
=≠∈
.Chứng minh rằng :
2
2
)2011(
)2011(
cb
ba
c
a
+
+
=
Câu 5 (3,5điểm)

Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vuông góc với BC( H thuộc
BC)
a,Chứng minh rằng:
222
111
ACABAH
+=
b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH
Câu6(4,5điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 90
0
. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC).
Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB
cắt cạnh BC ở điểm E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Đáp án:
Bài 1:
Câu1 Đáp án Điểm
a
)
20
11
13
11
7
11
(:)
13
3
7
3

20
3
(
2,275,2
13
11
7
11
:
13
3
7
3
6,075,0
++++=






−++






++−
0,5

11
3
)]
20
1
3
1
7
1
.(11[:)
13
1
7
1
20
1
.(3 =++++=
0,5
)
3
5
7
5
(:)
3
11
7
11
(
)

9
15
7
5
(:)
3
5,0.22
7
1,1.10
(
9
225
49
5
:
3
25,022
7
21,110
++=
++=








+









+
0,5
5
11
)]
3
1
7
1
.(5[:)
3
1
7
1
.(11 =++=
0,5
b
Tìm các giá trị của x để:
xxx 313 =+++
Nếu x = - 1 thì ta có vế phải bằng - 3 ; vế trái bằng 2( không
thoả mãn)
0,25

Nếu x = - 3 vế trái bằng 2; vế phải bằng – 9( không thoả mãn) 0,25
Nếu – 3< x < - 1 ta có
x + 3 – x- 1 = 3x; do đó x = 2/3( không thoả mãn)
0,5
Nếu x < -3 thì – x – 3 – x- 1 = 3x, do đó x = -4/5( không thoả
mãn)
0,5
Nếu x > -1ta có x + 3 +x + 1 = 3x, do đó x = 4 ( thoả mãn)
Vây. x= 4
0,5
Câu 2
a + b + c = 0 suy ra a = - ( b + c)
vậy ab + bc + ca = -( b + c).b + bc – cb – c
2
= -[ b
2
+ cb + c
2
] 0,5
=-[b
2
+ ½ cb + ½ cb + ¼ c
2
+ ¾ c
2
] 0,5
=-[ b(1/2 c + b) + ½ c(b + ½ c) + ¾ c
2
] 0,5
=- [(1/2 c + b) + ¾ c

2
] nhỏ hơn hoặcbằng 0; hay ab + bc + ac
nhỏ hơn hoặc bằng 0.
0,5
Câu3
a ( x + y).35 = ( x- y) .210 = 12xy 1
3512
185
2
245
2
3521035210
xyyx
yxyxyxyxyx
=
+
==
−
=
+
⇒
−
=
+
xyyx
y
xyx
123535
37
49

4937
=+
=⇒=
0,5
42
215
;
222
1505
== yx
0,5
b Gọi vận tốc của máy bay, ô tô, tàu hoả lần lượt là v1,v2,v3
thời gian tương ứng đi từ A đến B của 3 động cơ là t1,t2,t3.
0,5
Theo baì ta có
2
2
3
;5
1
2
2
3
2
;5
2
10
2
1
==⇒===

t
t
t
t
v
v
v
v
0,5
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có
403;41;2024
4
16
45
12
1
1
5
5
===⇒==
−
−
== ttt
tttt
0,5
Câu 4
Biết
cabcbaRcba .;0,,;,,
2
=≠∈

.Chứngminh rằng :
2
2
)2011(
)2011(
cb
ba
c
a
+
+
=
cb
ba
c
b
c
b
b
a
cab
2011
2011
2011
2011
.
2
+
+
===⇒=

1
c
a
c
b
b
a
b
a
cb
ba
b
a
==
+
+
= .)(;)
2011
2011
()(
222
2
)
2011
2011
(
cb
ba
c
a

+
+
=⇒
1
Câu 5 Cho tam giác vuôngABC, cạnh huyền BC.Kẻ AH vuông góc
với BC( H thuộc BC)
a,Chứng minh rằng:
222
111
ACABAH
+=
b,Biết BC = 15 cm, AC = 12cm. Tính AH
ACABBCAHSABC 2
==
0,5
2
2
2
2
AC
BC
AH
AB
AC
BC
AH
AB
=⇒=⇒
1
2222

22
22
2
2
11

1
ABACACAB
ABAC
ACAB
BC
AH
+=
+
==
1
Tính AB = 9cm, từ đó suy ra AH = 7,2cm 1
Câu 6
1
4
3
2
E
D
H
C
B
A
G, KL
0,5

4321431 AAAAAAAABCAEC
∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠
Vì góc B và góc HAC cùng phụ với góc BAH
Suy ra tam giác AEC cân tại C, do đó AC = CE
1,5
Tương tự cm được AB = BD 1,5
AB + AC = BD + EC = ED + BC 1