Báo cáo tốt nghiệp toán học không gian các dạng vi phân trên đa tạp khả vi

LỜI MỞ ĐẦU
Hiện nay cùng với sự phát triển nhanh chóng của Toán học, nội dung của
hình học vi phân đã mở rộng sang nghiên cứu các đường và mặt trên đa tạp. Đa
tạp đã trở thành môi trường nghiên cứu trong nhiều lónh vực Toán học hiện đại,
chẳng hạn như nghành “giải tích trên đa tạp” nghiên cứu về trường vectơ, dạng
vi phân, tích phân,… trên đa tạp khả vi.
Mục tiêu cơ bản của đề tài này là trình bày lại không gian các dạng vi phân
trên đa tạp khả vi một cách đầy đủ, ngắn gọn.
Nội dung đề tài bao gồm 2 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bò
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở để làm tiền đề
cho việc trình bày những khái niệm ở chương sau,đó là: hàm vectơ, tính liên tục
và khả vi của hàm vectơ ,…, trình bày về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi giữa hai đa
tạp, không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc và trường
vectơ.
Chương 2: Dạng vi phân
Nội dung của chương này là trình bày các khái niệm : nh xạ đa tuyến tính
thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng
vi phân trên không gian hữu hạn chiều và trên đa tạp, tích ngoài của các dạng vi
phân,không gian các dạng vi phân và một số ví dụ minh hoạ.
Để hoàn thành đề tài này, tuy bản thân đã có nhiều nổ lực và cố gắng song
trong đề tài không tránh khỏi những sai sót, vì vậy em rất mong nhận được sự
góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn!
Đăk Lăk, ngày 18 tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Trần Thò Mỹ Hạnh
LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tôi xin chân thành cảm ơn:
Ban Giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên, khoa Sư Phạm, bộ môn Toán
cùng toàn thể các thầy cô giáo trường Đại học Tây Nguyên đã dạy dỗ và truyền
đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập tại trường.

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Văn Bồng, người đã
trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tận tình, truyền đạt cho tôi những kiến thức và
kinh nghiệm để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và tập thể lớp Sư Phạm Toán
K03, những người đã giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi học
tập và hoàn thành luận văn cuối khoá.
Đăk Lăk, ngày 18 tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Trần Thò Mỹ Hạnh
CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm : Hàm vectơ, tính
liên tục và khả vi của hàm vectơ…. Nhắc lại một số kiến thức của đa tạp khả vi
như: khái niệm bản đồ, Atlas, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, khái niệm về cung
tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc. Mô tả cấu trúc của không gian tiếp xúc và
phân thớ tiếp xúc, trên cơ sở đó xây dựng khái niệm về phân thớ đối tiếp xúc,
trường vectơ và trường vectơ khả vi trên đa tạp, là kiến thức cơ sở cho việc
nghiên cứu các dạng vi phân ở chương II.
1.1. Hàm vectơ.
1.1.1. Đònh nghóa: Cho U là tập mở trong
¡
n
, hàm vectơ trên U là ánh xạ
f :U
→

¡
m
x
a

f(x)= (f
1
(x),….,f
m
(x)), trong đó x=(x
1
,x
2
,….,x
n
)
f
i
:U
→

¡
x
a
f
i
(x) ,
∀
i=1,2…m.
1.1.2. Hàm vectơ liên tục.
Hàm vectơ f : U
⊂

¡
n

→

¡
m
được gọi là liên tục tại x
0
∈
U nếu
ε
>0,
∃

δ
> 0 :
∀
x
∈
U mà
P
x – x
0

P
<
δ
thì
P
f(x) – f(x
0
)

P
<
ε
.
Nhận xét:
 f = (f
1
,… , f
m
) liên tục trên U khi và chỉ khi các f
i
liên tục trên U, tức
là f
i
liên tục tại mọi x
∈
U, i=1,2,…,m.
 Nếu hàm f : U
⊂

¡
n

→

¡
m


liên tục tại x

0

∈
U và
g : f(U)
⊂
V
⊂

¡
m

→

¡
p
liên tục tại f(x
0
) thì hàm số hợp
g.f : U
⊂

¡
n

→

¡
p
liên tục tại x

0
.
1.1.3. Hàm vectơ khả vi.
Cho U
⊂

¡
n
, hàm vectơ f : U
→

¡
m
được gọi là khả vi tại a
∈
U
nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính
λ
:
¡
n

→

¡
m
sao cho

0
( ) ( ) ( )

lim
h
f a h f a h
h
λ
→
+ − −P P
P P
=0
nh xạ tuyến tính
λ
được gọi là đạo hàm của f tại a. Ký hiệu:
λ
= D f(a).
Ta gọi hàm f khả vi trên U nếu hàm f khả vi tại mọi điểm a của U và gọi
hạng của f tại a là Rank
a
(f)= Rank(Df(a)).
1.1.4. Hàm khả vi lớp C
r
.
f : U
⊂

¡
n

→

¡

m
với U mở gọi là khả vi lớp C
r
(r
≥
1) trên U nếu các
hàm toạ độ f
1
, f
2
, …,f
m
của f khả vi lớp C
r
, có nghóa là :

∀
k
≤
r thì tồn tại
1
1

n
k i
k
k
n
f
x x

∂
∂ ∂

với k
1
+k
2
+…+k
n
= k, i=
1, m
.
Hàm f liên tục tại x
0
được gọi là khả vi lớp C
0
,
Hàm f khả vi lớp C
∞
gọi là trơn.
1.2. Đa tạp khả vi.
1.2.1. Khái niệm bản đồ.
Cho M là không gian tôpô Hausdorff. Nếu U mở trong M, V là tập mở
trong
¡
n
và
ϕ
: U
→

V đồng phôi thì (U,
ϕ
) được gọi là một bản đồ của M.
 Với p
∈
U thì
ϕ
(p)
∈

¡
n
nên
ϕ
(p)= (x
1
,x
2
,…,x
n
). Khi đó (x
1
,x
2
, ,x
n
)
được gọi là toạ độ của p đối với (U,
ϕ
) và (U,

ϕ
) được gọi là hệ toạ
độ đòa phương (vì
ϕ
là đồng phôi nên có thể đồng nhất một cách đòa
phương p với (x
1
,x
2
,…,x
n
)).
 Giả sử (U
1
,
ϕ
1
) và (U
2
,
ϕ
2
) là hai bản đồ của M sao cho W= U
1
∩
U
2
≠
∅
. Khi đó : (U

1
,
ϕ
1
) và (U
2
,
ϕ
2
) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ
ϕ
2
.
1
1
ϕ
−
là vi phôi.
Quy ước: Nếu U
1
∩
U
2
=
∅
thì (U
1
,
ϕ
1

) và (U
2
,
ϕ
2
) là phù hợp.
1.2.1.1. Ví dụ.
Ví dụ1: Lấy M=
¡
= U = V

ϕ
:
¡

→

¡
x
a
2x-1
Khi đó (
¡
,
ϕ
) là một bản đồ của
¡
.
Ví dụ2: Đặt M=S
1

=
{
(x,y) : x
2
+y
2
=1
}
U
1
=
{
(x,y)
∈
S
1
: x>0
}
=
{
(
2
1 y−
, y): y
∈
( )
1,1−
}

V

1
=
( )
1,1−
.

ϕ
1
: U
1

→
V
1
(
2
1 y−
, y)
a
y. Khi đó (U
1
,
ϕ
1
) là một bản đồ của S
1
.
Ví dụ3: Đặt U
2
=

{
(x,y)
∈
S
1
: y>0
}
U
1
U
2
M
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
2
.ϕ
1
-1
R
n
=
{
(x,
2
1 x−
): x
∈

(-1,1)
}
V
2
=(-1,1)

ϕ
2
: U
2

→
V
2
(x,
2
1 x−
)
a
x. Khi đó (U
2
,
ϕ
2
) là một bản đồ của M=S
1
và (U
1
,
ϕ

1
)
và (U
2
,
ϕ
2
) là phù hợp.
1.2.2. Khái niệm Atlas.
1.2.2.1. Đònh nghóa. Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff.
A =
{
(U
i
,
ϕ
i
)
i
∈
I
là họ các bản đồ trên M
}
Nếu A thoã mãn:
•
i I∈
∪
U
i
=M

• (U
i
,
ϕ
i
) và (U
i
,
ϕ
j
) là phù hợp với mọi i,j thì ta nói A là một
Atlas của M.
1.2.2.2. Hai Atlas phù hợp(tương thích).
Hai Atlas : A =
{
(U
i
,
ϕ
i
)
}
i
∈
I
B =
{
(V
j
,

ψ
j
)
}
j
∈
J
được gọi là phù hợp nếu (U
i
,
ϕ
i
) và (V
j
,
ψ
j
) phù hợp với mọi i,j.
Nhận xét: Nếu A và B là hai Atlas phù hợp thì A
∪
B cũng là một Atlas.
1.2.2.3. Mệnh đề.
Trong tập hợp các Atlas của M, nếu gọi R là quan hệ phù hợp giữa hai
Atlas thì R là quan hệ tương đương.
1.2.2.4. Atlas cực đại(tối đại).
Hợp của tất cả các Atlas thuộc lớp tương đương R là Atlas tối đại của lớp
ấy.
Nếu A là một Atlas cực đại trên M thì A còn được gọi là một cấu trúc
khả vi trên M.
1.2.3. Đa tạp khả vi.

Một không gian tôpô Hausdorff M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp
khả vi n- chiều.
Nhận xét: Từ một Atlas bất kỳ trên M đều có thể bổ sung để được một Atlas
cực đại. Vì thế khi xét một cấu trúc khả vi trên M ta chỉ xét Atlas có số bản đồ ít
nhất.
Ví dụ:
a) Xét M là tập mở, M
⊂
¡
n
. Lấy U=V=M và
ϕ
=id: M
→
M. Khi đó
( )
{ }
,U
ϕ
là một Atlas của M. Do đó M là đa tạp khả vi n- chiều.
Đặc biệt (a,b),
¡
là các đa tạp khả vi 1- chiều,
¡
n
là đa tạp khả vi n-
chiều.
b) Lấy M = S
1
=

{
(x,y): x
2
+y
2
=1
}
. Ở ví dụ trước ta đã có (U
1
,
ϕ
1
) và (U
2
,
ϕ
2
) là hai bản đồ của M.
Đặt: U
3
=
{
(x,y)
∈
S
1
: x<0
}
=
{

(-
2
1 y−
, y) : y
∈
(-1,1)
}
V
3
= (-1, 1)

ϕ
3
: U
3

→
V
3
(-
2
1 y−
, y)
a
y
Đặt U
4
=
{
(x,y)

∈
S
1
: y<0
}
=
{
(x, -
2
1 x−
) : x
∈
(-1,1)
}
V
4
= (-1,1)

ϕ
4
: U
4

→
V
4
(x, -
2
1 x−
)

a
x
Tương tự (U
3
,
ϕ
3
) và (U
4
,
ϕ
4
) là các bản đồ của M. Do đó
{
(Ui,
ϕ
i)
}
4
i=1
là một Atlas của M.
Vậy M=S
1
là một đa tạp khả vi 1- chiều.
1.2.4. nh xạ khả vi giữa hai đa tạp.
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng.
nh xạ liên tục f : M
→
N được gọi là khả vi tại điểm p
∈

M nếu với mọi
bản đồ đòa phương (U,
ϕ
) quanh p và (V,
ψ
) quanh q = f(p) sao cho f(U)
⊂
V thì
ánh xạ
ψ
.f.
ϕ
-1
là khả vi tại điểm
ϕ
(p)
∈

¡
m
.
nh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm p
∈
M.

Ví dụ: Xét M =(0,1), N =
¡
3
và
f : (0,1)

→

¡
3
t
a
(t
2
, t
3
, t+1)
Khi đó f là ánh xạ khả vi.
1.2.5. Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc.
1.2.5.1. Cung tham số.
M
N
U
.
p
.
q
ψ
ϕ
ϕ(p)
f
R
m
R
n
ψ.f.ϕ

-1
1.2.5.1.1. Đònh nghóa.
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, J là khoảng mở(a,b). Mỗi ánh xạ khả vi
ρ
: J
→
M được gọi là một cung tham số.
1.2.5.1.2. Cung tham số tương đương.
Cho hai cung tham số:

ρ
: J
→
M và
δ
: I
→
M
ρ
được gọi là tương đương với
δ
, ký hiệu
ρ

:

δ
, khi và chỉ khi
∃

λ
vi
phôi sao cho
ρ
.
λ
=
δ
.

[ ]
γ
=
{
δ

δ
:

γ
}
được gọi là một lớp các cung tham số tương đương.
Nhận xét: Nếu hai cung tham số tương đương thì chúng có cùng một tập ảnh.
1.2.5.2. Đường cong.
Đường cong trên đa tạp khả vi n- chiều M là một lớp các cung tham số
tương đương.
Để thuận tiện ta thường lấy đại diện của đường cong là một cung tham số.
Từ nay, khi nói cho đường cong nghóa là ta đã chọn một cung tham số đại diện
(đại diện ấy gọi là tham số hoá của đường cong).
 Hai đường cong tương đương:

Cho đa tạp khả vi n- chiều M và một điểm p
∈
M.
Cho hai đường cong:

ρ
: J
→
M và
δ
: I
→
M
0
a

ρ
(0) = p 0
a

δ
(0) = p
Ta nói
ρ
và
δ
tương đương với nhau khi và chỉ khi với mọi bản đồ (U,
ϕ
)
quanh p thì: (

ϕ
.
ρ
)
,
(0) = (
ϕ
.
δ
)
,
(0).
Ký hiệu:
ρ
:

δ
.
Nhận xét: Hai đường cong được gọi là tương đương với nhau tại một điểm nếu
chúng có cùng một vectơ tiếp xúc tại điểm đó.
1.2.5.3.Vectơ tiếp xúc.
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều.
nh xạ f: M
→

¡
được gọi là một hàm khả vi trên M. Nếu U mở nằm
trong M và f : U
→

¡
khả vi thì f được gọi là khả vi trong lân cận U
⊂
M.
Ký hiệu: F (M) là tập hợp các hàm khả vi trên M.
F (p) là tập hợp các hàm khả vi trong lân cận U
p
chứa p.
Đònh nghóa. Vectơ tiếp xúc tại điểm p
∈
M là một ánh xạ
v : F (p)
→

¡
f
a
v(f) =
d
dt
f.
ρ
(t)|
0
t t=
.
Khi đó ta cũng nói v là vectơ tiếp xúc với M tại p.
Xét bản đồ đòa phương (U,
ϕ
) quanh p và

γ
là đường cong trên M qua p. Khi
đó
γ
xác đònh vectơ tiếp xúc.
Ký hiệu :
j
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
, j =
1, n
.
Ta có :
j
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
(f) = D
j
(f.
ϕ

-1
)|
ϕ
(p)
, trong đó D
j
ký hiệu đạo hàm riêng thứ j
và f
∈
F (p). Ta viết:
j
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
(f) =
j
f
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
.
Như vậy, mỗi vectơ tiếp xúc với M tại p là tổ hợp tuyến tính của

1
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
,…,
n
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p
, được coi là một đạo hàm tại p và được cho bởi:
v =
Φ
1
n
j
j
j
ξ
ϕ
=
 
∂

 ÷
∂
 
∑
p
, j =
1, n
,
j
ξ
= v(
j
ϕ
).
1.2.6. Không gian tiếp xúc.
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M tạo
thành không gian tiếp xúc của M. Ký hiệu :T
p
M
Nhận xét:
 Tập các vectơ tiếp xúc tại p là không gian con của không gian vectơ
các đạo hàm tại p, sinh bởi n vectơ
j
ϕ
 
∂
 ÷
∂
 
p

, j =
1, n
.
 Nếu M là đa tạp khả vi n- chiều thì không gian tiếp xúc với M là T
p
M
cũng là một đa tạp khả vi n- chiều.
Ví dụ: Lấy M =S =
{
(x,y,z) : x
2
+y
2
+z
2
= 1
}
là một đa tạp khả vi 2- chiều.
Khi đó không gian tiếp xúc với M tại p là một mặt phẳng, mặt phẳng đó là tiếp
diện của S tại p và là một đa tạp khả vi 2- chiều.
1.2.7. nh xạ tiếp xúc của hai đa tạp.
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và
f: M
→
N
p
a
f(p) = p’
là ánh xạ khả vi. T
p

M là không gian các vectơ tiếp xúc với M tại p và T
p
N là
không gian các vectơ tiếp xúc với N tại p’.
Đònh nghóa. nh xạ tiếp xúc của f tại p là f
*
|
p

:
T
p
M
a
T
p’
N và được xác
đònh nếu v
∈
T
p
M tiếp xúc với đường cong
ρ
(t) tại p thì

f
*
|
p
(v) = v’ tiếp xúc với

đường cong f.
ρ
(t) tại p’.
Ví dụ: Giả sử lấy M =
¡
2
và N =
¡
3
và f :
¡
2

→

¡
3


( )
, .
x u v
u v y u v
z u
= +


=



=

a
Cho p(1;2) và v(3;4). Ta tìm f
*
|
p
(v). Trước hết ta thấy f là ánh xạ khả vi .
Vectơ v tiếp xúc với đường cong
ρ
(t):
1 3
2 4
u t
v t
= +


= +

Ta có
(0)
'(0)
p
v
ρ
ρ
=



=

nh của đường cong
ρ
(t) qua ánh xạ f là f.
ρ
(t) :
2
3 7
2 10 12
1 3
x t
y t t
z t
= +


= + +


= +

Khi đó vì v’= f
*
|
p
(v) tiếp xúc với f.
ρ
(t), nên v’=
d

dt
f.
ρ
(t)|
t=0
=(7,10,3).
1.2.8. Phân thớ tiếp xúc.
Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều. Ta gọi :
TM =
p M∈
U
T
p
M là phân thớ tiếp xúc của M, là một đa tạp khả vi 2n- chiều.
Thật vậy, trên TM ta mô tả cấu trúc đa tạp như sau:
Đối với mỗi bản đồ (U,
ϕ
) trên M , ta đặt TU =
p U∈
U
T
p
M và xét ánh xạ

ϕ
: TU
→

ϕ
(U)

×

¡
n

v
a

ϕ
(v) = (
ϕ
(p), v(
ϕ
1
),…,v(
ϕ
n
))
trong đó v
∈
T
p
M ø và v =
1
( )
n
j
j
j
v

ϕ
ϕ
=
 
∂
 ÷
∂
 
∑
p
,
ϕ
là một song ánh từ TU lên
ϕ
(U)
×
¡
n
.
Ta gọi (TU,
ϕ
) là bản đồ trên TM, kết hợp với (U,
ϕ
). Nếu (V,
ψ
) là một
bản đồ đòa phương khác trên M, với U
∩
V
≠

∅
thì với (a,b)
∈
ψ
( U
∩
V)
×
¡
n
, ta
có:

ϕ
.
ψ
-1
(a,b) =
1 1
1
1
1 1
( ) ( )
. ( ), . , , .
n
n n
j j
j j
j j
a a

a b b
ψ ψ
ϕ ϕ
ϕψ
ψ ψ
− −
−
= =
 
   
∂ ∂
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂
   
 
∑ ∑
Như vậy, các hàm
ϕ
.
ψ
-1
là khả vi nên ta có thể trang bò cho TM một tôpô
xác đònh duy nhất sao cho các bản đồ (TU,
ϕ
) trên TM có
ϕ
là đồng phôi.
Tập các bản đồ

{
TU
i
,
ϕ
}
tạo thành một Atlas khả vi, cho cấu trúc khả vi
trên TM. TM cùng với cấu trúc khả vi xác đònh như trên là đa tạp khả vi 2n-
chiều, được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M.
1.2.9. Phân thớ đối tiếp xúc.
Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều. Ta đã xây dựng được không gian tiếp
xúc T
p
M và phân thớ tiếp xúc TM của M là một đa tạp.
Tương tự như vậy ta xây dựng không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc
trên đa tạp TM. Khi đó, không gian tiếp xúc với đa tạp TM được gọi là không
gian đối tiếp xúc của M. Ký hiệu: T*
p
M. Phân thớ tiếp xúc của đa tạp TM được
gọi là phân thớ đối tiếp xúc của M. Ký hiệu : T*M.
1.2.10. Trường vectơ.
Đònh nghóa. Một trường vectơ X trên đa tạp M là ánh xạ
X : M
→

p M∈
U
T
p
M

P
a
X
p
, X
p
∈
T
p
M.
Nhận xét: Một trường vectơ trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi điểm
trên đa tạp thành một vectơ tiếp xúc xác đònh trên không gian tiếp xúc với đa tạp
tại điểm đó.
1.2.11. Trường vectơ khả vi.
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. Với mỗi bản đồ đòa phương (U,
ϕ
) của M,
p
∈
U thì
ϕ
(p)
∈

¡
n
nên
ϕ
(p) = (x
1

,…,x
n
). Vì
ϕ
là đồng phôi nên có thể đồng
nhất một cách đòa phương (x
1
,…,x
n
) là toạ độ của p đối với (U,
ϕ
).
Ta có
{
i
x
∂
∂

|
p
}
là cơ sở của T
p
M, suy ra
i
x
 
∂
 

∂
 
là cơ sở của tập hợp các
trường vectơ trong U. Khi đó với trường vectơ X thì X =
1
n
i
i
i
X
x
=
∑
∂
∂
với
X
i
:U
→

¡
Ta nói X khả vi khi và chỉ khi X
i
khả vi với mọi i = 1,…,n.
Ký hiệu: B (U) =
{
các trường vectơ khả vi trên U
}
.

CHƯƠNG II
DẠNG VI PHÂN
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm : nh xạ đa tuyến tính
thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng
vi phân cùng các phép toán của chúng trên không gian vectơ hữu hạn chiều. Từ
đó xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp khả vi n- chiều, tích ngoài
của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân, phép đổi biến trong các
dạng vi phân và phép toán vi phân ngoài.
2.1. Đại số ngoài.
2.1.1. Đònh nghóa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu.
Cho E
1
,E
2
,…,E
p
là(p+1) không gian vectơ đònh chuẩn. nh xạ
f: E
1
×
E
2
×
…
×
E
p

→

F
(x
1
,x
2
,…,x
p
)
a
f(x
1
,x
2
,…,x
p
)
(trong đó x
i
là một vectơ trong E
i
)
được gọi là một ánh xạ p- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến, tức là: cố
đònh (p-1) biến còn lại và xét biến thứ i ta có :
f(x
1
, ,
α
x
i
+

β
y
i
, x
i+1
,…,x
p
)=
α
f(x
1
, ,x
i
,x
i+1
,…,x
p
) +
β
f(x
1
,…,y
i
, ,x
p
) ,
∀
i=
1, p
.

f được gọi là tuyến tính thay dấu (thay phiên) nếu:
 f là p- tuyến tính .
 f(x
1
,…,x
i
,…,x
j
,…,x
p
)= - f(x
1
,…,x
j
,…,x
i
,…,x
p
).
Ký hiệu: L
p
(E,F) là tập hợp các ánh xạ p- tuyến tính từ E
p
→
F thì L
p
(E,F) là
một không gian vectơ.
A
p

(E,F) là tập hợp các ánh xạ p- tuyến tính thay dấu từ E
p

→
F được
gọi là một không gian vectơ con của không gian L
p
(E,F) .
2.1.2. Nhóm các hoán vò.
Giả sử
p
∑
là nhóm tất cả các hoán vò của tập
{ }
1, , p
của p số nguyên >0
đầu tiên. Nó chứa p! phần tử. Hoán vò
σ

∈

p
∑
được gọi là chuyển vò nếu tồn
tại một cặp số khác nhau i và j
( )
1 ,1i p j p≤ ≤ ≤ ≤
sao cho:

σ

(i) = j,

σ
(j) = i,

σ
(k) = k với k tuỳ ý khác i và j.
(Nói một cách đơn giản,
σ
đổi chỗ i và j).
Với hoán vò tuỳ ý
σ
của tập hợp
{ }
1, , p
, nếu f
∈
A
p
(E,F) thì
f(x
σ
(1)
,x
σ
(2)
,…,x
σ
(p)
) = sign

σ
f(x
1
,x
2
,…,x
p
), trong đó sign =1 nếu số nghòch thế
là chẵn và sign =-1 nếu số nghòch thế là lẻ.
Sign được gọi là dấu của phép thế
1 2
(1) (2) ( )
p
p
σ σ σ
 
 ÷
 
2.1.3. Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu.
Giả sử f
∈
A
p
(E;F) và g
∈
A
q
(E;G). Để xác đònh phép nhân giữa g và f
trước tiên cần cho một ánh xạ song tuyến tính liên tục
Φ

: F
×
G
→
H
nh xạ song tuyến tính như thế cho phép đặt tương ứng f và g ánh xạ
h: E
p+q

→
H, cụ thể h(x
1
,…,x
p+q
) =
Φ
(f(x
1
,…,x
p
),g(x
p+1
,…,x
p+q
)).
Rõ ràng ánh xạ h là đa tuyến tính và liên tục, nhưng nói chung không thay
dấu, nó chỉ thuộc không gian các ánh xạ (p+q)- tuyến tính , thay dấu theo p biến
đầu và q biến cuối.
Ký hiệu không gian đó là A
p,q

(E;H).
Ta xác đònh một ánh xạ liên tục tuyến tính

ϕ
p,q
: A
p,q
(E;H)
→
A
p+q
(E;H)
h
a

ϕ
p,q
(h)
Đònh nghóa. Phần tử
ϕ
p,q
(h)
∈
A
p+q
(E;H) được gọi là tích ngoài của các
ánh xạ f
∈
A
p

(E;F) và g
∈
A
q
(E;G) ứng với

Φ
: F
×
G
→
H được ký hiệu là f
Λ
Φ
g và được xác đònh như sau:
(f
Λ
Φ
g)(x
1
,…,x
p+q
) =
∑
(sign
σ
)
Φ
(f(x
σ

(1)
,…,x
σ
(p)
), g(x
σ
(p+1)
,…,x
σ
(p+q)
))(2.1.3)
trong đó
σ
chạy khắp tập hợp hoán vò
{ }
1, , p q+
.
Khi G =
¡
, H = F và ánh xạ
Φ
: F
×

¡

→
F đơn giản là phép nhân các
vectơ của không gian F với các vô hướng. Trong trường hợp đó ta có thể bỏ
Φ

trong ký hiệu f
∧
g. Trong trường hợp riêng khi mà F =
¡
tích f
Λ
g các dạng đa
tuyến tính thay dấu lại là một dạng đa tuyến tính thay dấu.
Một trường hợp riêng : giả sử f
∈
L(E,
¡
) và g
∈
L(E,
¡
) là các dạng tuyến
tính. Khi đó tích f
∧
g của chúng là một phần tử của không gian A
2
(E;
¡
) được
cho bởi công thức: (f
∧
g )(x
1
,x
2

) = f(x
1
)g(x
2
) – f(x
2
)g(x
1
).
2.1.4. Các tính chất của phép nhân ngoài.
Mệnh đề 2.1.4.1. Giả sử f
∈
A
p
(E;
¡
) và g
∈
A
q
(E;
¡
) là những dạng đa
tuyến tính thay dấu( với các giá trò vô hướng). Khi đó g
∧
f = (-1)
pq
f
∧
g (phép

nhân ngoài của các dạng thay dấu là phản giao hoán)
Mệnh đề 2.1.4.2. Phép nhân ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu là kết hợp.
Nói cách khác nếu f
∈
A
p
(E;
¡
), g
∈
A
q
(E;
¡
) và h
∈
A
r
(E;
¡
) thì
(f
∧
g)
∧
h = f
∧
(g
∧
h).

2.1.5.Các dạng vi phân trên không gian vectơ.
2.1.5.1. Đònh nghóa.
nh xạ
ω
: U
→
A
p
(E;F) được gọi là dạng vi phân bậc p xác đònh trên
U và nhận giá trò trong F. Đơn giản ta có thể nói : p- dạng vi phân trên U với giá
trò trong F.
Các trường hợp riêng:
 Dạng vi phân bậc 0 là hàm U
→
F
 Dạng vi phân bậc 1 là ánh xạ U
→
L(E,F).
Ký hiệu:
Ω
p
(U,F) là tập hợp tất cả p- dạng vi phân trên U với các giá trò
trong F và đó là một không gian vectơ.
Vớí
ω
∈
Ω
p
(U,F), x
∈

U và
ξ
1
,…,
ξ
p
∈
E ta ký hiệu
ω
(x).(
ξ
1
,…,
ξ
p
)
∈
F giá
trò của ánh xạ
ω
(x)
∈
A
p
(E;F) trên dãy các vectơ ø
ξ
1
,…,
ξ
p

. Đôi khi ta sẽ viết
giá trò đó như sau
ω
(x;
ξ
1
,…,
ξ
p
).
2.1.5.2. Các phép toán trên những dạng vi phân.
Giả sử F,G,H là các không gian Banach và
Φ
: F
×
G
→
H là ánh xạ song
tuyến tính liên tục. Ngoài ra giả sử
α
∈
Ω
p
(U,F),
β
∈
Ω
q
(U,G).
Đối với bất kỳ x

∈
U ,
α
(x) là phần tử của không gian A
p
(E;F), còn
β
(x) là
phần tử của không gian A
q
(E;G) . Vì vậy tích ngoài của chúng là
α
(x)
∧

Φ
β
(x)
∈
A
p+q
(E;H). Ta có ánh xạ song tuyến tính liên tục:
A
p
(E;F)
×
A
q
(E;G)
→

A
p+q
(E;H)
(
α
(x),
β
(x))
a

α
(x)
∧

Φ
β
(x) được xác đònh bởi phép nhân ngoài.
Đònh nghóa. Dạng vi phân x
→
α
(x)
∧

Φ
β
(x) được gọi là tích ngoài
α
∧
Φ
β

của các dạng vi phân
α
và
β
.
Khai triển đònh nghóa nhờ công thức (2.1.3) ta được:
(
α
∧
Φ
β
)(x;
ξ
1
,…,
ξ
p
)=∑(sign
σ
)
Φ
(
α
(x;
ξ
σ
(1)
,…,
ξ
σ

(p)
),
β
(x;
ξ
σ
(p+1)
,…,
ξ
σ
(p+q)
)
trong đó tổng lấy theo mọi hoán vò
σ
của dãy
{
1,…,p+q
}
sao cho
σ
(1)<…<
σ
(p),
σ
(p+1)<…<
σ
(p+q).
Ví dụ: Giả sử
α
và

β
là các dạng vi phân bậc 1 với các giá trò vô hướng.
Khi đó dạng
α
∧
Φ
β
mà ta ký hiệu đơn giản là
α
∧
β
được xác đònh bởi công
thức: (
α
∧
β
)(x;
ξ
1
,
ξ
2
) =
α
(x;
ξ
1
)
β
(x;

ξ
2
) -
α
(x;
ξ
2
)
β
(x;
ξ
1
)
Nhận xét:
Phép nhân ngoài các dạng vi phân có tất cả các tính chất của phép
nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu, đó là phản giao hoán và kết hợp.
Chú ý: Với số nguyên n tuỳ ý ta xét không gian vectơ
0p≥
⊕
Ω
p
(U,
¡
) là tổng trực tiếp các không gian vectơ
Ω
p
(U,
¡
) theo mọi giá trò
của p. Ký hiệu:

Ω
(U,
¡
)=
0p≥
⊕
Ω
p
(U,
¡
), cùng với phép nhân ngoài
Ω
p
(U,
¡
)
×

Ω
q
(U,
¡
)
→
Ω
p+q
(U,
¡
) biến không gian vectơ
Ω

(U,
¡
) thành một đại số. Đại số
đó là kết hợp và phản giao hoán.
2.1.5.3. Phép toán vi phân ngoài.
Bây giờ ta chuyển qua việc mô tả một phép toán rất quan trọng không có sự
tương tự trong lý thuyết các ánh xạ thay dấu . Ta đặt ứng với mỗi dạng
ω
∈

Ω
p
(U,F) một (p+1)- dạng nào đó mà ký hiệu là d
ω
với d
ω
∈

Ω
p+1
(U,F) và được
gọi là vi phân ngoài của dạng
ω
, được cho bởi công thức:
d(
ω
)(x;
0
, ,
p

ξ ξ
) =
0
p
i=
∑
(-1)i(
ω
’(x).
i
ξ
)
µ
( )
0
, , , ,
i p
ξ ξ ξ
Ví dụ: a) Lấy hàm f: U
→
F . Khi đó (df)(x;
ξ
) = f’(x).
ξ
b) Nếu
ω
∈

Ω
1

(U,F) thì (d
ω
)(x;
1 2
,
ξ ξ
) = (
ω
’(x).
1
ξ
).
2
ξ
- (
ω
’(x).
2
ξ
).
ξ
1
2.1.5.4. Các tính chất của phép toán vi phân ngoài.
a) Nếu f là hàm khả vi lớp C
1
và
ω
là p- dạng vi phân thì
d(f.
ω

) = (df)
∧
ω
+ f.(d
ω
). Ở đây chú ý có hai trường hợp :
 f nhận các giá trò trong F , còn
ω
nhận các giá trò vô hướng .Khi đó
các giá trò của d(f.
ω
) thuộc không gian F.
 f là hàm vô hướng, còn
ω
là vi phân nhận giá trò vô hướng .Khi đó
các giá trò của d(f.
ω
) cũng thuộc không gian F.
b) Giả sử
α
∈
Ω
p
(U,
¡
) và
β

∈
Ω

q
(U,
¡
) . Khi đó:
d(
α
∧
β
) = (d
α
)
∧
β
+ (-1)
p

α
∧
(d
β
)
c) Nếu
ω
là p- dạng vi phân bất kỳ thì d(d
ω
) = 0.
2.1.5.5. Các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều.
Giả sử E là không gian hữu hạn chiều. Việc chọn một cơ sở trong E cho
phép đồng nhất E với
¡

k
.
Giả sử U là tập mở trong
¡
k
. Khi đó p- dạng vi phân
ω
tuỳ ý trên U được
viết một cách duy nhất dưới dạng
ω
=
1
1
, ,

( )
p
p
i i
i i
c x
< <
∑
d
1
i
x
∧
…
∧

d
p
i
x
, trong đó
1

p
i i
c

là những hàm U
→
F và tổng được lấy theo tất cả các cách chọn sao cho
i
1
<…< i
p
.
Với cách viết của
ω
như vậy thì vi phân ngoài của dạng vi phân
ω
được viết
như sau: d
ω
= dc
∧
d
1

i
x
∧
…
∧
d
p
i
x
.
* Trường hợp riêng: Nếu p = 1 , tức là
ω
∈

Ω
1
(U,F) thì
ω
được viết một
cách duy nhất dưới dạng:
ω
=
ϕ
1
k
i=
∑
c
i
(x) d(x

i
) , trong đó c
i
là các ánh xạ U
→
F
khả vi lớp C
n
.
* Giả sử U là tập con mở trong
¡
k
. Nếu f : U
→
F là hàm khả vi lớp C
1
thì
vi phân df của nó được viết dưới dạng chính tắc sau đây:
df =
1
k
i
i
f
x
=
∑
∂
∂
dx

i
.
Ví dụ: Trong không gian
¡
3
xét dạng vi phân
ω
= Pdx + Qdy + Rdz. Khi đó
d
ω
= dP
∧
dx + dQ
∧
dy + dR
∧
dz , viết tường minh như sau:
d
ω
=
R Q
y z
 
∂ ∂
−
 ÷
∂ ∂
 
dy
∧

dz +
P R
z x
∂ ∂
 
−
 ÷
∂ ∂
 
dz
∧
dx +
Q P
x y
 
∂ ∂
−
 ÷
∂ ∂
 
dx
∧
dy.
2.1.5.6. Phép đổi biến trong các dạng vi phân.
Cho U là tập con mở của không gian Banach E.
Giả sử
ω
: U
→
A

p
(E;F) là p- dạng vi phân lớp C
n
, và
ϕ
: U’
→
U là ánh
xạ khả vi lớp C
n+1
, trong đó U’ là tập con mở của không gian Banach E’.
Ta xác đònh p- dạng nào đó của lớp C
n
: U’
→
A
p
(E’;F) mà ta sẽ ký hiệu là
ϕ
*
ω
và gọi là dạng vi phân nhận được từ dạng
ω
nhờ phép đổi biến
ϕ
: U’
→
U , trong đó
ϕ
* là ánh xạ tuyến tính

ϕ
* :
Ω
p
(U,F)
→

Ω
p
(U’,F)

ω

a

ϕ
*
ω
2.1.5.7. Các tính chất của ánh xạ
ϕ
* .
a) nh xạ
ϕ
* bảo toàn tích ngoài: nếu
( , )
p
U F
α
∈Ω

,
( , )
q
U G
β
∈Ω
và cho một
ánh xạ song tuyến tính liên tục
Φ
: F
×
G
→
H thì
( ) ( )
*( ) * *
ϕ α β ϕ α ϕ β
∧ Φ = ∧ Φ
.
b) Nếu
ϕ
: U’
→
U và f : U
→
F là các ánh xa khả vi lớp C
1
thì

ϕ

*(df) = d(
ϕ
*f).
2.2 Dạng vi phân trên đa tạp.
2.2.1. Đònh nghóa .
Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều. Dạng vi phân bậc k trên đa tạp M là
ánh xạ:

ω
: M
→
* * *
k
T M T M T M× × ×
1 4 4 4 42 4 4 4 43
p
a

ω
p
với
ω
p
:

K
TpM TpM TpM× × ×
1 4 4 44 2 4 4 4 43
→
¡

ω
p
là ánh xạ k- tuyến tính thay dấu. Tập các dạng vi phân bậc k trên M làm
thành một
¡
- không gian vectơ.
Ký hiệu:
Ω
k
(M).

Ω
k
(M)=0 nếu k>n.
Các trường hợp riêng:
 1-dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ:

θ
: M
→
T*M
p
a

θ
p
mà
θ
p

∈
T*
p
M, tức là
θ
p
: T
p
M
→

¡
Nhận xét: Một dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi
điểm trên đa tạp thành một dạng tuyến tính(ánh xạ tuyến tính) xác
đònh trên không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm đó. Ký hiệu:
Ω
1
(M).
 2- dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ:

η
: M
→
T*M
×
T*M
p
a

η

p
với
η
p
: T
p
M
×
T
p
M
→

¡
,
η
p
là ánh xạ 2- tuyến
tính thay dấu. Ký hiệu:
Ω
2
(M).
2.2.2. Các phép toán trên các dạng vi phân.
Ta ký hiệu :
Ω
0
(M) = F (M) : vành các hàm khả vi trên M.
Bây giờ ta trang bò cho
Ω
k

(M) các phép toán sau:
 Phép cộng:
Nếu
1
, ,
k
i i
x
x
 
 ÷
 
∂ ∂
∂
∂
ω
∈
Ω
k
(M) và
θ
∈
Ω
k
(M) thì:

ω θ
+
: p
a

ω
p
+
θ
p
,
∀
p
∈
M.
Nhận xét: Tổng của hai k- dạng vi phân là một k- dạng vi phân.
 Nhân một hàm khả vi với một k- dạng vi phân:
.
ϕ ω
: p
a

ϕ
(p)
ω
p
,

∀
p
∈
M ,
ϕ
∈
F (M) và

ω
∈
Ω
k
(M).
Nhận xét: Phép nhân một hàm khả vi với một k- dạng vi phân là một k-
dạng vi phân.
Đònh lý.
Ω
k
(M) là một môđun trên F (M)
Chứng minh. Việc chứng minh đònh lý này ta kiểm tra 8 tiên đề của không
gian vectơ.
Khi
Ω
k
(M) là một môđun, ta muốn
Ω
k
(M) trở thành một đại số thì phải có
thêm phép toán sau, gọi là tích ngoài của các dạng vi phân:
 Tích ngoài của các dạng vi phân:
Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, (U,
ϕ
) là một bản đồ đòa phương trên
M. Với mỗi p
∈
U thì p có toạ độ là (x
1
,x

2
,…,x
n
).
Nếu
ω
là dạng vi phân bậc k trên M thì
ω
được biểu diễn duy nhất dưới
dạng:

ω
=
1

k
i i
ω
d
1
i
x
∧
…
∧
d
k
i
x
, trong đó

1

k
i i
ω
=
ω
1
, ,
k
i i
x
x
 
 ÷
 
∂ ∂
∂
∂
Giả sử
ω
∈
Ω
k
(M) và
θ
∈
Ω
l
(M) thì

ω θ
∧
∈
Ω
k+l
(M), k,l=0,1,…,được xác đònh
như sau:
(
ω θ
∧
)(p) =
ω
(p)
∧
θ
(p)
= (
1

k
i i
ω
(p) d
1
i
x
∧
…
∧
d

k
i
x
)
∧
(
1

l
j j
θ
(p) d
1
i
x
∧
…
∧
d
l
i
x
)
=
Φ
(
1

k
i i

ω
,
1

l
j j
θ
) d
1
i
x
∧
…
∧
d
k
i
x
∧
d
1k
i
x
+
∧
…
∧
d
k l
i

x
+
,
với
∧
là song tuyến tính và có tính chất kết hợp.
Đònh nghóa. Tổng trực tiếp của các không gian
Ω
k
(M), ký hiệu
Ω
(M) =
0
n
k=
⊕
Ω
k
(M), như một không gian vectơ thực hữu hạn chiều và phép nhân
∧
được
mở rộng đến
Ω
(M) thì ta gọi
Ω
(M) là đại số ngoài của các dạng vi phân trên
M.
2.2.2.1. Các trường hợp cụ thể.
1) Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. Trên
Ω

1
(M) có các phép toán sau:
a) Phép cộng:
θ
+
θ
’ : p
a

θ
p
+
θ
p
’ , với mọi p
∈
M và
θ
,

θ
’
∈
Ω
1
(M).
b)
.
ϕ θ
: p

a

ϕ
(p)
θ
p
, với mọi p
∈
M ,
ϕ
∈
F (M) và
θ
∈
Ω
1
(M).
c) Với
ϕ
= a là hằng số ta có phép toán:
a.
θ
: p
a
a.
θ
p
, với mọi p
∈
M .

Khi đó
Ω
1
(M) là một không gian vectơ với các phép toán a) và c).
Đònh nghóa: Với
1 2
,
θ θ
∈
Ω
1
(M), tích ngoài của
θ
1
và
θ
2
được xác đònh như
sau:
θ
1
∧
θ
2
(X,Y) =
θ
1
(X)
θ
2

(Y) -
θ
1
(Y)
θ
2
(X), với mọi X,Y
∈
B (U), U là tập
mở trên đa tạp M.
Nhận xét: Tích ngoài của hai dạng vi phân bậc 1 là một dạng vi phân bậc 2,
tức là với
1 2
,
θ θ
∈
Ω
1
(M), ta có
θ
1
∧
θ
2

∈
Ω
2
(M).
Đònh lý.

Ω
1
(M) là một môđun n- chiều trên F (M).
Chứng minh.
Ở đây ta chỉ cần chứng minh dim
Ω
1
(M) = n .Để chứng minh điều
này ta chỉ cần chứng minh
{
dx
1
,dx
2
,…,dx
n
}
là cơ sở của môđun
Ω
1
(M).
+
{
dx
1
,dx
2
,…,dx
n
}

độc lập tuyến tính. Thật vậy,
θ

1
n
i
i
ϕ
=
∑
dx
i
= 0, ta suy ra
i
ϕ
= 0 , với mọi i = 1,2,…,n.
+ Với
θ
∈
Ω
1
(M), ta có:

θ
(X) =
θ
1
n
i
i

i
X
x
=
 
∂
 ÷
∂
 
∑
=
1
n
i
i
x
θ
=
 
∂
 ÷
∂
 
∑
X
i
=
1
n
i

i
i
dx
x
θ
=
 
 
∂
 ÷
 ÷
 ÷
∂
 
 
∑
(X),
với X là trường vectơ khả vi trên tập mở U của đa tạp M.
Từ đó ta suy ra
θ
=
1
n
i
i
x
θ
=
 
∂

 ÷
∂
 
∑
dx
i
.
Đònh nghóa.Cho M và N là hai đa tạp khả vi.
nh xạ f* :
Ω
1
(N)
→

Ω
1
(M)

θ

a
f*
θ
được xác đònh
f*
θ
(X) =
θ
(f
*

X), với mọi X là trường vectơ khả vi trên M. Khi đó ánh xạ
f* được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ f.
Ví dụ: f :
¡
2

→

¡
3
(u,v)
a

x u
y v
z xy
=


=


=

. Giả sử
θ
= xdy. Ta tính f*
θ
.
Ta có: f*

θ
(X) =
θ
(f
*
X)
= xdy(
1 0
0 1
v u
 
 
 
 
 
1
2
X
X
 
 
 
)
= xdy(X
1
,X
2
,vX
1
+uX

2
) , ở đây X =
1
2
X
X
 
 
 
= uX
2

= udv(X) , với mọi X là trường vectơ khả vi trong
¡
2
.
Vậy f*
θ
= udv.
2) Cho M là đa tạp khả vi n- chiều , trên
Ω
2
(M) có các phép toán sau:
a) Phép cộng:
ω
1
+
ω
2
: p

a
ω
1
(p) +
ω
2
(p), với mọi p
∈
M và
ω
1
,
ω
2
∈
Ω
2
(M).
b)
.
ϕ ω
: p
a

ϕ
(p)
ω
(p) , với mọi p
∈
M và

ω

∈
Ω
2
(M).
c) Với
ϕ
= a là hằng số ta có a.
ω
: p
a
a
ω
(p) , với mọi p
∈
M.
Khi đó
Ω
2
(M) với các phép toán a) và c) lập thành không gian vectơ ;
Ω
2
(M) với các phép toán a) và b) lập thành một môđun.
Đònh nghóa. Giả sử
θ
∈
Ω
2
(M). Khi đó vi phân ngoài của

θ
, ký hiệu là d
θ
và được xác đònh như sau: d
θ
=
1
n
i=
∑
d
i
ϕ
∧
dx
i
.
Nhận xét: i) Với mọi
ϕ
∈
F (M), ta có: d(d
ϕ
) = 0.
ii)
Ω
1
(M)
→

Ω

2
(M) là ánh xạ tuyến tính.
2.2.3. Phép đổi biến trong các dạng vi phân trên đa tạp.
2.2.3.1. Đònh nghóa.
Giả sử f : M
→
N là ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp. Khi đó ánh xạ đối
tiếp xúc f* :
Ω
k
(N)
→

Ω
k
(M)

ω

a
f*
ω
với f*
ω
là k- dạng vi phân trên M .

f*
f*
ω

. p
f
. f(p)
ω
M N
Ta gọi f*
ω
là dạng vi phân nhận được từ dạng
ω
nhờ phép đổi biến f :M
→
N, được cho bởi công thức :
f*
ω
(p(v
1
,…,v
k
)) =
ω
(f(p)(f
*
(v
1
),…,f
*
(v
k
)).
Chú ý: Nếu k = 0 thì f* :

Ω
0
(N)
→

Ω
0
(M)

ψ

a
f*(
ψ
) =
ψ
.f
2.2.3.2. Các tính chất của ánh xạ f*.
a) f*(
λ
1
ω
1
+
λ
2
ω
2
) =
λ

1
f*(
ω
1
) +
λ
2
f*(
ω
2
), trong đó
ω
1
,
ω
2
là k- dạng vi
phân và
λ
1
,
λ
2
∈

¡
.
b) f*(
ω
1

Λ
ω
2
) = f*(
ω
1
)
Λ
f*(
ω
2
). Trường hợp đặc biệt , nếu g là một hàm
số khả vi trên N , f*(g.
ω
) = f*(g)f*(
ω
) = (g.f)f*(
ω
).
c) (g.f)*(
ω
) = f*(g*(
ω
)), trong đó g là một ánh xạ khả vi từ đa tạp N đến đa
tạp P và
ω
là k- dạng vi phân trên P.
Chứng minh.
a) Theo đònh nghóa ta có :
f*(

ω
1
+
ω
2
)(p(v
1
,…,v
k
))
= (
ω
1
+
ω
2
)f(p)(f
*
(v
1
),…,f
*
(v
k
))
=
ω
1
(f(p)) (f
*

(v
1
),…,f
*
(v
k
)) +
ω
2
(f(p)) (f
*
(v
1
),…,f
*
(v
k
))
= f*(
ω
1
)(p)(v
1
,…,v
k
) + f*(
ω
1
)(p)(v
1

,…,v
k
)
= (f*(
ω
1
) + f*(
ω
2
))(p(v
1
,…,v
k
)).
Do đó : f*(
ω
1
+
ω
2
) = f*(
ω
1
) + f*(
ω
2
).
b)Ta có:
f*(
ω

1
Λ
ω
2
)(v
1
,…,v
k+l
) = (
ω
1
Λ
ω
2
)(f
*
(v
1
),…,f
*
(v
k+l)
)
=
k l
S
σ
+
∈
∑

(sign
σ
)
ω
1
(f
*
(v
σ
(1)
),…,f
*
(v
σ
(k)
)).
ω
2
(f
*
(v
σ
(k+1)
),…,f
*
(v
σ
(k+l)
))
=

k l
S
σ
+
∈
∑
(sign
σ
)(f*(
ω
1
))(v
σ
(1)
,…,v
σ
(k)
). (f*(
ω
2
))(v
σ
(k+1)
,…,v
σ
(k+l)
)