Đường thẳng (tiếp)

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
(tiếp theo)
Qua tiết này HS cần nắm được

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

Vận dụng vào giải toán

Kiểm tra bài cũ
Cho hai đường thẳng
Khi đó
1 2
: y ax b; : y kx m.∆ = + ∆ = +
1 2
1 2
1 2
1 2
?
/ / ?
M ?
?
∆ ≡ ∆ ⇔
∆ ∆ ⇔
∆ ∩∆ = ⇔
∆ ⊥ ∆ ⇔
1 2
1 2
1 2

1 2
a k, b m.
/ / a k, b m.
M a k.
a.k 1.
∆ ≡ ∆ ⇔ = =
∆ ∆ ⇔ = ≠
∆ ∩ ∆ = ⇔ ≠
∆ ⊥ ∆ ⇔ = −

a) Cho hai đường thẳng
Khi đó
1 2
: y ax b; : y kx m.∆ = + ∆ = +
1 2
1 2
1 2
1 2
a k, b m.
/ / a k, b m.
M a k.
a.k 1.
∆ ≡ ∆ ⇔ = =
∆ ∆ ⇔ = ≠
∆ ∩∆ = ⇔ ≠
∆ ⊥ ∆ ⇔ = −
5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

b) Cho hai đường thẳng
Khi đó toạ độ giao điểm của hai đường

thẳng là nghiệm của hệ
1 1 1 1 2 2 2 2
: a x b y c 0; : a x b y c 0.∆ + + = ∆ + + =
1 2
1 2
1 2
/ /
M(u;v)
∆ ≡ ∆ ⇔
∆ ∆ ⇔
∆ ∩ ∆ = ⇔
5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
1 1 1
2 2 2
a x b y c 0
(1).
a x b y c 0
+ + =


+ + =

Ta có
(1) vô số nghiệm.
(1) vô nghiệm.
(1) có nghiệm duy nhất (u; v).

5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
1 1 1
1 2

2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1
1 2
2 2
2 2 2
a b c
a b c
a b c
/ /
a b c
a b
M(u;v)
a b
(a ,b ,c 0)
∆ ≡ ∆ ⇔ = =
∆ ∆ ⇔ = ≠
∆ ∩ ∆ = ⇔ ≠
≠
Chú ý

5. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
VD. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng
x – 2y +1 =0 với các đường thẳng
a) - 3x + 6y – 3 = 0.
b) y = - 2x.
c) 2x + 5 = 4y.
(nếu cắt nhau thì tìm giao điểm)

ĐS.
a) Trùng nhau.
b) Cắt nhau tại
c) Song song.
1 1
M( ; ).
6 3
−


6. Góc giữa hai đường thẳng
a) Cho hai đường thẳng
-
Nếu chúng trùng nhau hoặc song song
thì ta coi góc giữa chúng là
-
Nếu chúng cắt nhau tạo thành 4 góc, thì
góc nhỏ nhất trong số 4 góc đó được coi
là góc giữa hai đường thẳng.
-
Kí hiệu góc giữa là thì

1 2
,∆ ∆
0
.
0
1 2
,∆ ∆
·

1 2
( , )∆ ∆
· ·
o o o
1 2 1 2 1 2
0 ( , ) 90 ;( , ) 90 .≤ ∆ ∆ ≤ ∆ ∆ = ⇔ ∆ ⊥ ∆

1
∆
2
∆
2
n
uur
ϕ
1
n
uur
·
·
1 2 1 2
o o
1 2
1 2 1 2
1 2
( , ) (n ,n )
0 (n ,n ) 90
cos( , ) cos(n ,n )
cos (n ,n )
∆ ∆ =

≤ ≤
⇒ ∆ ∆ =
=
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur

1
∆
2
∆
2
n
uur
ϕ
1
n
uur
·
·
o
1 2 1 2
o o
1 2
1 2 1 2
1 2
( , ) 180 (n ,n )
90 (n ,n ) 180
cos( , ) cos(n ,n )

cos (n ,n )
∆ ∆ = −
≤ ≤
⇒ ∆ ∆ = −
=
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur

6. Góc giữa hai đường thẳng
b) Nếu có VTPT lần lượt là
và có VTCP lần lượt là thì
1 2
,∆ ∆
1 2
n ,n ,
uur uuur
·
·
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
n .n
cos( , ) cos(n ,n ) ;
n . n
u .u

cos( , ) cos(u ,u ) .
u . u
∆ ∆ = =
∆ ∆ = =
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur
1 2
u ,u ,
uur uuur

1 1 1 1 2 2 2 2
: a x b y c 0; : a x b y c 0.∆ + + = ∆ + + =
Chú ý
1 2 1 2 1 2
a a b b 0.∆ ⊥ ∆ ⇔ + =
·
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a b b
cos( , )
a b . a b
+
∆ ∆ =
+ +

6. Góc giữa hai đường thẳng
VD. Tìm góc giữa hai đường thẳng
1 2
x t
: x y 1 0; : .
y 2
=

∆ + − = ∆

= −

C1. VTPT của hai đường thẳng đã cho lần lượt là
HD.
1 1 2 2
có VTPT n (1;1), có VTCP u (1;0).∆ = ∆ =
uur uur
·
·
1 2
1 2 1 2
1 2
o
1 2
n .n
n (1;1), n (0;1), suy ra cos( , )
n . n
1
( , ) 45 .

2
= = ∆ ∆ = =
= ⇒ ∆ ∆ =
uur uur
uur uur
uur uur
C2. VTCP của hai đường thẳng đã cho lần lượt là
·
·
1 2
1 2 1 2
1 2
o
1 2
u .u
u (1; 1), u (1;0), suy ra cos( , )
u . u
1
( , ) 45 .
2
= − = ∆ ∆ = =
= ⇒ ∆ ∆ =
uur uur
uur uur
uur uur

6. Góc giữa hai đường thẳng
VD. Tìm m để hai đường thẳng sau vuông góc
Với m tìm được, hãy tìm giao điểm của hai
đường thẳng đó.

1 2
: x 2my 7 0; :(3m 5)x y m 0.∆ − + = ∆ − − + =
ĐS.  m = 1.
 Giao điểm M(-1; 3).

Củng cố.
-
Cần nắm được cách xét vị trí tương đối
của hai đường thẳng.
-
Ghi nhớ công thức tính côsin của góc
giữa hai đường thẳng
Bài tập về nhà.
-
SGK: 3, 5, 7 trang 80, 81.
-
SBT: 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10
trang 131, 132.