5.TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

1

Chuyên đề 5:
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Chuyên đề:Tìm giá trị của tham số m để phƣơng trình f(x) = m có nghiệm
1/Các bƣớc giải bài toán:Tìm giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m (1) có nghiệm
Bƣớc 1: Nêu tập xác định của phương trình,giả sử x  D.
Bƣớc 2 : Đặt ẩn phụ t = g(x) (nếu cần)-Tìm điều kiện thích hợp đối với ẩn phụ t . Thực chất ở bước này
là tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) .Chẳng hạn: t 

; 

,Với x  D
Bƣớc 3: -Biến đổi đưa phương trình đã cho thành phương trình ẩn t .Ta gọi là phương trình (2)
- Lập luận:Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  D tương đương tìm m để phương trình (2)
có nghiệm t 

; 


Bƣớc 4: Tiến hành tìm m để phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t 

; 

.
- Phương trình f(t) = m có nghiệm t 

; 


Khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(t)
Tức là : Minf(t) m  Maxf(t) Với t 

; 

.
Nghĩa là ở bước này ta lại phải tìm gtln,gtnn của hàm số y = f(t) ứng với t 

; 


* Đối với những bài toán không cần phải đặt ẩn phụ thì tất nhiên không có hai bước 2 và 3.
Sau khi nêu tập xác định của phương trình,tiến hành:Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm x  D.
-Tìm tập giá trị của hàm số y = f(x).
-Để phương trình f(x)=m có nghiệm ,điều kiện: m phải thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) .
2/Ví dụ :
Bài toán 1 : (Thi chọn giáo viên giỏi Trường THPT Tân Kỳ I – năm học 2008-2009 )
Cho phương trình :

+ 2 +

6  + 2

12 + 4
2
+ 5 – m = 0 (1)
1)Giải phương trình với m = 17
2) Tìm giá trị thực của m để phương trình (1) có nghiệm
Hƣớng dẫn : 2) .Tìm m để phương trình (1) có nghiệm :
-Điều kiện - 2  x 6

- Đặt t =

+ 2 +

6  Thì ta có: 2

2) t 4
(Để có kết quả này ,có thể dùng bđt côsy,có thể dùng Bđt Bunhiacopxky, có thể dùng công cụ đạo hàm
để tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) =

+ 2 +

6  )
Nghĩa là “Kính thưa các kiểu”.Làm theo cách nào cũng được, miễn làm sao nhanh chóng đi đến kết quả
. -Phương trình trở thành: f(t) = t
2
+ t - 3 = m (2)
- Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn - 2  x 6 tương đương Tìm m để phương trình
(2) có nghiệm t thỏa mãn 2

2) t 4
-Ta tìm được gtln, gtnn của hàm số y = f(t) = t
2
+ t – 3 ứng với 2

2) t 4 .
- Hàm số y = f(t) đồng biến trên

2


2 ; 4

.
Do đó gtnn Minf(t) = f(2

2 ) = 5 + 2

2 và gtln Maxf(t) = f(4) = 17.Suy ra:
Để phương trình đã cho có nghiệm, điều kiện : 5 + 2

2) m 17
Bài toán 2 :Tìm giá trị của m để phương trình : x +1 – m.


2
+ 1 = 0 (1) có nghiệm
Hƣớng dẫn : -Tập xác định của phương trình :x R
- Viết phương trình thành : f(x) =
+1


2
+1
= m (2)
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, suy ra kết quả
Bài toán 3 : Tìm giá trị thực của m để phương trình : cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0 (1)
có nghiệm x  
 
6
;


3


TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

2

Hƣớng dẫn :
Cách giải 1 :-Đặt t = cosx , ta có x  
 
6
;

3
 thì
1
2
 1
( Nhiều người nhầm đk của t .Hãy vẽ vòng tròn lượng giác, thì thấy ngay đk của t như trên.)
-Ta có pt ẩn t : f(t) = 2t
2
+ 6t + 1 = 2m (2)
- Phương trình (1) có nghiệm x  
 
6
;

3
 khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm t thỏa mãn

1
2
 1
- Hàm số y = f(t) = 2t
2
+ 6t + 1 đồng biến với:
1
2
 1
Do đó: Minf(t) = f(
1
2
) =
9
2
và Maxf(t) = f(1) = 9.
-Suy ra pt có nghiệm khi và chỉ khi :
9
2
2 9 Tức là :
9
4

9
2

Cách giải 2 : Phương trình cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0
-Viết thành : f(x) = cos2x + 6cosx + 2 = 2m .
-Tính đạo hàm,Thấy:f‟(x) = - 2sin2x – 6sinx = -2sinx.(3 + 2cosx) = 0 khi x = 0 ( Nhớ là x 


 
6
;

3

)
f‟(x) 0 khi x 

 
6
;

0


và f‟(x) 0 khi x 

0 ;

3


-Như vậy trên đoạn: x 

 
6
;

3


hàm số chỉ có một cực đại và không có cực tiểu
Do đó : Maxf(x) = y
cđ
= f(0) = 9 và Minf(x) = Min

(



6
) ;

(

3
) = f (

3
) =
9
2
.
( Vì ta có f(

6
) =
5
2
+ 3


3 f(

3
) =
9
2
)
-Suy ra :Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : :
9
2
2 9 Tức là :
9
4

9
2

Chú ý : Nếu bài toán 3 có thêm câu :Giải phương trình khi m = m
0
(Với m
0
là

giá trị đã cho ) thì phải
giải cách1, không nên giải như cách giải 2
Bài toán 4:Tìm giá trị của mR để phương trình: x
2
+ cosx
2

– (m + 1) = 0 có nghiệm x 

0 ;


2


Hƣớng dẫn : -Viết phương trình thành f(x) = x
2
+ cosx
2
– 1 = m
- Tính đạo hàm: f‟(x) = 2x – 2x.sinx
2
= 2x ( 1 – sinx
2
) .Thấy f‟(x) 0 , x 

0 ;


2

.
- Suy ra :Trên

0 ;



2

hàm số đồng biến.
Do đó : Minf(x) = f(0) = 0 và Maxf(x) = f(


2
) =

4
+ cos

4
– 1 =

4
+

2
2
– 1 =
2+2

2
4

Suy ra : Phương trình có nghiệm x 

0 ;



2

Khi và chỉ khi 0 m 
2+2

2
4

Chú ý: Từ việc giải bài toán :Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm, x (;  ) Có thể suy ra cách
giải bài toán tìm giá trị của m để phương trình f(x) = m không có nghiệm x (a;b)
-Phương trình f(x) = m không có nghiệm x  (a;b) Khi m không thuộc tập giá trị của hàm số
ứng với x  (a;b)
-Chẳng hạn ở bài tập 4, Thay câu hỏi thành ;Tìm m để phương trình không có nghiệm x

0 ;


2


Thì kết quả : m không thuộc 0 ;
2+2

2
4
 ( Tức là m<0 hoặc m>
2+2

2

4
)


TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

3

BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

1/ Xác định m để pt sau có nghiệm:
m(

1 + 
2
–

1 
2
+2) = 2

1 
4
+

1 + 
2
–

1 

2
(1)
Hd: t =

1 + 
2
–

1 
2
đk: -1 x 1 thì 0 t

2 ,ta có t
2
= 2 - 2

1 
4
nên

1 
4
=
2
2
2

Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t
2
+ t Hay là f(t) =


2
++2
+2
= m (2)
-Tìm Max ,Min của f(x) trên

0;

2

.Đk Min f(x) m Max f(x)
2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 2 1x mx x   
(1)
Hd: x -
1
2
Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) =
3
2
+41

= m (2)
-Hàm số f(x) đồng biến với mọi x : 
0

1
2


Do đó pt có 2 nghiệm khi m f(-
1
2
) =
9
2

3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực :
2
4
3 1 1 2 1x m x x    
(1)

Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho

+ 1 > 0 , được : 3( 
1
+1
4
)
2
+ m = 2. 
1
+1
4

- Đặt t = 
1
+1

4
ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t
2
+ 2t = m (2)
- Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1.
Đkiện Minf(x)  Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn

0; 1)

hàm số f(t) có Max= f(
1
3
) và không có Min
Do đó suy ra : f(1) m f(
1
3
) Tức là : - 1 m
1
3
(chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1)
4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt
2
2 8 ( 2)x x m x   
(1)
Hd: Đk x 2 .Viết pt thành (x -2)
2
+ 6(x-2) =

 .


2 





= 
3
+ 6= 
=

2 0

(2)
-P/trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình (2) có 2 nghiệm thực t/mãn t 0
Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t
2
+ 2 (Do t =

2 )
5/ Xác định m để pt sau có nghiệm:
2
( 1)(3 ) 2 3x x x x m    
(1)
Hd: Đkiện: – 1 x 3 .Viết p/trình thành

 
2
+ 2+ 3 = 
2

23 + 3m + 3 .
Đặt t =

 
2
+ 2+ 3
Thì 0  2 Ph/trình trở thành : - t
2
+ t = 3m + 3  f(t) = -
1
3
t
2
+
1
3
t - 1 = m (2)
-P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0  2
- Ta có trên

0; 2

:Maxf(t) = f(
1
2
) = -
11
12
; Minf(t) = f(2) = -
5

3
.Do đó p/trình có nghiệm khi: -
5
3
 m -
11
12

6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm :
22
4 5 4x x m x x    
(1)
Hd: txđ: R Viết p/trình : x
2
– 4x + 5 +


2
4+ 5 - 5 = m .Đặt t =


2
4+ 5 (*) , t 1.
-Ta có p/trình : f(t) = t
2
+ t – 5 = m (2)
- P/trình (1) có hai nghiệm khi p/trình (2) có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả
mãn t 1 thay vào (*) ta được hai giá trị x thuộc R,(với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2).Từ đó
suy ra : m f(1) = - 3  m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm .
7/ Xác định m để pt sau có nghiệm:

3 6 (3 )(6 )x x x x m      
(1)
TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

4

Hd: Đkiện: – 3 x 6 Đặt t =

3 + +

6  thì 0 t

6 ; Ta có :


3 + 

(6 ) =

2
9
2
.
Do đó ta có pt : f(t) =
1
2
t
2
– t -
9

2
= m (2)
-Để pt (1) có nghiệm : – 3 x 6 thì pt (2) phải có nghiệm t thoả mãn 0 t

6 Điều kiện m phải
thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t

6 .Tức là Minf(t) m Maxf(t) .Với 0 t

6 .
Ta có Minf(t) = f(1) = -5 và Maxf(t) = f(

6) =
32

6
2
.Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m
32

6
2

8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm :
4
4
13 1 0x x m x    
(1)
Hd: -Viết pt thành



4
13+ 
4
= 1 – x .Đkiện : x 1
- Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x
4
– 13x + m = x
4
– 4x
3
+ 6x
2
– 4x + 1
Hay là f(x) = – 4x
3
+ 6x
2
+ 9x + 1 = m . (2)
-Tính đạo hàm f „(x) = - 12x
2
+12x +9 = 0 khi x
1
= -
1
2
, x
2
=
3

2
… (Lập bảng biến thiên)
- Suy ra :Để pt (1) có đúng một nghiệm thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 mặc dù pt (2) có hai nghiệm
nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1) Vậy m 9
9/ Xác định m để pt sau có nghiệm :



2
2
+  = 3 - x
Hd:
Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x
2
+ mx = x
2
– 6x + 9  - x
2
- 6x + 9 = mx
-Chia hai vế cho x 0 được pt : f(x) =

2
6+9

= m  f(x) = - x – 6 +
9

= m ,có f „(x)= -1-
9


2
0
với

3
0

Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m  R
10/ Xác định m để pt sau có nghiệm :
mxxxx  11
22

Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) =


2
+ + 1 -


2
+ 1 để suy ra kết quả
mong muốn
11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất :
3
22
1 2 1x x m   
(1)
Hd: Đkiện: – 1 x 1 .Đặt t =

1 

2
6
thì 0 t 1 p/trình trở thành : f(t) = t
3
+ 2t
2
= m (2)
-Pt (1) có nghiệm thoả mãn – 1 x 1  pt (2) có nghiệm thoả mãn 0 t 1 .
- Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả.
12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất :

3
4
1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m      

13/ Xác định m để pt sau có nghiệm:

 +

9  =


2
+ 9 + m (1)
Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t =

 +

9  thì 0 t  3 .Vì t
2

= 9 + 2


2
+ 9 


2
+ 9 =

2
9
2

Ta có ptrình : t =

2
9
2
+ m . Hay là f(t) = -

2
2
+ t +
9
2
= m (2)
-Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t  3
-Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên


0; 3

.Ta có Minf(t) = f(3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5. Vậy 3 m 5
Thì pt đã cho có nghiệm .
14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:(m – 4)9
x
–2(m -2)3
x
+ m – 1=0 (1)
Hd: Txđ : R .
-Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt .Do đó viết pt thành : m =
4.9

4.3

+1
9

2.3

+1
 m =
(2.3
x
1)
2
(3
x
1)
2

.(*)
Suy ra :- Đk cần : m 0 .
TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN

5

-Đk đủ:Từ pt (*) có

 =

2 +
1
3

1




 = 2 +
1
3

1

 =  2 
1
3

1




3

=

 1

  2
3

=

 +1


 + 2


 (vì 3

> 0  )


 

0;1




4 ;+∞)

0

- Vậy m 

0 ;

+ ∞) thì pt có nghiệm
15/Cho phương trình : 4

1
2
2
1

1
2
= m với m là tham số. (1)
- Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm.
Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 2

1
2
thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t
2
-
2


= m (2)
- Tìm m để pt (1) có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt (2) có
nghiệm t thoả mãn 1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên

1 ; 2

thì Minf(t) m Maxf(t) .
– Ta có f „(t) = 2t +
2

2
0 với mọi t thuộc

1 ; 2

Suy ra Minf(t) = f(1) = - 1 Maxf(t) = f(2) = 3.
-Vậy -13 thì pt có nghiệm
16/ Cho phương trình : 2
2+1
 2
+3
 2 = 0 (1)
a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b)Giải phương trình với m=32
Hd: -Đặt t = 2
x
, t 0 Viết pt thành f(t) = t
2
– 4t = m (2) – P/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi pt (2)

có 2 nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho một giá trị x .( x = log
2
 suy ra từ t = 2
x
)
– Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0
(Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t
2
– 4t tại hai điểm với hoành độ dương )

- Đón đọc kỳ tới với chủ đề :
Tìm giá trị của tham số m  R để Bất phƣơng trình: f(x) > m ; f(x) m ;
f(x)< m ; f(x)  m có nghiệm x 

 ; 
