DẠNG TOÁN tìm điều KIỆN của THAM số m

D NG TOÁN TÌM I U KI N C A THAM S mẠ Đ Ề Ệ Ủ Ố
HÀM S N I U TRÊN M T KHO NGĐỂ ỐĐƠ Đ Ệ Ộ Ả
Các b n thân m n! 
D ng toán tìm i u ki n c a tham sđ ề ệ ủ ố m hàm sđể ố f(x) ng bi n (ngh ch bi n) trên 1 đồ ế ị ế
kho ngả là m t d ng bài th ng g p khi thi i h c. M t s sách tham kh o th ng gi i các bài toán          
d ng này b ng cách s d ng nh lý o v d u c a tam th c b c hai. nh lý này hi n nay ã              
không còn c h c trong ch ng trình THPT n a. Do ó cách gi i nh v y là không h p l trong          
kì thi TS H. D i ây, mình trình bày m t vài ví d v cách gi i các bài toán d ng này.       
I - Nh c l i lý thuy tắ ạ ế
1) Cho hàm s y=f(x) xác nh trên kho ng  K; ∀x1,x2∈K;x1<x2 Khi ó:
f(x) ng bi n trên  K ⇔f(x1)<f(x2)
f(x) ngh ch bi n bi n trên   K ⇔f(x1)>f(x2)
2) M i liên h gi a tính ch t n i u c a hàm s và d u c a o hàm:           
f′(x)≥0,∀x∈K thì f(x) ng bi n trên  K
f′(x)≤0,∀x∈K thì f(x) ngh ch bi n trên  K
(D u “ =” ch x y ra t i m t s h u h n i m).         
II - Ví d :ụ
Ví d 1ụ . Tim i u ki n c a tham s      m ê ham sô    f(x)=2x3+3x2+6mx–1 nghich biên 
trên (0;2).
Giai
TX : R
Ta co f′(x)=6x2+6x+6m=6(x2+x+m).
Δ=1–4m.
*) V i m≥14 ta co Δ≤0 nên f′(x)≥0,∀x∈R. Do o ham sô luôn ông biên. Yêu câu cua bai          
toan không c thoa man.   !
*) V i m<14 ta co Δ>0 nên ph ng trình f′(x)=0 co hai nghiêm x1,x2(x1<x2). Bang 
biên thiên cua ham sô    f(x)
T bang biên thiên, iêu kiên cân va u ê ham sô"             f(x) nghich biên trên  (0;2) la:
x1≤0<2≤x2⇔{x1x2≤0(x1−2)(x2−2)≤0⇔{m≤0m≤−6⇔m≤−6
Kết luận: hm sô f(x) nghch biến trên (0;2) khi v ch khi m≤−6.
 !"#!!$"$

"!%&'(#!)!!*+!,#-
./Δ≤0-/"01!!234&!23!5!&-
./(Δ>0.'#&)&!6075!8 "!%&'!!2
5!9:;-
Xin đưa thêm một sô ví dụ:
Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham sô m đ' hm sô sau đ(ng biến trên kho*ng (−∞;1)
f(x)=x2+m(m2−1)x−m3−1x−1
Giai
TX : : R∖{1}
Ta co: f′(x)=x2−2x+m+1(x−1)2,∀x≠1
dâu cua  f′(x) phu thuôc dâu cua   g(x)=x2–2x+m+1
Ta co: Δ′=−m.
* Nêu m≥0 thi Δ′≤0 nên g(x)≥0,∀x⇒f′(x)≥0,∀x≠1. Khi o ham sô a cho ông biên      !   
trên t ng khoang xac inh. Do o cung ông biên trên"      !    (−∞;1)
* Nêu m<0 thi Δ′>0. Khi o ph ng trình   f′(x)=0 co hai nghiêm phân 
biêt x1,x2(x1<1<x2).
Ta co bang biên thiên cua    f(x)
D a vao bang biên thiên, ta thây trong tr ng h p nay, không co gia tri nao cua m thoa man yêu #             !
câu bai toan.  
K t lu n: V i   m≥0 thi ham sô   f(x) ông biên trên   (−∞;1).
Ví d 3ụ . Tim i u ki n c a tham s      m ê ham sô    f(x)=x3–3mx2+3(2m–1)x ông biên   
trên (2;3).
Giai
TX : R
Ta co f′(x)=3x2–6mx+6m–3; f′(x)=0⇔[x=1x=2m−1
* Nêu m=1 thi f′(x)≥0,∀x∈R. Vây ham sô luôn ông biên trên      R.
Do o ham sô cung ông biên trên    !    (2;3).
* Nêu m>1 thi ta co bang biên thiên cua     f(x)
D a vao bang biên thiên, ta thây trong tr ng h p nay, iêu kiên cân va u ê ham sô ông biên #                    
trên (2;3) la:

1<2m–1≤2⇔1<m≤32
* Nêu m<1 thi ta co bang biên thiên cua     f(x)
D th y ham sô hiên nhiên ông biên trên$        (2;3)
Kêt luân: i u ki n c n và ê ham sô a cho ông biên trên    %       !    (2;3) la:
m≤32
III – Bài t pậ :
M i các b n làm thêm m t s bài t p:    
1) Bài t p 5 tr.8 (SGK GT 12NC), bài t p 8 tr. 44 (SGK GT 12CB), bài 1.81 tr.27 (SBT GT 12NC) 
2) Tim m ê ham sô    y=x3+(m–1)x2–(2m2+3m+2)x ông biên trên   (2;+∞).
3) Tim m ê ham sô    y=(m+1)x3+mx2–x ông biên trên   (−∞;−1).
4) Tim m ê ham sô    y=x2+x+1x−m ông biên trên   (2;+∞).
5) ( H Hang Hai 2000-2001Đ ̀ ̉ ) Tim m ê ham sô    y=−13x3+(m–1)x2–(m–3)x–4 ông  
biên trên (0;3).
Đi8u Ki<n Đ= Hàm S Đ>n Đi<u
Trên M$t Kho)ng Cho Trc
8






7 Votes
Có hai phương pháp chính để giải các bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1: Rút theo , rồi dựa vào bài toán cụ thể để tìm .
PP2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận.
Ví dụ 1. (A-2013) Tìm để hàm số nghịch biến trên .
Lời giải. Ta có .
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
.

Xét hàm số trên có .
Bảng biến thiên: .
Từ bảng biên thiên ta có .
Vậy với , hàm số đã cho nghịch biến trên .
Ví dụ 2. Tìm để hàm số đồng biến trên .
Lời giải. Ta có: .
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
.
Xét hàm số trên có .
Bảng biến thiên: .
Từ bảng biến thiên suy ra .
Vậy với , hàm số đã cho luôn đồng biến trên .
Ví dụ 3. Tìm để hàm số đồng biến
trên .
Lời giải. Ta có: ;
.
Với , ta có hàm số luôn đồng biến trên
Do đó hàm số đồng biến trên nên thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với , ta có .
Bảng biến thiên: .
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên
.
Với , ta có (loại).
Với , ta có (thỏa mãn).
Vậy với hoặc , hàm số đã cho đồng biến trên .
Ví dụ 4. Tìm để hàm số đồng biến trên .
Lời giải. Tập xác định: .
Ta có: .
Hàm số đồng biến trên
.

Xét hàm số trên có .
Bảng biến thiên: .
Từ bảng biến thiên ta có .
Vậy với , hàm số đã cho đồng biến trên .
Ví dụ 5. Tìm để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Lời giải. Ta có: ; .
Với
hàm số luôn đồng biến trên , mâu thuẫn giả thiết.
Do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với có hai nghiệm .
Bảng biến thiên: .
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ
khi (thỏa mãn).
Vậy với , hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Nhận xét: Đối với các bài toán có bậc nhất và có khoảng đơn điệu cụ thể nên
dùngPP1 còn các bài toán có bậc lớn hơn 1 và khoảng đơn điệu không cụ thể phải
dùngPP2.