Tìm tập hợp điểm- Quỹ tích chuẩn

T×m tËp hîp ®iÓm trong ch¬ng tr×nh THCS
§inh V¨n Tíc TrêngTHCS Gia Phong - Gia ViÔn - Ninh B×nh
1
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Mục lục
Mục lục..........................................................................................................
A. Lời nói đầu...............................................................................................
B. Nội dung.................................................................................................
Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm...............................
1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích).........................................................
2. Phơng pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm.....................................
3. Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm........................................................
4. Một vài phơng pháp khác giải bài toán quỹ tích...................................
Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản................................................................
I. Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng......................
1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung trực.......
2. Tập hợp điểm là tia phân giác..................................................................
3. Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song...........................................
4. Tập hợp điểm là một đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc..
5. Tập hợp điểm là đờng thẳng hợp với đờng thẳng cố định một góc không
đổi........................................................................................................
II. Tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn.....................
1. Tập hợp điểm là đờng tròn .......................................................................
2. Tập hợp điểm là cung tròn.........................................................................
Phần III. ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán.....................................
Phần iv. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm.......................................
I. Các bài toán tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần của đoạn thẳng
Ii. Các bài toán tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn.
C. Thực nghiệm.............................................................................................
Phần IV. Kết luận.........................................................................................
Phần V. Phụ lục.............................................................................................

trang 2
trang 3
trang 5
trang 5
trang 5
trang 5
trang 6
trang 6
trang 8
trang 8
trang 8
trang 11
trang 15
trang 17
trang 20
trang 22
trang 22
trang 27
trang 32
trang 34
trang 34
trang 38
trang 42
trang 60
trang 61
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
2
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
A. Lời nói đầu
Môn toán là môn học có tính thực tế rất cao. Nó ảnh hởng lớn đến đời sống

con ngời, ảnh hởng đến các môn khoa học khác. Một nhà t tởng Anh đã nói: Ai
không hiểu biết Toán học thì không thể hiểu biết bất cứ khoa học nào khác và
cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình. Vì thế dạy học môn
toán luôn đợc mọi ngành giáo dục và mọi quốc gia coi trọng. Nhất là trong thời
đại ngày nay.
Trong dạy và học toán ở cấp học THCS có lẽ dạy và học môn hình học là
khó hơn cả. Đa phần học sinh khi đợc hỏi: Em có thích học môn hình học
không? Vì sao? , đều trả lời: em không thích, vì môn này khó hiểu, khó học .
Đặc biệt khi đứng trớc yêu cầu giải bài toán về tìm tập hợp điểm (quỹ tích) thì
nhiều học sinh có tâm trạng lo sợ, ngại vì khó. Khái niệm quỹ tích của hình học
phẳng là cơ sở quan trọng của toán cao cấp nhng đối với học sinh THCS khái niệm
này trừu tợng, số lợng sách nói về quỹ tích không nhiều, không đủ cho học sinh
hiểu, nếu có cũng chỉ là giới thiệu vì cho rằng đây là vấn đề dành cho học sinh khá
và giỏi. Hơn nữa, nếu nh ở bài toán chứng minh hình học thông thờng đề bài đã
cho biết kết luận rồi, chẳng hạn nh bài toán yêu cầu chứng minh : tứ giác nội tiếp,
hai đờng thẳng song song, hai góc bằng nhau.... vì thế học sinh đã biết đợc cái
đích cần đạt đợc, chỉ cần tìm con đờng đi tới đích là đợc. Trái lại, ở bài toán tìm
tập hợp điểm học sinh nh ngời đi trong bóng tối, mù mịt, băn khoăn, cha biết tập
hợp điểm cần tìm là gì, nên hớng về đâu, đi theo con đờng nào và đi đến kết luận
nào mới đúng.
Tuy nhiên, bài toán về tập hợp điểm (quỹ tích) góp phần không nhỏ vào
việc phát triển t duy logic, rèn óc sáng tạo, hình thành và phát triển nhân cách cho
học sinh, rèn luyện cho học sinh khả năng phán đoán chính xác, khả năng phân
tích, tổng hợp... góp phần tích cực vào việc thực hiện mục tiêu mà ngành giáo dục
đặt ra cho môn toán và mục tiêu chung của giáo dục. Vì thế tập hợp điểm là vấn đề
thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 ở cấp huyện, thành phố và
quốc gia, thi tuyển vào lớp 10 ở các trờng chuyên, trờng năng khiếu.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
3
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS

Chính vì những lẽ đó mà tôi chọn chủ đề: Tìm tập hợp điểm trong ch -
ơng trình THCS . Đề tài gồm các nội dung chính sau:
Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm
Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản
Phần III. ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán
Phần iv. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm
Phần IV. Kết luận
Đề tài đợc viết dựa trên những kết quả học tập, những kinh nghiệm thực tế
dạy học của bản thân có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp trong và ngoài
trờng, tuy nhiên không tránh khỏi sai sót của ngời viết. Dẫu vậy, tôi hy vọng các
quan điểm đợc nêu ra trong đề tài góp phần thuận lợi cho việc dạy và học toán
đồng thời đáp ứng phần nào nguyện vọng của một số thày cô và học sinh, phụ
huynh yêu thích môn toán và nhằm góp phần nhỏ bé giúp thày và trò hoàn thành
mục tiêu mà ngành giáo dục đề ra.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
4
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
B. Nội dung
Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm
1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích)
Một hình H đợc gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất
T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T
2. Phơng pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm
Để tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất T, ta làm nh sau:
B ớc 1: Tìm cách giải.
- Xác định các yếu tố cố định và không đổi
- Xác định các điều kiện của điểm M
- Dự đoán tập hợp điểm
B ớc 2: Trình bày lời giải
a. Phần thuận

Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H
b. Giới hạn:
Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H,
hoặc một phần B của hình H (nếu đợc)
Vẽ B và H
c. Phần đảo:
Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã đợc giới hạn) có tính chất T. Th-
ờng làm nh sau:
+ Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã đợc giới hạn), giả sử tính chất T
gồm n điều kiện (1; 2; 3; ...; n)
+ Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn
n-1 điều kiện trong tính chất T
+ Chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại
d. Kết luận:
Tập hợp điểm M là hình H
Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
5
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Chú ý:
- Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố
chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm.
- Nếu bài toán chỉ hỏi Điểm M chuyển động trên đờng nào? thì ta chỉ
trình bày phần a.; b; d; ( không chứng minh phần đảo)
- Giải bài toán tập hợp điểm thờng là tìm cách đa về tập hợp điểm cơ bản đã
học
- Để khỏi vẽ hình lại khi chứng minh phần đảo tên các điểm trong phần đảo
nên giữ nguyên nh phần thuận.
3. Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm.
Trong trờng hợp tập hợp điểm cần tìm chỉ là một phần B của hình H là tập

hợp điểm cơ bản, cần xác định phần B tức là chỉ rõ phần nào của hình H thoả mãn
điều kiện của bài toán, quá trình này gọi là tìm giới hạn của quỹ tích (tập hợp
điểm).
Thờng dùng hai phơng pháp sau để tìm giới hạn của tập hợp điểm:
Phơng pháp 1: Phơng pháp phần giao.
Sau khi xác định đợc điểm M phải thuộc hình H là tập hợp điểm cơ bản, dựa
vào giả thiết của bài toán xét xem M thuộc vào miền nào của mặt phẳng. Phần
giao của hình H và miền này cho ta tập hợp điểm M
Phơng pháp 2: Phơng pháp vị trí giới hạn
Trong bài toán nếu có điểm chuyển động, chẳng hạn nh điểm A chuyển
động, kéo theo sự chuyển động của điểm M cần tìm tập hợp điểm. Từ các vị trí
giới hạn của điểm A ta tìm ra vị trí tơng ứng của M trên hình H.
Sau khi đã xác định đợc, tập hợp điểm M thuộc hình H là tập hợp điểm cơ
bản.
4. Một vài phơng pháp khác giải bài toán quỹ tích
Một bài toán tập hợp điểm còn có thể tìm đợc lời giải bằng các phơng pháp
khác. Chẳng hạn:
1- Phơng pháp chứng minh mệnh đề đảo và mệnh đề phản đảo:
+ Bớc 1:
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
6
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
- Xác định các yếu tố cố định và không đổi
- Xác định các điều kiện của điểm M
- Dự đoán tập hợp điểm là hình H
+ Bớc 2: Chứng minh mệnh đề đảo, tức là chứng minh Mọi điểm M thuộc
hình H thì có tính chất T
+ Bớc 3: Chứng minh mệnh đề phản đảo, chứng minh Lấy điểm M bất kỳ
không thuộc hình H thì M không có tính chất T
+ Bớc 4: Kết luận quỹ tích các điểm M là hình H.

2- Bằng phơng pháp đại số:
Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxy. Gọi M (x;y) là điểm thuộc tập hợp
điểm cần tìm. Tìm mối liên hệ giữa x và y, hệ thức này chính là phơng trình chứa
tập hợp điểm M cần tìm.
Nếu hệ thức có dạng y= ax + b hoặc: x = a và y R ( a, b là hằng số) hoặc
những hệ thức tơng tự thì M thuộc đờng thẳng. Trái lại, thì M có thể thuộc đờng
cong.
Tuy nhiên phơng pháp chủ yếu đối với chơng trình THCS thì vẫn là phơng
pháp đã trình bày ở trên.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
7
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản
I/ Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng
1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung
trực
a. Tóm tắt lí thuyết:
Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt
A, B cố định là đờng trung trực d của đoạn thẳng AB
b. Các bài toán:
Bài toán 1:
Cho hình vuông ABCD, Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng
sao cho : MA +MB = MC +MD
Hớng dẫn giải
a. Phần thuận:
Dựng đờng thẳng d đi qua tâm O của
hình vuông và d // AB, DC. Khi đó d là đờng
trung trực của AD và của BC .
Ta thấy, với mọi điểm M không thuộc
đờng thẳng d thì ta có: MA + MB MC + MD:

MA +MB > MC +MD khi điểm M nằm khác phía với điểm A so với
đờng thẳng d ;
MA +MB < MC +MD khi điểm M nằm cùng phía với điểm A so với
đờng thẳng d. Vậy M thuộc đờng trung trực d của AD và BC
b. Giới hạn:
Mọi điểm M thuộc d đều có MA = MD; MB = MC
MA +MB = MC +MD. Vậy M thuộc đờng thẳng d.
c. Phần đảo:
Lấy M bất kỳ thuộc đờng thẳng d thì ta có : MA = MD; MB = MC
MA +MB = MC +MD.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
8
M
A B
d
B
A
C
D
O
d
M
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
d. Kết luận
Tập hợp điểm M cần tìm là đờng trung trực của AD và BC.
Bài toán 2:
Cho góc xOy = 90
0
. Một điểm B cố định trên tia
Oy và một điểm A di động trên tia Ox. Tìm tập hợp trung điểm M của AB. ( Bài

tập 6 trang 82 SGKHH7-NXBGD-1996)
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:
OAB có Ô = 90
0
, OM là trung tuyến nên
OM = MA = MB =
2
AB
MO = MB, mà O và B cố định. Do đó M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng
OB.
b. Giới hạn quỹ tích:
Khi A O, thì M M ( M là trung điểm của OB )
Khi điểm A chạy trên tia Ox ra xa O vô tận thì M chạy ra xa M vô tận trên
tia Mz.
Vậy M thuộc tia Mz,với tia Mz thuộc đờng thẳng trung trực của đoạn
thẳng OB và thuộc miền trong góc xOy.
c. Phần đảo
Lấy điểm M bất kì thuộc tia Mz, kẻ BM cắt tia Ox tại A. M thuộc trung trực
của đoạn thẳng OB MO = MB MOB = MBO (1). (góc MOB bằng góc
MBO)
Mặt khác OAB có AOB = 90
0
nên MBO + MAO = 90
0
(2) và BOM +
MOA = 90
0
(3)
Từ (1), (2), (3) MAO = MOA MO = MA

Vậy ta có: MO = MB, MO = MA MA = MB.
Do đó M là trung điểm của AB.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
9
A
B
M
O
y
M
x
z
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
d. Kết luận:
Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB là tia Mz thuộc đờng thẳng trung
trực của đoạn thẳng OB và thuộc miền trong góc xOy.
Bài toán 3:
Cho góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Gọi B là điểm
di động trên tia Ox, C là điểm di động trên tia Oy, sao cho ABC vuông tại A.
Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC, tìm tập hợp điểm M. ( Dựa theo bài tập
48 Tr118- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8- NXBGD- Bùi Văn
Tuyên)
Hớng dẫn giải
a. Phần thuận:
OBC có Ô = 90
0
, OM là trung tuyến
Nên OM =
2
1

BC
ABC có Â = 90
0
, AM là trung tuyến nên
AM =
2
1
BC OM = AM
Mà hai điểm O và A cố định, nên M thuộc trung trực của đoạn thẳng AO
b. Giới hạn :
Khi B O thì M M
1

( M
1
là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Oy)
Khi C O thì M M
2
( M
2
là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Ox)
Vậy M thuộc đoạn thẳng M
1
M
2
của đờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm
trong góc xOy.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc đoạn thẳng M
1

M
2
, khi đó ta có: MO = MA ( vì đ-
ờng thẳng M
1
M
2
là trung trực của OA ).
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
10
x
y
A
M
O
B
C
M
1
M
2
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Vẽ đờng tròn (M, MO) đờng tròn này qua A và cắt Ox tại B, cắt Oy tại C. Vì
BOC = 90
0
BC là đờng kính của đờng tròn (M, MO) M là trung điểm của
BC.
d. Kết luận:
Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BC là đoạn thẳng M
1

M
2
thuộc đ-
ờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc vuông xOy ( với M
1
, M
2
là
giao điểm của đờng trung trực của đoạn thẳng OA với tia Ox và tia Oy)
2. Tập hợp điểm là tia phân giác
a. Tóm tắt lý thuyết:
Định lí:
Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy
(khác góc bẹt) và cách đều hai cạnh
của góc là tia phân giác của góc đó.
Hệ quả:
Tập hợp các điểm M cách đều hai đờng thẳng
cắt nhau xOx và yOy là bốn tia phân giác
của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành
hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại
giao điểm O của hai đờng thẳng đó.
b. Các bài toán:
Bài toán 1:
Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển
động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho ABC vuông cân tại C.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
11
z
y
x

O
O
x

x
y

y
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Hớng dẫn giải:
a.Phần thuận:
Vẽ CH Ox ( H Ox), CK Oy ( K Oy)
Xét CAH ( H = 90
0
), và CBK ( K = 90
0
)
Có: CA = BC ( ABC vuông cân tại C)
CAH = CBK ( hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc).
Do đó CAH = CBK( cạnh huyền góc nhọn)
CH = CK; xOy cố định, do đó C thuộc tia phân giác Oz của góc vuông xOy.
b. Giới hạn:
Khi B O thì C C; C là phân giác Oz và COA vuông cân tại C
Khi B chạy xa O vô tận trên tia Oy thì C chạy xa O vô tận trên tia Oz
Vậy C chuyển động trên tia Cz của tia phân giác Oz của góc xOy
c. Phần đảo:
Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia Cz . Vẽ đờng thẳng vuông góc CA tại C cắt tia
Oy tại B. Vẽ CH Ox ( H Ox); CK Oy (K Oy), ta có CH = CK,
KHC =90
0

. Xét CAH và CBK có: CHA = BKC ( = 90
0
); CH = CK ;
ACH= BCK ( hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc), do đó CAH =
CBH (góc- cạnh góc) CA = CB
ABC vuông tại C, có CA = CB ABC vuông cân tại C.
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm C là tia Cz của tia phân giác Oz của góc xOy.
Bài toán 2:
Cho hai đờng thẳng cắt nhau tại điểm A. Tìm tập hợp tâm các đờng tròn tiếp
xúc với hai đờng thẳng đó.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
12
y
O
K
B z
x
C
H
A
C
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:
Gọi xx và yy là hai đờng thẳng cắt nhau tại A. Đờng tròn (O, R) tiếp xúc
với hai đờng thẳng tại B và C ( B xx, C yy)
Ta có OB xx; OC yy; OB = OC (= R)
O thuộc hai đờng thẳng cắt nhau
zAz và tAt, là bốn tia phân giác

của bốn góc tạo thành bởi hai đờng
thẳng xAx và yAy
b. Giới hạn:
O là điểm tuỳ ý trên hai đờng thẳng zAz
và tAt đều vẽ đợc đờng tròn (O) tiếp xúc
với hai đờng thẳng xAx và yAy
c. Phần đảo:
Lấy O bất kỳ thuộc đờng thẳng zAz, kẻ OB xx ; OC yy
Ta có: OB = OC đờng tròn (O, OB) tiếp xúp với hai đờng thẳng xAx và yAy.
Chứng minh tơng tự khi lấy O bất kì thuộc đờng thẳng tAt.
d. Kết luận:
Tập hợp các tâm O của các đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng xx và yy
cắt nhau tại A là hai đờng thẳng zAz và tAt chứa bốn tia phân giác của bốn góc
tạo thành bởi hai đờng thẳng xAx và yAy.
Bài tập 3:
Cho góc xOy, trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho
OB
OA
=
2
1
Tìm tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy sao cho tỉ số diện tích giữa tam giác
MOA và tam giác MOB là
2
1
.
Hớng dẫn giải:
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
13
A

x
y x
y
t
t
z
z
B
C
O
O
y
x
z
M
I
J
A
B
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
a. Phần thuận:
Kẻ MI Oy; MJ Ox.
Diện tích MOA:
S

MOA

=
2
1

MJ. OA
Diện tích MOB:
S

MOB
=
2
1
MI. OB
S

MOA
=
2
1
MJ. OA = MJ. OA
S

MOB
2
1
MI. OB MI. OB
Theo giả thiết
OB
OA
=
2
1
S

MOA
/ S

MOB
=
2
1
.
MI
MJ

MI
MJ
= 1 MJ = MJ M thuộc tia phân giác Oz của góc xOy.
b. Giới hạn
Để tồn tại tỉ số
OB
OA
thì OB , OA khác 0 M khác O.
Khi A, B chạy xa O vô tận trên hai tia Ox, Oy thì M chạy xa vô tận trên tia
Oz.
Vậy điểm M thuộc tia phân giác Oz của góc xOy ( trừ điểm O)
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia phân giác của góc xOy M khác O; trên Ox lấy
điểm A; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB = 2OA; kẻ MI Oy; MJ Ox (J
Ox; I Oy)
Diện tích MOA: S

MOA

=
2
1
MJ. OA
Diện tích MOB: S

MOB
=
2
1
MI. OB
Suy ra:
S

MOA
=
2
1
MJ. OA
=
MJ. OA
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
14
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
S

MOB
2
1
MI. OB MI. OB

Mà MI = MJ ( M thuộc tia phân giác của góc xOy) , OB = 2 OA,
nên S

MOA
/ S

MOB
=
2
1
.
d. Kết luận
Tập hợp điểm M cần tìm là tia phân giác Oz của góc xOy, loại trừ điểm
3. Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song
a. Tóm tắt lý thuyết:
Định lý:
Tập hợp các điểm M cách đờng thẳng
h cho trớc một khoảng bằng a ( a > 0)
cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thắng đã cho và cách đờng
thẳng đó bằng a.
b. Các bài toán:
Bài toán 1:
Cho ABC, điểm D chuyển động trên BC. Vẽ DE song song với AC; DF
song song với AB (E AB; F AC). Tìm tập hợp điểm O là trung điểm của EF.
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:
Vì DE // AB; DF // AC tứ giác AEDF là
hình bình hành suy ra trung điểm O của
đờng chéo EF cũng là trung điểm của
đờng chéo AD.

Vẽ đờng cao AH, vẽ OK BC (K BC)
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
15
a
M
M
d
d
h
A
M
E
N
O
B
KH
F
CD
a
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Vì OK // AH, O là trung điểm của AD nên OK là đờng trung bình của ADH
OK =
2
1
AH ( không đổi). Điểm O cách đờng thẳng BC một khoảng không đổi
2
1
AH nên O nằm trên đờng thẳng a // BC và cách BC một khoảng
2
1

AH
b. Giới hạn:
Khi D B thì O M ; khi D C thì O N
Vậy điểm O di động trên đờng trung bình MN của ABC
c. Phần đảo:
Lấy O bất kỳ thuộc đờng trung bình MN của ABC, khi đó O là trung điểm
của AD. Kẻ AO cắt BC tại D.
Từ D kẻ DE // AC, DF // AC (E AB; F AC), ta có tứ giác AEDF là hình bình
hành.
Vì O là trung điểm của đờng chéo AD nên O cũng là trung điểm của đờng
chéo EF của hình bình hành AEDF.
d. Kết luận:
Tập hợp trung điểm O của EF là đờng trung bình MN của ABC với M, N
thuộc các cạnh AB và AC.
Bài toán 2:
Cho đờng thẳng a. Tìm tập hợp tâm của các đờng tròn có bán kính R
(R > 0) tiếp xúc với đờng thẳng a.
Hớng dẫn giải
a. Phần thuận:
Gọi O là tâm đờng tròn bán kính R
tiếp xúc với đờng thẳng a, ta có
khoảng cách từ O đến đờng thẳng a luôn bằng R.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
16
O
y
H
x
a
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS

Do đó, O thuộc đờng thẳng x và đờng thẳng y sông song với đờng thẳng a và
cách đờng thẳng a một khoảng bằng R.
b. Giới hạn:
O là điểm tuỳ ý trên hai đờng thẳng x hoặc y đều vẽ đợc đờng tròn (O,R) tiếp
xúc với đờng thẳng a.
c. Phần đảo:
Lấy điểm O bất kỳ thuộc đờng thẳng x hoặc đờng thẳng y.
Vẽ OH a (H a), ta có OH = R. Vẽ đờng tròn (O; OH).
Vì OH = R nên đờng tròn (O; OH) tiếp xúc với đờng thẳng a
d. Kết luận:
Tập hợp tâm O của các đờng tròn có bán kính R tiếp xúc với đờng thẳng a là
hai đờng thẳng x và y song song với đờng thẳng a và cách đờng thẳng a một
khoảng bằng R.
4. Tập hợp điểm là một đờng thẳng song song với đờng thẳng
cho trớc
a. Tóm tắt lý thuyết:
Định lí:
Tập hợp các điểm cách đều
hai đờng thẳng song song
cho trớc là một đờng thẳng song song và nằm cách đều hai đờng thẳng đã cho
b. Các bài toán:
Bài toán 1:
Cho hai đờng thẳng song song d và d cách nhau một khoảng bằng h (h>0).
Tìm tập hợp tâm O của các đờng tròn tiếp xúc với cả hai đờng thẳng d và d.
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
17
a
M

d
d
O
d
B
A
a
d
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Kẻ OA d ( A d); OB d ( B d)
Ta có: d // d ( gt), OA d OA d
OA d, OB d A, O, B thẳng hàng
OA = OB = R OA = OB = R =
2
1
AB=
2
1
h
O cách đều hai đờng thẳng d và d
O thuộc đờng thẳng a nằm giữa hai đờng thẳng d và d
cách mỗi đờng thẳng đó một khoảng
2
1
h.
b. Giới hạn:
O là điểm tuỳ ý trên đờng thẳng a đều vẽ đợc đờng tròn tiếp xúc với hai đờng
thẳng d và d.
c. Phần đảo:
Lấy O bất kì thuộc đờng thẳng a, kẻ OA d; OB d ( A d; B d)

Khi đó ta có: OA = OB =
2
1
h . Vẽ (O;
2
1
h) A (O;
2
1
h); B (O;
2
1
h)
(O;
2
1
h) tiếp xúc với đờng thẳng d và d.Vậy O thuộc đờng thẳng a.
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm O tâm của các đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng d và
d song song cách nhau một khoảng bằng h ( h > 0) là một đờng thẳng a nằm giữa
hai đờng thẳng d và d cách mỗi đờng thẳng một khoảng bằng
2
1
h.
Bài toán 2:
Cho một đờng thẳng d và một điểm A không nằm trên d cùng cố định. Gọi
(O) là một đờng tròn di động qua A và tiếp xúc với d tại B. Tìm tập hợp hình
chiếu M của tâm O xuống AB.
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:

Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
18
O
H
N B
d

A
M
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Kẻ OM AB, khi đó M là hình chiếu của điểm O
trên AB, và MA = MB ( đờng kính và dây cung)
Kẻ AH d , do Avà d cố định nên AH cố định .
Kẻ MN d, do MA = MB nên MN =
2
1
AH
Vậy điểm M di động nhng luôn cách đờng thẳng d một khoảng không đổi
bằng
2
1
AH và M luôn nằm cùng phía với A so với đờng thẳng d. Vậy điểm M
thuộc đờng thẳng // d cách đờng thẳng d một khoảng
2
1
AH, đi qua trung điểm
của AH.
b. Giới hạn:
Với M là điểm tuỳ ý trên luôn là hình chiếu của một điểm O là tâm của
một đờng tròn qua A và tiếp xúc với đờng thẳng d.

c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc , nối A với M cắt d tại B; dựng O là giao điểm
của đờng thẳng vuông góc với AB tại M và đờng thẳng vuông góc với d tại B.
Vì đờng thẳng // d và đi qua trung điểm của AH M là trung điểm của
AB. Mà OM AB OM là đờng trung trực của đoạn thẳng AB
OA=OB . Vẽ đờng tròn tâm O bán kính OA, khi đó B (O; OA). Vì OB d,
B d, B (O; OA) (O; OA) tiếp xúc với đờng thẳng d.
d. Kết luận: Tập hợp hình chiếu tâm O của đờng tròn đi qua điểm A và tiếp xúc
với đờng thẳng d cố định là đờng thẳng // d nằm cùng một nửa mặt phẳng với
điểm A bờ là đờng thẳng d, cách đờng thẳng a một khoảng bằng nửa khoảng cách
từ điểm A đến d.
5. Tập hợp điểm là đờng thẳng hợp với đờng thẳng cố định một
góc không đổi
Bài toán 1:
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
19