SKKN tìm tập hợp điểm

Th viện SKKN của Quang Hiệu />A Đặt vấn đề.
Trong công tác giảng dạy nói chung và dạy toán nói riêng, hai nhiệm vụ cốt lõi của
ngời giáo viên là:Hình thành kỹ năng, t duy thuật giải và phát triển năng lực độc lập
sáng tạo của học sinh.
Nghị quyết TW2 ra đời,xoá bỏ trờng chuyên lớp chọn,nên mỗi lớp học có đầy đủ 3
đối tợng học sinh. Việc quan tâm, có phơng pháp phù hợp với từng đối tợng học sinh
là điều nhất thiết phải có; bên cạnh việc nâng cao chất lợng đại trà còn cấn phát huy
trí lực cho học sinh khá và giỏi.Bởi vì hiện nay trong các nhà trờng việc bồi dỡng học
sinh giỏi rất đợc quan tâm và chở thành mũi nhọn của mục tiêu phấn đấu chất l-
ợng.Để đáp ứng đợc điều đó trong môn toán yêu cầu học sinh phải biết đợc các dạng
toán đặc biệt là loại toán tập hợp điểm(quỹ tích).Vì tập hợp điểm(quỹ tích) là một vấn
đề rất thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở các cấp(huyện,tỉnh và quốc
gia....)một đề tài đã làm say mê nhiều ngời, góp phần không nhỏ làm cho ta yeu thích
hình học hơn.Tập hợp điểm(quỹ tích) là một dạng hình học động, đòi hỏi cả ngời dạy
và ngời học đều phải có óc sáng tạo khả năng suy luận và tổng hợp kiến thức ở mức
độ cao.Do vậy nếu học và làm tốt loại toán này thì nó sẽ giúp chúng ta có một cái
nhìn và bộ óc sáng tạo về hình học.đặc biệt với học sinh nó giúp các em có khả năng
phát triển t duy động, óc sáng tạo và khả năng áp dụng cũng nh giải quyết tốt các vấn
đề về kiến thức hình học trong nhà trờng và thực tế cuộc sống.
Thực tiễn giảng dạy môn toán ở nhà trờng tôi thấy để dạy tốt phần tập hợp điểm(quỹ
tích) yêu cầu giáo viên cần phải có kiến thức chính xác, bên cạnh đó còn biết nhiều
phơng pháp cao cấp nh tìm quỹ tích bằng phơng biến hình,phơng pháp giải tích v.v để
từ đó chuyển về cách tìm quỹ tích sơ cấp thì mới đáp ứng đợc các yêu cầu nêu
trên.Đó chính là lý do tôi viết sáng kiến kinh nghiệm của mình với chủ đềTập hợp
điểm(quỹ tích).
B. Giải quyết vấn đề.
*Nhận xét mở đầu:
Bài tập về phầnTập hợp điểm(quỹ tích) là một bài toán khó đói với cả giáo viên và
học sinh đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhanh nhạy các bài toán chứng
minh,dựng hình đã học vào để làm.Bên cạnh đó học sinh cần phải biết và vận dụng
thành thạo một số phơng pháp giải loại toán này.để giúp các em khỏi bỡ ngỡ và tiến

tới có định hớng khi giải toán, cũng nh giáo viên có kế hoạch giảng dạy tốt tôi đã bố
trí và phân loại nội dung sáng kiến nh sau:
Các bài toán tìm tập hợp điểm
I Tìm tập hợp điểm bằng phơng pháp sơ cấp.
1.Tập hợp điểm có tính chất đặc trng.
2.Một số tập hợp điểm cơ bản.
3.Đoán nhận hình dạng của tập hợp điểm.
4.Giải toán tìm tập hợp có tính chất cho trớc bằng phơng pháp sơ cấp.
5.Chú ý.
6.Ví dụ áp dụng.
7.Bài tập áp dụng.
Các bài toán tìm tập hợp điểm
I Tìm tập hợp điểm bằng phơng pháp sơ cấp.
1.Tập hợp điểm có tính chất đặc trng:
Ta biết rằngTập hợp những điểm cách đều hai điểm A,B cố định là đờng trung trực
của đoạn thẳng AB.
Một cách tổng quát,một định lý về tập hợp điểm có dạngTập hợp những điểm có
tính chất a là hình F.
Trong thí dụ trên:
-Tính chất a làCách đều hai điểm A,B
Để chứng minh hình(F) là tập hợp những điểm có tính chất a(nghĩa là ta chứng minh
tập hợp những điểm thuộc hình(F) và tập hợp những điểm có tính chất a là hai tập hợp
bằng nhau)ta chứng minh:
Với

M, M(

)

M

(F)
Trong đó M(

) là ký hiệu củaM có tính chất(

)
Nh vậy, ta chứng minh hai phần
a) Phần thuận:
Lấy một điểm M bất kỳ có tính chất

,chứng minh M thuộc hình
(F): M(

)

M

(F)
b) Phần đảo:
Lấy một điểm M

,
bất kỳ thuộc hình(F),chứng minh M

,
có tính chất


: M

,

(F)

M

,
(

)

Ta biết rằng mệnh đề thuận:
M(

)

M

(F)

Với mệnh đề đảo M

(F)

M(

)
Và mệnh đề đảo M

,

(F)

M

,
(

)

Với mệnh đề phản M

,
(

)

M

,

(F)
Bởi vậy, ta có thể thay việc chứng minh cặp mệnh đề thuận và đảo bởi cặp mệnh đề t-
ơng đơng:Thuận và phản, phản đảo và đảo,phản đảo và phản.
Bài toán 1:
Tập hợp những điểm cách đều hai điểm A,B cố định là đờng trung trực của đoạn
thẳng AB
Hình(F) ở đây chính là đờng trung trực

của đoạn thẳng AB(hình 21)

Vẽ hình
Mệnh đề thuận: MA=MB

M


Mệnh đề đảo: M



MA=MB
Mệnh đề phản:MA

MB

M


Mệnh đề phản đảo: M



MA

MB
Bởi vậy ta phải chứng minh một trong các cặp mệnh đề:

=
=
MBMAM
MMBMA








=
MMBMA
MMBMA







=

MBMAM

MBMAM









MMBMA
MBMAM
Trong thực hành giải bài toán tập hợp điểm đợc đa về việc phân tích bài toán sao cho
có thể đa về một trong các tập hợp cơ bản đã biết.
Với những bài toán phức tạp, quá trình phân tích trên phải kéo dài rồi mới đa về một
trong các tập hợp điểm cơ bản.Ta có thể minh hoạ bằng sơ đồ sau:
Phần thuận: M(

)

M(

)

...

M(

)

M

(F)
Phần đảo: M

,


(F)

M

,
(

)

...

M

,
(

)

M

,
(

)
Trong đó

là tính chất xác định một tập hợp điểm cơ bản
Chú ý : Đôi khi để đỡ phải vẽ nhiều hình,ở phần đảo ngời ta vẫn lấy điểm M

(F)
thay cho M

,


(F)
Khi làm bài toán quỹ tích chúng ta thờng xuyên bắt gặp các tập hợp điểm cơ bản sau
2.Một số tập hợp điểm cơ bản
a.Đờng tròn:Tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định cho trớc một khoảng cho
trớc là đờng tròn tâm là điểm cố định cho trớc ấy và bán kính bằng khoảng cách cho
trớc ấy.
b. Đờng trung trực:Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai điểm cố định cho trớc là đ-
ờng trung trực của đoạn thẳng nối liền hai điểm này.
c.Đờng phân giác: tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng cho trớc là:
-Hai đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng đó nếu hai đờng thẳng cho trớc
cắt nhau:
-Đờng thẳng song song cách đều với hai đờng thẳng cho trớc nếu hai đờng thẳng cho
trớc song song.
d.Đờng thẳng song song:Tập hợp các điểm cách một đờng thẳng cho trớc một khoảng
cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thẳng đã cho và cách đờng thẳng đó
một khoảng đã cho.
e.Cung chứa góc: tập hợp các điểm từ đó nhìn thấy một đoạn thẳng AB cho trớc dới

một góc

cho trớc là hai cung chứa góc

vẽ trên đoạn AB.
f. Đờng tròn Apoloniút: Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số khoảng cách từ đó đến hai
điểm cố định A,B cho trớc bằng tỉ số k không đổi(k

1) là đơng tròn có đờng kính là
một đoạn thẳng I J trong đó I và J là điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo tỉ số
k.
g.Tổng các bình phơng: Tập hợp các điểm có tổng các bình phơng của hai khoảng
cách từ đó đến hai điểm A và B cho trớc có giá trị không đổi k
2
với k là độ dài cho tr-
ớc là đờng tròn có tâm là trung điểm của AB và bán kính bằng
2
1
22
2 ak

(a=AB; k

2
2a
)
h.Hiệu các bình phơng:Tập hợp các diểm có tổng các bình phơng của hai khoảng
cách từ đó đến hai điểm A và B cho trớc có một giá trị không đổi k với k là độ dài
cho trớc là một đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AB tại điểm H sao cho
OH

=
AB
k
2
2
trong đó O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Để làm tốt bài toán quỹ tích chúng ta phải đoán nhận đợc hình dạng của tập hợp điểm
theo yêu cầu.
3.Đoán nhận hình dạng của tập hợp điểm:
Các bài toán tìm tập hợp điểm thờng cho dới dạngTìm tập hợp những điểm M có
tính chất

.