SKKN Xác suất

Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
Sở GD&ĐT Đăk Lăk Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam
Trường THPT Trần Quốc Toản Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
o0o o0o
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NĂM HỌC 2010 – 2011
Sơ yếu lý lịch:
- Họ và tên: Ngô Tất Thành
- Ngày sinh: 14/05/1982
- Năm vào ngành: 2005
- Chức vụ: Giáo viên
- Đơn vị công tác: Trường THPT Trần Quốc Toản – Eaknốp – Eakar –
Đăk Lăk
- Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán – Tin
- Hệ đào tạo: chính quy
- Bộ môn giảng dạy: Toán
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
1
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Lí thuyết xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế… Chính vì lẽ đó lí thuyết
xác suất đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học
sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này để có
thể áp dụng vào các bài toán thực tế.
Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ
bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết
các bài toán và tình huống cụ thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học

sinh lớp 11 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa
hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố
độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác
suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc. Đa số học sinh chưa biết sử dụng
linh hoạt các quy tắc để giải quyết các tình huống cụ thể.
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức
cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức
đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học
sinh THPT giải bài toán xác suất”.
2. Mục đích yêu cầu.
Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác
suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán
và tình huống cụ thể.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
- Khách thể: Học sinh lớp 11.
- Đối tượng nghiên cứu: các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác
suất, các bài toán xác suất.
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
2
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương
trình sách giáo khoa cơ bản môn Toán lớp 11.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
a) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất.
b) Hưóng dẫn học sinh giải quyết các bài toán xác suất trong một số
tình huống cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu.
a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học.
b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh.
c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải

quyết các bài toán ở những lớp trước.
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
3
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
NỘI DUNG
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA XÁC
SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT
1. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán xác suất có không gian mẫu được
mô tả cụ thể.
Để học sinh làm quen với khái niệm không gian mẫu và biến cố
trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại các khái niệm về phép thử, không gian
mẫu, biến cố, tập hợp các kết quả thuân lợi của biến cố, công thức xác suất
cổ điển sau đó phân tích và hướng dẫn các em làm bài tập sau:
Bài 1:
Gieo đồng thời hai con xúc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt
xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8.
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con xúc sắc’’
Không gian mẫu:
(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6)
(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6)
(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6)
(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;5)
(5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6)
(6;1),(6;2),(6;3),(6;4)
Ω =
,(6;5),(6;6)
 
 
 

 
 
 
 
 
 
gồm 6.6=36
phần tử
Xét biến cố A: “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc
bằng 8”.
Tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
{ }
(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)A =
( ) 5n A⇒ =
Xác suất của biến cố A là:
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
4
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
( )
5
36
P A =
.
Bài 2:
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất.
Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “Xuất hiện mặt chẵn”
B: “Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”
C: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”
Hướng dẫn học sinh:

Không gian mẫu
{ }
1,2,3,4,5,6Ω =
( )
6n Ω =
Ta có:
{ }
2,4,6A =
( )
3n A =
Vậy xác suất của biến cố A là:
( )
( )
( )
3 1
6 2
n A
P A
n
= = =
Ω
{ }
3,6B =
( )
2n B =
Vậy xác suất của biến cố B là:
( )
( )
( )
2 1

6 3
n B
P B
n
= = =
Ω
{ }
3,4,5,6C =
( )
4n C =
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
5
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
Vậy xác suất của biến cố C là:
( )
( )
( )
4 2
6 3
n C
P C
n
= = =
Ω
Học sinh giải bài tập sau:
Bài 3:
Ba bà mẹ, mỗi người sinh được một đứa con. Tính xác suất để bé sinh
ra.
a) Chỉ có một gái.
b) Nhiều nhất một gái.

Hướng dẫn học sinh:
Ký hiệu T là trai, G là gái.
{ }
, , , , , , ,TTT TTG TGT GTT TGG GTG GGT GGGΩ =
a) Biến cố chỉ có một gái là
{ }
, ,A TTG TGT GTT=
Vậy
( )
8n Ω =
,
( )
3n A =
Vậy xác suất của biến cố A là :
( )
( )
( )
3
8
n A
P A
n
= =
Ω
b) Biến cố nhiều nhất một gái là
{ }
, , ,B TTT TTG TGT GTT=
Vậy
( )
4n B =

Vậy xác suất của biến cố B là :
( )
( )
( )
4 1
8 2
n B
P B
n
= = =
Ω
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
6
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
Bài 4:
Gieo một đồng tiền ba lần. Gọi A là biến cố ‘‘Mặt ngửa xuất hiện ít
nhất một lần’’. Tính xác suất của biến cố A.
Hướng dẫn học sinh:
Không gian mẫu
{ }
, , , , , , ,SSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNNΩ =
Biến cố
{ }
, , , , , ,A SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN=
Vậy
( )
8n Ω =
,
( )
7n A =

Vậy xác suất của biến cố A là :
( )
( )
( )
7
8
n A
P A
n
= =
Ω
2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận các bài toán xác suất có không gian mẫu
được mô tả trừu tượng hơn.
Hướng dẫn học sinh làm bài tập sau:
Bài 5:
Có 10 người gồm 6 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác
suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn.
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên 6 người từ 10 người’’
Có
6
10
C
cách chọn ra 6 người từ 10 người.
Vậy không gian mẫu gồm
6
10
C
phần tử.
Biến cố A: “có 4 nam và 2 nữ được chọn”.

Có
4 2
6 4
.C C
cách chọn ra 4 nam và 2 nữ nên
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
7
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
4 2
6 4
( ) .n A C C=
Xác suất của biến cố A:
( )
4 2
6 4
6
10
.
3
7
C C
P A
C
= =
Bài 6:
Có chín miếng bìa như nhau được ghi từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 2 miếng
bìa và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Số tạo thành là số chẵn”
b) B: “Số tạo thành là số chia hết cho 5”
c) C: “Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị”

Hướng dẫn học sinh:
Mỗi kết quả của phép thử là một chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử.
Không gian mẫu gồm:
( )
2
9
72n AΩ = =
(kết quả đồng khả năng)
a) Ký hiệu số tạo thành là :
n ab=
n A∈
nên
{ }
2,4,6,8b∈
Vậy có 4 cách chọn b và 8 cách chọn a (do
a b
≠
)
Theo quy tắc nhân ta có:
( )
4x8=32n A =
Vậy xác suất của biến cố A là :
( )
( )
( )
32 4
72 9
n A
P A
n

= = =
Ω
b)
n B∈
nên
5b =
Có 1 cách chọn b và 8 cách chọn a
Theo quy tắc nhân ta có:
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
8
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
( )
1x8=8n B =
Vậy xác suất của biến cố B là :
( )
( )
( )
8 1
72 9
n B
P B
n
= = =
Ω
c)
n C∈
nên
a b<
Rõ ràng mỗi số
ab

như vậy là một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử và
ngược lại.
( )
2
9
36n C C= =
Vậy xác suất của biến cố C là :
( )
( )
( )
36 1
72 2
n C
P C
n
= = =
Ω
Bài 7:
Từ một hộp chứa 3 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen lấy ra ngẫu
nhiên đồng thời 3 viên bi. Tìm xác suất để lấy được 2 viên bi màu trắng và 1
viên bi màu đen.
Hướng dẫn học sinh:
Hộp bi có chứa 8 viên bi.
Chọn ngẫu nhiên 3 trong 8 viên bi có:
3
8
56C =
cách.
Vậy
( )

56n Ω =
Chọn 2 trong 3 viên bi trắng có:
2
3
3C =
cách.
Chọn 1 trong 5 viên bi đen có:
1
5
5C =
cách.
Theo quy tắc nhân ta có:
3x5=15
cách.
Vậy
( )
15n A =
Xác suất của biến cố A là:
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
9
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
( )
( )
( )
15
56
n A
P A
n
= =

Ω
Học sinh giải bài tập sau:
Bài 8:
Một bình đựng 6 viên bi chỉ khác nhau về màu, 2 xanh, 2 vàng và 2 đỏ.
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi.
Tính xác suất để được:
a) 2 viên bi xanh.
b) 2 viên bi khác màu.
Hướng dẫn học sinh:
a) Lấy ngẫu nhiên 2 trong 6 viên bi có :
2
6
15C =
cách.
( )
15n Ω =
Chọn 2 viên bi xanh có 1 cách.
Vậy biến cố A để được 2 viên bi xanh chỉ có 1 phần tử.
Xác suất của biến cố A là:
( )
( )
( )
1
15
n A
P A
n
= =
Ω
b) Để chọn 2 viên bi khác màu có 3 trường hợp :

TH1 : 1 xanh, 1 vàng
Chọn 1 xanh từ 2 xanh có 2 cách.
Chọn 1 vàng từ 2 vàng có 2 cách.
Trường hợp này theo quy tắc nhân ta có
2x2=4
cách
TH2 : 1 xanh, 1 đỏ
Chọn 1 xanh từ 2 xanh có 2 cách.
Chọn 1 đỏ từ 2 đỏ có 2 cách.
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
10
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
Trường hợp này theo quy tắc nhân ta có
2x2=4
cách
TH3 : 1 đỏ, 1 vàng
Chọn 1 đỏ từ 2 đỏ có 2 cách.
Chọn 1 vàng từ 2 vàng có 2 cách.
Trường hợp này theo quy tắc nhân ta có
2x2=4
cách
Vậy theo quy tắc cộng biến cố B để được 2 viên bi khác
màu có :
4 4 4 12+ + =
phần tử
Xác suất của biến cố B là:
( )
( )
( )
12 4

15 5
n B
P B
n
= = =
Ω
Bài 9:
Gieo đồng thời 2 con súc sắc, một con màu đỏ và một con màu xanh.
Tính xác suất của các biến cố sau :
A : “Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm”
B : “Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm”
C : “ít nhất một con xuất hiện mặt 6 chấm”
D : “Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm”
E : “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con bằng 8”
Hướng dẫn học sinh:
Gọi a là số chấm trên con đỏ, b là số chấm trên con xanh.
Không gian mẫu
( )
{ }
, /1 , 6a b a bΩ = ≤ ≤
( )
36n Ω =
phần tử
( )
{ }
6, /1 6A b b= ≤ ≤
( )
6n A =
( )
( )

( )
6 1
36 6
n A
P A
n
= = =
Ω
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
11
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
( )
{ }
,6 /1 6B a a= ≤ ≤
( )
6n B =
( )
( )
( )
6 1
36 6
n B
P B
n
= = =
Ω
C A B
= ∪
Mặt khác :
( )

{ }
( )
1
6,6
36
A B P A B∩ = ⇒ ∩ =

Vậy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 1 1 11
6 6 36 36
P C P A B P A P B P A B= ∪ = + − ∩
= + − =
D C=
( )
( )
( )
11 25
1 1
36 36
P D P C P C= = − = − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
2,6 ; 6,2 ; 3,5 ; 5,3 ; 4,4E =
( )
5n E =
( )
( )

( )
5
36
n E
P E
n
= =
Ω
Yêu cầu học sinh về nhà giải các bài tập:
Bài 1: Gieo đồng thời ba con xúc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt
xuất hiện của ba con xúc sắc bằng 9.
Bài 2: Một chiếc hộp đựng 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen.
Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tìm xác suất để chọn được 2 quả cầu trắng, 3
quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen
Bài 3: Một lớp có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30
sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp.
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
12
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Sinh viên được chọn học tiếng Anh”
b) B: “Sinh viên được chọn chỉ học tiếng Pháp”
c) C: “Sinh viên được chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp”
d) D: “Sinh viên được chọn không học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp”
Bài 4: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất một lần. Ký hiệu b là số
chấm xuất hiện khi gieo. Tính xác suất sao cho phương trình sau có nghiệm:
2
1 0x bx+ + =
.
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản

13
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
THỰC NGHIỆM – GIẢI PHÁP
1. Khảo sát thực tế:
Trước khi thực hiện đề tài, năm 2009 tôi đã khảo sát chất lượng của học
sinh 11 thông qua kiểm tra viết gồm 2 bài toán xác suất.
Kết quả như sau:
50% học sinh biết cách giải bài tập 1 (không gian mẫu được mô tả cụ thể)
10% học sinh biết cách giải bài tập 2 (không gian mẫu được mô tả trừu tượng)
Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này còn yếu.
2. Các bước thực hiện đề tài:
Bước 1:
Hệ thống hoá các kiến thức, các khái niệm cơ bản như: không gian
mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối…
Bước 2:
Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải bài
toán.
Bước 3:
Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài
tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng
bài toán.
3. Kết quả sau khi thực hiện đề tài:
Sau khi thực hiện đề tài ở lớp 11 cơ bản năm 2010 tôi đã khảo sát chất
lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết gồm 2 bài toán xác suất:
Kết quả như sau:
100% học sinh biết cách giải bài tập 1 (không gian mẫu được mô tả cụ thể)
80% học sinh biết cách giải bài tập 2 (không gian mẫu được mô tả trừu tượng)
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
14
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất

Chất lượng bài giải và kĩ năng giải toán dạng này tốt.
4. Giải pháp đề nghị :
Bài toán xác suất mới được đưa vào chương trình toán lớp 11, hầu hết
học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này. Để giúp học sinh
nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách
linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin
nêu một số giải pháp đề nghị sau:
1. Hệ thống hoá khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp
các kết quả thuân lợi của biến cố, công thức xác suất cổ điển , giải
thích thông qua các ví dụ từ mô hình cụ thể đến các mô hình trừu
tượng. Sau đó hướng dẫn học sinh tìm xác suất của biến cố bằng cách
sử dụng công thức xác suất cổ điển .
2. Nêu các quy tắc xác suất , hướng dẫn học sinh sử dụng các quy tắc này
để tìm xác suất trong một số ví dụ điển hình, từ đó giúp học sinh rút ra
nhận xét về cách sử dụng các quy tắc này một cách linh hoạt hợp lí
trong từng trường hợp cụ thể.
3. Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài
tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển,
mở rộng bài toán.
Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi qua quá trình giảng dạy Bài toán xác
suất ở lớp 11cơ bản. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô giáo và
các em học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!
Eaknốp, ngày 20 tháng 02 năm 2011
Người viết
Ngô Tất Thành
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
15
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Đại số và giải tích 11.
2. Bài tập Đại số và giải tích 11.
3. Một số tài liệu trên các website của bộ giáo dục và đào tạo.
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
16
Đề tài: Hướng dẫn học sinh THPT giải các bài toán xác suất
PHỤ LỤC
Nội dung Trang
1. Lý lịch bản thân 1
2. Mở đầu 2
3. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán xác suất có
không gian mẫu được mô tả cụ thể 3
4. Hướng dẫn học sinh tiếp cận các bài toán xác suất
có không gian mẫu được mô tả trừu tượng hơn 7
5. Bài tập yêu cầu học sinh về nhà làm 12
6. Thực nghiệm và giải pháp 14
7. Tài liệu tham khảo 16
Giáo viên: Ngô Tất Thành – Trường THPT Trần Quốc Toản
17