Đề cương ôn thi HSG toán 9

Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN : 9
NĂM 2010 - 2011
DẠNG 1: Giải toán theo quy luật .
1. Phép cộng theo chuỗi số.
* 1+2+3+4+…+n =
2
)1( +nn
*
6
)12)(1(
321
2222
++
=++++
nnn
n
2. Phép cộng theo chuỗi phân số.
*
nnn
1
1
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1

−=
−
++++
*
)
)1(
1
2.1
1
(
2
1
)1()1(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
+
−=
+−
++++
nnnnn
*
)
)1(
1

3.2.1
1
(
3
1
)2)(1()1(
1

6.5.4.3
1
5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+
−=
++−
++++
nnnnnn
3. Phép cộng theo chuỗi phân số
*
1
1
1

43
1
32
1
21

1
−=
−
++
+
+
+
+
+
n
nn
BÀI TẬP
1. Tính
a. A = 1+2+3+…+2011
b. Tìm a để tổng A + a là một số chính phương
2. tìm x biết
x (1 + 2 + 3 +4 + … + 2011) =
2222
2011 321
++++
3. Chứng minh rằng
A = 126.(7
2011
+ 7
2010
+ 7
2009
+ … + 7 + 1 ) + 21 chia hết cho 7
2011
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 1

Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
4. Tính a.
2011.2010
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
b.
2011.2010.2009
2

5.4.3
2
4.3.2
2
3.2.1
2
++++
c.
2011.2010.2009
2

5.4.3
2
4.3.2

2
3.2.1
2
−−−−
d.
2011.2010.2009.2008
6

6.5.4.3
6
5.4.3.2
6
4.3.2.1
6
++++
e.
2011.2010.2009.2008
6

6.5.4.3
6
5.4.3.2
6
4.3.2.1
6
−−−−
f.
20112010
1

43
1
32
1
21
1
+
++
+
+
+
+
+

g.
20112010
1

43
1
32
1
21
1
+
−−
+
−
+
−

+

DẠNG 2: Tìm nghiệm nguyên x,y .
Tìm nghiệm nguyên Phương trình bậc nhất.
ax + by = c (a,b,c nguyên)
Bài tập mẫu:
Tìm nghiệm nguyên x, y sau cho : 2x + 3y = 11
Giải.
Từ PT : 2x + 3y = 11
2
1
5
y
yx
−
++−=⇒
Do x nguyên
Ta có :
2)1( y−
hay
12 += ty
với
Zt
∈
tx 34
−=⇒
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 2
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9




+=
−=
12
34
ty
tx
với
Zt
∈
BÀI TẬP
1. Giải phương trình.
a. 11x + 18y = 120
b. 12x + 7y = 45
c. 3x + 5y = 10
d. 4x + 5y = 65
2. Phân tích số 100 thành tổng hai số tự nhiên mà trong đó một số chia
hết cho 7, một số chia hết cho 11 (đề thi HSG vòng tinh 2004-2005)
DẠNG 3: Tìm số dư và chứng minh chia hết.
Tìm số dư của phép chia.
A: B = Q + r
Ghi chú :
- dạng này học sinh cần sử dụng máy tính từ 500MS trở lên
- nhầm sử dụng phương pháp đồng dư để chứng minh chia hết và tìm
số dư hoặc các chữ số cuối cùng của tổng
Bài tập mẫu
Tìm số dư : 9124565217 : 123456
Giải
ấn máy tính 500MS:

9124565217 : 123456
Máy hiện số : 73909,45128
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là :
9124565217 - 123456 x 73909 =
Kết quả số dư r = 55713
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 3
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
DẠNG 4: Dùng PP đồng dư để chứng minh chia hết
Dạng tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa quá lớn ta thực hiện theo
phương pháp đồng dư theo công thức.




≡
≡
⇒



≡
≡
)(mod
)(mod
)(mod
)(mod
pma
pnmba
pnb
pma

cc
Bài tập mẫu
Tìm số dư của phép chia 2004
376
cho 1975
Giải
Ta có :
)1975(mod8412004
2
≡

)1975(mod2318412004
24
≡≡

)1975(mod4162312004
312
≡≡⇒

)1975(mod5364162004
448
≡≡⇒

)1975(mod536.4162004.2004
4812
≡⇒

)1975(mod17762004
60
≡⇒

)1975(mod841.17762004.2004
260
≡⇒
)1975(mod11715162004
3362
≡≡⇒
x
)1975(mod59111712004
22362
≡≡⇒
xx
)1975(mod246231.5912004
4662
≡≡⇒
+x
)1975(mod2462004
376
≡⇒
Vậy 2004
376
chia cho 1975 dư 246
Bài tập
1. Tìm số dư phép chia
a. 143946 cho 32147
b. 432156 cho 2349
c. 11031972 cho 101972
d. 18901969 cho 1512005
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 4
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
2. Tìm số dư của phép chia.

a. 2007
2008
cho 2008
b. 2008
2009
cho 2010
c. 2010
2009
cho 2011
d. 2011
2010
cho 2009
3. Tìm hai chữ số cuối cùng của 23
2005
4. Tìm ba chữ số cuối cùng của 27
2009
5. Tìm chữ số cuối cùng của 37
2010
6. Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng
a. A = 2
2000
+ 2
2001
+ 2
2002
+ 2
2003
+ 2
2004
+ 2

2005
+ 2
2006

b. B = 3
2007
+ 3
2008
+ 3
2009
+ 3
2010
+ 3
2011
c. C = 5
2008
+ 5
2009
+ 5
20010
7. Chứng minh rằng tổng chia hết cho
a. 1890
1930
+ 1945
1975
+ 1 chia hết cho 7
b. 2222
5555
+ 5555
2222

chia hết cho 7
c. 1997
1997
+ 5 chia hết cho 13
d. 2
1000
– 1 chia hết cho 25
DẠNG 5: Dùng định lý Bơ zu.
• Tìm số dư của đa thức
• Tìm các hệ số của đa thức
• Chức minh đa thức chia hết cho các nhị thức
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa
thức f(x) tại x = a
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 5
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
BÀI TẬP
1. Dùng định lý BơZu chứng minh đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x)
a. (x
4
+ x
3
+ 2x
2
– x – 123)

(x – 3)
b. (x
3
– 9x
2

- 35x - 12)

(x – 12)
c. (2x
3
+ x
2
- 3x + 2508)

(x + 11)
d. (3x
3
+ 2x
2
+ 5x +
8
19
)

(2x + 1)
2. Dùng định lý BơZu tìm số dư của đa thức f(x) chia cho nhị thức g(x)
a. (x
4
+ x
3
+ 2x
2
– x +1):(x – 3)
b. (x
3

– 9x
2
- 35x + 7):(x – 12)
c. (2x
3
+ x
2
- 3x + 5):(x + 11)
d. (3x
3
+ 2x
2
+ 5x - 7):(2x + 1)
e. (4x
5
+ 3x
3
- 4x + 5):(2x + 11)
f. (3x
4
+5x
3
- 4x
2
+2 x - 7)

(2 – 3x)
3. Dùng định lý BơZu để tìm m đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x)
a. (x
4

+ x
3
+ 2x
2
+ m)

(x – 3)
b. (x
3
– 11x
2
- 5x -2 m)

(x +5)
c. (2x
3
+5x
2
- 3x – 5+ m)

(3x + 15)
d. (5x
3
+ 2x
2
+ 5x - 5m)

(2x + 1)
e. (2x
5

+ 3x
3
- 4x + m
2
- m)

(2x - 6)
f. (3x
4
+ 7x
3
- 4x
2
+2 x – 3m
2
)

(2 – 3x)
g. (3x
3
+5x
2
- 3x – 5+ m
3
+2m
2
)

(3x - 9)
h. (5x

3
+ 2x
2
+ 5x - 5m
3
– 4m)

(2x + 4)
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 6
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
DẠNG 6: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính
phương .
• Chứng minh rằng tổng các dãy số sau là số chính phương.
• Tìm số tự nhiên n sau cho tổng các số sau là số chính phương
DẠNG 7: Rút gọn và tính giá trị biểu thức
Lưu ý:
• sử dụng các hằng đẳng thức bậc 2 đến bậc n để biến đổi rút gọn
• Dùng các phép biến đổi căn thức
• Chứng minh tổng các căn thức là số nguyên
• Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
• Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 7
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
DẠNG 8: Hàm số bậc nhất bậc hai, Phương trình bậc hai,
bậc ba
• Tính diện tích tạo bởi hai đồ thị
• Tình chu vi các hình tạo bởi 2,3,4 đồ thị với các các trục tọa độ.
• Phương trình bậc hai
• Phương trình bậc ba
Bài tập

1. Cho hai đường thẳng y = -2x + 4 và y = 3x +4
a. vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox
2. Cho hai đường thẳng y = -3x + 9 và y = 2x - 6
a. vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy
3. Cho hai đường thẳng y = -3x + 11 và y = 2x - 4
a. vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy
c. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox
4. Cho ba đường thẳng y =
4
3
4
+− x
; y =
4
4
3
+x
và y = 7x - 21
a. vẽ 3 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 3 đường thẳng trên
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 8
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
c. Tính chu vi và diện tích tứ giác hợp bởi 2 đường thẳng
y =
4
3
4

+− x
; y =
4
4
3
+x
với trục Ox và Oy
5. Giải các phương trình sau
a. x
3
– 4x
2
+ 6 = 0
b. x
3
+ 2x
2
– 7x + 4 = 0
c. 3x
4
– 5x
3
- 11x
2
+ 20x - 4 = 0
DẠNG 9: Vận dụng các hệ thức bất đẳng thức
• Dùng Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si mở rộng) để chứng minh
• Dùng bất đẳng thức Bunhinacôpxki để chứng minh
DẠNG 10: Hình học
• Các dạng toán hình liên quan đến hệ thức lượng giác

• Các bài toán liên quan đến tính diện tích và chu vi các hình thông
qua các công thức nâng cao.
• Chứng minh một số dạng bài toán quỹ tích ( điểm, đường thẳng,
đường tròn)
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 9
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
BÀI TẬP
1. Cho tam giác ABC biết AB = 5cm, BC = 8cm , AC = 12cm, góc BÂC = 30
0
.
a. Tính diện tích tam giác ABC
b. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác
ABC
2. Cho đường tròn tâm (0;R), trên đường tròn lấy C và B, Qua C và B kẽ 2 tiếp
tuyến cắt nhau tại A, biết AC = 5cm, BÂC = 60
0.
a. Tính chu vi và diện tích của tứ giác ABOC
b. Tính diện tích và chu vi của đường tròn (0;R)
3. Cho cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt 5cm; 12cm; 13cm. nội tiếp
đường tròn tâm (0; 6,5cm).
a. Tính diện tích tam giác ABC
b. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
c. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
4. Cho tam giác ABC, có độ dài 3 cạnh lần lượt 6cm, 8cm, 10cm.
a. Tính diện tích tam giác ABC
b. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC
c. Tính chu vi và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5. Cho tam giác vuông ABC ( Â = 90
0
), AB = 3cm; AC = 4cm.

GV biên soạn : Phạm Quang Sang 10
Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9
a. Tính diện tích và chu vi tam giác ABC
b. Giải tam giác vuông ABC
c. Tính đường cao AH ( H
∈
BC )
d. cho BC cố định, độ dài AH không đổi. Tìm quỹ tích điểm A
e. BC cố định, tìm quỹ tích điểm A sao cho BÂC = 90
0
GV biên soạn : Phạm Quang Sang 11