Đề thi HSG môn Toán 9

Phòng gD - ĐT huyện Lơng sơn Đề thi học sinh giỏi THCS
Năm học 2006 -2007

Môn: Toán
Thời gian: 120 phút - Không kể thời gian giao đề
( Học sinh không phải chép đề vào giấy thi )
Câu 1: (4 điểm) Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:
a. 2007
2006
có chữ số tận cùng là chữ số nào trong các chữ số sau:
A: 1; B: 7; C: 5; D: 9.
b. Đa thức x
3
6x
2
+ 12x - 8 chia hết cho đa thức nào trong các đa thức sau:
A: x + 2; B: x - 2; C: x - 4; D: x + 4.
c. Cho biểu thức: P =
223 +
đợc rút gọn thành:
A: 1 ; B:
2
+1 ; C:
2
-1; D:
2
+2.
d. Cho đờng tròn (O) và hai dây cung cắt nhau
tạo M nh hình vẽ. Khảng định nào sau đây là đúng. B
A: MA. MB = MC. MD
B. MA.MC = MB.MD A

C: MA. MD = MB.MC
D: Các đẳng thức trên đều đúng. M C D
Câu 2: (2,5 điểm) Cho P = (x+y)(y+z)(x+z) + xyz
a. Phân tích đa thức P thành nhân tử.
b. Cho Q = P 3xyz. Chứng minh rằng: Nếu x,y,z là các số tự nhiên và
x+y+z 6 thì Q 6
Câu 3: (2 điểm)
a. Chứng minh:
nnn
nnn
3.2
5,1
3.2
5,0
3
1
+

+
=

b. Chứng minh: S =
200732
3
2007

3
3
3
2

3
1
++++
<
4
3
Câu 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ a + b + c + d + 2008
B =
x
xx 1++
Câu 5: (2 điểm) Giải phơng trình sau:
x +
2
4
1
2
1
=+++ xx
Câu 6: (2,5 điểm)
Trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy cho 3 đờng thẳng: d
1

có phơng trình: y
= x + 1, d
2
có phơng trình: y = - x + 2, d
3
có phơng trình: y = -
2
1
x + 1. Đờng thẳng d
1
cắt d
2
và d
3
lần lợt tại A và B. d
2
cắt d
3
tại C.
a. Tìm toạ độ các diểm A,B và C.
b. Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
c. Viết phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH của ABC
Câu 7: (4 điểm)
Cho hình thang ABCD, AB // CD. hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O, một đờng
thẳng qua O và song song với hai đáy cắt AD và BC lần lợt tại M và N. Biết độ dài AB
và CD lần lợt bằng m và n. Chứng minh rằng :
a.
1=+
CD
ON

AB
OM
b.
CDABOM
111
+=
.
c. Chứng minh rằng MN =
nm
nm
+
2