Phép toán với ma trận

§ 2. CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN
I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số
1. Định nghĩa phép toán
2. Các tính chất cơ bản
II. Phép nhân ma trận với ma trận
1. Định nghĩa phép toán
2. Các tính chất cơ bản
1
I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số.
Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng cấp:
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp

2
Ký hiệu là A + B và được xác định như sau:
Định nghĩa2: Chomatrậnvàsốthực.
TíchcủatrậnAvàsốthựclàmộtmatrậncấp

3
Ký hiệu là và được xác định như sau:
Nhận xét:
+Phépcộngmatrậnchỉápdụngchocácmatrậncùngcấp.
+Việcthựchiệnphépcộnghaimatrậnvànhânmatrậnvớisốđược
thựchiệntươngtựnhưđốivớivectơ:

4
Cụ thể:
Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử ở vị trí
tương ứng với nhau.”
Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một ma trận với số ta nhân số với
tất cả các phần tử của ma trận đó.”


5
Ví dụ: Cho hai ma trận
,
Hãylập:A+B,2A,3B,2A+3B.
Giải:


6
,

7
Các tính chất cơ bản của phép cộng và nhân ma trận với số: (8
tính chất)
VớiA,B,Clàcácmatrậncùngcấplàcácsốbấtkỳ,tacó:
1. Giaohoán:
2. Kếthợp:
3. Cộngvớimatrận0:A + 0 = 0 + A = A

8
4. Cộngvớimatrậnđối:A + (–A) = 0.
5. Nhân với 1: 1.A = A.1 =A.
6. Phân phối:
7. Phânphối:
8. Kếthợpvớiphépnhân:

9
Chú ý: Tacóphéptrừhaimatrận:
A – B = A + (–B)
Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp :
Thì:


10
Quy tắc: “Trừ hai ma trận cùng cấp ta trừ các phần tử của ma trận
đứng trước cho các phần tử tương ứng của ma trận đứng sau”.
Nhận xét:

11
Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra thực hiện biến đổi một biểu thức
ma trận (hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiện như biến đổi một biểu
thức(hay đẳng thức đại số). Tức là, có thể: nhân phân phối, chuyển vế
đổi dấu,… ”.
12
Ví dụ: (Bài 2 – Trang 112-SGTr)
Cho hai ma trận:
a) Lập các ma trận:


13
b) Tìm ma trận X thỏa mãn

Giải:
a)



14

15
b) Giả thiết:

ta có,

16
Vậy,
X =

17
II. Phép nhân ma trận với ma trận.
Định nghĩa: Cho hai ma trận

số cột của A bằng số dòng B
18
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
m n
a a a
a a a
A
a a a
×
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
L
L

L L L L
L
11 12 1p
21 22 2p
n1 n 2 np
n p
b b b
b b b
B
b b b
×
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
L
L
L L L L
L
Định nghĩa: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp , ký
hiệu là AB và được xác định như sau:

19
11 12 1p
21 22 2p
m1 m2 mp
m p

c c c
c c c
c c c
×
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
L
L
L L L L
L
Ở đó:


Phần tử thuộc dòng i
cột j của AB
20
Chẳng hạn:



21
Chú ý:
1. Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma trận
đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B).
2. Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng
số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận

đứng sau.
22
3. Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử c
ij
(nằm ở dòng
i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i (của ma trận đứng
trước) và cột j (của ma trận đứng sau).
23
d c
ij i j
c A B= ×
Ví dụ 1: Cho hai ma trận
sốcộtcủaA=sốdòngcủaB=3
24
2 3
3 2
1 3
3 1 2
A ; B 2 3
9 4 2
5 1
×
×
 
−
 
 ÷
= = −
 ÷
 ÷

−
 
 ÷
−
 
2 2
AB
×
 
=
 ÷
 
11
c =
( )
1
3 1 2 2
5
 
 ÷
− × −
 ÷
 ÷
 
=
3 2 10 5− − + =
9 3 2 8− + − = −
9 8 10 27+ + =
27 12 2 13− − =
5

8−
27
13
12
c =
21
c =
22
c =
Hãy lập ma trận BA (A, B trong Ví dụ 1)
Nhận xét: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.
25
3 2 2 3
B A
× ×
3 3
BA
×
=
24 11 8
BA 33 14 2
24 9 8
−
 
 ÷
= −
 ÷
 ÷
−
 