Bộ đề ôn thi Học kì II môn Toán lớp 10 với ma trận đề và đáp án

WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1
I. Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

2 − x − x2
x →1
x −1

1) lim

2) lim

x→ − ∞

2 x 4 − 3 x + 12

3) lim
+
x →3

7x −1
x −3

4) lim

x →3

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 2
 x − 5x + 6
khi x > 3
f (x) =  x − 3
2 x + 1
khi x ≤ 3


x +1 − 2
9 − x2

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 = 0 .
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3
b) y =
a) y = x x 2 + 1
(2 x + 5)2
x −1
2) Cho hàm số y =
.
x +1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y =

x −2
.

2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a 2 .
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn.
Bài 5a. Tính

lim

x3 + 8

x→ − 2

x 2 + 11x + 18

.

1 3
x − 2 x 2 − 6 x − 8 . Giải bất phương trình y / ≤ 0 .
3
2. Theo chương trình nâng cao.

Bài 6a. Cho y =

Bài 5b. Tính

lim

x − 2x −1

.
− 12 x + 11
x 2 − 3x + 3
Bài 6b. Cho y =
. Giải bất phương trình y / > 0 .
x −1
x →1 x 2

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


WWW.VNMATH.COM
ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1
Bài 1.

2 − x − x2
(− x − 2)( x − 1)
= lim

= lim(− x − 2) = −3
x →1
x →1
x →1
x −1
( x − 1)

1) lim

2) lim

x→ − ∞

3) lim+
x →3

2 x 4 − 3 x + 12 = lim x 2 2 +
x →−∞

3 12
+
= +∞
x x4

7x −1
x −3

Ta có: lim+ ( x − 3) = 0, lim+ (7 x − 1) = 20 > 0; x − 3 > 0 khi x → 3+ nên I = +∞
x →3

x →3

x +1 − 2

4) lim

9− x

x →3

2

= lim

x −3

x →3 (3 +

x )(3 − x )( x + 1 + 2)

−1

= lim

x →3 ( x + 3)(

x + 1 + 2)

=−

1
24

Bài 2.
 2
 x − 5x + 6
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x ) =  x − 3
2 x + 1

• Hàm số liên tục với mọi x ≠ 3.
• Tại x = 3, ta có:
+ f (3) = 7

+ lim− f ( x ) = lim− (2 x + 1) = 7
x →3

x →3

+ lim f ( x ) = lim
x →3

x →3

+

+

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 = 0 .
Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.
Ta có:

f (0) = 1 > 0 
+
 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1) .
f (1) = −1 
f (2) = −1 < 0 
+
 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3) .
f (3) = 13 > 0 
Mà c1 ≠ c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 3.

2) y =

2x2 + 1
x2 + 1

b) y =

3
(2 x + 5)2

⇒ y' = −

12
(2 x + 5)3

x −1
2
⇒ y′ =
( x ≠ −1)

x +1
( x + 1)2

a) Với x = –2 ta có: y = 3 và y′ (−2) = 2 ⇒ PTTT: y − 3 = 2( x + 2) ⇔ y = 2 x + 7 .
x −2
1
1
có hệ số góc k = ⇒ TT có hệ số góc k = .
2
2
2
x = 1
1
2
1
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y′ ( x0 ) = ⇔
= ⇔  0
2
2
2
( x 0 + 1)
 x 0 = −3

b) d: y =

2

khi x ≤ 3

( x − 2)( x − 3)

= lim+ ( x − 2) = 1
( x − 3)
x →3

⇒ Hàm số không liên tục tại x = 3.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (−∞;3), (3; +∞) .

1) a) y = x x 2 + 1 ⇒ y ' =

khi x > 3


WWW.VNMATH.COM
1
1
x− .
2
2
1
7
+ Với x0 = −3 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = x + .
2
2
Bài 4.
1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
S
⇒ Các tam giác SAB, SAD vng tại A.
• BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D.
2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).

+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 0 ⇒ PTTT: y =

3)

A

)

• ∆SAB vng tại A ⇒ SB 2 = SA2 + AB 2 = 3a2 ⇒ SB = a 3
BC
1
• ∆SBC vng tại B ⇒ tan BSC =
⇒ BSC = 30 0
=
SB
3

D
O
C

B

(

• BC ⊥ (SAB) ⇒ SC ,(SAB ) = BSC

4) Gọi O là tâm của hình vng ABCD.

(

)

• Ta có: (SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD , SO ⊥ BD, AO ⊥ BD ⇒ (SBD ),( ABCD ) = SOA
• ∆SAO vng tại A ⇒ tan SOA =

Bài 5a. I = lim

x →−2

Bài 6a. y =

x3 + 8
x 2 + 11x + 18

SA
=2
AO

( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)
x 2 − 2 x + 4 12
= lim
=
x →−2
x →−2
x+9
( x + 2)( x + 9)
7

= lim

1 3
x − 2 x 2 − 6 x − 18 ⇒ y ' = x 2 − 4 x − 6
3

BPT y ' ≤ 0 ⇔ x 2 − 4 x − 6 ≤ 0 ⇔ 2 − 10 ≤ x ≤ 2 + 10
Bài 5b. lim

x − 2x −1

x →1 x 2

Bài 6b. y =

− 12 x + 11

= lim

( x − 2 x − 1) ( x + 2 x + 11 )

x →1 ( x 2

− 12 x + 11) ( x + 2 x − 1 )

= lim

x →1 ( x − 11)

x 2 − 3x + 3
x2 − 2 x

⇒ y' =
x −1
( x − 1)2

BPT y′ > 0 ⇔

x2 − 2x

 2

> 0 ⇔ x − 2x > 0 ⇔ x < 0 .
2
x > 2
( x − 1)
x ≠ 1
=======================

3

( x − 1)

(x +

2 x − 1)

=0


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014

Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 14
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →−∞

(

x2 − x + 3 − 2x

)

b) lim

(

x →+∞

4x2 + x + 1 − 2x

)

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2 x 3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
 x2 − 1

f ( x ) =  x + 1 khi x < −1

mx + 2 khi x ≥ −1

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x − 2
a) y =
2x + 5

b) y = ( x 2 − 3 x + 1).sin x

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

1
:
x

1
.
2
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4 x + 3 .
a) Tại điểm có tung độ bằng

Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA =

3
a . Gọi I là trung điểm BC.
2

a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


WWW.VNMATH.COM
ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 14
Bài 1:
a) lim

(

x →−∞

x2 − x + 3 − 2x





1 3
1 3
= lim  x . 1 − +

− 2 x  = lim  − x. 1 + − +
− 2x 
 x →−∞x 

x →−∞ 
x x2
x x2





)



1 3
= lim (− x )  1 − +
+ 2  = +∞


x →−∞
x x2


b) lim

x →+∞

(

x +1

)

4 x 2 + x + 1 − 2 x = lim

x →+∞

2

4x + x + 1 + 2x

= lim

x →+∞

1
1
x
=
4
1 1
+2
4+ +
2
x x
1+

Bài 2: Xét hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 10 x − 7 ⇒ f(x) liên tục trên R.

• f (−1) = 1, f (0) = −7 ⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (−1; 0) .
• f (0) = −7, f (3) = 17 ⇒ f (0). f (3) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (0;3) .
• c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.

Bài 3:

Ta có:

 x2 − 1

f ( x ) =  x + 1 khi x < −1
mx + 2 khi x ≥ −1

• f (−1) = −m + 2

• lim f ( x ) = lim
x →−1−

x →−1−

x2 −1
= lim ( x − 1) = −2
x + 1 x →−1−

• lim f ( x ) = lim (mx + 2) = −m + 2
x →−1+

x →−1+

Hàm số f ( x ) liên tục tại x = –1 ⇔ − m + 2 = −2 ⇔ m = 4

Bài 4:
2
3 2x + 5 −
3x − 2
6 x + 13
2 x + 5 = 3(2 x + 5) − 2 =
a) y =
⇒ y'=
2x + 5
(2 x + 5) 2 x + 5 (2 x + 5) 2 x + 5
2x + 5
b) y = ( x 2 − 3 x + 1).sin x ⇒ y ' = (2 x − 3)sin x + ( x 2 − 3 x + 1) cos x
Bài 5: y =

1
1
⇒ y′ = −
( x ≠ 0)
x
x2

1
1 1
1
1
ta có
= ⇔ x0 = 2 ; y′ (2) = − ⇒ PTTT: y = − x + 1
x0 2
2
4

4
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + 3 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4

a) Với y0 =


1
 x0 = 2
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp ⇒ y′ ( x0 ) = −4 ⇔ −
= −4 ⇔ 
2
x0
x = − 1
 0
2
1
• Với x0 = ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT : y = −4 x + 4
2
1
• Với x0 = − ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT : y = −4 x − 4
2
1

2


WWW.VNMATH.COM
Bài 6:
S

H

B

A
I
C

a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
• SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI)
⇒ (SBC) ⊥ (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
• Vẽ AH ⊥ SI (1) . BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2)
Từ (1) và (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH
1
1
1
4
4
16
3a
•
=
+
=
+
=
⇒ AH =
2
2

2
2
2
2
4
9a
3a
9a
AH
AI
SA
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
• (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC , AI ⊥ BC , SI ⊥ BC
⇒ ( (SBC ),( ABC )) = SIA

3
a
SA
2 = 3 ⇒ SIA = 60 0
• tan SIA =
=
IA a 3
2

==============================

3


WWW.VNMATH.COM

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2
I . Phần chung cho cả hai ban.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1) lim

x→ − ∞

x 2 − x − 1 + 3x
2x + 7

2) lim (−2 x 3 − 5 x + 1)
x→ + ∞

3) lim+
x→ 5

2 x − 11
5− x

4) lim

x→ 0

Bài 2 .

x3 + 1 − 1

x2 + x

.

 3
 x − 1 khi x ≠ 1
1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) =  x − 1
. Xác định m để hàm số liên tục trên R..
2m + 1 khi x = 1


2) Chứng minh rằng phương trình: (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) y =

2 − 2x + x2
x2 −1

b) y = 1 + 2 tan x .

2) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vng góc với d: x + 2 y − 3 = 0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi một vng góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC
1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần tự chọn.

1 . Theo chương trình chuẩn .
1
2
n −1
Bài 5a. Tính lim(
).
+
+ .... +
2
2
n +1 n +1
n2 + 1
Bài 6a. Cho y = sin 2 x − 2 cos x . Giải phương trình y / = 0 .
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho y = 2 x − x 2 . Chứng minh rằng: y3 .y / / + 1 = 0 .
Bài 6b . Cho f( x ) = f ( x ) =

64
x3

−

60
− 3 x + 16 . Giải phương trình f ′ ( x ) = 0 .
x

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


WWW.VNMATH.COM
ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2
Bài 1:



1 1
1 1
x  − 1− −
+ 3
−
+ 3x


x x2
x x2
x 2 − x − 1 + 3x
 =1
= lim
= lim 
1) lim
x →−∞
x →−∞

x →−∞
2x + 7


7
7
x2 + 
x2+ 
x
x



5
1 
2) lim ( −2 x 3 − 5 x + 1) = lim x 3  −2 −
+  = −∞
2
x →+∞
x →+∞
x
x3 

x 1−

2 x − 11
x →5 5 − x
 lim ( 5 − x ) = 0
+


 x →5
Ta có:  lim ( 2 x − 11) = −1 < 0
+
 x →5
x > 5 ⇔ 5− x < 0



3) lim+

4) lim

x →0

x3 + 1 − 1
x2 + x

= lim

x →0

⇒ lim+
x →5

x3
x ( x + 1) ( x 3 + 1 + 1)

2 x − 11
= +∞
5− x

= lim

x →0

x2

( x + 1) ( x 3 + 1 + 1)

=0

Bài 2:
1) • Khi x ≠ 1 ta có f ( x ) =

x3 − 1
= x 2 + x + 1 ⇒ f(x) liên tục ∀ x ≠ 1 .
x −1

• Khi x = 1, ta có:

f (1) = 2m + 1

⇒ f(x) liên tục tại x = 1 ⇔ f (1) = lim f ( x ) ⇔ 2m + 1 = 3 ⇔ m = 1
2
lim f ( x ) = lim( x + x + 1) = 3
x →1

x →1
x →1


Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.

2) Xét hàm số f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.
Ta có: f (−1) = m2 + 1 > 0 , ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0). f (1) < 0, ∀m
⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1) , ∀m
Bài 3:
1) a) y =

−2 − 2 x + x 2
x2 − 1

⇒ y' =

2 x2 + 2 x + 2

b) y = 1 + 2 tan x ⇒ y ' =

( x 2 − 1)2

1 + tan2 x
1 + 2 tan x

2) (C): y = x 4 − x 2 + 3 ⇒ y′ = 4 x 3 − 2 x
x = 0
a) Với y = 3 ⇔ x 4 − x 2 + 3 = 3 ⇔  x = 1

 x = −1
• Với x = 0 ⇒ k = y′ (0) = 0 ⇒ PTTT : y = 3
• Với x = −1 ⇒ k = y′ (−1) = −2 ⇒ PTTT : y = −2( x + 1) + 3 ⇔ y = −2 x + 1
• Với x = 1 ⇒ k = y′ (1) = 2 ⇒ PTTT : y = 2( x − 1) + 3 ⇔ y = 2 x + 1

b) d: x + 2 y − 3 = 0 có hệ số góc kd = −

1
⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 .
2

2


WWW.VNMATH.COM
3
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y′ ( x0 ) = 2 ⇔ 4 x0 − 2 x0 = 2 ⇔ x0 = 1 ( y0 = 3 )

⇒ PTTT: y = 2( x − 1) + 3 ⇔ y = 2 x + 1 .
Bài 4:
1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1)
A
• ∆OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI)
2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)

3)

K

O

(

• BI =

B

)

• BC ⊥ (OAI) ⇒ AB,( AOI ) = BAI

C
I

(2)

BC a 2
=
2
2

• ∆ABC đều ⇒ AI =
• ∆ABI vng tại I ⇒ cos BAI =

BC 3 a 2 3 a 6
=
=
2
2
2

AI
3

=
⇒ BAI = 30 0 ⇒ AB,( AOI ) = 300
AB
2

(

)

4) Gọi K là trung điểm của OC ⇒ IK // OB ⇒ ( AI , OB ) = ( AI , IK ) = AIK
• ∆AOK vng tại O ⇒ AK 2 = OA2 + OK 2 =

6a2
• AI =
4

a2
• IK =
4

2

2

5a2
4

• ∆AIK vng tại K ⇒ cos AIK =

1

IK
=
AI
6

 1
2
n −1 
1
Bài 5a: lim 
+
+ ...
(1 + 2 + 3 + ... + (n − 1))
 = lim 2
2
2
2
n +1
n +1
 n +1 n +1
1
1−
(n − 1) (1 + (n − 1) )
1
(n − 1)n
n =1
= lim
= lim
= lim
2

2
2 2
2
2(n + 1)
n +1
2+
n2
Bài 6a: y = sin 2 x − 2 cos x ⇒ y′ = 2 cos 2 x + 2sin x


π
 x = 2 + k 2π
sin x = 1

π
PT y ' = 0 ⇔ 2 cos 2 x + 2sin x = 0 ⇔ 2sin 2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ 
⇔  x = − + k 2π
1
sin x = −


6

2

7π
 x = 6 + k 2π


Bài 5b: y = 2 x − x 2 ⇒ y ' =

Bài 6b: f ( x ) =

64
x3

−

1− x
2x − x2

⇒ y" =

−1
(2 x − x 2 ) 2 x − x 2

⇒ y3 y "+ 1 = 0

60
192 60
− 3 x + 16 ⇒ f ′( x ) = −
+
−3
x
x4 x2

2
 4
192 60
 x = ±2
PT f ′( x ) = 0 ⇔ −

+
− 3 = 0 ⇔  x − 20 x + 64 = 0 ⇔ 
4
2
 x = ±4
x
x
x ≠ 0

=====================

3


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 3
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1) lim (− x 3 + x 2 − x + 1)

2) lim
−
x →−1

x →−∞

4) lim

3

2

3

2

2 x − 5x − 2 x − 3

x →3 4 x

3x + 2
x +1

− 13 x + 4 x − 3

 3 3x + 2 − 2


Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 2
ax + 1


4

x →2

x +2 −2

x +7 −3

4 −5
n

5) lim

3) lim

n

2 n + 3.5n

khi x >2
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.
khi x ≤ 2

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5).
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
5x − 3
1) y =
2) y = ( x + 1) x 2 + x + 1
2
x + x +1

3) y = 1 + 2 tan x

4) y = sin(sin x )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng tại A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC)
vng góc với đáy; SB = a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC).
1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC.
3) Chứng minh: ∆BHK vng .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
x 2 − 3x + 2
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
x +1
tuyến đó song song với đường thẳng d: y = −5 x − 2 .

Bài 6. Cho hàm số f ( x ) =

Bài 7. Cho hàm số y = cos2 2 x .
1) Tính y′′ , y′′′ .
2) Tính giá trị của biểu thức:

A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − 8 .

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


WWW.VNMATH.COM
ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 3
Bài 1:


1 1
1 
1) lim (− x 3 + x 2 − x + 1) = lim x 3  −1 + −
+  = +∞
2
x →−∞
x →−∞
x x
x3 

 lim ( x + 1) = 0
 x →−1−
3x + 2
3x + 2

. Ta có:  lim − (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒
lim
= +∞
2) lim −
−
x →−1 x + 1
x →−1 x + 1
 x →−1
 x < −1 ⇔ x + 1 < 0


x+2 −2

3) lim

x + 7 −3

x →2

4) lim

= lim

( x − 2) ( x + 7 + 3)

x →2 ( x − 2)

2 x3 − 5x2 − 2 x − 3

x →3 4 x

3

2

− 13 x + 4 x − 3

(

x + 2 + 2)

x+7 +3

= lim

2 x2 + x + 1

x+2 +2

x →2

=

3
2

11
x →3 4 x − x + 1 17

= lim

2

=

n

4
 5  −1
n

n
4 −5
−1
5) lim
= lim  
=
n
3
2n + 3.5n
2
+3
5
 
 3 3x + 2 − 2


Bài 2: f ( x ) =  x − 2
ax + 1


4

khi x >2
khi x ≤ 2

• f (2) = 2a +

Ta có:

• lim f ( x ) = lim

x →2

+

x →2

3

+

1
4


1
1
• lim f ( x ) = lim  ax +  = 2a +
−
−
4
4
x →2
x →2 

3x + 2 − 2
= lim
x−2
x →2 +
( x − 2)

3( x − 2)

(

3

(3 x − 2)2 + 2 3 (3 x − 2) + 4

Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ f (2) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 2a +
x →2

x →2

)

=

1
4

1 1
= ⇔a=0
4 4

Bài 3: Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 ⇒ f liên tục trên R.
Ta có:
f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16
⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)
f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1; 2)
f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)

⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).

Bài 4:
1) y =

5x − 3
x2 + x + 1

⇒ y′ =

−5 x 2 + 6 x + 8
( x 2 + x + 1)2

3) y = 1 + 2 tan x ⇒ y ' =

1 + 2 tan 2 x
1 + 2 tan x

2) y = ( x + 1) x 2 + x + 1 ⇒ y′ =

4 x 2 + 5x + 3
2 x2 + x + 1

4) y = sin(sin x ) ⇒ y ' = cos x.cos(sin x )
2


WWW.VNMATH.COM
Bài 5:

1)

S

( SAB ) ⊥ ( ABC ) 

( SBC ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SB ⊥ ( ABC )
( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB 


K

H
B

C

60 0

2)

3)
4)

A

CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH
Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC
Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK)
Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vng tại H.

Vì SC ⊥ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)

(

)

⇒ SA,( BHK ) = ( SA, KH ) = SHK

Trong ∆ABC, có: AC = AB tan B = a 3; BC 2 = AB 2 + AC 2 = a2 + 3a2 = 4a2
Trong ∆SBC, có: SC 2 = SB 2 + BC 2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ SC = a 5 ; SK =
Trong ∆SAB, có: SH =

SB 2 a 2
=
SA
2

Trong ∆BHK, có: HK 2 = SH 2 − SK 2 =

(

SB 2 a 5
=
SC
5

)

⇒ cos SA,(BHK ) = cos BHK =

3a 2
a 30
⇒ HK =
10
10

60
15
HK
=
=
10
5
SH

x 2 − 3x + 2
x2 + 2 x − 5
⇒ f ′(x) =
x +1
( x + 1)2
Tiếp tuyến song song với d: y = −5 x − 2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = −5 .

Bài 6: f ( x ) =

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: f ′( x0 ) = −5 ⇔

2
x0 + 2 x 0 − 5

( x0 + 1)2

• Với x0 = 0 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = −5 x + 2
• Với x0 = −2 ⇒ y0 = −12 ⇒ PTTT: y = −5 x − 22

Bài 7: y = cos2 2 x =

1 cos 4 x
+
2
2

1) y′ = −2sin 4 x ⇒ y " = −8 cos 4 x ⇒ y '" = 32 sin 4 x
2) A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − 8 = 8 cos 4 x
==========================

3

x = 0
= −5 ⇔  0
 x 0 = −2


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1) lim (−5 x 3 + 2 x 2 − 3)

x →−∞
( x + 3)3 − 27
x →0
x

2) lim +
x →−1

3x + 2
x +1

3) lim

x →2

2− x
x + 7 −3

 3n − 4 n + 1 
5) lim 

 2.4n + 2n 



4) lim

 x −1

khi x > 1

Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
3ax
khi x ≤ 1

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y =

2x2 − 6x + 5
2x + 4

2) y =

x2 − 2x + 3
2x + 1

3) y =

sin x + cos x
sin x − cos x

4) y = sin(cos x )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ (SAD )
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 :
1) Tại điểm M ( –1; –2)

1
2) Vng góc với đường thẳng d: y = − x + 2 .
9
Bài 7. Cho hàm số: y =

x2 + 2x + 2
. Chứng minh rằng: 2 y.y′′ − 1 = y′2 .
2

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

1


WWW.VNMATH.COM
ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
Bài 1:


2
3 
1) lim (−5 x 3 + 2 x − 3) = lim x 3  −1 +
−  = +∞
2

x →−∞
x →−∞
x
x3 

 lim ( x + 1) = 0
 x →−1+
3x + 2
3x + 2

. Ta có:  lim (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒ lim +
= −∞
2) lim +
+
x →−1 x + 1
x →−1
x →−1 x + 1

 x > −1 ⇒ x + 1 > 0


2− x

3) lim

x +7 −3

x →2

(2 − x ) ( x + 7 + 3)

= lim − ( x + 7 + 3 ) = −6
x →2
x →2
x −2

= lim

( x + 3)3 − 27
x 3 + 9 x 2 + 27 x
= lim
= lim ( x 2 + 9 x + 27) = 27
x →0
x →0
x →0
x
x

4) 4) lim

n

n

3
1
 4  −1+  4 
n
n
3 − 4 +1
  =−1

= lim  
5) lim
n
2
2.4n + 2n
1
2+ 
2

 x −1

khi x > 1
Bài 2: f ( x ) =  x − 1
3ax
khi x ≤ 1

• f (1) = 3a

Ta có:

• lim+ f ( x ) = lim+
x →1

x →1

• lim− f ( x ) = lim− 3ax = 3a
x →1

x −1
= lim

x − 1 x →1+

1
x +1

x →1

=

1
2

Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ f (1) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 3a =
x →1

x →1

1
1
⇔a=
2
6

Bài 3: Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục trên R.

f (0) = 0,1 > 0
 ⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (−1; 0)
f (−1) = −1001 + 0,1 < 0 

Bài 4:

1) y =

2x2 − 6x + 5
4 x 2 + 16 x − 34 2 x 2 + 8 x − 17
⇒ y' =
=
2x + 4
(2 x + 4)2
2( x + 2)2

2) y =

x2 − 2x + 3
3x − 7
⇒ y' =
2x + 1
(2 x + 1)2 x 2 − 2 x + 3

3) y =


π
sin x + cos x
⇒ y = − tan  x +  ⇒ y ' = −
sin x − cos x
4


4) y = sin(cos x ) ⇒ y ' = − sin x.cos(cos x )
2

1



π 
= −  1 + tan 2  x +  
4 

π


cos2  x + 
4



WWW.VNMATH.COM
Bài 5:
1)

S

2)

• BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD)
• Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)

(

)

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SD,( ABCD ) = SDA

H
A

SA 2a
=
=2
AD a
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
tan SDA =

B
O

D

(

)

AB ⊥ (ABCD) ⇒ SB,(SAD ) = BSA

C

tan BSA =

AB a 1
=
=
SA 2a 2

• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).

(

)

BO ⊥(SAC) ⇒ SB,(SAC ) = BSO .

a 2
3a 2
OB 1
, SO =
⇒ tan BSO =
=
2
2
OS 3
3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.
OB =

1
2

=

1
2

+

1
2

=

1
2

+

1

4a
AH
SA
AD
a
• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)

2

⇒ AH =

BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO =

2a 5
2a 5
⇒ d ( A,(SCD )) =
5
5

a 2
2

Bài 6: (C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 − 6 x
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y′ (−1) = 9 ⇒ PTTT: y = 9 x + 7

1
2) Tiếp tuyến vng góc với d: y = − x + 2 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 .
9
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
 x = −1
2
2
Ta có: y′ ( x0 ) = 9 ⇔ 3 x0 − 6 x0 = 9 ⇔ x0 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔  0
 x0 = 3
• Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT: y = 9 x + 7
• Với x0 = 3 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = 9 x − 25
x2 + 2x + 2
⇒ y′ = x + 1 ⇒ y′′ = 1
2
 x2

⇒ 2 y.y′′ − 1 = 2 

+ x + 1 .1 − 1 = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)2 = y′
 2


Bài 7: y =

( )

2

=============================

3


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 5
A. PHẦN CHUNG:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2n3 − 2n + 3
1 − 4n

x +3 −2

b) lim

3

x2 −1

x →1

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 2
 x + 3x + 2
khi x ≠ −2
f (x) =  x + 2
3
khi x = −2

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2sin x + cos x − tan x

b) y = sin(3 x + 1)

c) y = cos(2 x + 1)

d) y = 1 + 2 tan 4 x

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600 và SA = SB = SD = a.
a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vng.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
B. PHẦN TỰ CHỌN:

1. Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1 (1)
a) Tính f '(−5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
2. Theo chương trình Nâng cao

sin 3 x
cos3 x 
Bài 5b: Cho f ( x ) =
+ cos x − 3  sin x +
.
3
3 

Giải phương trình f '( x ) = 0 .
Bài 6b: Cho hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 2 x + 3 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 22 x + 2011
1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng ∆: y = − x + 2011
4
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

1


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TOÁN Lớp 11

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 5
Bài 1:
a) lim

b) lim

x →1

3

2n − 2n + 3
1 − 4 n3

x+3 −2
x2 − 1

2

2−

n
1

= lim

n3

= lim

(

+

3

n3 = − 1
2
−4

2

x + 3 − 2 )( x + 3 + 2 )

x →1 ( x − 1)( x + 1)

 2
 x + 3x + 2
Bài 2: f ( x ) =  x + 2
3


(

x + 3 + 2)

1

= lim

x →1 ( x + 1)

(

x + 3 + 2)

=

1
8

khi x ≠ −2
khi x = −2

( x + 1)( x + 2)
= x + 1 ⇒ f(x) liên tục tại ∀x ≠ −2
x+2
• Tại x = −2 ta có: f (−2) = 3, lim f ( x ) = lim ( x + 1) = −1 ⇒ f (−2) ≠ lim f ( x )

• Khi x ≠ −2 ta có f ( x ) =

x →−2

x →−2

x →−2

⇒ f(x) không liên tục tại x = –2.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (−∞; −2), (−2; +∞) .

Bài 3:
a) y = 2sin x + cos x − tan x ⇒ y ' = 2 cos x − sin x − 1 − tan2 x
b) y = sin(3 x + 1) ⇒ y ' = 3 cos(3 x + 1)
c) y = cos(2 x + 1) ⇒ y = −2 sin(2 x + 1)
d) y = 1 + 2 tan 4 x ⇒ y ' =

8

1

.

cos2 4 x 2 1 + 2 tan 4 x

=

4 (1 + tan2 4 x )
1 + 2 tan 4 x

Bài 4:
a)

S

A

B

H
O

Mặt khác ∆ABD có AB = AD và BAD = 600 nên ∆ABD đều.
Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H ∈ AO ⇒ H ∈ AC
SH ⊂ (SAC )
Như vậy, 
⇒ (SAC ) ⊥ ( ABCD )
SH ⊥ ( ABCD )

D
b)

C
Trong ∆ABC, ta có: AH =

Vẽ SH ⊥ (ABCD). Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

Ta có ∆ABD đều cạnh a nên có AO =

a 3
⇒ AC = a 3
2

Tam giác SAC có SA = a, AC = a 3
2
1
a 3
a2
AO = AC =
⇒ AH 2 =

3
3
3
3

a2 2a2
=
3
3
2
2
2a 3
4a
4a2 2a2
HC = AC =
⇒ HC 2 =
⇒ SC 2 = HC 2 + SH 2 =
+
= 2a2
3
3
3
3
3

Tam giác SHA vng tại H có SH 2 = SA2 − AH 2 = a2 −

SA2 + SC 2 = a 2 + 2a2 = 3a2 = AC 2 ⇒ tam giác SCA vuông tại S.
c) SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ d (S ,( ABCD )) = SH =

a 6
3

2


WWW.VNMATH.COM
Bài 5a: f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1 ⇒ f ′( x ) = 6 x 2 − 6
a) f ′(−5) = 144
b) Tại điểm Mo(0; 1) ta có: f ′(0) = −6 ⇒ PTTT: y = −6 x + 1
c) Hàm số f(x) liên tục trên R. f (−1) = 5, f (1) = −3 ⇒ f (−1). f (1) < 0
⇒ phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
Bài 5b: f ( x ) =


sin 3 x
cos3 x 
+ cos x − 3  sin x +
 ⇒ f ′( x ) = cos3 x − sin x − 3(cos x − sin 3 x )
3
3 


1
3
1
3
PT f ′( x ) = 0 ⇔ cos3 x − 3 sin 3 x = sin x − 3 cos x ⇔ cos3 x −
sin 3 x = sin x −
cos x

2
2
2
2


π
π
π
x = 8 + k 2
π


π   4 x = 2 + k 2π
⇔ sin  − 3 x  = sin  x −  ⇔ 
⇔
3
6


 2 x = − 7π + k 2π
 x = − 7π + kπ


6
12
3
2
Bài 6b: f ( x ) = 2 x − 2 x + 3 ⇒ f ′( x ) = 6 x − 2
a) Tiếp tuyến song song với d: y = 22 x + 2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 22 .

 x = −2
2
2
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có f ′( x0 ) = 22 ⇔ 6 x0 − 2 = 22 ⇔ x0 = 4 ⇔  0
 x0 = 2
• Với x0 = −2 ⇒ y0 = −9 ⇒ PTTT : y = 22 x + 35
• Với x0 = 2 ⇒ y0 = 15 ⇒ PTTT : y = 22 x − 29

1
b) Tiếp tuyến vng góc với ∆: y = − x + 2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 4 .
4
 x = −1
2
2
Gọi ( x1; y1 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có f ′( x1 ) = 4 ⇔ 6 x1 − 2 = 4 ⇔ x1 = 1 ⇔  1
 x1 = 1
• Với x1 = −1 ⇒ y1 = 3 ⇒ PTTT : y = 4 x + 7
• Với x1 = 1 ⇒ y1 = 3 ⇒ PTTT : y = 4 x − 1

===============================

3


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 6

A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
3x 2 − 4 x + 1
x2 − 9
b) lim
a) lim
x→1
x→−3 x + 3
x −1

x −2
c) lim
x→2 x + 7 − 3

d)

lim
x→−∞

x 2 + 2 − 3x
2x + 1

 x2 − x − 2

khi x ≠ 2
Câu 2: Cho hàm số f ( x ) =  x − 2
.
 m
khi x = 2


a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

3

b) y = ( x − 1)( x + 2)

c) y =

1

2

d) y = x + 2 x

( x 2 + 1)2

 2x2 + 1 
e) y = 

 x2 − 3 



4

B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vng cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường
cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vng góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy
ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 6
Câu 1:

3x 2 − 4 x + 1
( x −1)(3 x −1)

= lim
= lim (3 x − 1) = 2
x→1
x →1
x −1
x −1
x 2 −9
b) lim
= lim ( x − 3) = −6
x→−3 x + 3 x→−3
x −2
c) lim
= lim ( x + 7 +3 ) = 6
x→2 x + 7 −3 x→2

a) lim
x→1




2 
2
− x  1+ +3 
x  1+
 −3 x





x 2 +2 −3 x
x2 
x2 


d) lim
= lim
= lim
x →−∞ 2 x +1
x →−∞
x →−∞
2 x +1
2 x +1


2
− 1+ +3 


x2 

= lim
= −2
1
x →−∞
2+
x
2
 x − x −2


khi x ≠ 2
Câu 2: f ( x ) =  x − 2

khi x = 2
 m
• Ta có tập xác định của hàm số là D = R
a) Khi m = 3 ta có
 ( x + 1)( x − 2)

, khi x ≠ 2  x + 1, khi x ≠ 2 ⇒ f(x) liên tục tại mọi x ≠ 2.
f (x) = 
=
x−2
3 , khi x = 2
3
, khi x = 2 

Tại x = 2 ta có: f(2) = 3; lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 2.
x→2
x →2
Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
 x2 − x − 2

khi x ≠ 2  x + 1 khi x ≠ 2
b) f ( x ) =  x − 2
=
khi x = 2
m
 m
khi x = 2


Tại x = 2 ta có: f(2) = m ,
lim f ( x ) = 3
x →2
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔ f (2) = lim f ( x ) ⇔ m = 3
x→2

Câu 3: Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 ⇒ f liên tục trên R.
Ta có:
f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16
⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)
f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1; 2)
f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)

⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 4:
4

2

a) y ' = 5 x − 3 x + 4 x

b) y ' =

−4 x

( x 2 + 1)3

c) y ' =
2

x +1
x2 + 2x

3

 2x2 + 3 
d) y ' = −



( x 2 − 3 )2  x 2 − 3 

56 x


WWW.VNMATH.COM
Câu 5a:
a)

• AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB.
• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC)

b)

S

SI ⊥ (ABC) ⇒ SB,( ABC ) = SBI

(

)

AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒ SBI = 450

M

c)

A

I

C

(

)

SB ⊥ (AMC) ⇒ SC ,( AMC ) = SCM
Tính được SB = SC = a 2 = BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung điểm của
SB ⇒ SCM = 300

B

Câu 5b:

S

a)

K
H
C

D
M

O
A

B

Xét tam giác SOB có OB =

b)

SO ⊥ ( ABCD )
• Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên 
 AC ⊥ BD
SO ⊥ BD
⇒ 
⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ (SAC) ⊥ (SBD)
 AC ⊥ BD
SO ⊥ (ABCD )
• 
⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)
SO ⊂ (SBD )
• Tính d (S ,( ABCD ))
SO ⊥ (ABCD) ⇒ d (S ,( ABCD )) = SO

a 2
7a 2
a 14
, SB = 2a ⇒ SO 2 = SA2 − OB 2 =
⇒ SO =
2
2
2

• Tính d (O,(SBC ))
Lấy M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ (SBC) ⊥ (SOM).
Trong ∆SOM, vẽ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d (O,(SBC )) = OH
Tính OH:

a 14
2
2
2
SO =

2 ⇒ 1 = 1 + 1 ⇒ OH 2 = OM .OS = 7a ⇒ OH = a 210
∆SOM có 
30
30
OH 2 OM 2 OS 2
OM 2 + OS 2
OM = a

2


c) Tính d ( BD, SC )
Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC. Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK là đường vng góc chung của
BD và SC ⇒ d ( BD, SC ) = OK .
Tính OK:

a 14
2
2
2
SO =

2 ⇒ 1 = 1 + 1 ⇒ OK 2 = OC .OS = 7a ⇒ OK = a 7
∆SOC có 
4
OK 2 OC 2 OS 2
OC 2 + OS 2 16
OC = a 2


2

========================

3


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 7
I. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →+∞

(

x2 + 5 − x

)

b) lim

x →−3

x +3
x2 − 9

 2x + 1
1
khi x ≠ −
 2

2
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số f ( x ) =  2 x + 3 x + 1
1

A
khi x = −


2
1
Xét tính liên tục của hàm số tại x = −
2
Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]: x 3 + 5 x − 3 = 0 .
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ( x + 1)(2 x − 3)

b) y = 1 + cos2

x
2

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD = 600 , đường
cao SO = a.
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y = 2 x 3 − 7 x + 1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC), SA= a. M
là một điểm trên cạnh AB, ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.

b) Hạ AK ⊥ SH. Tính SK và AH theo a và ϕ .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y = 1 − x +

x2
x2 x3
và (C): y = 1 − x +
− .
2
2
6

a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh a; SA = SB = SC
a 5
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
2
a) Chứng minh rằng: SO ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh rằng: (SIJ) ⊥ (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).

= SD =

c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .

WWW.VNMATH.COM
ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 7
Câu 1:
a) lim

x →+∞

b) lim

(

)

x 2 + 5 − x = lim

x+3

x →−3 x 2

x →+∞

5
x2 + 5 + x

= lim

x →+∞

5


5
x  1+
+ 1


x2



=0

1
1
=−
x →−3 x − 3
6

= lim

−9
 2x + 1
1
 1

1
khi x ≠ −
 2
 x + 1 khi x ≠ − 2
 2 x + 3x + 1

2 =
Câu 2: f ( x ) = 

1
1
A
A
khi x = −
khi x = −


2


2
 1
1
1
Tại x = − ta có: f  −  = A , lim
=2
1 x +1
2
 2
x →−

2

 1
1
1
⇔ A=2
f ( x ) liên tục tại x = − ⇔ f  −  = lim
2
 2  x →− 1 x + 1
2

3

Câu 3: Xét hàm số f ( x ) = x + 5 x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
f (0) = −3, f (1) = 3 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1) .
Câu 4:
a) y = ( x + 1)(2 x + 3) = 2 x 2 − x − 3 ⇒ y′ = 4 x − 1
x
b) y = 1 + cos2 ⇒ y ' =
2

x
x
−2 sin cos
sin x
2
2 =−
x
x
4. 1 + cos2

4. 1 + cos2
2
2

Câu 5:
a)

S

b)

H

(

)

• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SK ,( ABCD ) = SKO

F

D
600

• AB = AD = a, BAD = 600 ⇒ ∆ BAD đều ⇒ BD = a
• BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK).
Tính góc của SK và mp(ABCD)

C

• ∆ BOC có OB =

a
a 3
, OC =
2
2

SO 4 3
a 3
=
⇒ tan SKO =
B
A
3
OK
4
OK
OB
OC
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
• AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC ))
• Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC)
• Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC )) = AH .
• ∆CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF

O

K

1

2

• ∆SOK có OK =

=

1

2

+

1

2

⇒ OK =

a 3
2a 57
1
1
1
a 57
, OS = a ⇒
=
+
⇒ OF =

⇒ AH = 2OF =
2
2
2
19
4
19
OF
OS
OK

Câu 6a: y = 2 x 3 − 7 x + 1 ⇒ y ' = 6 x 2 − 7
2


WWW.VNMATH.COM
a) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 3, y′ (2) = 17 ⇒ PTTT : y = 17 x − 31

 x = −1
2
b) Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y′ ( x0 ) = −1 ⇔ 6 x0 − 7 = −1 ⇔  0
 x0 = 1
• Với x0 = −1 ⇒ y0 = 6 ⇒ PTTT : y = − x + 7
• Với x0 = 1 ⇒ y0 = −4 ⇒ PTTT : y = − x − 5

Câu 7a:
a)

S

K

A

ϕ
M

C

• AC cố định, AHC = 900 ⇒ H nằm trên đường trịn đường kính
AC nằm trong mp(ABC).
Mặt khác: + Khi M → A thì H ≡ A
+ Khi M → B thì H ≡ E (E là trung điểm của BC).

Vậy quĩ tích các điểm H là cung AHE của đường trịn đường kính
AC nằm trong mp(ABC).
b) Tính SK và AH theo a và ϕ

E

H

Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB
• SA ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiều của SH trên (ABC).
Mà CH ⊥ SH nên CH ⊥ AH.

B

• ∆AHC vng tại H nên AH = AC.sin ACM = a sin ϕ

• SH 2 = SA2 + AH 2 = a2 + a2 sin2 ϕ ⇒ SH = a 1 + sin2 ϕ
• ∆SAH vng tại A có SA2 = SK .SH ⇔ SK =

Câu 6b: (P): y = f ( x ) = 1 − x +
a) f ( x ) = 1 − x +

SA2
a
⇔ SK =
SH
1 + sin2 ϕ

x2
x2 x3
và (C): y = g( x ) = 1 − x +
−
.
2
2
6

x2
x 2 x3
x2
⇒ f ′ ( x ) = −1 + x ; g( x ) = 1 − x +
−
⇒ g ′( x ) = −1 + x −
2
2
6

2

• f ′( x ) = g ′( x ) ⇔ x = 0
• f (0) = g(0) = 1 ⇒ đồ thị hai hàm số có ít nhất một tiếp tuyến chung tại điểm M(0;1) hay tiếp xúc
nhau tại M(0;1) .
b) Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm M(0;1) : y = − x + 1
Câu 7b:
a) Vì SA = SC nên SO ⊥ AC, SB = SD nên SO ⊥ BD
S
⇒ SO ⊥ (ABCD).
b) • I, J, O thẳng hàng ⇒ SO ⊂ (ABCD).
a 5
SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD)
2
• BC ⊥ IJ, BC ⊥ SI ⇒ BC ⊥ (SIJ) ⇒ (SBC) ⊥ (SIJ)
H
A
⇒ (SBC ),(SIJ ) = 900
B

(

c)

J
D

Vẽ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d (O,(SBC )) = OH

I

O
a

)

C

∆SOB có SB =
∆SOI có

1
OH 2

=

1
SO 2

a 5
a 2
3a2
, OB =
⇒ SO 2 = SB 2 − OB 2 =
2
2
4

+

1
OI 2

=================

3

⇒ OH 2 =

3a2
a 3
⇒ OH =
16
4


WWW.VNMATH.COM
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014
Mơn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 8
A. PHẦN BẮT BUỘC
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →+∞

2 x 2 − 3x + 4
−4 x 2 + 2 x + 1

b) lim

x →1

x 2 − 3x + 2

c) lim

x2 −1

x →2

x2 + 5 − 3
x−2

x +1
khi x ≤ 1
Câu 2: Cho hàm số f ( x ) = 
. Định a để hàm số liên tục tại x = 1
2
4 − ax khi x > 1
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình 2 x 3 − 6 x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên [–2; 2].
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x + 5
a) y =
b) y = sin x.cos3 x
2x + 1
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, hai mặt bên (SAB), (SBC) vng
góc với đáy, SB = a.

a) Gọi I là trung điểm SC. Chứng minh rằng: (BID) ⊥ (SCD).
b) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng.
c) Tính góc của mp(SAD) và mp(SCD).
B. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
1
Câu 6a: Cho hyperbol (H): y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (H):
x
a) Tại điểm có hồnh độ x0 = 1 .

1
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = − x .
4
Câu 7a: Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,
A′B′C′, ACC′. Chứng minh rằng:
a) (IJK) // (BB′C′C)
b) (A′JK) // (AIB′)
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b: Giải và biện luận phương trình f ′( x ) = 0 , biết f ( x ) = sin 2 x + 2(1 − 2m) cos x − 2mx .
Câu 7b: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng, AD // BC, AB = a, BC = a,

ADC = 450 . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vng góc với đáy, SA = a 2 .
a) Tính góc giữa BC và mp(SAB)
b) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .