tài liệu ôn thi đại học môn toán mới nhất khảo sát hàm số

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



8

Chủ đề 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Nội dung 1: Tính đơn điệu của hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: Cho hàm số
y f(x)

có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số
f(x)
đồng biến trên K thì
f '(x) 0

với mọi
x K


b) Nếu hàm số
f(x)
nghịch biến trên K thì
f '(x) 0

với mọi
x K




 [ f(x) đồng biến trên K]

[
f '(x) 0

với mọi
x K

]

 [ f(x) nghịch biến trên K]

[
f '(x) 0

với mọi
x K

]
 [
f '(x) 0

với mọi
x K

]


[ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số
y f(x)

có đạo hàm trên K.
a) Nếu


f ' x 0

với mọi
x K

thì hàm số
f(x)
đồng biến trên K
b) Nếu


f ' x 0

với mọi
x K

thì hàm số
f(x)
nghịch biến trên K
c) Nếu



f ' x 0

với mọi
x K

thì hàm số
f(x)
không đổi trên K

 [
f '(x) 0

với mọi
x K

]

[ f(x) đồng biến trên K]

 [
f '(x) 0

với mọi
x K

]

[ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số
y f(x)

có đạo hàm trên K.
a) Nếu


f ' x 0

với mọi
x K

và


f ' x 0

chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số
f(x)
đồng biến trên K.
b) Nếu


f ' x 0

với mọi
x K

và



f ' x 0

chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số
f(x)
nghịch biến trên K.

4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba




3 2
y f x ax bx cx d a 0
     
, ta có


2
f ' x 3ax 2bx c
  
.
a) Hàm số




3 2

y f x ax bx cx d a 0
     
đồng biến trên





2
f ' x 3ax 2bx c 0 x
     


b) Hàm số




3 2
y f x ax bx cx d a 0
     
nghịch biến trên





2
f ' x 3ax 2bx c 0 x
     



NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai
2
( ) ( 0)
f x ax bx c a
   
ta có:

0
( ) 0 x
a 0
f x

 


   







0
( ) 0 x
a 0
f x


 


   






Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



9

B. Phương pháp giải toán
Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?
D


B2. Tính
' ?
y


B3. Lập luận:



y
đồng biến trên X

' 0,
y x X
  




y
nghịch biến trên X

' 0,
y x X
  

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình
' 0
y

có hữu hạn
nghiệm, nếu phương trình
' 0
y


có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
2 3 2
1
( ) 2 3 1
3
y m m x mx x
    
. Tìm
m
để hàm số luôn đồng biến trên

.
Bài giải:
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
2 2
' ( ) 4 3
y m m x mx
   

♣ Hàm số luôn đồng biến trên




' 0
y

x
 


♥ Trường hợp 1: Xét
2
0
0
1
m
m m
m


  




+ Với
0
m

, ta có ' 3 0,y x
   


, suy ra
0
m

thỏa.
+ Với
1
m

, ta có
3
' 4 3 0
4
y x x
     
, suy ra
1
m

không thỏa.
♥ Trường hợp 2: Xét
2
0
0
1
m
m m
m



  



, khi đó:
♣
' 0
y


x
 




2
2
' 3 0
0
m m
m m

   


 





3 0
0 1
m
m m
  


  




3 0
m
  

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị
m
cần tìm là
3 0
m
  
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3 2 2
3 3( 1) 2 3
y x mx m x m
     

. Tìm
m
để hàm số nghịch biến trên khoảng


1;2
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
2 2
' 3 6 3( 1)
y x mx m
   

♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng


1;2



' 0
y




1;2
x 
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



10

Ta có
2 2
' 9 9( 1) 9 0,
m m m
      

Suy ra
'
y
luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
1; 1
x m x m
   

1 2
( )
x x

Do đó:

' 0
y




1;2
x 


1 2
1 2
x x
  



1
2
1
2
x
x








1 1
1 2
m
m
 


 




1 2
m
 

♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
1 2
m
 
.
Bài tập tương tự
Cho hàm số





     
3 2
2 3 2 1 6 1 1
y x m x m m x
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng



2; .
Đáp số:
1
m

.
Ví dụ 3. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx
   
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng


0;

.
Bài giải

♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
2
' 3 6
y x x m
  

♣ Hàm số đồng biến trên khoảng


0;




' 0
y

,


0;x
  
(có dấu bằng)



2
3 6 0
x x m
  
,


0;x
  




2
3 6
x x m
 
,


0;x
  
(*)
♣ Xét hàm số
2
( ) 3 6
f x x x
 
,



0;x
  
, ta có:

'( ) 6 6
f x x
 
;
'( ) 0 1
f x x
  

Bảng biến thiên:
x

0 1



'( )
f x





0


( )
f x


0



3



♣ Từ BBT ta suy ra: (*)


3
m


♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3
m

.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
    

3 2
3 3 1
y x x mx
. Tìm
m
để hàm số nghịch biến trên khoảng



0; .
Đáp số:
1
m

.
Ví dụ 4. Cho hàm số
7 8
mx m
y
x m
 


. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN

11

Bài giải
♦ Tập xác định:


\
D m



♦ Đạo hàm:
 
2
2
7 8
'
m m
y
x m
  


. Dấu của
'
y
là dấu của biểu thức
2
7 8
m m

  
.
♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định


' 0
y

,
x D
 
(không có dấu bằng)



2
7 8 0
m m
   




8 1
m
  

♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là

8 1
m
  
.
Ví dụ 5. Cho hàm số
7 8
mx m
y
x m
 


. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng


3;

.
Bài giải
♦ Tập xác định:


\
D m



♦ Đạo hàm:

 
2
2
7 8
'
m m
y
x m
  


. Dấu của
'
y
là dấu của biểu thức
2
7 8
m m
  
.
♣ Hàm số đồng biến trên khoảng


3;




' 0
y


,


3;x
  
(không có dấu bằng)



2
7 8 0
3
m m
m

   







8 1
3
m
m

  












8 3
m
  

♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
8 3
m
  
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1
(1 ) 2(2 ) 2(2 ) 5
3
y m x m x m x
      

. Tìm
m
để hàm số luôn nghịch biến trên


Đáp số:
2 3
m
 
.
Bài 2: Cho hàm số
     
2 3 2
1
( 4) ( 2) 2 3
3
y m x m x x . Tìm
m
để hàm số luôn đồng biến trên


Đáp số:
2
m

hoặc
6
m

.

Bài 3: Cho hàm số
    
3 2
2 3 3( 1) 1
y x mx m x
. Tìm
m
để hàm số luôn đồng biến trên


1;


Đáp số:
1
m

.
Bài 4: Cho hàm số


 
2
3
mx
y
x m
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



12

Đáp số:
1
m

hoặc
2
m

.
Bài 5: Cho hàm số
9
mx
y
x m



. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng


;2


Đáp số:
2 3
m
 
.
Bài 6: Cho hàm số


 
2
1
mx
y
x m
. Tìm
m
để hàm số nghịch biến trên khoảng



1;
Đáp số:
2
m
 
.
Nội dung 2: Cực trị của hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm
0
x
. Khi đó nếu f có đạo hàm tại
0
x
thì
0
'( ) 0
f x


2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
Giả sử hàm số
( )
y f x

liên tục trên khoảng


;
a b
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khoảng


0
;x

a
và


0
;
x b
. Khi đó
a) Nếu
'( ) 0
f x

với mọi


0
;
x a x

và
'( ) 0
f x

với mọi


0
x ;b
x


thì hàm số
( )
f x
đạt cực tiểu tại điểm
0
x
.
b) Nếu
'( ) 0
f x

với mọi


0
;
x a x

và
'( ) 0
f x

với mọi


0
x ;b
x


thì hàm số
( )
f x
đạt cực đại tại điểm
0
x
.
3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng


;
a b
chứa điểm
0
x
,
0
'( ) 0
f x

và f có đạo hàm cấp hai khác
không tại điểm
0
x
. Khi đó
a) Nếu
0
''( ) 0

f x

thì hàm số
( )
f x
đạt cực đại tại điểm
0
x

b) Nếu
0
''( ) 0
f x

thì hàm số
( )
f x
đạt cực tiểu tại điểm
0
x

4) Định lý 4:
a) Hàm số




3 2
y f x ax bx cx d a 0
     

có hai điểm cực trị





2
f ' x 3ax 2bx c 0
   
có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số




4 2
y f x ax bx c a 0
    
có ba điểm cực trị





3
f ' x 4ax 2bx 0
   có ba nghiệm phân biệt.

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN

13

B. Phương pháp giải toán
Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị).
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?
D


B2. Tính
' ?
y


B3. Lập luận:
Lưu ý:
a) Hàm số




3 2
y f x ax bx cx d a 0
     
có hai điểm cực trị





2
f ' x 3ax 2bx c 0
   
có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số




4 2
y f x ax bx c a 0
    
có ba điểm cực trị





3
f ' x 4ax 2bx 0
   có ba nghiệm phân biệt.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
     
2 3 2
1
( 1) ( 1) 3 5

3
y m x m x x
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
2 2
' ( 1) 2( 1) 3
y m x m x
    


' 0
y




2 2
( 1) 2( 1) 3 0
m x m x
    

♣ Hàm số có hai điểm cực trị



' 0
y

có hai nghiệm phân biệt



2
2 2
1 0
' ( 1) 3( 1) 0
m
m m


 



     






2
1

2 2 4 0
m
m m

 




   






1 1
1 2 1 2
m m
m m
 
  
 
 

 
 
     
 
 

♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
1
1 2
m
m






  


.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
    
3 2
3 2
y x x mx m . Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị.
Đáp số:
3
m


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



14

Ví dụ 2. Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10
y mx m x
   
. Tìm
m
để hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
3 2 2 2
' 4 2( 9) 2 .(2 9)
y mx m x x mx m
     


' 0

y




2 2
0
2 9 0 (1)
x
mx m




  


♣ Hàm số có ba điểm cực trị

' 0
y

có ba nghiệm phân biệt


(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0



2

2
0
' 2 ( 9) 0
9 0
m
m m
m






    




 





0
3
0 3
3
m
m

m
m














 











3
0 3

m
m




 


♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3
0 3
m
m




 

.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
    
4 2
( 1) 2 1
y x m x m
. Tìm

m
để hàm số có 3 điểm cực trị.
Đáp số:
1
m

.
Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x
0
.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?
D


B2. Tính
' ?
y


B3. Lập luận:
a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x
0



0
'( ) 0
y x




Giá trị của tham số m.
b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào
'
y
thử lại. Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc
quy tắc 2.

2. VÍ DỤ
Ví dụ . Cho hàm số
 
       
3 2 2 2
1
2 (3 1) 5
3
y x m m x m x m .
Tìm
m
để hàm số đạt cực tiểu tại
2
x
 
.
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN

15

Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:


2 2 2
' 2 2 3 1
y x m m x m
     

a) Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại
2
x
 



'( 2) 0
y
 




2
4 3 0
m m
   



1
3
m
m







b) Điều kiện đủ:
♣ Với
1
m

, ta có:
2
' 4 4
y x x
  
,

' 0 2
y x
  

Bảng biến thiên
x



2




'
y




0



y



Từ BBT ta suy ra
1

m

không thỏa.
♣ Với
3
m

, ta có:
2
' 16 28
y x x
  
,
14
' 0
2
x
y
x

 

 

 


Bảng biến thiên
x



14


2





'
y




0



0



y

CĐ
CT
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại

2
x
 
.
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3
m

.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
   
3 2
3 2
y x mx x . Tìm
m
để hàm số đạt cực tiểu tại
2
x

. Đáp số:
15
4
m 
Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?

D


B2. Tính
' ?
y


B3. Lập luận

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



16

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
     
3 2
(2 1) (2 ) 2
y x m x m x
.
Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D




♦ Đạo hàm:
2
' 3 2(2 1) 2
y x m x m
    


' 0
y




2
3 2(2 1) 2 0
x m x m
    

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương



' 0
y

có hai nghiệm dương phân biệt



2
' (2 1) 3(2 ) 0
2
0
3
2(2 1)
0
3
m m
m
P
m
S




     






 








 








2
4 5 0
2 0
2 1 0
m m
m
m


  



 



 





5
1
4
2
1
2
m m
m
m



  





 














5
2
4
m
 

♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
5
2
4
m
 
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
    
3 2 2
2 2
2(3 1)
3 3
y x mx m x .
Tìm
m

để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
1 2 1 2
2( ) 1
x x x x
  
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
2 2
' 2 2 2(3 1)
y x mx m
   


' 0
y




2 2
2 2 2(3 1) 0
x mx m
   
(1)
♦ Hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x



' 0
y

có hai nghiệm phân biệt



2 2
' 4(3 1) 0
m m
    




2
2 13 2 13
13 4 0
13 13
m m m      (*)
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



17

Vì
1
x
và
2
x
là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:
1 2
2
1 2
1 3
x x m
x x m

 





 



Do đó:
1 2 1 2
2( ) 1
x x x x
  



2 2
0
1 3 2 1 3 2
2
3
m
m m m m
m




      




(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
2
3
m

.
Ví dụ 3. Cho hàm số
     
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x

sao cho
1 2
2 1
x x
 
.

Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
2
' 2( 1) 3( 2)
y mx m x m
    


' 0
y




2
2( 1) 3( 2) 0
mx m x m
    
(1)
♦ Hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x



' 0
y

có hai nghiệm phân biệt



2
0
' 2 4 1 0
m
m m






    






0
2 6 2 6

2 2
m
m







 

 




(*)
Vì
1
x
và
2
x
là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
2( 1)
(2)
3( 2)

(3)
m
x x
m
m
x x
m




 













Theo đề bài :
1 2
2 1
x x
 

(4)
Từ (2) và (4) suy ra
1
2
3 4
2
m
x
m
m
x
m










 






(5). Thay (5) và (3) ta được:

2
2
3 4 2 3( 2)
6 16 8 0
3
2
m
m m m
m m
m m m
m

  


  
 
 

     
 
 
 
 

  




(**)
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
2
3
m

và
2
m

.
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



18

Ví dụ 4. Cho hàm số
3
3 1
  
y x mx
(1), với m là tham số thực. Cho điểm
(2;3)
A . Tìm m để đồ thị hàm
số (1) có hai cực trị
B
và

C
sao cho tam giác
ABC
cân tại
A
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
2
' 3 3
y x m
 


' 0
y




2
3 3 0
x m
 
(1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị
B
và
C



' 0
y

có hai nghiệm phân biệt



0
m

(*)
Khi đó
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt là
x m
 

♣ Với
x m




3
2 1
y m
  

♣ Với
x m
 



3
2 1
y m
 

Tọa độ các điểm cực trị
B
và
C
là




3 3
;2 1 , ; 2 1
B m m C m m

   

♦ Tam giác
ABC
cân tại
A



AB AC





2 2
AB AC














2 2
2 2
3 3
2 2 2 2 2 2m m m m      



3
0
4 8 0
1
2
m
m m
m



   




(**)
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
1
2
m


.
Ví dụ 5. Cho hàm số
4 2 4
2 2
y x mx m m
   
(1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có
ba điểm cực trị
, ,
A B C
đồng thời các điểm
, ,
A B C
tạo thành một tam giác vuông.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D



♦ Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( )
y x mx x x m
   


' 0
y





2
0
x
x m





(1)
♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị
, ,
A B C



' 0
y

có ba nghiệm phân biệt



0
m


(*)
Khi đó
' 0
y

có ba nghiệm phân biệt là
0
x

,
x m
 

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



19

♣ Với
0
x




4
2
y m m
 

♣ Với
x m
 



4 2
2
y m m m
  

Tọa độ các điểm cực trị
, ,
A B C
là







4 4 2 4 2
0;2 ; ; 2 ; ; 2
A m m B m m m m C m m m m
     

Suy ra:





2 2
; ; ;
AB m m AC m m
    
 

♦ Tam giác
ABC
vuông

Tam giác
ABC
vuông tại
A




. 0
AB AC

 




4

0
0
1
m
m m
m



   



(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
1
m

.
C. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số
2 3 2
1
( 1) ( 1) 3 5
3
y m x m x x
     

. Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Đáp số:
1 2
m
  
và
1
m

.
Bài 2: Cho hàm số
3 2 2
2
( 1) ( 4 3) 1
3
y x m x m m x
      
. Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và các
điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Đáp số:
5 3
m
  
.
Bài 3: Cho hàm số
     

3 2
( 1) (3 4) 5
y x m x m x
. Tìm
m
để hàm số đạt cực tiểu tại

1
x

Đáp số:
3
m

.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
( 1) (2 1) 2
y x m x m x m
      . Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao
cho
2 2

1 2 1 2
1
x x x x
  
.
Đáp số:
Bài 5: Cho hàm số
     
3 2
( 2) ( 1) 4
y mx m x m x
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao
cho   
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1
16
x x x x
.
Đáp số:
Bài 6: Cho hàm số



3 2
2 3( 1) 6 2 1
y x m x m x
     
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao
cho
1 2
2
x x
 
.
Đáp số:
1
m
 
.
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



20

Bài 7: Cho hàm số
      
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1
y x x m x m
. Tìm
m
để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm
cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
O
.
Đáp số:
1
2
m
 
.
Bài 8: Cho hàm số
   
4 2 2
2 2
y x mx m
. Tìm
m
để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ
thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .
Đáp số:
1
m


.
Bài 9: Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
   
. Tìm
m
để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp
xúc với đường tròn


2 2
:( ) ( 1) 5
C x m y m
    

Đáp số:
Bài 10: Cho hàm số
3 2 2
2 9 12 1
y x mx m x
   
. Tìm
m
để hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
, đạt cực tiểu tại x
CT

thỏa mãn x
2
CĐ
= x
CT
.
Đáp số:
2
m
 
.
Bài 11: Cho hàm số
3 2
3
y x x m
  
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
,
A B
sao cho

0
120
AOB

(
O

là gốc tọa độ)
Đáp số:
12 2 3
3
m
 
 .
Nội dung 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số


y f x
 xác định trên tập hợp D.
 Số M được gọi là GTLN của hàm số


y f x
 trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn



 
0 0
i) f x M x D
ii) x D :f x M

  


  


Ký hiệu:


x D
M Max f x


 Số m được gọi là GTNN của hàm số


y f x

trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn



 
0 0
i) f x m x D
ii) x D:f x m

  

  


Ký hiệu:



x D
m min f x




 Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta
hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó.
 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.



Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



21

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
a) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
(hay phương pháp dùng định nghĩa).
Một số kiến thức thường dùng:
a)
2 2
( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x

a a

     

b) Bất đẳng thức Cô-si:
 Với hai số a, b không âm


a,b 0

ta luôn có:
a b
ab a b 2 ab
2

   
Dấu "=" xảy ra khi
a b


 Với ba số a, b, c không âm


a,b,c 0

ta luôn có:
3 3
a b c
abc a b c 3 abc
3

 
    
Dấu "=" xảy ra khi
a b c
 

c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1)
2 2
2 2
2
2
a b
a b ab ab

   

2)
2
2

( )
( ) 4
4
a b
a b ab ab

   

3)

2
2 2 2 2 2
( )
( ) 2( ) a
2
a b
a b a b b

     
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số


2
f x 2x 8x 1
   
.
Bài giải
♥ Tập xác định:
D



♥ Ta có








2
2
f x 2x 8x 1 9 2 x 2 9, x D
         



Dấu “=” xảy ra khi
2
x D
 

♥ Vậy
max ( ) 9
x D
f x


.

Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số
 
2
f x 2x 4x 12
  
.
Bài giải
♥ Tập xác định:
D




♥ Ta có



   
2
2
f x 2x 4x 12 = 2 x 1 10 10 , x D
       


Dấu “=” xảy ra khi
1
x D
 

♥ Vậy
min ( ) 10
x D
f x


.

Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số
 
2

f x x
x 1
 

với


x 1;
 
.
Bài giải
♥


1;D
 

♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



22





     
2 2 2

f x x x 1 1 2 x 1 . 1 2 2 1, x 1;
x 1 x 1 x 1
             
  



Dấu “=” xảy ra khi
 
2
2
1 1 2 1 2
1
x x x D
x
        


♥ Vậy
min ( ) 2 2 1
x D
f x

 
.
Bài tập tương tự
Tìm GTNN của hàm số
7
f(x) x 3
x 3

  


b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
(hay phương pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng


y f x


 Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :

D

{
x |


f(x) có nghĩa}
 Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
T = {
y |


Phương trình f(x) = y có nghiệm
x D

}
Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của

hàm số đó.
Một số kiến thức thường dùng:
a) Phương trình


2
ax bx c 0 a 0
   
có nghiệm
0
  

b) Phương trình


a cosx bsin x c a,b 0
  
có nghiệm
2 2 2
a b c
  

CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
2
x x 2
y
x x 2
 


 
. (1)
Bài giải
♥ Tập xác định:
D



♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

2
2 2
2
x x 2
y yx yx 2y x x 2
x x 2
 
      
 






2
1 1 2 2 0
y x y x y
      

(2) (Dạng
2
ax bx c 0
  
)
+ Trường hợp 1: Với
1
y

thì (2) có nghiệm
0
x


+ Trường hợp 2: Với
1
y

thì (2) có nghiệm


0
 




2
7 18 7 0
y y

   



9 4 2 9 4 2
7 7
y
 
 

Suy ra tập giá trị của hàm số là
9 4 2 9 4 2
;
7 7
T
 
 
 

 
 
 
.
♥ Vậy
9 4 2 9 4 2
min ;max
7 7
x D x D
y y
 

 
  .

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1 sin x
y
2 cos x



. (1)
Bài giải
♥ Tập xác định:
D



♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



23




1 2y ycos x 1 sin x
   
cos sin 1 2

y x x y
   
(2) (dạng
a cos x bsin x c
 
)
(2) có nghiệm


2 2 2
a b c
 






2 2
2
1 1 2
y y
   


2
3 4 0
y y
 


3
0
4
y
 

Suy ra tập giá trị của hàm số là
3
0;
4
T
 
 

 
 
.
♥ Vậy
3
min 0; max
4
x D
x D
y y


 
.
c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).

 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn


a;b
thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó.
 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số


y f x

trên miền D, ta lập
BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả.
 Phương pháp riêng:
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần
lập bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn


;
a b
và có đạo hàm trên
khoảng


;
a b
, có thể trừ một số hữu hạn điểm . Nếu
'( ) 0

f x

chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc


;
a b
thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm
f
trên đoạn


;
a b
như sau:
Quy tắc
1) Tìm các điểm
1 2
, , ,
m
x x x
thuộc


;
a b
mà tại đó hàm số
f
có đạo hàm bằng
0

hoặc không có
đạo hàm.
2) Tính
1 2
( ), ( ), , ( ), ( ), ( )
m
f x f x f x f a f b
.
3) So sánh các giá trị tìm được.
 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của
f
trên đoạn


;
a b
.
 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của
f
trên đoạn


;
a b
.

CÁC VÍ DỤ
i. XÉT HÀM TRỰC TIẾP
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2

2 3 12 2
y x x x
   
trên đoạn
1;2
 

 
.
Bài giải
♥
1;2
D
 
 
 

♥ Ta có:
2
' 6 6 12
y x x
  


2
' 0
1
x D
y
x D


  

 

 


Do






1 15; 2 6; 1 5
y y y
    



min 5; max 15
x D
x D
y y


  

♥ Vậy

min 5; max 15
x D
x D
y y


  
.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số


2
1
x
y e x x
  
trên đoạn
0;2
 
 
.
Bài giải
♥
0;2
D
 

 

♥ Ta có:



2
' 2
x
y e x x
  

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



24


2
' 0
1
x D
y
x D

  

 

 


Do







2
0 1; 2 ; 1
y y e y e
    



2
min ; max
x D
x D
y e y e


  

♥ Vậy
2
min ; max
x D
x D
y e y e



  
.

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4
y x x
  
.
Bài giải
♥
2;2
D
 
 
 

♥ Ta có:
2
2
4
'
4
x x
y
x
 



' 0 2
y x D
    

Do






2 2; 2 2; 2 2 2
y y y      


min 2 2; max 2
x D
x D
y y


  

♥ Vậy
min 2 2; max 2
x D
x D
y y



  
.

ii. ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2sin cos 1
y x x
  
.
Bài giải
♥ Tập xác định:
D



♥ Đặt
cos
t x

với
1;1
t
 
 
 
, hàm số trở thành:
2
2 3

y t t
   

Ta có:
' 4 1
y t
  
;
1
' 0 1;1
4
y t
 
     
 

Do
   
1 25
1 2; 1 0;
4 8
y y y
 



    






 



25
min 0; max
8
x D
x D
y y


 
♥ Vậy
min 2 2; max 2
x D
x D
y y


  
.
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1)
2
16 2 12
y x x

  
trên đoạn
1
0;
4
 
 
 
2)
2
9
4
y x x
  trên đoạn
4
1;
3
 
 
 

3)
3 2
y x 3x 9x 35
   
trên đoạn


4,4
 4)

3
2
2 3 4
3
x
y x x
   
trên đoạn


4,0

5)
x 2
y
x 2



trên đoạn


0;2
6)
3
2
x
y
x




trên đoạn


1;2


7)
2
2 3 3
1
x x
y
x
 


trên đoạn


0;2
8)
2
2 5 4
2
x x
y
x
 



trên đoạn


1;1


Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1) y sin2x x
 
trên đoạn
;
2 2
 
 

 
 
2)
6 3
y x
 
trên đoạn


1;1


3)
2
x
y x e
  trên đoạn


1;0
 4)
2
ln
x
y
x
 trên đoạn
3
1;e
 
 

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



25

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1)
2

ln
y x x
 trên đoạn


1;e
2)
2
1
1
x
y
x



trên đoạn


1;2

3)
2
3 ln
y x x x
   trên đoạn


1;2
4)

2
y x ln(1 2x)
   trên đoạn


2;0


Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1)
2
4
y x x
 
2)
2
2 8
y x x
   

3)
y 2 x 4 x
   
4)
2
y x 4 x
  

5)
 

2
1 1
y x x
  
6)
2 2
1 1
y x x
   

7)
2
4
y x x
  
8)
2 2
1
4
4
y x x x x
   
9)
2 2
4 21 3 10
y x x x x
       
(Khối D-2010)

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1)
3
4
y 2sin x sin x
3
  trên đoạn


0;

2)
4 2
y cos x 6cos x 5
  

3)


3
6 2
4 1
y x x
  
trên đoạn


1;1

4)
4 4

sin cos 2
y x x
  


Nội dung 4: Sự tương giao của hai đồ thị
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bài toán tổng quát
Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số :
1
2
(C ): y f(x)
(C ): y g(x)








(C
1
) và (C
2
) không có điểm chung (C
1
) và (C
2
) cắt nhau (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)
* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
) .
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C
1
) và (C
2

).
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
).

x
y
y
y
x
x
OO
O
)(
1
C
)(
2
C
)(
1
C
)(
2
C
1
x
2

x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M
)(
2
C
)(
1
C
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



26

Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm

(C
1
) và (C
2

) không có điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm

(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
Chú ý 2 :
* Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C
1
) và (C
2
).
Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hoặc y
0
= g(x
0
).

B. Phương pháp giải toán
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
1
2
( ) : ( )
( ): ( )









C y f x
C y g x
.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( )
f x g x

(1)
B2. Giải phương trình (1) tìm
x



y
B3. Kết luận
2. VÍ DỤ
Ví dụ . Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):



2x 1
y
2x 1
và đường thẳng
y x 2
 
.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
2 1
2
2 1
x
x
x

 

(1)
Điều kiện:
1
2
x



♦ Khi đó:
(1)



2 1 (2 1)( 2)
x x x
   


2
2 3 0
x x
   




1
3
2
x
x






 



♣ Với
3 1
2 2
x y
   

♣ Với
1 3
x y
  

♦ Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là
3 1
;
2 2
 







 
và



1;3
.
x
y
0
y
0
x
O
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



27

Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị
1
2
( ) : ( )
( ): ( )










C y f x
C y g x
cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt.

1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( )
f x g x

(1)
B2. Lập luận
Lưu ý:

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số



2x 1
y
x 1
có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d):
  
y x m
cắt đồ thị (C) tại
hai điểm phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:

2 1
1
x
x m
x

  

(1)
Điều kiện:
1
x


♦ Khi đó:
(1)



2 1 ( )( 1)
x x m x
    




2
( 1) 1 0
x m x m
    

(2)
♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

(1) có hai nghiệm phân biệt


(2) có hai nghiệm phân biệt khác
1




   


2
1 4 1 0
1 1 .1 1 0
m m
m m


 
      

 


    







2
6 5 0
m m
  


1 5
m m
   

♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
1 5
m m
  
.

Ví dụ 2. Cho hàm số
3 2
2 8
y mx x x m
   
có đồ thị là



m
C
. Tìm m đồ thị


m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
2 8 0
mx x x m
   
(1)





2
2 (2 1) 4 0
x mx m x m
 
    
 
 

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



28




2
2
(2 1) 4 0 (2)
x
mx m x m

 


   


♦


m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

(1) có ba nghiệm phân biệt


(2) có hai nghiệm phân biệt khác
2





2
0
12 4 1 0
12 2 0
m
m m
m






     



 






0
1 1
6 2
1
6
m
m
m










  






 







0
1 1
6 2
m
m







  





♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
0
1 1
6 2
m

m







  



.

Ví dụ 3. Cho hàm số
4 2 2
(3 4)
y x m x m
   
có đồ thị là


m
C
. Tìm m đồ thị


m
C
cắt trục hoành tại bốn

điểm phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2 2
(3 4) 0
x m x m
   
(1)
Đặt
2
t x




0
t

, phương trình (1) trở thành:

2 2
(3 4) 0
t m t m
   
(2)
♦


m
C

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

(1) có bốn nghiệm phân biệt


(2) có hai nghiệm dương phân biệt



2
2
5 24 16 0
0
3 4 0
m m
P m
S m


    



 



  








4
4
5
0
4
3
m m
m
m



   











 







4
5
0
m
m



 








Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



29

♦ Vậy giá trị

m
cần tìm là
4
5
0
m
m











.
Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị
1
2
( ) : ( )
( ): ( )










C y f x
C y g x
cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt thỏa điều kiện
cho trước.

1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( )
f x g x

(1)
B2. Lập luận
Lưu ý:


Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị.


Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C
1
) và (C
2
).
Khi đó tung độ điểm chung là y
0

= f(x
0
) hoặc y
0
= g(x
0
).

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
1
2
mx
y
x



có đồ thị là


m
C
. Tìm m để đường thẳng (d):
2 1
y x
 
cắt đồ thị



m
C

tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho
10
AB

.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
1
2 1
2
mx
x
x

 

(1)
Điều kiện:
2
x
 

♦ Khi đó:
(1)



1 (2 1)( 2)
mx x x
   




2
2 ( 3) 1 0
x m x
   
(2)
♦ (d) cắt


m
C
tại hai điểm phân biệt
,
A B


(1) có hai nghiệm phân biệt


(2) có hai nghiệm phân biệt khác
2






 
2
3 8 0
8 2 6 1 0
m
m


 

     
 


   






1
2
m
 

(*)
Đặt




1 1 2 2
;2 1 ; ;2 1
A x x B x x
 
với
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình (2).
Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
3
2
1
2
m
x x
x x




 







 





Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



30

Khi đó:
   
2 2
1 2 1 2
4 10
AB x x x x    





2

1 2 1 2
5 4 10
x x x x
 
  
 
 




2
3
2 2
2
m
 



 




 




3
m

[thỏa mãn (*)]

♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3
m

.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 1
y x x m x
    
có đồ thị là


m
C
. Tìm m để đồ thị


m
C
cắt đường thẳng
( ) : 1
d y x

 
tại ba điểm


0;1 , ,
A B C
sao cho
10
BC

.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
3 ( 1) 1 1
x x m x x
     
(1)





2
3 2 0
x x x m
   




2
0
3 2 0 (2)
x
x x m




   


♦


m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

(1) có ba nghiệm phân biệt


(2) có hai nghiệm phân biệt khác
0




9 4( 2) 0

2 0
m
m

    




 





17
4
2
m
m












(*)
Đặt




1 1 2 2
; 1 ;C ; 1
B x x x x
 
với
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình (2).
Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
3
2
x x
x x m

 




 




Khi đó:
   
2 2
1 2 1 2
10
BC x x x x    




2
1 2 1 2
2 4 10
x x x x
 
  
 
 






9 4 2 5
m
  



3
m

[thỏa m
ãn (*)]
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3
m

.
Ví dụ 3. Cho hàm số
4 2 2
(3 4)
y x m x m
   
có đồ thị là


m
C
. Tìm m để đồ thị


m

C
cắt trục hoành tại
bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2 2
(3 4) 0
x m x m
   
(1)
Đặt
2
t x




0
t

, phương trình (1) trở thành:
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



31


2 2
(3 4) 0

t m t m
   
(2)
♦ (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

(1) có bốn nghiệm phân biệt


(2) có hai nghiệm dương phân biệt



2
2
5 24 16 0
0
3 4 0
m m
P m
S m


    



 




  







4
4
5
0
4
3
m m
m
m



   



















4
5
0
m
m











(*)

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm
1 2
0

t t
 
. Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
là
1 2 2 1 3 1 4 2
x t x t x t x t
        

♦ Bốn nghiệm
1 2 3 4
, , ,
x x x x
lập thành cấp số cộng


2 1 3 2 4 3
x x x x x x
    




1 2 1
2
t t t
  




2 1
3
t t


2 1
9
t t
 
(3)
Theo định lý Viet ta có:
1 2
2
1 2
3 4 (4)
(5)
t t m
t t m

  








Từ (3) và (4) ta suy ra được
1

2
3 4
10
9(3 4)
10
m
t
m
t

















(6).
Thay (6) vào (5) ta được:

 

2
2
9
3 4
100
m m
 



 
 
12
3 3 4 10
12
3 3 4 10
19
m
m m
m
m m



 







 
 




[thỏa m
ãn (*)]
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
12
12
19
m
m





 


.
C. Bài tập
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C):
2
4

y x
 
và (C'):
2
2
y x x
  

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
3 2
1
3
y x x
 
và đường thẳng
5
(d): y 3x
3
 

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN



32

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
1
12




x
x
y và đường thẳng 13:)(



xyd
Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
y x

và đường thẳng
(d) : y x 2
 

Bài 5: Cho hàm số
2x 1
y
x 2



. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
y mx 2
 
cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Đáp số:
0 3

m m
  
.
Bài 6: Cho hàm số



2x 1
y
x 1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 3
y x m
  
cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Đáp số:
1
11
m
m
 




.
Bài 7: Cho hàm số
2
( 1)( )
y x x mx m

   

Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Đáp số:
0 4
m m
  
.
Bài 8: Cho hàm số
3 2
3 2
    
y x x mx m
Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Đáp số:
3
m

.
Bài 9: Cho hàm số
4 2
1
y x mx m
   

Xác định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Đáp số:
1
2
m

m





.
Bài 10: Cho hàm số
 
   
3 2
1
3 1
4
y x x mx
có đồ thị là


m
C

Tìm
m
để đồ thị


m
C
cắt đường thẳng
1

( ) :
4
d y

tại ba điểm phân biệt.
Đáp số:
9
4
0
m
m







.
Bài 11*: Cho hàm số



2x 1
y
x 1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
  
y x m
cắt đồ thị

hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho
26
AB  .
Đáp số:
2 8
m m
   
.