tài liệu ôn thi đại học môn toán mới nhất tích phân

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

47

Chủ đề 2
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. Tóm tắt lí thuyết
Nội dung 1: Nguyên hàm
1. Bảng tính nguyên hàm cơ bản
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C

x




1
 

1
1
x
C






( )
ax b


a
1
1
( )
1
ax b
C







1
x

ln
x C


1
ax b


1

ln
ax b C
a
 

x
a


ln
x
a
C
a


ax b
A


1
.
ln


ax b
A
C
A a

x
e

x
e C


ax b
e


1
ax b
e C
a



sinx -cosx + C sin(ax+b)

1
cos( )
ax b C
a
  

cosx sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )
ax b C

a
 

2
1
cos
x

tanx + C
2
1
cos ( )
ax b


 
1
tan( )
ax b C
a

2
1
sin
x

-cotx + C
2
1
sin ( )

ax b


  
1
cot( )
ax b C
a

'
( )
( )
u x
u x

ln ( )
u x C


2 2
1
x a


1
ln
2
x a
C
a x a





tanx
ln cos
x C
 


cotx
ln sin
x C




2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản
 Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức trong bảng
nguyên hàm cơ bản.
 Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số
Định lí cơ bản:
Nếu





f u du F u C
 

và


u u x

là hàm số có đạo hàm liên tục thì











'
f u x u x dx F u x C
 


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

48

Cách thực hiện: Tính


f u(x) u'(x)dx

bằng pp đổi biến số
Bước 1: Đặt
u u(x) du u'(x)dx
  
(tính vi phân của u)
Bước 2: Tính




f u(x) u'(x)dx f(u)du F(u) C F u(x) C
    
 



Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí cơ bản:
Nếu hai hàm số


u u x


và


v v x

có đạo hàm liên tục trên
K
thì













' '
u x v x dx u x v x u x v x dx
 
 


Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt

)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu






Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần :
.
udv u v vdu
 
 

Bước 3: Tính
vdu



B. Bài tập
Bài 1: Tính
1)
2
2

x
I dx
x



2)
3 1
1
x
I dx
x
 



3)
3
2 3
2
x x
I dx
x





Bài 2: Tính
1)

2
3 2
3
x x
dx
x



2)
 
1
1
I dx
x x



3)
2
3 2
x
I dx
x x

 


Bài 3: Tính
1) ln

I x xdx


2)
ln
x
I dx
x


3)
3
ln
I x xdx



Bài 4: Tính
1)


2
ln
I x x dx
 

2)


2

2
x
I x e dx
 

3)
sin2
I x xdx



Bài 5: Tính
1)
2
sin
cos
x x
I dx
x


2)
1 2
x
x
e
I dx
e




3)
5
cos
I xdx




Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

49

Nội dung 2: Tính tích phân
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và
,
a b

K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm
số f(x) trên K thì :


 
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a

a
f x dx F x F b F a
  

( Công thức NewTon - Leipniz)

b. Các tính chất của tích phân
 Tính chất 1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
 
 

 Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên


;
a b
thì

 
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
  
  

 Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên


;
a b
và k là một hằng số thì

. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx

 

 Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên


;
a b
và c là một hằng số thì

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
 
  

 Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên



;
a b
cho trước không phụ thuộc vào biến số ,
nghĩa là :
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
  
  

2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
a) DẠNG 1: Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx

bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
 



)(
)(
)()('.)(
bu
au

b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dxxudtxut )()(
'

Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx






Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

 




)(
)(

)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới)

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

50

b) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx

bằng cách đặt x =
(t)



Công thức đổi biến số dạng 2
 








dtttfdxxfI
b
a
)(')()(


Cách thực hiện

Bước 1: Đặt dttdxtx )()(
'


Bước 2: Đổi cận :







t
t
ax
bx

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

 








dtttfdxxfI
b
a
)(')()( (tiếp tục tính tích phân mới)


3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tích phân từng phần



 
 

b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
hay:
 
 


b
a
b
a
b
a
vduvuudv .

Cách thực hiện

Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu






Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
 
 


b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính


b
a
vu.
và

b
a
vdu







Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

51

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính tích phân
2
2
2
1
3 1
x x
I dx
x x
 



. (Phân tích & dùng định nghĩa)
Bài giải
♥ Biến đổi hàm số thành dạng
2
2 2
3 1 2 1
1
x x x
x x x x
  
 
 

Khi đó:
2 2 2
2
2 2

1 1 1
3 1 2 1
x x x
I dx dx dx
x x x x
  
  
 
  



2
2
1
1
1
dx x
 




2
2
2
2
1
1
2 1

ln ln 3
x
dx x x
x x

  



♥ Vậy
1 ln 3
I
 
. 

Ví dụ 2: Tính tích phân


2
1
2
0
1
1
x
I dx
x





. (Phân tích & dùng định nghĩa)
Bài giải
♥ Biến đổi hàm số thành dạng


2
2
2 2 2
1
2 1 2
1
1 1 1
x
x x x
x x x

 
  
  

Khi đó:


2
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2

1 1
x
x
I dx dx dx
x x

  
 
  



1
1
0
0
1
dx x
 




1
1
2
2
0
0
2

ln 1 ln 2
1
x
dx x
x
  



♥ Vậy
1 ln 2
I
 
. 

Ví dụ 3: Tính tích phân
 
ln2
2
0
1
x x
I e e dx
 

. (Đổi biến số dạng 1)
Bài giải
♥ Đặt
1
x x

t e dt e dx
   

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

52

Đổi cận:
ln2 1
0 0
x t
x t
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Suy ra:
1
1
3
2
00
1

3 3
t
I t dt
  


♥ Vậy
1
3
I

. 

Ví dụ 4: Tính tích phân
1
2
0
2
I x x dx
 

. (Đổi biến số dạng 1)
Bài giải
♥ Đặt
2 2 2
2 2 2 2
t x t x tdt xdx tdt xdx
        

Đổi cận:

1
1
0
2
t
x
x
t






 

 
 







Suy ra:
2
2
3
2

11
2 2 1
3 3
t
I t dt

  


♥ Vậy
2 2 1
3
I


. 

Ví dụ 5: Tính tích phân
1
4 5ln
e
x
I dx
x



. (Đổi biến số dạng 1)
Bài giải
♥ Đặt

2
5
4 5ln 4 5ln 2
t x t x tdt dx
x
      

Đổi cận:
3
1 2
x e t
x t
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Suy ra:
 
33
2 3 3 3
2
2
2 2 2 38

3 2
5 15 15 15
I t dt t    


♥ Vậy
38
15
I  . 

Ví dụ 6: Tính tích phân
 
4
0
1 sin 2
I x xdx

 

. (Tích phân từng phần)
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

53

Bài giải
♥ Đặt
1
1
sin 2
cos2

2
du dx
u x
dv xdx
v x



 
 




 
 



 



Suy ra:
 
4 4
0 0
1 1
1 cos2 sin 2
2 4

I x x x
 
  

 
4 4
0 0
1 1 3
1 cos2 sin 2
2 4 4
x x x
 
   

♥ Vậy
3
4
I

. 
Ví dụ 7: Tính tích phân
 
4
0
1 sin2
I x x dx

 

. (Tích phân từng phần)

♥ Ta có:
4 4 4 4
2 2
4
00 0 0 0
sin 2 sin 2 sin 2
2 32
x
I xdx x xdx x xdx x xdx
   


     
   

Đặt
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx
v x



 






 
 



 



Suy ra:
4 4 4
4 4
0 0
0 0 0
1 1 1 1 1
sin 2 cos2 cos2 cos2 sin 2
2 2 2 4 4
x xdx x x xdx xdx x
  
 
    
  

♥ Vậy
2
1

32 4
I

 
. 

Ví dụ 8: Tính tích phân
2
2
1
2ln
x x
I dx
x



. (Phân tích + đổi biến số dạng 1)
Bài giải
♥ Ta có:
2 2
1 1
ln
2
x
I xdx dx
x
 
 



2
2
2
10
3
2 2
x
xdx
 


♥ Tính
2
1
ln
x
dx
x


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

54

Đặt
1
ln

t x dt dx
x
  
Đổi cận:
2 ln2
1 0
x t
x t
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Suy ra:
ln2
2 ln2
2 2
01 0
ln ln 2
2 2
x t
dx tdt
x
  

 

♥ Vậy
2
3
ln 2
2
I   . 

Ví dụ 9: Tính tích phân
2
2
2
1
1
ln
x
I xdx
x



. (Tích phân từng phần)
♥ Đặt
2
2
1
ln
1
1

u x
du dx
x
x
dv dx
v x
x
x











 

 

 

 
 
 







Suy ra:
2
2
1
1
1 1 1
ln
I x x x dx
x x x
   
 
 
   
 
 
 
 
   



2 2
1 1
1 1
lnx x x
x x

   
 
 
   
 
 
 
 
   


5 3
ln 2
2 2
 

♥ Vậy
5 3
ln 2
2 2
I
 
. 
Ví dụ 10: Tính tích phân I =
( )
2
1
x x
0
2e e xdx



. (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân từng phần)
Bài giải
♥ Ta có: I =
2
1 1
x x
0 0
2xe dx xe dx

 
.


I
1
=
( )
2 2
1 1
x x 2
0 0
2xe dx e d x

 
=
2
1
x

0
e
 
 
 
= e – 1.


I
2
=
1
x
0
xe dx


Đặt u = x  du = e
x
dx
dv = e
x
dx  v = e
x
.
Suy ra: I
2
=
1
1

x x
0
0
xe e dx
 

 

=
1
x
0
e e
 

 
= 1.
♥ Vậy I = e – 1 + 1 = e. 
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

55

B. Bài tập
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
 
1
2
2
0

4
x
I dx
x



2)
 
2
2
0
sin
1 cos
x
I dx
x





Bài 2: Tính các tích phân sau
1)
1
ln 1
e
x
I dx
x




2)
3
3
1
ln 2
e
x
I dx
x




Bài 3: Tính các tích phân sau
1)
3
0
sin cos
I x xdx



2)

 

2

2 3
0
I sin2x(1 sin x) dx

Bài 4: Tính các tích phân sau
1)
2
2
1
3
I x x dx
 

2)
2
2
3
0
1
x
I dx
x




Bài 5: Tính các tích phân sau
1)
 
2

1
0
x
I x x e dx
 

2)
3
2
1
ln
1
e
x
I x dx
x
 
 
 
 


Bài 6: Tính các tích phân sau
1)
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x




2)
 
ln3
3
0
1
x
x
e
I dx
e




Bài 7: Tính các tích phân sau
1)
2
0
sin2 cos
1 cos
x x
I dx
x





2)
46
0
tan
cos2
x
I dx
x




Bài 8: Tính các tích phân sau
1)
2
0
sin2 sin
1 3cos
x x
I dx
x





2)





2
2 2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x

Bài 9: Tính các tích phân sau
1)
 
2
3 2
0
cos 1 cos
I x xdx

 

2)
2
0
sin2
3 4sin cos2
x
I dx
x x



 


Bài 10: Tính các tích phân sau
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

56

1)
4
4
0
cos 3tan 1
dx
I
x x




2)
2
4
4
cot 1
sin
x
I dx
x







Bài 11: Tính các tích phân sau
1)
2
1
1 ln
e
dx
I
x x



2)
2
2
6
cot
sin 1
x
I dx
x







Bài 12: Tính các tích phân sau
1)
3
2
4
tan
cos 1 cos
x
I dx
x x





2)
ln5
2
ln2
1
x
x
e
I dx
e




Bài 13: Tính các tích phân sau
1)
2
6 3 5
0
1 cos sin cos
I x x xdx

 

2)

 

2
2 3
0
I sin2x(1 sin x) dx

Bài 14: Tính các tích phân sau
1)
1
3 2
0
3
I x x dx
 

2)



ln5
ln2
1
1
x x
x
e e
I dx
e





Bài 15: Tính các tích phân sau
1)
0
cos
I x xdx



2)
 
cos
0
sin
x

I e x xdx

 


Bài 16: Tính các tích phân sau
1)
2
2
1
ln
x
I dx
x


2)
 
3
2
0
ln 3
I x x dx
 


Bài 17: Tính các tích phân sau
1)
 
2

1
1 ln
e
I x xdx
 

2)
 
5
2
2
ln 1
I x x dx
 


Bài 18: Tính các tích phân sau
1)
2
1
1
ln
e
x
I xdx
x



2)

3 2
1
ln
e
I x xdx



Bài 19: Tính các tích phân sau
1)
 
1
2
0
2
x
I x e dx
 

2)
 
3
2
2
ln
I x x dx
 


Bài 20: Tính các tích phân sau

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

57

1)
 
2
cos 3
0
cos sin
x
I e x xdx

 

2)
4
2
8
1
sin 2 .(2 cot 2 )
I dx
x x






Bài 21: Tính các tích phân sau

1)
4
0
2 1
1 2 1
x
I dx
x


 

2)
3
2 2
1
( 1)
dx
I
x x




Bài 22: Tính các tích phân sau
1)
 
2
3
0

cos2
sin cos 3
x
I dx
x x


 

2)
2
3 2
2
0
2 4 9
4
x x x
I dx
x
  




Bài 23: Tính các tích phân sau
1)
6
2
0
sin 3

I x xdx



2)
2
4
4
cot
1 sin
x
I dx
x






Bài 24: Tính các tích phân sau
1)
6
2
1
2 1 4 1
I dx
x x

  


2)
2
0
sin cos
3 sin 2
x x
I dx
x






Bài 25: Tính các tích phân sau
1)
2
0
sin 2
3 4sin cos2
x
I dx
x x


 

2)
1
2

0
( 1) 1
x
I dx
x x

 
















Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

58

Nội dung 3: Ứng dụng của tích phân.
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÔNG THỨC

1. Công thức tính diện tích hình phẳng












( ) ( )
b
a
S f x g x dx
 


( ) ( )
b
a
S f y g y dy
 


2. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay











 
dxxfV
b
a
2
)(




 
dyyfV
b
a
2
)(






















bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2

1
2
1











by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y

)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC 
)(:)(
2
xgyC 
a
x

bx

O
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
yfxC 
)(:)(
2
ygxC 
a
y

by


O
a
b
0

y
)(:)( xfyC

b
a
x

bx

x
y
O
b
a
x
y
0

x
O
)(:)( yfxC

by


a
y

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

59

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
3
y x x
  
và đường thẳng
2 1
y x
 
.
Bài giải
♥ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

2 2
1
3 2 1 3 2 0
2
x
x x x x x
x




        




♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là

2
2
1
3 2
S x x dx
  



 
2
2
3 2
2
1
1
3 1
3 2 2
3 2 6
x x
x x x
 




      





 

. 

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
, 0, 0
1 4 3
y y x
x
  
 
và
1
x

xung quanh trục hoành.
Bài giải
♥ Thể tích khối tròn xoay là
 
1

2
0
d
.
1 4 3
x
V
x


 


♥ Đặt
4 3 ,
t x
  ta có khi
0
x

thì
2,
t

khi
1
x

thì
1

t

và
2
4
3
t
x

 nên
2
d d .
3
t
x t
 
Khi đó ta có
1 2 2
2 2 2
2 1 1
1 2 2 2 1 1
. d d d
3 3 3 1(1 ) ( 1) ( 1)
t t
V t t t
tt t t
 

 


   
 
  
 
  


2
1
2 1 2 3 1 3
ln | 1| ln 6ln 1 .
3 1 3 2 6 9 2
t
t
  
     
      
     

     


Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN

60

B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng


Oxy
, tính diện tích của hình phẳng (H):
2
4 3
0
0
2
y x x
y
x
x

  











Bài 2: Trong mặt phẳng


Oxy
, tính diện tích của hình phẳng (H):
2
2
2
y x
y x




 



Bài 3: Trong mặt phẳng


Oxy
, tính diện tích của hình phẳng (H):
3x 1
y
x 1
y 0

x 0
 












Bài 4: Trong mặt phẳng


Oxy
, tính diện tích của hình phẳng (H):
2
2
y x
x y




 



Bài 5: Trong mặt phẳng


Oxy
, tính diện tích của hình phẳng (H) :
2
2
y x 2x
y x 4x

 


  



Bài 6: Trong mặt phẳng


Oxy
, tính diện tích của hình phẳng (H):








)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC

Bài 7: Trong mặt phẳng


Oxy
, tính diện tích của hình phẳng (H):








1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x

Bài 8: Trong mặt phẳng



Oxy
cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cc đường
2
4
y x

và
y x

. Tính thể tích
vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 9: Trong mặt phẳng


Oxy
, cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x
2
+ x - 5 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 10: Trong mặt phẳng


Oxy
, cho miền D giới hạn bởi các đường :
y x;y 2 x; y 0
   

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Bài 11: Trong mặt phẳng



Oxy
, cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2 2
4 ; 2
y x y x
   
.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox.
Hết