Tài Liệu on thi vào 10

Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Đại số
Căn thức rút gọn biểu thức

CHủ đề 1:
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiƯn tån t¹i :

A Cã nghÜa ⇔ A ≥ 0
A2 = A

2. Hằng đẳng thức:
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:

A.B =

4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:

A
=
B

A 2 .B = A B .

5. Đa thừa số ra ngoài căn:
6. Đa thừa số vào trong căn:

A B=
A

=

B

A.B
B

C

8. Trục căn thức ở mẫu:

A B

=

A

( A ≥ 0; B > 0)

B
( B ≥ 0)

( A ≥ 0; B ≥ 0)

A 2 .B

A B = − A 2 .B
7. Khử căn thức ở mẫu:

( A 0; B ≥ 0)

A. B

( A < 0; B ≥ 0)
( B > 0)

C( A  B )
A− B

 Bµi tËp:
 Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
2
4
5
1) 2 x + 3
2)
3)
4)
2
2
x+3
x
x +6
3
−3
5) 3x + 4
6) 1 + x 2
7)
8)
1 − 2x

3x + 5
 Rút gọn biểu thức
Bµi1
1) 12 + 5 3 − 48
2) 5 5 + 20 − 3 45
3) 2 32 + 4 8 − 5 18
4) 3 12 − 4 27 + 5 48
5) 12 + 75 − 27
6) 2 18 − 7 2 + 162
1
1
−
7) 3 20 − 2 45 + 4 5
8) ( 2 + 2) 2 − 2 2
9)
5 −1
5 +1
1
1
2
2
2+ 2
+
−
10)
11)
12)
5−2
5+2
4−3 2 4+3 2

1+ 2
13) ( 28 − 2 14 + 7) 7 + 7 8

14) ( 14 − 3 2 ) 2 + 6 28

15) ( 6 − 5 ) 2 − 120

16) (2 3 − 3 2 ) 2 + 2 6 + 3 24

17)

(1 − 2 ) 2 + ( 2 + 3) 2

18)

19)

( 5 − 3) 2 + ( 5 − 2) 2

20) ( 19 − 3)( 19 + 3)

21) 4 x + ( x − 12) 2 ( x ≥ 2)

22)

( 3 − 2) 2 + ( 3 − 1) 2
7+ 5
7− 5

+

7− 5
7+ 5

23) x + 2 y − ( x − 4 xy + 4 y ) ( x ≥ 2 y )
2

2 2

S¸ch vở hôm nay cuộc sống ngày mai

1


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bµi2:
1)

(3 + 2 )

2

8 + 2 15 -

(3 − 2 )

+

2

2)

4+2 3 + 4−2 3 −

5
3−2 2

 Giải phương trình:
1) 2 x − 1 = 5 2) x − 5 = 3
5)

3 x 2 − 12 = 0

6)

2

(5 + 2 6 )

5)

8 − 2 15

(2 − 3 )

−

(2 + 3)

+

2

3)

( 5 − 3) 2

+

(

)

5+3

2

4)

6)

8 − 2 15

5

−

3+ 8
3)

( x − 3) 2 = 9

9( x − 1) = 21
7)

4)

4x 2 + 4x + 1 = 6

2 x − 50 = 0
8)

(2 x − 1) 2 = 3

10) 4(1 − x) 2 − 6 = 0 11) 3 x + 1 = 2
12) 3 3 − 2 x = 2
4x 2 = 6
II. các bài toán rút gọn:
A.các bớc thực hiên:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:

x
2x x

Bi 1 Cho biểu thức : A =
với ( x >0 và x ≠ 1)
x −1 x − x
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 3 + 2 2
a+4 a +4 4−a
+
Bài 2.
Cho biểu thức : P =
( Với a ≥ 0 ; a ≠ 4 )
a +2
2− a
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.

9)

Bài 3: Cho biểu thức A =

x +1− 2 x x + x
+
x −1
x +1

1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa
2/.Rút gọn biểu thức A
3/.Với giá trị nào của x thì A< -1

Bµi 4: Cho biểu thức A = (1 +

x+ x
x− x
)(1 −
)
x +1
x −1

( Với x ≥ 0; x ≠ 1 )

a) Rút gọn A
b) Tỡm x A = - 1
Sách vở hôm nay cuéc sèng ngµy mai

2


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
1

Bµi 5: Cho biĨu thøc : B =



1

+

x

1 x

2 x 2 2 x +2
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
1
c; Tìm giá trị của x để A =
2
x +1
2 x
2+5 x
Bµi 6: Cho biĨu thøc : P =
+
+
4 x
x 2
x +2
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
1
1
a +1
a +2
Bài 7: Cho biểu thức:
Q=(

):(

)

a 1
a
a 2
a 1
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thøc biÕt a = 9- 4 5
 a
1  a − a a + a 


−
−
Bµi 8: Cho biĨu thøc: M = 
 2
2 a  a + 1
a −1



a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị cđa a ®Ĩ M = - 4
15 x − 11
3 x
2 x +3
Bµi 9 : Cho biĨu thøc : K =
+
−
x + 2 x − 3 1− x

x +3
a. T×m x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
1
c. Tìm x khi K=
d. Tìm giá trị lớn nhất của K
2
x −2
x + 2  x 2 − 2x + 1
.
−
Bµi 10 : Cho biÓu thøc:
G= 
 x −1
2
x + 2 x + 1


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Xác định x để G tồn tại
Rút gọn biĨu thøc G
TÝnh sè trÞ cđa G khi x = 0,16
Tìm gía trị lớn nhất của G

Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
Tìm x để G nhận giá trị âm

Bài 11 : Cho biĨu thøc:

 x+2

P= 


 x x −1

+

 x −1
:
Víi x ≥ 0 ; x ≠ 1
2
x + x +1 1− x 

x

+

1

a. Rót gän biĨu thøc trªn
b. Chøng minh r»ng P > 0 víi mäi x≥ 0 vµ x ≠ 1
Bµi 12 : cho biĨu thøc


1
1
a 2 +1  1 
Q= 
 2 + 2 a + 2 − 2 a − 1 − a 2 .1 + a




Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

3


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=

x3
xy 2 y

+

2x

.

1− x

2 xy + 2 y − x − x 1 x

a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
3 a
a
4( a + 2 )   2 a + 5 
 (Víi a ≥0 ; a ≠ 16)
+
+
Bµi 14:XÐt biÓu thøc: P= 
 : 1 −
a − 4 16 − a  
a +4 
 a +4


1)Rót gän P
2)Tìm a để P =-3
3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
---------------------------------CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của
y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:

Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng: y = ax + b Trong đó a; b là các hệ số a 0
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y = ax + b lµ hµm sè bËc nhÊt lµ: a ≠ 0
VÝ dơ: Cho hµm sè:
y = (3 – m) x - 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhÊt ⇔ 3 − m ≠ 0 ⇔ 0 ⇔ m ≠ 3
 TÝnh chÊt:
+ TX§: ∀x ∈ R
+ §ång biÕn khi a > 0 . NghÞch biÕn khi a < 0
VÝ dơ: Cho hµm sè:
y = (3 – m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):
+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến 3 m > 0 ⇔ 0 ⇔ m < 3
+ Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ 3 − m < 0 0 m > 3
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b.
b
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
a
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => ®iĨm (0;b) thc ®å thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải:

Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

4


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
+ C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a a , .
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện b = b ' .
*/. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau th× : a.a ' = −1.
+ Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a = a , ; b ≠ b ' .
+ Trïng nhau: (d1) ≡ (d2) ⇔ a = a , ; b = b ' .
VÝ dơ: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + 2 (d1)
Và
y = 2 x m (d2)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
3 − m = 2
m = 1
⇔
⇔ {m = 1
a/ (d1)//(d2) ⇔ 
2 ≠ −m
m ≠ −2



b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ 3 − m ≠ 2 ⇔ m ≠ 1
c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung m = 2 ⇔ m = −2
 HÖ sè gãc của đờng thẳng y = ax + b là a.
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tg = a
ã Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
ã Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox lµ gãc tï ( 180 0 − α )
VÝ dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 víi trơc Ox

Gi¶i:
Ta cã: Tgα = 2 = Tg 63 0 ⇒ α = 630.
VËy gãc t¹o bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox lµ: α = 63 0.
VÝ dơ 2: TÝnh gãc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 víi trơc Ox.
Ta cã: Tg (180 0 − α ) = 2 = Tg 630 ⇒ (180 0 − α ) = 630 ⇒ α = 117 0.
VËy gãc t¹o bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: = 117 0.
Các dạng bài tập thờng gặp:

Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

5


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
- Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch bin, Hai ng thng
song song; ct nhau; trựng nhau.
Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dng 2: V th hm s y = ax + b
Xem lại các vÝ dơ ë trªn.
Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Phơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính

đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng.
Tính chu diện tích của các hỡnh to bi cỏc ng thng:
Phơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc.
Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác ®Ĩ tÝnh S
-Dạng 3: Tính góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
Xem l¹i các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm sè bËc nhÊt: y = ax + b. §iĨm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc
đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b ®i qua ®iĨm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1).
Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vµo y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị cđa a vµ b vµo y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m ≠ 1; m ≠ -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m r»ng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2
c) Xác định m để 3 đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta cã :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 víi mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x0+ 1 =0

x0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1
Y0 = - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) :
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vµo y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vµo pt (d1) ta cã:
2 = (m2 -1) .1 + m2 -5
m2 = 4 => m = 2 vµ m = -2
VËy víi m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.
Bài tập:
Bi 1: Cho hai ng thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau .
S¸ch vở hôm nay cuộc sống ngày mai

6


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao
điểm của hai
đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính.
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch
biến trên R ? Vì sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao?
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m ≠ 0) và y = (2 - m)x + 4 ; (m ≠ 2) . Tìm điều kiện của m để hai đường
thẳng trên:
a) Song song.
b) Cắt nhau .
Bài 5: Víi giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục

tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với
−1
x và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 10.
(d’): y =
2
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
1
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = x + 2 và (d2): y = − x + 2
2
a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện
tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) víi m ≠ 0
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Víi gi¸ trị nào của m thì (d1) // (d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ ®é giao ®iÓm Khi m = 2
c; C/m r»ng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua ®iĨm cè ®Þnh A ;(d2) ®i qua ®iĨm cè ®Þnh B . TÝnh BA ?
Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thÞ cđa nã song song víi y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHủ đề 3:
hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
I. các kháI niệm:
Phơng trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đà biết( a 0 hoặc b 0)
+ Một nghiệm của phơng trình là cặp số x0; y0 thỏa mÃn : ax0 + by0 = c
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiƯm.

+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. NÕu a ≠ 0; b ≠ 0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị của hàm sè
a
c
bËc nhÊt: y = − x + .
b
b
 HÖ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
ax + by = c.(1)
+ D¹ng:  ,
,
,
a x + b y = c .(2)
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
Sách vở hôm nay cuéc sèng ngµy mai

7


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ phơng trình tơng đơng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.phơng pháp giảI hệ phơng trình:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế:

a) Quy tắc thế:
+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hƯ ®· cho, ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để đợc
một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình thứ nhất cũng thờng ®ỵc
thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1).
Ví dụ: xét hệ phơng trình:
x 2 y = 1.(1)

3 x + 2 y = 3.(2)
+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biĨu diƠn x theo y ( gäi lµ rót x) ta cã: x = 1 + 2 y.(*)
Thay x = 1 + 2 y.(*) vào phơng trình (2) ta ®ỵc: 3(1 + 2 y ) + 2 y = 3.(**)
+ Bớc 2: Thế phơng trình (**) vào phơng trình hai cđa hƯ ta cã:
x = 1 + 2 y

3(1 + 2 y ) + 2 y = 3
b) Gi¶i hÖ :
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x =1
⇔
⇔
⇔

y =0
3(1 + 2 y ) + 2 y = 3
3 + 6 y + 2 y = 3
y = 0

VËy hƯ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm (x = 1; y = 0).

 Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số:
a)Quy tắc cộng đại số:
+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đà cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên phơng trình kia)
Lu ý: Khi c¸c hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi nhau th× ta céng vÕ theo vÕ cđa hƯ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trõ vÕ theo vÕ cđa hƯ.
Khi hƯ sè cđa cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa về
hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
4 x + y = 2
x − y = m
3 x + 2 y = 6
 
 
 
8 x + 3 y = 5
2 x + y = 4
x − y = 2
2 x − 3 y = 1
2 x + 3 y = 5
3 x − y = 7
 
 
 
5 x − 4 y = 1
x + 2 y = 0
− 4 x + 6 y = 2
x + 4 y = 2
− x − y = 2

2x − 3y = 2
 
 

3 x + 2 y = 4
 −2 x − 3 y = 9
 −4x + 6y = 2
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
2 x − 11y = −7
3 x + y = 3
2 x + 5 y = 8
 
 
 
10 x + 11 y = 31
2 x − y = 7
2 x 3 y = 0
Sách vở hôm nay cuộc sèng ngµy mai

8


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
3 x + 2 y = −2
− 5 x + 2 y = 4
2 x − 3 y = 11

 

3 x − 2 y = −3

6 x − 3 y = −7
− 4 x + 6 y = 5
3 x + 2 y = 1
2 x + 5 y = 2
3 x − 2 y = 4



2 x − y = 3
6 x − 15 y = 6
6 x 4 y = 3
Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau
1
1 1 4
1
x + y = 5
 x − 2 + y −1 = 2
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4


 
 
 
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
1 − 1 = 1
 2 − 3 =1
x y 5
 x 2 y 1

Các bài tập tự luyện

Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :
2 x y = −2
a) 
2 x − y = 4
x + y = 3
c) 
2 x − 3 y = −4

3x + 4 y = −2
e) 
6 x + 8 y + 3 = 0

2 x + 5 y = 1
b) 
− 10 x − 5 y = 20
2 x + 3 y = −4
d) 
5 x + 7 y = −9
x y
2 − 3 =1

f) 
x + 2y = 8
4 3


Bµi 2 : Giải các hệ phơng trình sau :

2
1
1 1 5
1
 4
x + y = 8
x − y − 2 = 2
x + 2y − x − 2y =1



a) 
b) 
c) 
1 − 1 = 3
3 + 1 −1= 0
 20 + 3 = 1
x y 8
x y − 2
x + 2y x − 2y



( m − 3) x + y = 5
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
x y = 7
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
ax y = 2

Bài 4 : Cho hệ phơng trình
x + ay = 3
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
ax 2 y = a
Bài 5 : Cho hệ phơng trình
2 x + y = a + 1
a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mÃn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mÃn x và y là các số nguyên.
2 x + (m 4) y = 16
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:
(I)

(4 m) x 50 y = 80
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

9


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hÃy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a)

b)

8+ x + 5− x =5

CHđ ®Ị 4:

2 − x2 + x2 + 8 = 4

h×nh häc

I. hƯ thøc trong tam giác vuông:
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao:

+ b 2 = a.b , ; c 2 = a.c ,
+ h 2 = b , .c ,
+ a.h = b.c
1
1 1
+ 2 = , + ,
h
b c

+ a2 = b2 + c2
+ a = b, + c,
+

b 2 b, c 2 c,
= .;
=
c 2 c, b2 b,

Hệ thức giữa cạnh và góc:

Tỷ số lợng giác:

D
K
D
K
Sin = ; Cos = ; Tg = ; Cotg =
H
H
K
D
TÝnh chÊt cđa tû sè lỵng gi¸c:
Tgα = Cotgβ
Sinα = Cosβ
1/ NÕu α + β = 90 0 Th×:
Cotgα = Tgβ
Cosα = Sinβ
2/Víi α nhọn thì 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1
*sin2 α + cos2 α = 1
*tg α = sin α /cos α
*cotg α = cos α /sin α
*tg . cotg =1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:
b = a.SinB.; c = a.SinC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh hun nh©n Cos gãc kỊ:
b = a.CosC.; c = a.CosB
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:
b = c.TgB.; c = b.TgC

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:
b = c.CotgC .; c = b.CotgB

Bài Tập áp dụng:
Bi 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giác ABC
S¸ch vë hôm nay cuộc sống ngày mai

10


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 7, c’ = 3.
Giải tam giác ABC?
’
Bài 3a: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 4, b = 3.2. Giải tam giác ABC?
Bài 3b: Cho tam giác ABC vng tại A có c = 4, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC?
Bài 4: Cho tam giác ABC vng tại A có AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC?
Bài 5: Cho tam giác ABC vng tại A có h = 4, c’ = 3.
Giải tam giác ABC?
Bài 6: Cho tam giác ABC vng tại A có b = 12, a = 20. Giải tam giác ABC?
Bài7: Chotam giác ABC vuông tại A có h = 4, c = 5.
Giải tam giác ABC?
0
0.
Bài 8: Cho tam giác ABC vng có A = 90 , b = 5, B = 40 Giải tam giác ABC?
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có a = 15, B = 600. Giải tam giác ABC?
Bài 10:Cho tam giác ABC vng tại A có AH = 3, C = 400. Giải tam giác ABC?
Bài 11: Cho tam giác ABC vng tại A có c’ = 4, B = 550. Giải tam giác ABC?
Bài 12: Chotam giác ABC vng tại A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m a = 5, h = 4.
Giải tam giác ABC?
Bài13: Chotam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m a = 5, một góc nhọn bằng 470. Giải tam giác
ABC?
Bài14: Tam giác ABC vuông ti A cú h = 4, Đờng phân giác ứng víi c¹nh hun g a = 5.

Giải tam giác ABC?
Bài15: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác øng víi c¹nh hun g a = 5. Góc C = 300. Gii tam giỏc
ABC?
II. Đờng tròn:
.Sự xác định đờng tròn: Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc
+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc
+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba
điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao ®iÓm ®Õn mét trong 3 ®iÓm ®ã) .
 TÝnh chÊt đối xứng:
+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn.
+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn.
Các mối quan hệ:
1. Quan hệ giữa đờng kính và dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn Dây gần tâm hơn.
Vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn:
+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn Không có điểm chung d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R là
bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn Có 1 điểm chung d < R.
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn Có 2 điểm chung d = R.
Tiếp tuyến của đờng tròn:
1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó
2. Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đờng tròn là tiếp tuyến của
đờng tròn đó.
Bài Tập tổng hợp học kỳ I:
Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đờng cao AH cắt đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D

a/ Chửựng minh: AD là đờng kính
b/ Tính góc ACD
c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh của đờng tròn tâm (O)


Sách vở hôm nay cuộc sống ngµy mai

11


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bµi 2 Cho ( O) vµ A là điểm nằm bên ngoài đờng tròn . Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn
( B , C là tiếp điểm )
a/ Chứng minh: OA BC
b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bài 3: Cho đờng tròn đờng kính AB . Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn . G ọi E , F lần lợt là
chân đờng vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB. Chửựng minh:
a/ CE = CF
b/ AC là phân giác của góc BAE
c/ CH2 = BF . AE
Bài 4: Cho đờng tròn đờng kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đờng tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ 3
nã c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR
CN NB
=
a/
AC BD
b/ MN ⊥ AB
c/ gãc COD = 90º
Bµi 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt

đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a)CMR: NE ⊥ AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn
( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By
tại C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 900
b) Chứng minh: AC.BD = R2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O).
Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP
và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN = R2
d/ Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy.
Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a/ Chứng minh rằng MC = MD.
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M chuyeồn ủoọng treõn nửỷa ủửụứng troứn.

Sách vở hôm nay cuộc sèng ngµy mai

12


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011

Các dạng toán về phơng trình bậc hai
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

13


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
bài mẫu: Giải các phơng trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ (.........)
1) Giải phơng trình: 3x2 -27x = 0  3x(x-……) = 0  3x= 0 (1) hoặc .........................(2)
Giải(1) x=
Giải(2) x=
Vậy phơng trình đà cho có.nghiệm ..
2) Giải các phơng trình: 5x2 - 45 = 0  x2-…… = 0  x2 = 9  x1,2=
Vậy phơng trình đà cho có.nghiệm ..
3)Giải phơng trình: 2x2 -2007x +2005= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đà cho có.nghiệm ; ..
??:Em hÃy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x2 +7x -5= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có: =.=..>0
Vậy phơng trình đà cho có.nghiệm . ; ..
5) Giải phơng trình: x4 - 7x2 +10 = 0(*)
Đặt x2 = y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2==..

Với y1=; y2=thoả mÃn điều kiện của bài toán
Mà x2 = y
Nên y1==> x2 =..<=>
y2==> x2 =..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
6) Giải phơng trình: x + 5 x 6 = 0 (*)
Đặt
x = y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2==..
Với y1=;. thoả mÃn điều kiện của bài toán => y1=(loại)
y2=thoả mÃn điều kiện của bài toán
Mà x2 = y
Nên y2==> x =..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x2 - 50 = 0
c)54x2 = 27x
e)y+ y -6=0

3x 2 + 5
b)
= x2 2
4

d) y+

Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x2 -17x - 20 = 0

b) 2x2 - 2007x + 2005 = 0
c) x2 + x + 1 = 0

y =0

f)y-5

y +4=0

d) x2 - 4x + 4= 0
e) x2 + 3x - 1 = 0
f) x2 - x + 2 − 2 = 0

Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

14


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
4

2

1) x - 5x - 6 = 0
2) x4 + 7x2 - 8 = 0
3) x4 + 9x2 + 2 = 0
4)
5)

6)

2x
1
=2+
x +1
x2 −1

x
x +1
+
=−
2
x +1
x

(x

+ 2x

2

)

2

(

)

− 2 x 2 + 2x − 3 = 0

( y + 5y) − 8y( y + 5) − 84 = 0
8) ( y − 5) − 5 y − 5 = 6
7)

2

2

2

9) x 2

2

+ 4 x2 −2 + 2 =0

bµi mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = 0 (1)
cã mét nghiÖm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phơng trình(1) có một nghiƯm x1=2 th×:
5.22 +m.2 -m2-12=0
 8+m.2 -m2=0
 m2-2m - 8 = 0(*)
Giải (*)Ta có: '=..=..> 0 => ' =
=> phơng trình (*) có hai nghiệm m1==.. ; m2==..
+)Với m1= phơng trình(1) có một nghiệm x1=2.
m
lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- .
5

4
Mà x1=2 ; m1= Nên 2 + x2 =- x2=.=..
5
+)Với m2= phơng trình(1) có một nghiệm x1=2.
m
lúc ®ã theo Vi-et ta cã: x1+x2 =- .
5
Mµ x1=2 ; m2= Nên 2 + x2 =.. x2=.=..
Vậy

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x2 + bx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b2x2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiƯm b»ng 7 . T×m nghiƯm còn lại
c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x2 + 5x + k = 0
c) x2 - (2k+3) + 4k + 2 = 0
2
b) x + kx + 2 = 0
d) (k-1) x2 + kx + 1 = 0
Bµi 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt
bài mẫu: Chứng minh rằng phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0
có nghiệm với mọi giá trị của m
Giải: phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0(*)
( a=…….; b=………; c=………)
+) XÐt a= 0 hay m - 3 = 0  m =..lúc đó phơng trình(*) trở thành:
3x+1=0 x=
=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.(1)
+) Xét a 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠……

Ta cã: ∆=………………………=………………………………= m2 - 4m + 12
= m2 - 2(….).m +(…..)2-…….. +12 = (… - ….)2 +……….
NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + 8 ≥…….>0 Víi mäi m ≠ 3
S¸ch vë hôm nay cuộc sống ngày mai

15


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Hay ∆>0 Víi mäi m≠ 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m 3 (2)
Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x2+(m+1)x+m=0
b) x2 -mx + m - 4 = 0
2
2
c) -3x + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0
d) x + 4x - m2 + 4m - 9 = 0
e) (m+1)x2 + x - m = 0
bài mẫu:Tìm m để phơng trình bËc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Giải: phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0
 30-5m < 0 ……………….<=> m > 6
Vậy m.
Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta
không phải xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiƯm tr¸i dÊu.
a) x2 + 2x + m - 1 = 0
b) x2 + mx + 7 = 0

2
2
c)-3x + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0
d) 3x - 2(2m+1)x+ m2 -2 5 = 0
e) (m2 + 4 m +4)x2 +
mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình :
(m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = 0 (1)
a) Giải phơng tr×nh khi m = 5
b) Chøng minh r»ng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
bài mẫu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=…….; b=………; c=………)
+) XÐt a= 0 hay m - 3 = 0  m =..lúc đó phơng trình(*) trở thành:
.x+1=0 x=
=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.
+) Xét a 0 hay m - 3 ≠ 0  m ≠……
Ta cã: ∆'=………………………=…………………………………..= -m +4
m <4
-Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 ………………… m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
m3
(m 2) + 4 m
lúc đó phơng trình(*)
có hai nghiƯm ph©n biƯt x1=
;……………………….
m−3
-Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 …………………  m= 4
(m 2)
lúc đó phơng trình(*)

có nghiệm kép x1=….=
=2 (do m= 4)
m−3
-Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 …………………  . kết hợp vơí điều kiện ta đợc.
lúc đó phơng trình(*)
vô nghiệm
Vậy m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.





Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx2 - 2(m-2) x + m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

16


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x cã hai nghiƯm lµ
a) 3 vµ 5
b) 3- 5 vµ 3 + 5
1
1
c) 3- 2 vµ 3 + 2
d)
vµ

3 −2 2
3 +2 2
e)

1
1
vµ
víi a ≠ ± b
a +b
a −b

bµi mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1- 5 và 1 + 5
Giải:
Đặt x1=3- 5 và x2= 3 + 5
Ta có: x1+x2=+= 6
x1.x2=(.).(..)=.= 4
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm của phơng trình: .= 0
Vậy phơng trình cần lập là:..
Bài 13 : Cho phơng trình : x2 + 5x - b = 0 có hai nghiệm x1 ; x2
Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mÃn :
y1 = x12 + 1 vµ y2 = x22 + 1
Bµi 14:Cho phơng trình : x2 - 2010 2005x +1 = 0
Có 2 nghiệm x1và x2 .Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mÃn :
y2 = x12 + 1 và y1 = x22 + 1
Bài 15: Giải hệ phơng trình :
x 2 + y 2 = 25
x + y = 5
x − y = 11
a) 
b) 

c)
x.y = 35
x.y = 60
x.y = 12

bài mẫu: Không giải phơng trình hÃy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình
a) 5x2 - 7x - 1 = 0
Giải: có : a.c = .=-5 < 0 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) 5x2 - 7x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x2 - 7x+2 = 0
(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta cã : ∆=……………….= 9 > 0
............... = ............
.
¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã: 
................ = ..........
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng
c) x2 + 11x + 5 = 0
Giải: phơng trình: x2 +11x+5 = 0
(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta cã : ∆=……………….= …. > 0
............... = ............
.
¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã: 
................ = ..........
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
d) 5x2 + x + 2 = 0
Giải: phơng tr×nh: 5x2 + x +2 = 0
(a=…..; b=…….; c=…….)
Ta cã : =.= ..< 0

=> phơng trình vô nghiệm
Bài 16 : Không giải phơng trình hÃy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

17


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
các phơng trình sau :
1) 3x2 + 5x - 1 = 0
3) 5x2 - 14x + 1 = 0
2) 7x2 -3x + 1= 0
4) 2x2 - 4x - 3 = 0
2
5) 4x - 3x +2 = 0
6) x2 +5x +1 = 0
bài mẫu: Cho phơng trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (m lµ tham số ) tìm m để phơng trình có
hai nghiệm cùng dấu dơng ?
Giải: phơng trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (*)
(a=…..; b=…….; c=…….)
∆ ' > 0
......................................(1)

. ......................................(2) .
Để phơng trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dơng thì: x 1 + x 2 > 0. hay 
x .x > 0
.......................................(3)
 1 2

Gi¶i(1):  4-m > 0 …………….<=>………………

Gi¶i(2):  2 > 0 luôn đúng
Giải(3): . > 0 .<=>
Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:
Vậy m
Bài 17 : Cho phơng tr×nh : x2 - 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình
1) có 2 nghiệm trái dấu
4) Có 2 nghiệm cùng dấu dơng
2) cã 2 nghiƯm cïng dÊu
5) Cã 2 nghiƯm cïng ©m
3) Có ít nhất 1 nghiệm dơng
Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:
a) x2 - 2mx + (m-1)2 = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng
b) 2x2 - 2(m+1) x + m = 0 Cã 2 nghiƯm ph©n biƯt cïng ©m
c) x2 - 2x + 2m -30 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x2 - 6x - 8 = 0
Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của các biểu thức sau(x1; x2là nghiệm của phơng trình)
1) S = x1 + x2 ; P = x1. x2
2) A = x12 + x22 ;

B=

1
1
+
;
x1 x 2

C=

x1
x
+ 2
x2
x1

;

D = x13 + x23

E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13 - x23
Bµi 20 : Cho phơng trình : x2 - 8x + n = 0 (1) n là tham số
a) Giải phơng trình với n = 1
b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mÃn
1) x1 - x2 = 2
; 3) 2x1 + 3x2 = 36
2) x1 = 3x2
; 4) x12 + x22 = 50
Bài 21 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = 0
Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mÃn
a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia
b) Hiệu hai nghiệm bằng 1
Bài 22 : Cho phơng trình x2 - 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại
c) Chứng minh rằng phơng trình cã 2 nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
d) Gäi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình. HÃy tính A = x12 + x12 theo m
từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
bài mẫu: dạng toán về tìm giá trÞ lín, nhÊt nhá nhÊt cđa mét biĨu thøc nghiƯm

VÝ dụ 1: Cho phơng trình x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x)
Sách vở hôm nay cuộc sống ngµy mai

18


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
b) H·y m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó
Giải: a) phơng tr×nh: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (Èn x)
(a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….)
Ta cã : ∆'=………………………………………………………………………………………
= m2-8m+24
= m2-2m(…..)+(….)2 -………+24
=(…..-……)2 +………
NhËn thÊy: (…..-……)2 ≥ 0 với mọi giá trị của m
=> (..-)2 +..> 0 với mọi giá trị của m
Hay '> 0 với mọi giá trị của m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo a) phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
............... = ............
. (I)
¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã: 
................ = ..........
Lại có: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (+)
Thay (I)vào A ta đợc :
A= -2(m-3)(..-)
=. = - 4m2+ 42m - 90
-A = 4m2- 42m - 90
= (2m)2-2.2m(…..)+(….)2 -………- 90
=(……-……)2 -………

NhËn thấy: (..-)2 0 với mọi giá trị của m
<=> (..-)2 -.. với mọi giá trị của m
Hay -4A với mọi giá trị của m A.. với mọi giá trị của m
Dấu "=" xảy ra khi =0 m=
Vậy giá trị
Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (Èn x)
H·y m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x1 , x2 là nghiệm của phơng trình
(1) )
Giải:
phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (Èn x)
(a=…..;b=…………=>b'=…………;c=………….)
Ta cã : ∆'=………………………………………………………………………………………
= 6m+18
Để hpơng trình (1)có nghiệm thì ' 0 hay m ≥ ……
Lóc ®ã theo Vi-et ta cã: A= x1 + x2 =…………………..
mµ m …….=> 6m……….  6m+.............. Hay A……….
DÊu "=" xảy ra khi m =.............
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là .........khi m=........

Bạn hÃy tự phân chia các b ớc của bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất một biểu thức nghiệm của ph ơng trình
bậc hai
Bài 23 : Cho phơng trình x2 + (m+1)x + m = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình cã nghiƯm víi mäi m
b) H·y tÝnh x21x2 + x22x1 theo m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x21x2 + x22x1
d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Bài 24 : Cho phơng trình: x2 + mx + m - 2 = 0 (1) (Èn x)
a) Chứng minh rằng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1)
Sách vở hôm nay cuéc sèng ngµy mai

19


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bài 25 : Cho phơng trình: x - (k+1)x + k = 0 (1) Èn x tham số k
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiƯm víi mäi k
b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm của phơng trình (1) Tính biểu thức
A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 26 Cho phơng trình: : x2 + 2mx + m2 + 4m + 8 = 0 (1) (Èn x)
a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x1+x2
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x1+x2+x1.x2+2007
Bài 27 *: Cho phơng trình: x2 - (m+1)x + m2 -2m + 2 = 0 (Èn x)
a) T×m giá trị của m để phơng trình vô nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m
d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc B = x1 + x2
Bµi 28 : Cho phơng trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (Èn x)
a) T×m m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2
b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài 29 : Cho phơng trình: x2 - (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1)
(Èn x)
a) Víi giá trị nào của k thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm h·y tÝnh P = x1 + x2 ; S = x1. x2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với m của mỗi phơng trình sau
a) x2 - (2m+5)x + m + 3 = 0
b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0

c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = 0
d) (m-1)x2 - 2mx + m + 1 = 0
2
2
Bµi 31 : Cho phơng trình: x - (2m-1)x+ m - m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè)
a) TÝnh ∆ để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m
c) Tìm m để A 3
Bài 32 : Cho hai phơng trình :
x2 - 7x + 6 = 0
x2 + (m+1)x + 24 = 0
Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung
Bài 33 : Cho hai phơng trình : x2 + x + m = 0 vµ x2 + mx + 1 = 0
a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
2x2 - (3m+2) x + 12 = 0
4x2 - (9m-2)x + 36 = 0
Bµi 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x2 +(3m+2n)x - 4 = 0
x2 + (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0 vµ x2 + p2x + q2 = 0
BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng trình
ax2 + bx + c = 0
(1)
2
vµ a1x + b1x + c1 = 0
(2)
Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung th× (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c)

Một số bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai
Bài 38: Cho phơng trình: x2 - 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi m=1
b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
2

Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

20


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m.
d)Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc M= x12 +x22
Bµi 39: Cho phơng trình: x2 - (k+1) x +k = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi k = 2004
b)CMR phơng trình luôn có nghiệm
c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình .Tính B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.
d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mÃn x12 + x22 =5
e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó
Bài 40:Cho phơng trình: x2 - (a-1) x - a2 +a - 2 = 0 (1)
1) CMR phơng trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình .Tính S= x12 + x22 theo a.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.
3)lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lập với a.
1
1
4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mÃn +
nhận giá trị dơng

x1 x 2
Bài 41:Cho phơng trình Èn x : (m+1)x2 + 5 x +m2 - 1= 0
a) Giải phơng trình với m =-1
b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.
Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)
1.Giải phơng trình khi a=1
2. CMR phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1.
3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mÃn một nghiệm lớn hơn 1 và
nghiệm kia nhỏ hơn 1.
Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x2 + p x +q = 0(1)
a)Không giải phơng tr×nh tÝnh theo p,q biĨu thøc
1
1
+
A=
theo p ,q
2
2(2 x 1 + 3)
2(2 x 2 + 3) 2
b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2
x1 + 1
x2 +1
c)lập 1 phơng trình bậc hai có nghiệm là
và
x1 1
x2 1
d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .

e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x2 + n x +m = 0 cã nghiƯm chung th×
(n+p)2 +(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x2 + 2m x +2m-1 = 0 (1)
1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phơng trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 là độc lập với m.
b. Tìm m để x1- x2 =6.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A== x12 x2 + x22 x1
3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn 1Chuyên đề :
giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình
dạng toán chuyển động.
Sách vở hôm nay cuéc sèng ngµy mai

21


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bài 1 : Một ô tô dự ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm
mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quÃng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở vị trí
cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không ®ỉi nhng ngêi ®i chËm xt ph¸t tríc ngêi kia 6 phút
thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quÃng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngời.
Bài 3 : QuÃng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô
tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B trớc dự định là 45 phút nên ngời
ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. HÃy tính vận tốc dự định của ngời đó.
Bài 5 : Một ngời đi xe đạp tõ A ®Õn B víi vËn tèc 24 km/h. Lóc từ B về A, ngời đó có công việc bận cần đi theo con

đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Lên thời gian về ít hơn thời gian đi là 40
phút. Tính quÃng đờng lúc đi.
Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B và đến
B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 7 : Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc 7 giê tõ hai tỉnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều nhau họ gặp nhau lúc
8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. biết rằng vận tốc ngời đi từ A hơn vận tốc ngời đi từ B là 3 km/h.
Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6 giờ 30 phút.
Nếu đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô tô đi về phía ng ời đi bộ) thì ô tô đuổi kịp ngời
đi bộ lúc 11 giờ. Tính vận tốc ngời đi bộ và của ô tô.
Bài 9 : Hai tỉnh A và B cách nhau 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ë C c¸ch
A 90 km. NÕu vËn tèc vÉn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa
quÃng đờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quÃng đ ờng đầu. Ô tô đi với vận tốc dự
định. Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ. xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa
quÃng đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên quÃng đờng.
Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đợc 1 giờ. Ô tô bị
chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
Bài 12 : Một quÃng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi từ A đến B hết
40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc ®i b»ng vËn tèc lªn dèc lóc vỊ. vËn tèc xng dèc ®i b»ng
vËn tèc xng dèc vỊ). TÝnh vËn tốc xuống dốc và vận tốc lên dốc.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4
giờ 20, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quÃng đờng AC, CB. BiÕt vËn tèc xuèng dèc lµ 15 km/h, vËn tèc lên dốc là 10
km/h (Vận tốc lên dốc lúc đi b»ng vËn tèc lªn dèc lóc vỊ, vËn tèc xng dốc lúc đi bằng vận tốc xuống dốc lúc về).
Bài 14 : Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A sau 5 giê 20 phót mét ca n« chạy từ bến A đuổi theo và gặp
thuyền cách bến A 20 km. Hái vËn tèc cđa thun. BiÕt r»ng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 12 km một giờ.
Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi nhiều hơn thời gian ngợc
dòng là 2 giờ, vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngợc dòng.
Bài 16 : Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đà định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu ca nô
giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc dự định.
Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca nô.

Biết tổng thời gian ca nô xuôi và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

22


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km. Một lần khác ca nô
cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc.
Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ. Biết vận tốc của dòng nớc
là 2 km/h. Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng.
Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h,
ca nô II chạy với vận
tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp. Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô nô đến nơi
cùng một lúc.
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau.
Sau 1 giờ 40 phút 2 ca nô
gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô. Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng là 9 km/h.
Và vận tốc dòng nớc là 3 km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách nhau 40 km, cïng mét lóc víi ca n« xu«i tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A víi
vËn tèc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi
đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 23. Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.
Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đà tăng vận tốc
thêm 10 kkm/h do ®ã ®Õn B lóc 10 giê kÐm 10 phót . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h . Do đó thời gian về ít hơn
thôừi gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 25. Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trë l¹i 27 kmhÕt 3 giê 30 phót . BiÕt vận tốc thực của ca nô là 20
km/h. Tính vận tốc dòng nớc.
Bài 26. Hai ngời cùng đi quÃng đờng AB dµi 450 km vµ cïng khëi hµnh mét lóc . VËn tèc ngêi thø nhÊt Ýt h¬n vËn

tèc cđa ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngêi thø hai lµ 4 giê . TÝnh vận tốc và thời gian đi quang
đờng AB của mỗi ngời.
Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A ®Õn B c¸ch nhau 33 km víi mét vËn tèc xác định . Khi từ B về A ngời ấy đi vòng
con đờng khác dài hơn con đờng cũ 29 km nhng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i lµ 3 km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i .Biết
rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút.
Bài 28.Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng mét tõ A ®Õn B . VËn tèc cđa hä hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B sớm
muộn hơn nhau 30 phút . tính vận tốc mỗi ngời , biết rằng quÃng đờng AB dài 30 km. Sử dụng tính chất.
Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bÕn A ®Õn bÕn B , cïng mét lóc ®ã cã mét ngêi ®i bé tõ bÕn A däc theo bờ sông hớng
đến B. Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa ®iĨm c¸ch bÕn A 8km . TÝnh vËn tèc cđa ca nô
khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc dòng nớc đều bằng 4km/h.
II. Dạng toán chung - riêng
Bài 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với nhau
đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi lên
đội 2 đà làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong công việc trên (với
năng suất bình thờng).
Bài 2 : An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ và Bình làm
3
trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình làm công việc đó thì trong mấy giờ
4
xong.
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ
2
2 chảy trong 12 phút thì đầy
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy bể.
15
Bài 4 : Hai vòi nớc nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu vòi
thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

23


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bµi 5 : Hai líp 9A vµ 9B cïng tu sưa khu vêng thùc nghiƯm cđa nhµ trờng trong 4 ngày xong. Nếu mỗi lớp tu sửa
một mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm một mình
thì trong bao lâu hoàn thành công việc.
2
công việc . Nếu để
3
mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì trong bao lâu xong công
việc.
Bài 6 : Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành

Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thµnh trong 15 giê. NÕu tỉ 1 lµm trong 5
giê, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm trong bao lâu mới hoàn
thành công việc.
Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50. Sau khi làm đợc 5 giờ. Ngời thứ nhất phải điều đi
làm việc khác, nên ngời kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi ngời làm trong bao lâu
thì xong.
Bài 9 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi ngời nửa công việc thì tổng céng sè giê lµm viƯc lµ
12h30’. NÕu hai ngêi lµm chung thì hai ngời chỉ làm trong 6 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm riêng thì mất
bao lâu xong việc.
4
1
giờ đẩy bể, môĩ giờ lợng nớc của vòi 1 chảy bằng 1 lợng nớc
5
2
ở vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau 4

Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 thì xong nhng trong thực tế ngời 1 làm
3
trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
công việc. Hỏi mỗi
4
ngời làm một mình công việc đó trong bao lâu xong công việc.
Bài 12 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời thứ
hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu xong công
việc.
II. tăng năng xuất :
Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi ngời còn lại phải
làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi ngời nh nhau).
Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 . Biết
mỗi công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m3 . Tính số đất mỗi công nhân đội 1 đào đợc.
Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy đội
không những đà cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải
cày theo kế hoạch đà định.
Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế mỗi ngày đà dệt thêm đợc 60
chiếc, cho nên chẳng những đà hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch .
Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu.
Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10 m 3 .
1
Sau khi bơm đợc
dung tích của bể chứa, ngời công nhân vận hành cho máy bơm với công suất lớn hơn, mỗi giờ
3
bơm đợc 15 m3 do đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích bể chứa.

Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

24


Nguyen Ba Hai- Gl-2010-2011
Bài 6 : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Thời gian làm theo năng suất
tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng suất giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày ( tăng,
giảm so với năng suất dự kiến). Tính năng suất dự kến theo kế hoạch.
Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức 15%, tổ hai vợt mức
12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vợt mức
15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu,
mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài9 . Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt đợc 30 tấn cá . Nhng thực tế mỗi ngày đánh bắt thêm
đợc 8 tấn nên chẳng những đà hoàn thành kế hoạch sớm đợc 2 ngày mà còn đánh bắt vợt mức 20 tấn . Hỏi số tấn cá dự
định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?
Bài 10. Trong một buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đà trồng đợc tất cả 180 cây. Biết rằng số cây các
bạn nam trồng đợc bằng số cây các bạn nữ trồng và mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là 5 cây.Tính số học
sinh nam và nữ.
IV. Toán hình học :
Bài 1 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau2m. Tìm các cạnh góc
vuông của tam giác.
Bài 2 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn ( thuộc đất của vờn)
rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2.
Tính các kích thớc của vờn.
Bài 3 : Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 13/12 cạnh còn lại bằng 15m. Tính
cạnh huyền.
Bài 4 : Tìm hai cạnh của tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm, hiệu hai cạnh góc vuông là 7 cm.
Bài 5 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều dài tăng thêm 3 m thì
diện tích sẽ tăng thêm 195 m2. Tính các kích thớc của miếng đất.
Bài 6 : Tìm các kích thớc của một hình ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 120m, diƯn tÝc b»ng 875m2

Bài 7 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m 2. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m
và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.
Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m . Thì diện tích hình
chữ nhật tăng thêm 200m2. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 9 : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông.
Bài 10 : tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng 4 m và diện tích tam giác bằng 48
m2 .
Bài 11. Tính độ dài các cạnh của một tam giác vuông , biết rằng chúng là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Bài12 . Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhËt biÕt chu vi b»ng 34m , ®êng cao 13 m.
Bài13. Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm. Tính độ dài các cạnh
của tam giác vuông đó.
Bài14. Tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuôngcó cạnh huyền bằng 10. Và một trong các cạnh góc vuông
bằng trung bình cộng của cạnh kia và cạnh huyền.
Bài15. Một sân tam giác có diện tích 180 m2 .Tính cạnh đáy của tam giác biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm
chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.S
phần thứ hai : hình học
I_chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1 : Chứng minh rằng các tứ giác trong các hình vẽ dới đây nội tiếp đợc một đờng tròn.
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

25