Tai lieu on thi vao 10

Là ngời thầy giáo
nên đa học sinh đi tìm chân lý hơn là đa chân lý đến cho học sinh
----------------------------------

Luyện Thi vµo líp 10

Tµi liƯu lu hµnh néi bé


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 1:
Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử
A. biến đổi đẳng thức
I. Các hằng đẳng thức cơ bản và më réng
(a  b)2 = a2  2ab + b2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab +b2)
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1), mọi n là số tự nhiên
an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1), mọi n lẻ
II. Bài tập
Bài 1
So sánh hai sè A vµ B biÕt: A = 2004.2006 vµ B = 20052
Gi¶i
Ta cã A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 20052 - 1 < 20052 =B. VËy A < B.
Bài 2
So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
Giải

Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 232 -1 < 232 = B. VËy A < B.
Bài 3
So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) và B =332 -1
Giải
Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) = 332 - 1 = B. VËy A < B.
Bµi 4
Chøng minh r»ng: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2, víi mäi m.
Gi¶i
VT: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = m4 + m2 + 1 + 2m3 - 2m2 - 2m + 4m2 + 4m = m4 + 2m3 + 3m2
+ 4m + 1.
VP: (m2 + m + 1)2 = m4 + m2 + 1 +2m3 + 2m2 + 2m = m4 + 2m3 + 3m2 + 2m +1.
Bµi 5
Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -ac -bc).
Gi¶i
Ta cã a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) thay vµo VT
VT = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 -3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b) 2 + c2 c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a 2 + b2 + c2 - ab - ac bc) = VP.
Bµi 6
Cho ab = 1. Chøng minh r»ng: a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b)
Trang 2

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Giải
(a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) = a5 + a3b2 + a2b3 + b5 - (a - b)= a5 + b5 +a2b2(a + b) - (a - b) = a5 + b5
Bµi 7
Cho a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0. Chøng minh r»ng: a = b = c
Hìng dÉn
Tõ: a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0  2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0  (a - b)2 +(a - c)2 +

(b - c)2 = 0 a = b = c.(đpcm)
Bài 8
Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mÃn: ab + bc + ca = 1. CMR
Hìng dÉn
Ta cã:
T¬ng tù:

(a  b)2 (b  c)2 (c  a)2
1
(1  a 2 )(1  b 2 )(1  c2 )

1 + a2 = ab + bc + ca +a2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b).
1 + b2 = (b + a)(b + c).
1 + c2 = (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm).

Bài 9
Cho a > b > 0, thoả mÃn: 3a2 + 3b2 =10ab. Chøng minh r»ng:

a b 1
 .
a b 2

Giải
Đặt P =

a b
thì P > 0 nên P =
a b

P2 .

2
2
2
2
Ta cã P2 = a 2  b 2  2ab  3a 2  3b 2  6ab 10ab  6ab  1 . VËy P = 1/2.
a  b  2ab 3a  3b  6ab 10ab  6ab 4
Bµi 10

Cho a + b + c = 1 vµ

1 1 1
  0 . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 =1.
a b c

Gi¶i
Tõ: a + b + c = 1  a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 1  a2 + b2 + c2 = 1- 2(ab + ac + bc) .
Mặt khác:

1 1 1
ab ac bc
  0 
0  ab  ac  bc 0 . VËy: a2 + b2 + c2 =1.
a b c
abc

Bµi 11
Cho

1 1 1

1 1 1
  2 (1) vµ a + b + c = abc. Chøng minh r»ng: 2  2  2 2
a b c
a
b
c

Gi¶i
(1)



1 1 1
1 1 1
1 1 1
a b c
 2  2  2(   ) 4  2  2  2  2(
) 4 .
2
a
b c
ab ac bc
a
b
c
abc

Thay a + b + c = abc vµo ta cã

1 1 1

1 1 1
 2  2  2 4  2 2 2 2 .
2
a
b c
a
b
c

Bài 12

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242

Trang 3


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Cho

a b c
x y z
x2 y2 z2
  1 (1), vµ   1 (2). CMR: A  2  2  2 1
x y z
a b c
a
b c

Gi¶i
x2 y2 z2

xy xz yz
xy xz yz
cxy  bxz  ayz
 2  2  2(   ) 1  A 1  2(   ) 1  2(
)
2
a
b
c
ab ac bc
ab ac bc
abc
:

(2)

cxy  bxz  ayz
0 . VËy A = 1.
xyz

Bµi 13
1 1 1
1 1 1
3
.
  0 .(1) Chøng minh r»ng: 3  3  3 
a b c
a b c
abc
Gi¶i .

Cho

(1)



1
1 1
1
1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
 (  )  3  ( 3  3  3 (  )  3  [ 3  3  3 ( )]
a
b c
a
b c
bc b c
a
b c
bc a

1 1 1
3
.
 3 3
3
a b c

abc
Bµi 14
Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 =14. Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 = 98.
Gi¶i
Tõ: a + b + c = 0  a = -(b + c)  a2 = (b + c)2  a2 = b2 + c2 +2bc
 a2 - b2 - c2 = 2bc  (a2 - b2 - c2)2 = 4b2c2  a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 + 2b2c2 = 4b2c2  a4 +
VËy

b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2  2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2b2c2 + 2a2c2 2(a4 + b4
+ c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 = 142 =196.
VËy a4 + b4 + c4 = 98.
Bµi 15
Cho xyz = 1, Chøng minh r»ng:

1
1
1


1.
1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx

Gi¶i
Ta cã:
=

1
1
1



1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx



z
x
1



z  xz  xyz x  yx  xyz 1  z  zx

z
x
1
z 1
x
z 1
xz






z  xz  1 x  yx  1 1  z  zx 1  x  xz x  xy  1 1  x  xz xz  xyz  z

z 1
xz

z  1  xz



1.
1  x  xz xz  1  z 1  x  xz
B. Ph©n tích đa thức thành nhân tử
Bài 1
Phân tích tam thức bậc hai x2 - 6x + 8 thành nhân tử.
Giải
Trang 4

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào líp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng.
x2 - 6x + 8 =(x - 3)2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).
Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và
đặt nhân tử chung.
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4).
Bµi 2
Phân tích đa thức x3 + 3x2 - 4 thành nhân tử.
Giải
Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức làm
xuất hiện nhân tử x - 1.
C1: x3+ 3x2- 4 =x3-x2+4x2- 4=x2(x - 1)+4(x2-1)=(x-1)(x2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2)2.
C2: x3+3x2- 4 =x3-1+3x2- 3 = (x-1)(x2+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x2+ 4x + 4).
Bài 3
Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử.

Giải
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x2 +8x+7)(x2+8x +15) +15
Đặt: t = x2+8x+7 x2+8x+15 = t + 8  ta cã: t(t + 8) +15 = t2 + 8t +15 =(t + 4)2 - 1 = (t + 4 +
1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3).
VËy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 6x + 2x + 12)(x2 +
8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x2 + 8x + 10).
BTVN.
Bµi 1
Cho x > y > 0 vµ 2x2 + 2y2 = 5xy, TÝnh: P 

xy
. (t¬ng tù bµi 9)
x y

Bµi 2
Cho x + y + z = 0, Chøng minh r»ng: x3 + y3 + z3 = 3xyz. (tơng tự bài 13)
Bài 3
Cho a + b + c = 0, Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 =

1 2
(a + b2 + c2 )2. (t¬ng tù bài 14)
2

Bài 4
Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0.
1
1
1
 2 2 2 2 2
0.

2
2
a  b  c b  c  a a  c  b2
Tõ: a + b + c = 0  a = - (b + c)  a2 = (b + c)2  a2=b2 + c2 + 2bc  b2 + c2 - a2 = - 2bc
Bµi 5
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a/ 4x2 - 3x - 1
b/ x3 + 6x2 + 11x +6
c/ (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3
Hìng dÉn: x + y + z = 0  x3 + y3 + z3 = 3xyz
Trang 5
- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vµo líp 10 -: 0972946242
Chøng minh r»ng:

2


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 2:
Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
A. Bất đẳng thức
I. Một số tính chất của bất đẳng thức
1/ a > b vµ b > c  a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c céng vµo hai vÕ cïng mét sè)
ac  bc nÕu c  0
3/ a > b
(t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng)
ac  bc nÕu c  0
4/ a > b vµ c > d  a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều)
a b  0

5/ 
c  d  0

 ac  bd (t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều)

a n  b n
6/ a > b > 0  n
(n nguyên dơng)
a n b
7/

a
a

a, b, c  R 
a b a bc

a c
a a c c
  

 a, b, c, d  R 
b d
b b d d
9/ NÕu a, b, c lµ 3 cạnh của tam giác thì ta có:
*/ a > 0, b > 0, c > 0.
8/

*/ b - c < a < b + c;
a - c < b < a + c;

*/ NÕu a > b > c th× A > B > C
II. Bµi tËp

a - b < c < a + b

Bµi 1
Cho 5 sè a, b, c, d, e bÊt kú. CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a( b + c + d + e)(1).
Gi¶i
(1)  4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae  0
 (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2  0. (đpcm)

Bài 2
Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a2 + b2  1/2, b/ a3 + b3  1/4, c/ a4 + b4  1/8
Gi¶i
a/ Tõ (a - b)2  0  a2 + b2  2ab  2(a2 + b2)  a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1.
VËy a2 + b2  1/2.
b/ Ta cã a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2 
 2(a3 + b3) = 2a2 - 2ab + 2b2 = (a - b)2 + a2 + b2  a2 + b2
mµ a2 + b2  1/2  2(a3 + b3)  1/2  a3 + b3  1/4. (®pcm)
c/ Tõ (a2 - b2)2  0  a4 + b4  2a2b2  2(a4 + b4)  a4 + b4 + 2a2b2 = (a2 + b2)2
1
 a4 + b4  (a2 + b2)2 (1).
2
Mặt khác: (a - b)2 0  a2+ b2  2ab  2(a2 + b2)  a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1
Trang 6
- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vµo líp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
a2 + b2 1/2  (a2 + b2)2  1/4 thay vµo (1) ta cã a4 + b4 

1
.
8

Bµi 3
Cho a,b > 0, vµ a + b = 1. Chøng minh r»ng:
1
1
a/ (1  )(1  ) 9 ;
a
b
Gi¶i

b/

1
1
4


a 1 b 1 3

1
1
a 1 b 1
ab  a  b  1
2
a/ (1  )(1  ) 9  (
)(

) 9 
9  1 
9 
a
b
a
b
ab
ab
1  4ab  (a + b)2  4ab ®óng  (®pcm).

1
1
4

 3(a + 1 + b +1)  4(a + 1)(b + 1)  9  4(ab + a + b + 1)
a 1 b 1 3
 9  4ab + 8  1  4ab  (a + b)2 4ab đúng (đpcm)
b/

Bài 4
Cho a, b, c  R+. Chøng minh r»ng: 1 

a
b
c


2
a b b c ca

Gi¶i
a
 a
a  b  a  b  c

b
 b
a
b
c




1.

b

c
a

b

c
a

b
b


c
c

a

c
 c
c a  a  b  c

Mặt khác:
c
a
ac
a
a b c a b  a  b  c

a
b
b a
a
b
c
 b

 



2.


bc a b c
a b b c c a
b  c a
b
c
b c
 c
c  a  b  c a  a  b  c

VËy: 1 

a
b
c


2
a b b c ca

Bµi 5
Cho a, b, c, d  R+. CMR: 1

a
b
c
d



2

a bc bcd cda da b

Giải

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242

Trang 7


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
a
a
a

a b c  d  a  b  c  a  c

c
c
c



a  b  c  d c  d  a c  a 1
a
b
c
d
 1




2

b
b
b 2
a b c b cd cd a d a b



a  b  c  d b  c  d b  d

d
d
d



a  b  c  d d  a  b d  b

Bµi 6
Cho a,b,c lµ 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Gi¶i
*/ CM: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 , nhân cả hai vế với 2 ta cã:
2ab + 2bc + 2ca  2a2 + 2b2 + 2c2  (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2  0, ®óng  (®pcm)
*/ CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c lµ ba cạnh tam giác nên ta có:
a < b + c  a2 < ab + ac
b < a + c  b2 < ab + bc
c < a + b  c2 < ac + bc
 a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

VËy: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

Bµi 7
Chøng minh r»ng:

2 ab
a b

 4 ab víi a > 0, b > 0.

Gi¶i



4

4



2

b

0 

a  b 2 4 ab 

2

1

2 ab

 4 ab .
a b
ab
a b
III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân)
*/ Với 2 số thực a, b không âm ta có:
a

4



a b
ab , dấu b»ng x¶y ra  a = b.
2
*/ Víi 3 sè thực a, b, c không âm ta có:
a bc 3
abc , dÊu b»ng x¶y ra  a = b = c.
3
*/ Víi n sè thùc a1, a2, ... an không âm ta có:
a1 a 2 ... a n n
 a1a 2 ...a n , dÊu b»ng x¶y ra  a1 = a2 = ... = an .
n
IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
*/ với 4 số thực a, b, c, d ta cã:

(ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2), dÊu b»ng x¶y ra 
Trang 8

a c
 .
b d

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vµo líp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
*/ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta cã:
(ab + cd + ef)2  (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2), dÊu b»ng x¶y ra 

a c e
  .
b d f

*/ víi n cỈp sè thùc a1, a2, ... an, b1, b2, ... bn ta cã:
(a1b1 +a2b2 + ... + anbn)2  (a12 + a22 + ... + ann)(b12 + b22 + ... + bnn).
DÊu b»ng x¶y ra 

a1 a 2
a
 ...  n .
b1 b 2
bn

Bµi 8
Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng:

a/ (x + y)(y + z)(z + x)  8xyz.
b/

1 1
4
 
.
x y xy

1 1 1
9
  
.
x y z xy z
Gi¶i

c/

 x  y 2 xy


a/  y  z 2 yz  (x + y)(y + z)(z + x)  8xyz.


 z  x 2 xz
 x  y 2 xy
1 1
4
1 1
1 1


 
 (x  y)(  ) 4 mµ  1 1
b/
2  (x  y)(  ) 4 .
x y xy
x y
x y
x  y 
xy


c/

1 1 1
9
1 1 1
  
 (x  y z)( ) 9 . (làm tơng tự)
x y z xyz
x y z

B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1
2
Tìm giá trị lớn nhất của: P = 2x2  4x  5
x  2x  2
Gi¶i
Ta cã:

P=

2x 2  4x  5 2(x 2  2x  2)  1
1
1

2  2
2 
2
2
x  2x  2
x  2x  2
x  2x  2
(x  1)2  1

P lín nhÊt  2 

1
lín nhÊt, muèn vËy (x - 1)2 + 1 ph¶i nhá nhÊt
(x  1)2  1

mµ (x - 1)2 + 1  1  (x - 1)2 + 1 nhá nhÊt b»ng 1  x = 1. Khi ®ã P = 3
VËy Pmax = 3 x = 1.

Bài 2

- Võ Văn Lý - Giáo ¸n lun thi vµo líp 10 -: 0972946242

Trang 9

Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Cho x2 + y2 = 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: p = x + y
Gi¶i
Tõ (x - y)2  0  x2 + y2  2xy  2(x2 + y2)  x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
VËy 2  (x + y)2   2 x  y  2 
Pmax=

2;
2

2x=y=

Pmin= - 2  x = y = -

2
2

Bµi 3
Cho x, y > 0 và x + y = 1, Tìm giá trị nhá nhÊt cđa: P = (1 

1
1
)(1  2 )
2
x
y

Gi¶i

P = (1 
=

1
1
(x 2  1)(y 2  1) (x  1)(x  1)(y  1)(y  1) xy(x  1)(y  1)
)(1

)



x2
y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2

xy(x  1)(y  1) (x  1)(y  1) x  y  xy  1
2


1 
. (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x)  ta
2 2
x y
xy
xy
xy

cã P nhá nhÊt 

2
xy

nhá nhÊt  xy lín nhÊt.

Mµ xy = x(1 - x) = - x2 + x = -(x - 1/2)2 + 1/4  1/4  xy lín nhÊt = 1/4 khi x = 1/2  y = 1/2
VËy Pmin =

1

2
1 1
.
2 2

9

khi x = y = 1/2.

Bµi 4
2
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cđa: P = (x 4  1)
x 1
Gi¶i
2
2
4

2
2
P = (x 4  1)  x 42x  1 1  2x
x 1
x 1
x4  1
2
Do (x2 - 1)2  0  x4 + 1  2x2  2x
1  P  2  Pmax= 2  x =  1.
x4 1
2
2x 2
Do 2x2  0, x4 + 1  1  2x

P

1

P
min = 1 

0
0  x = 0.
x4  1
x4 1

Bài 5
Cho a, b > 0. Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa; P =

(x  a)(x  b)

, víi x > 0.
x

Gi¶i
Ta cã:
2
P = (x  a)(x  b)  x  ax  bx  ab a b  x  ab  P a  b 2 ab .
x
x
x

Trang 10

- Võ Văn Lý - Giáo ¸n lun thi vµo líp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Vậy Pmin = a b  2 ab , dÊu b»n x¶y ra  x

ab
x ab .
x

Bài 6
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa: P =
Gi¶i
Ta cã:

1  4x  4x 2  4x 2  12x  9

P = 1  4x  4x 2  4x 2  12x  9   1  2x  2 

 3  2x 

2

 1  2x  3  2x

(1 + 2x) + (3 - 2x) = 4
¸p dơng a + b = a + b  ab  0. VËy Pmin = 4  (1 + 2x)(3 - 2x) 0
-1/2 x 3/2.
BTVN
Bài 1
a/ Tìm giá trị lớn nhất của: P = 5 - 8x - x2.
b/ Tìm giá tị nhỏ nhất của: P = 4x2 - 4x + 11.
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất cđa: P = x - 5 + x- 10.
Hìng dÉn
Ta cã: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5
¸p dơng a + b = a + b  ab  0. VËy Pmin = 5  (x - 5)(10 - x)  0 
 5  x  10.
Bµi 2
Cho x, y  R, Chøng minh r»ng: x2 + y2 + 1  xy + x + y.
Bµi 3
Cho a, b, c, d  R+.
Ch÷ng minh r»ng : 2 

a b
bc
cd
da




3.
a b c b cd cd a d a b

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242

Trang 11


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 3:
Biến đổi căn thức
A/ Biến đổi căn thức
I/ Kiến thức cơ bản
*/

A nÕu A 0
A 2  A 
  A nÕu A  0

*/

ab  a. b

*/

a
a


b
b

(a 0, b  0)

*/

a2b  a

b

(a 0, b 0) /

a 1a 2 ...a n a1 a 2 ... a n

(b 0)

Trục căn thức ë mÉu
*/

a



b

a b
, (b > 0).
b

m

*/

a b
II/ Bµi tËp



m( a  b )
,
a b

m
a

b



m( a  b )
a b

Bµi 1
TÝnh giá trị các biểu thức sau:
a/ A = 6 48  2 27  4 75

b/ B =

48  2 75  108 

1
147
7

Gi¶i
a/ Ta cã: A = 6 48  2 27  4 75 6 16.3  2 9.3  4 25.3 24 3  6 3  20 3  2 3
b/ Ta cã: B =

48  2 75  108 

1
1
147 4 3  2.5 3 6 3 .7 3 3
7
7

Bài 2
Trục căn thøc ë mÉu:
1

a/ A =

5

2



1

4

b/ B =

5 2

c/ C =

3 5  22 5

Gi¶i
1

a/ A =

5

2



1
5 2

4

b/ B =



3 5  2 2 5


(3 

Trang 12



5)(3  5 
4

5 2
5 2 2 5


3
3
3

4(3  5 

22 5)

2

(3  5)  (2  2 5)

22 5)



4

(3 



3 5 

2 2 5

3 5



5)2 (2 2 5)
4

- Võ Văn Lý - Giáo ¸n lun thi vµo líp 10 -: 0972946242

2
3

2 2 2  3 4


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp

c/ Đặt

3

2 a C =

2
23 2 2  3 4



a3
a
a(a  1) a 2  a 3



 4
a 4  a3  a 2 a 2  a  1
a3  1
2 1

3

2

Bµi 3
Rót gọn biểu thức chứa căn:
a/ A =

15 6 6  33  12 6

b/ B =

8  2 15 

c/ C =

4 7 

d/ D =

4  10  2 5  4 

e/ E =
f/ F =

4

8  2 15
4

7
10  2 5

49  20 6  4 49  20 6
1

1 5



1
5 9



1
9  13

 ... 

1
2001  2005

Gi¶i
a/ A =

15  6 6  33  12 6  9  6 6  6  9  12 6  24 

 (3  6)2  (3  2 6)2 3  6  2 6  3 3 6.

b/ B =

8  2 15 
3)2 

( 5

c/ C =

4 7 

( 7  1)2


2

8  2 15  5  2 15  3 

( 5  3)2  5 

4

7

3  ( 5  3)  2 3.

82 7

2

( 7  1)2
7 1


2
2

d/ Do D > 0 nªn D =

5  2 15  3 

8 2 7
7  2 7 1


2
2
71
2

7  2 7 1
2

 2.

D2
2

D =  4  10  2 5  4  10  2 5  8  2 (4  10  2 5 )(4  10  2 5 )


2

8  2 6  2 5 8  2 5  2 5  1 8  2 ( 5  1)2 8  2 5  2 6  2 5
VËy: D =

6  2 5  ( 5  1)2  5  1

e/ Ta cã: 49  20 6 25  20 6  24 (5  2 6 )2 [( 3  2)2 ]2 ( 3  2) 4
49  20 6 25  20 6  24 (5  2 6 )2 [( 3 

VËy E =

3 2 3

2) 2 ]2 ( 3

2) 4

2 2 3.

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242

Trang 13


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
5 1
9 5
13


4
4
4

f/ F =

9

 ... 

2005  2001
2005  1 .

4
4

Bµi 4
Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a/ A =

x4 x 4  x 4 x 4

b/ B =

x2  2 x2  1 

c/ C =
Gi¶i

2x  1  2 x 2  x  2x  1  2 x 2  x

a/ A =

x4 x  4  x  4 x  4  x 44 x  4 4  x  4 4 x  4 4

x2  2 x2  1

 ( x  4  2)2  ( x  4  2) 2  x  4  2 
NÕu

x  4 2  x  4 4  x 8 th× A =

x  4  2 + x  4  2 2. x  4 .

NÕu 0  x  4  2  0  x  4  4  0  x  8 th× A =
2. x  4
VËy: A = 
 4
b/ B =

x 4 2

x  4  2 - x  4  2 4 .

nÕu x 8
.
nÕu 0  x  8

x2  2 x2  1 

x2  2 x 2  1  x2  1  2 x2  1 1 

- x 2  1  2 x 2  1 1 - ( x 2  1  1)2  ( x 2  1  1)2  x 2  1  1 
NÕu

x 2  1  1 0  x 2 2  x  2  x  2 th× B = 2.

NÕu

2
x 2  1  1  0  x 2  2   2  x  2 th× B = 2. x  1 .

x2  1  1


nÕu x  2  x  2
2
VËy: B = 
.
2

2. x  1 nÕu  2  x  2

c/ C = 2x  1  2 x 2  x  2x  1  2 x 2  x = x  1  2 x 2  x  x  x  1  2 x 2  x  x
=

( x  1  x )2  ( x  1 

x )2  x  1  x  x 

x  1 2 x.

Bµi 5
Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa vµ rót gän:
a/

x  2 x  1  x 2 x  1
2

(1 

x  4(x  1)

b/

1
x  x 1

Trang 14



1
x

x 1



1
)
x 1

x3 x
1

x

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
c/

1
x2

d/ (
e/ (

x 1

:

x x x x x

2 x x
x x1
x 2

x x1
Gi¶i

1



x1



):

x 2
x  x 1

x

1



x  x 1 1 

x  1
a/ §K:  2

x  4x  4  0

x 2  4(x  1)
2



(x  2)

2

.

x  1
.

x 2

1
( x  1  1)2  ( x  1 1)2 x  2
(1 
)
.
x 1
x 1
(x  2)2

x 2
.
x 1

A= 

NÕu x > 2

x1
2

x  1



2
(x  2)  0

x  2 x  1  x 2 x  1

A=

x

):

2
x 1

2
NÕu 1< x < 2  A = 
1 x

 2


VËy: A =  x  1
 2

1  x

x 2

nÕu

nÕu 1  x  2

x 1
b/ §K: 
 x  1.
x

1

0


B=

1
x  x 1



1
x

x 1



x3  x
1 x



x x 1

1

x  x  1 x( x  1)

1
1 x

=  2 x  1  x x  2 x  1 .
 x 0
 2
 x  x 0
c/ 

 x x  x  x 0

 x 1 0
Đặt
C=

x 0
.

x 1

x a x a 2

1
x2 

:

x 1

x x x x  x



1 a3  a2  a
a(a 2  a  1)

a4 a
a 1
a(a 3 1)(a 1)

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242

Trang 15


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
=

a2 a 1
1
1
.

2

2
(a  1)(a  a  1)(a  1) a  1 x  1

 x 0

d/ §K:  x 1 0

x x 1 0

Đặt

x a  x a 2

D= (
=

 x 0
.

 x 1

2 x x
x x1



1
x1

):

x 2
x  x 1

(

2a  a 2
1
a2  a 1

)(
)
a3  1 a  1
a 2

a(a  2)  (a 2  a  1) a 2  a  1
a 1
1
1
.
.



2
(a  1)(a  a  1)
a 2
(a  1)(a  2) a  2

x 2

 x 0

 x 0
e/ §K:  x x  1 0  
 x 1

1  x 0

x a  x a 2

Đặt
E= (
=

x 2
x x1



x



x x 1 1 

1
x

):

x  1 a2  2
a
1
2
( 3
 2

)
2
a  1 a  a 1 a  1 a  1

a 2  2  a(a  1)  (a 2  a  1) 2
a 2  2a  1
2
2
2
.

 2

2
2
(a  1)(a  a  1)
a  1 (a  1)(a  a  1) a  1 a  a  1 x  x  1

Bµi 6
Chøng minh rằng các biểu thức sau là một số nguyên.
a/ A =

b/ B =

4  5 3  5 48  10 7  4 3
( 3  1) 6  2 2 3 

2  12  18 

128

c/ C = 2 3  5  13  48
6 2
Gi¶i
a/ Ta cã: 7  4 3 (2  3)2   10 7  4 3  10(2  3)  20  10 3 
48  10 7  4 3 48  20  10 3 28  10 3 (5 
5 48  10 7  4 3 5(5 

VËy A =

3) 25  5 3

4  5 3 .

b/ Ta cã: 18 
Trang 16

3) 2

128 18 8 2 (4

2)2

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
2 4 2 3 ( 3  1)2 



2  12  18  128  2  12  4 



6  2 2 3  ( 3  1)  6  2 4  2 3  6  2( 3  1)  4  2 3  3  1

VËy: B = ( 3  1)( 3  1) 3  1 2 .
c/ Ta cã: 13  48 13  4 3 12  4 3  1 (2 3  1) 2 
 5  13  48 5  2 3  1 4  2 3 ( 3  1)2 

13  4 3 2 3  1 

5  13  48  3  1 

 3  5  13  48 3  3  1 2  3  2 3  5  13  48 
2 2  3  8  4 3  ( 6  2)2 C 1.
BTVN
Bài 1
Rút gọn biểu thức chứa căn.
a/ A =

4  15 

4

15  2 3 

c/ C = (5  2 6)(49  20 6) 5  2 6 d/ D =
9 3  11 2
Bµi 2
Trơc căn thức ở mẫu.
a/ A =

6
2 2 23 4
3

b/ B =

5
1
2 3



1
3 4

5

3

 ... 

1
1998  1999

b/ B =

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242

29  12 5

2
3

4  3 2 2

Trang 17


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 4
Phơng trình bậc nhất - Đồ thị hàm số bậc nhất - Hệ phơng trình
bậc nhất
I/ Phơng trình bậc nhất
ĐN: Là phơng trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a, b là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Phơng trình  ax = -b.
NÕu a  0  x = -b/a
NÕu a = 0  0x = -b

NÕu b = 0  PT v« sè nghiƯm
NÕu b  0  PT vô nghiệm
II/ Bài tập

Bài 1
Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)2 + 3 (1)

b/ 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1) (2)

c/ m2(x + 1) = x + m

d/

(3)

x m x 3

2
x 2
x

(4)

Gi¶i
a/ (1)  (m + 2)x = m2 + 4m + 4  (m + 2)x = (m + 2)2
NÕu m + 2 0 m -2 phơng trình có nghiÖm: x = m + 2.
NÕu m + 2 = 0  m = -2  0x = 0  0 phơng trình có vô số nghiệm x R.
b/ (2)  (3m + 1)x = 5m + 1
5m  1

NÕu 3m + 1  0  m  -1/3  phơng trình có nghiệm: x
3m 1
Nếu 3m + 1 = 0 m = -1/3 phơng trình cã d¹ng: 0x = -2/3  PTVN.
c/ (3)  (m2 - 1)x = m - m2  (m2 - 1)x = m(1 - m).
m
NÕu m2 - 1  0  phơng trình có nghiệm: x
m 1
Nếu m2 - 1 = 0  m =  1.
NÕu m = 1  PT cã d¹ng: 0x = 0  PT cã VSN
NÕu m = -1  PT cã d¹ng: 0x = -2 PTVN
d/ ĐK: x 0 và x 2.
(4)  x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2)  (m + 1)x = 6
NÕu m + 1 = 0  m = -1  (4) cã d¹ng: 0x = 6  PTVN
6
6
0 (Do §K m  2 
2  m 2 )
NÕu m + 1  0  m  -1  (4)  x 
m 1
m 1
KÕt luËn:

NÕu m  -1  m 2 phơng trình có nghiệm: x

6
m 1

NÕu m = -1  m = 2  ph¬ng trình vô nghiệm.

Bài 2

Trang 18

- Võ Văn Lý - Giáo ¸n lun thi vµo líp 10 -: 0972946242


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Cho phơng trình: (m + 1)2x + 1 - m = (7m - 5)x. (1)
a/ Tìm m để phơng trình vô nghiệm
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Giải
(1) ( m2 - 5m + 6)x = m - 1  (m - 2)(m + 3)x = m - 1.
(m  2)(m  3) 0
a/ Phơng trình vô nghiệm
m 2 m 3.
m 1 0
b/ phơng trình có nghiệm (m - 2)(m + 3)  0  m  2 m -3.
III/ Hệ phơng trình bậc nhất

Bài 3
2x my 1 (1)
Cho hệ phơng rình:
.
mx 2y 1 (2)
a/ Gi¶i hƯ khi m = 1
b/ Gi¶i và biện luận hệ phơng trình
c/ Tìm các số nguyên m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) với x, y là các số nguyên
d/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng
Giải
2x y 1 4x  2y 2
3x 1

x 1 3
a/ khi m = 1 ta cã hÖ  



x  2y 1 x  2y 1
x  2y 1 y 1 3
b/ Tõ (1) vµ (2)  2x + my = mx + 2y  (m - 2)(x - y) = 0.
NÕu m = 2  hƯ v« sè nghiƯm
NÕu m  2 x = y thay vào phơng trình (1) ta cã: (m + 2)x = 1.
NÕu m = -2  hƯ v« nghiƯm
NÕu m  -2  hƯ cã nghiƯm duy nhÊt: x = y = 1/(m + 2)
c/ khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiÖm duy nhÊt: x = y = 1/(m + 2). NghiƯm nµy lµ sè
 m  2 1
 m  1
nguyên 1/(m + 2) là số nguyên
.

m  2  1  m  3
d/ / khi m 2 và m -2 thì hệ cã nghiÖm duy nhÊt: x = y = 1/(m + 2). Nghiệm này là số
nguyên dơng 1/(m + 2) là số nguyên dơng m + 2 là ớc số nguyên dơng của 1 m + 2 =
1  m = -1.

Bµi 4
(m  1)x  my 3m 1 (1)
Cho hệ phơng rình:
m 5 (2)
2x y
a/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = xy đạt giá trị lớn nhất.

Giải
Từ (2) y = 2x - m - 5 thay vµo (1)  (m - 1)x - 2mx + m2 + 5m = 3m -1
(m + 1)x = m2 + 2m + 1  (m + 1)x = (m + 1)2.
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt  m  -1, khi ®ã: x = m + 1, y = m - 3.

- Võ Văn Lý - Giáo ¸n lun thi vµo líp 10 -: 0972946242

Trang 19


Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
a/ S = x2 + y2 = (m+1)2 + (m-3)2 = 2m2 - 4m + 10 = 2(m - 1)2 + 8.  Smin = 8  m = 1.
b/ P = xy = (m + 1)(m - 3) = m2 -2m -3 = (m - 1)2 - 4. Pmin = -4  m = 1.

Bµi 5
 x  y 2x  y
 7  17 7 (1)
Giải hệ phơng trình:
4x y  y  7 15 (2)
 5
19
Gi¶i
(1)  17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17  31x - 10y =833.
(2)  19(4x + y) + 5(y - 7) = 19.5.15  19x + 6y = 365.
31x  10y 833
Vậy hệ phơng trình

19x 6y 365

93x 30y 2499



95x  30y 1825

x 23
.

y  12

Bµi 6
(1)
 x y z 1

Giải hệ phơng trình: x  2y  4z 8 (2)
 x  3y  9z 27 (3)

Gi¶i
 x  y  z 1
x  y  z 1
x  y  z 1
x 6




HÖ:  x  2y  4z 8  y  3z 7  y  3z 7  y  11
 x  3y  9z 27
y  5z 19
2z 12
z 6

IV/ Đồ thị hàm số bậc nhất
Đồ thị hàm sè y = ax + b (a  0) lµ đờng thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B(-b/a; 0).

Bài 7
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = 2x - 1 b/ y = x  1
c/ y = 2 x 2 2x 1
BTVN
Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ m2x = 9x + m2 - 4m + 3

d/ y = x  1  x  2

b/

e/ x  y 1

xm x 2

2
x 1
x

x my 2
Bài 2 Cho hệ phơng trình:
.

mx 2y 1
a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên
c/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhÊt (x ; y) mµ x > 0 vµ y < 0
Bài 3 Vẽ đồ thị các hàm số: a/ y = 2x - x + 3  b/ y = x - 1 - x + 2 

Trang 20

- Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào líp 10 -: 0972946242