Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 02

GVHD: TS Trịnh Công Diệu
Lớp: Toán VB2-K2 – NHÓM 2



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TP.HCM
Khoa Toán – Tin











THÀNH VIÊN NHÓM 2:
1. NGUYỄN THỊ MỸ THUẬN
2. MAI XUÂN BÌNH
3. PHẠM THỊ KIM CƢƠNG.
4. PHẠM THẾ SINH




I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1

1. Định lí về phép chia có dƣ 2
2. Thuật toán tính giá trị của đa thức 3
3. Cơ sở lí luận cho bài toán chuyển đổi 3
4. Chuyển đa thức từ dạng ctsr này sang dạng ctsr khác 7
4.1 Thuật toán 7
4.2 Ví dụ 8
4.3 Chƣơng trình 10
III. KẾT LUẬN 11
IV. Bổ sung dạng chuyển đổi đa thức 11
1. Chuyển đa thức từ dạng chính tắc sang dạng chuẩn tắc suy rộng ……………… 11
2. Chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang dạng chính tắc ……………… 13
V.TÀI LIỆU THAM KHẢO 17






MỤC LỤC
1


I. Đặt vấn đề:
Cho là một đa thức bậc n theo biến . Đa thức được biểu diễn duy nhất dưới các dạng
sau:
•Dạng chính tắc:
với
•Dạng chuẩn tắc:
với
•Dạng chính tắc suy rộng:

với
•Dạng chuẩn tắc suy rộng:
với
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để chuyển đa thức từ dạng này sang dạng khác ?
II. Giải quyết vấn đề:
1. Cơ sở lí luận
Ta nhận thấy dạng chính tắc, chuẩn tắc, chính tắc suy rộng là các trường hợp đặc biệt của dạng
chuẩn tắc suy rộng.

Dạng chính tắc:
Dạng chuẩn tắc:
Dạng chính tắc suy rộng:
1. Định lý: về phép chia có dƣ
Trong trường số thực R, cho hai đa thức P(x) và Q(x) bất kỳ của vành , trong đó
deg(Q)  1, tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện:
i) P(x) = Q(x).S(x) + R(x)
ii) deg(R) < deg(Q)


()Px
x
()Px
0
()
n
i
i
i
P x a x




0 1 2
; ; ;
n
a a a a R
0
( ) ( )
n
i
i
i
P x a x




0 1 2
; ; ; ;
n
a a a a R


[]
0
()
n
i
i
i

P x a x



12
; ;
n
a a a R
[ ; ]
0
( ) ( )
n
ih
i
i
P x a x




0 1 2
; ; ; ;
n
a a a a R


0, 0h


0h 

1, 0h


[]Rx
2

Chứng minh.
Tồn tại.Ta chứng minh bằng quy nạp theo m = deg(P), n = deg(Q). Nếu deg(P) < deg(Q) thì ta có
thể chọn S(x)  0 và R(x) = P(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện i) và ii). Giả sử m  n và định
lý đã được chứng minh với các đa thức có bậc nhỏ hơn m. Ta chứng minh định lý đúng với các đa
thức bậc m. Giả sử



Xét đa thức

Do hệ số của x
m
ở hai đa thức bị triệt tiêu nên bậc của H(x) không vượt quá m-1. Theo giả thiết
quy nạp, tồn tại các đa thức S*(x), R*(x) sao cho
H(x) = S*(x).Q(x) + R*(x)
Nhưng khi đó

Vậy đặt S(x) = (a
m
/b
n
)x
m-n
+ S*(x) và R(x) = R*(x) ta được biểu diễn cần tìm cho P(x).

Duy nhất. Giả sử ta có hai biểu diễn P(x) = S(x).Q(x) + R(x) và P(x) = S*(x).Q(x) + R*(x) thoả
mãn điều kiện ii). Khi đó Q(x).(S(x)-S*(x)) = R*(x) – R(x). Ta có, theo điều kiện ii) và định lý 1
thì deg(R*(x) – R(x)) < deg(Q). Mặt khác, nếu S(x) – S*(x) không đồng nhất bằng 0 thì
deg(Q(x).(S(x)-S*(x))) = deg(Q(x)) + deg(S(x)-S*(x))  deg(Q). Mâu thuẫn vì hai vế bằng nhau.
Theo ký hiệu của định lý thì S(x) được gọi là thương số và R(x) được gọi là dư số trong phép chia
P(x) cho Q(x).





n
k
k
k
m
k
k
k
xbxQxaxP
00
)(,)(

) () (
)()()(
1
1
1
001
1

1


















m
n
nm
m
n
n
nm
n
m
m
m

m
m
nm
n
m
x
b
ba
a
bxbx
b
a
axaxaxa
xQx
b
a
xPxH
( ) ( ) ( ) ( *( )) ( ) *( )
m n m n
mm
nn
aa
P x H x x Q x x S x Q x R x
bb

    
3

2. Thuật toán tính giá trị của đa thức
Định lý Bezout: Cho đa thức và số . Ta có:

.
Suy ra:
(Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x–α là P(α).)
Chứng minh:
Ta chỉ cần chứng minh P(x) - P(α) chia hết cho x- α. Nhưng điều này là hiển nhiên vì
P(x) - P(α)=a
n
(x
n
- α
n
)+a
n−1
(x
n−1
- α
n−1
)+ + a
1
(x− α)
và
x
k
- α
k
=(x− α)(x
k−1
+ α x
k−2
+ + α

k−1
)
3. Cơ sở lí luận cho Bài toán chuyển đổi:
Cho đa thức dưới dạng chuẩn tắc suy rộng như sau
(1)
Ta sẽ biểu diễn về dạng chuẩn tắc suy rộng như sau:
(2)
với cho trước.
Để thực hiện được việc chuyển dạng này ta cần xác định các hệ số .
Ta có:

 
0
[ , ]
0
()
n
ih
i
i
xxP x a



aR
     
0
P x b x Q x

  

 
0
Pb


()Px
[ ; ]
0
( ) ( )
n
ih
i
i
P x a x




()Px
[ ; ]
0
( ) ( )
n
ik
i
i
P x b x





,kR


( 0, )
i
b i n
 
 
 
   
 
,
[ , ]
0
1
[ , ] [ , ]
0
1
[ -1, ] [ , ]
0
1
[ -1, ] [ , ]
0
[ -1, ]
1
,1
( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 ( )

( ) 1 ( )
( ) 1
nn
n
ih
i
i
n
n h i h
ni
i
n
n h i h
ni
i
n
n h i h
ni
i
nh
n n n
nn
b
b
P x a x
a x a x
a x x n h a x
a x x n h a x
a x x a n h a



  
    
   










   
      
        



       





2
[ -1, ] [ , ]
0
( ) ( )

n
n h i h
i
i
x a x



  

4




với
Khi đó, ta có
Mà theo thuật toán tính giá trị đa thức ta có:

Vậy .
Đặt . Ta có:

   
 
,
2
[ -1, ] [ -1, ] [ , ]
1
0
,1

( ) 1 ( ) ( )
nn
n
n h n h i h
n n n i
i
nn
b
b
a x x a n h a x a x
     





          


 
2
[ -1, ] [ -1, ] [ , ]
, , 1
0
( ) ( ) ( )
n
n h n h i h
n n n n i
i
b x x b x a x

   



      

     
 
        
,2
,1
3
[ -1, ] [ -2, ] [ -2, ] [ , ]
, , 1 , 1 2
0
[ -1, ] [ -2, ]
, , 1 ,2 ,2 1
( ) ( ) 2 ( ) ( )

( ) ( )
nn
n
n
n h n h n h i h
n n n n n n n i
i
n h n h
n n n n n n
b
b

b x x b x x b n h a x a x
b x x b x x b x x b h a
       
       


  



             



             


 
          
   
 
,0
0
[ -1, ] [ -2, ]
, , 1 ,2 ,1 ,1 0
[ -1, ] [ -2, ]
, , 1 ,2 ,1 ,0
[ 1, ]
,
1

( ) ( )
( ) ( )
()
n
n h n h
n n n n n n n
n h n h
n n n n n n n
n
ih
n i n
i
b
xa
b x x b x x b x x b x b a
x b x b x b x b b
x b x b

        
   







              



         

   

,0
 
,
, , 1
1, 2, ,1,0

n n n
n i n i i
ba
i n n
b ih b a




  

   

 
,0n
Pb


 
0

Pb


 
0 ,0n
b b P


 
[ 1, ]
1,
1
()
n
ih
ni
i
P x b x





 
   
 
 
1, 1
[ 1, ]
1,

1
1
[ 1, ] [ 1, ]
,,
1
2
[ 2, ] [ 2, ] [ 1, ]
, , , 1 ,
1
[ 2, ]
1,
()
( ) ( )
( ) 2 ( ) ( )
()
nn
n
ih
ni
i
n
n h i h
n n n i
i
n
n h n h i h
n n n n n n n i
i
nh
n n n

b
P x b x
b x b x
b x k x b k n h b x b x
b x k x b


     








  





   

            

    




   
 
 
1, 2
2
[ 2, ] [ 1, ]
1, 1 ,
1
[ 2, ] [ 3, ]
1, 1, 1
[
1, 1 , 2
( ) ( )
( ) ( )
3 ( )
nn
n
n h i h
n n i
i
n h n h
n n n n
n
n n n n
b
x b x
b x k x b x k x
b k n h b x

   

  






  
  
  
       

      


3
3, ] [ 1, ]
,
1
()
n
h i h
ni
i
bx







5

với

Tương tự, ta có

Khi đó

Tiếp tục làm như trên, sau n-2 bước ta có:

với

Bước n-1: Đặt

Vậy sau n-1 bước ta thu được P(x) có dạng sau:

     
       
 
[ 2, ] [ 3, ]
1, 1, 1 ,2 ,1
[ 2, ]
1,
[ 2, ] [ 3, ]
( ) ( )
1, 1, 1 1,2 1,2 ,1
1,1

( ) ( )

()
n h n h
n n n n n n
nh
nn
n h n h
b x k x b x k x b x k b k b
n n n n n n n
b
n
b x k x b x k x b x b
x k b x
      
    


  



               
    


           


    
 
[ 3, ]

1, 1 1,2 1,1
[ 2, ]
1, 1,1
2
( )
()
nh
n n n n
n
ih
n i n
i
b x b b
x k b x b



   




   

    

 
1, .
1, 1, 1 ,
1, 2, ,k

n n n n
n i n i n i
bb
i n n
b ih b b


  


  

   

 
1 1 1,1n
b P k b


  
     
[ 2, ]
1, 1,1 ,0
2
()
n
ih
n i n n
i

P x x x k b x b b
  




      



     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,
2 2
2, 2, 2 2,2 1,1 ,0
1
n
i n h
P x x x k x k x n b x b b b b
i n n n n
in

k
    




             
  




   
 
 
 
 
1,
2 2, 2, 2
1
2
n
i n h
n i n
in
P x x n k b x b







     

 
 
2 2 2, 2
2)k
nn
b P n b


   
   
 
1,
1 2,
1
n
i n h
ni
in
P x b x









   
 
 
 
 
 
 
 
 
1,
1 2,
1
2, 2, 1
2, 2, 2, 1
1, 1, 1
11
1
n
i n h
ni
in
nn
n n n
nn
P x b x
b x b
b x n k b n k b
b x n k b



  










  
        
    

6


Ta tóm tắt lại quá trình trên như sau:






…

…


1





…


…
…
…
…
…
…

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
    
 
[ , ]
0

1, 1, 1 2, 2 1,1 ,0
1, 1, 1
( ) ( )
2 1
1 2

n
ih
i
i
n n n n n
nn
P x a x
x x k x n k x n k b b b b b
b x x k x n k b x x k x n k

   
     

  



              

             

    
    
 

    
 
  
2,2 1,1 ,0
1
21

1 2

n n n
nn
b x x k b x b
b x x k x n k b x x k x n k
b x x k b x
  
     



       
             
      
 
 
 
 
 
 
 
 

0
,k 1,k 2,k
1 2 1 0
[ ,k]
0

()
nn
nn
n
i
i
i
b
b x b x b x b x b
bx

   





         


j
jk



n
a
1n
a

2n
a

1
a
0
a
0

,nn
b
,1nn
b

,2nn
b

,1n
b
 
,0
0

n
bP

b



k


1,nn
b

1, 1nn
b

1, 2nn
b

 
1,1 1
1

n
b P k
b




2n
 
2nk



2,n
b
2, 1n
b

 
 
2, 2
2
2
2

n
n
n
b
Pn
b
k




  


1n
 

1nk


1,nn
bb
 
 
1, 1 1
1
1
=
nn
n
b P n
b
k



  
7

4. Chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác

4.1 Thuật toán: Chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng
khác
- Nhập:
 n{ bậc của đa thức}



 h,k {lần lượt là bước nhảy của dạng chuẩn tắc suy rộng ban đầu và dạng chuẩn tắc suy
rộng cần chuyển đổi.}
- Xuất:

- Thuật toán:
1. Gán
2. Với mỗi j chạy từ 0 đến n-1,
với mỗi i chạy từ n-1 đến j
Gán
Gán
3. Xuất .
Thuật toán trên có thể được trình bày dưới dạng bảng sau: (Nhân chéo, cộng dọc)






…







…

…







…







…



…
…
…

   
 
,
01
0
, , , ,
n
ih
ni
i
a a a P x a x







   

 
   
 
, ,k
00
, ; ;
nn
i h i
ii
ii
R P x a x P x b x
   


    



[ , ]
01
0
, , , , ( ) ( )
n
ik
ni
i
b b b P x b x








:
nn
ba
 
1
:
i i i
a a jk i j h a


     


:
ii
ba
01
, , ,
n
b b b
j
jk


n
a

1n
a

2n
a

1
a
0
a
 
1nh

  
 
2nh

  
h




0

,nn
b
,1nn
b


,2nn
b

,1n
b
,0 0n
bb
 
2k n h

   
 
3k n h

   
k


1
k


1,nn
b

1, 1nn
b

1, 2nn
b


1,1 1n
bb


1n
 
1nk


1,nn
bb
1, 1 1
=
nn
bb

8

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho đa thức , với . Hãy biểu diễn đa
thức ở dạng chuẩn tắc suy rộng
Gỉai:
Ta có:
Bƣớc 1:Xác định các hệ số ban đầu.

Bước 2: Điền vào bảng.

6

5
4
3
2
1

0
-7
-5
-3
-1
1
2
6
-37
189
-564
566
567

0
-4
-2
0
2

3
6
-61
311

-564
-562


0
-1
1
3


4
6
-67
244
168



0
2
4



5
6
-55
24

0
5




6
6
-25




Suy ra:
Bước 3: Vậy dạng biểu diễn ở dạng chuẩn tắc suy rộng: là:


5
( ;2)
0
( ) ( 1)
i
i
i
P x a x




0 1 2 3 4 5
1, 2, 3, 4, 5, 6a a a a a a     
()Px
5
( ;1)
0
( ) ( 2)
i
i
i
P x b x



5
[ ;2]
0
( ) ( 1)
i
i
i
P x a x



0 1 2 3 4 5
5, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2, 1n h a a a a a a k

          
0 1 2 3 4 5

567, 562, 168, 24, 25, 6b b b b b b       
()Px
5
( ;1)
0
( ) ( 2)
i
i
i
P x b x



5
( ;1) (1;2) (2;2) (3;2) (4;2) (5;2)
0
( ) ( 2) 567 562( 2) 168( 2) 24( 2) 25( 2) 6( 2)
i
i
i
P x b x x x x x x

            

9

Ví dụ 2:
Cho đa thức , với Hãy biểu
diễn đa thức ở dạng chuẩn tắc suy rộng với

Giải:

Ta có:
được ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng như sau:
, với (2)
Bước 1:Xác định các hệ số ban đầu.


Bước 2: Điền vào bảng.

6
-5
2
3
-1
1
0
4

0
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
6
-17

36
-69
137
-273
546
-
1088

0
-1
-1
-1
-1
-1
-1

-1
6
-23
59
-128
265
-538
1084


0
0
0
0

0
0


0
6
-23
59
-128
265
-538



0
1
1
1
1



1
6
-17
42
-86
179

0
2
2
2




2
6
-5
32
-22





0
3
3





3
6

13
71






0
4






4
6
37







Suy ra:
Bước 3: Vậy dạng biểu diễn ở dạng chuẩn tắc suy rộng với là:

7

0
()
i
i
i
P x a x



0 1 2 3 4 5 6 7
4, 0, 1, 1, 3, 2, 5, 6a a a a b a a a         
()Px
2, 1.k

  
77
[ ;0]
00
( ) ( 0)
ii
ii
ii
P x a x a x

  

()Px
77
[ ; ]
00

( ) ( ( 2))
i i k
ii
ii
P x b x b x

   

i
bR
0 1 2 3 4 5 6 7
7, 0, 0, 4, 0, 1, 1, 3, 2, 5, 6.n a h a a a a b a a a            
2, 1k

  
0 1 2 3 4 5 6 7
1088, 1084, 538, 179, 22, 71, 37, 6.b b b b b b b b          
()Px
2; 1k

  
7
( ; )
0
(1;1) (2;1) (3;1) (4;1) (5;1) (6;1) (7;1)
( ) ( 2)
1088 1084( 2) 538( 2) 179( 2) 22( 2) 71( 2) 37( 2) 6( 2)
ik
i
i

P x b x
x x x x x x x

  
              

10

3.Chƣơng trình tƣơng ứng:
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
void main()
{
int n, i, j;
float alpha, beta, h, k;
float hs[36], hsc[36], hsd[36];
printf("Bien doi dang Da thuc.\n");
printf("Chuan tac suy rong sang chuan tac suy rong.\n");
printf("Nhap n, alpha va h: ");
scanf("%d" "%f" "%f", &n, &alpha, &h);
printf("Nhap beta va k: ");
scanf("%f" "%f", &beta, &k);
hsd[n]=0;
for(i=0; i<= n; i++)
{
printf("Nhap vao he so a%d: ",i);
scanf("%f", &hs[i]);
}
printf("%6s"," ");
for (i=n; i>=0; i )

{
printf("%6.1f ", hs[i]);
}
for (j=0;j<n;j++)
{
for (i=n-1;i>=j;i )
{
hsc[j]=beta+(j*k);
hsd[i]=(beta+(j*k)-alpha+((j-i)*h));
hs[i]=hs[i]+hs[i+1]*(beta+(j*k)-alpha+((j-i)*h));
}
printf("\n%6s"," ");
for (i=n; i>=j; i )
{
printf("%6.1f ", hsd[i]);
}
printf("\n%6.1f",hsc[j]);
for (i=n; i>=j; i )
{
printf("%6.1f ", hs[i]);
}
}
printf("\nVoi beta =%6.1f va k = %6.1f, cac he so cua da thuc moi la:\n",beta,k);
for (i=0; i<=n; i++)
{
printf("%6.1f ", hs[i]);
11

}
getch();

}

III. KẾT LUẬN:
Thuật toán chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác có
thể áp dụng cho tất cả các dạng chuyển đổi còn lại. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sử dụng
cách chuyển trực tiếp tương ứng sẽ dễ dàng, thuận lợi hơn do thuật toán đơn giản hơn.
IV. BỔ SUNG: DẠNG CHUYỂN ĐA THỨC TỪ DẠNG CHÍNH TẮC SANG DẠNG
CHUẨN TẮC SUY RỘNG VÀ NGƢỢC LẠI
Ta nhận thấy rằng, để chuyển đổi qua lại giữa các dạng đa thức ta cũng có thể chuyển đổi
qua lại dựa vào hai dạng cơ bản là Chính tắc và Chuẩn tắc suy rộng.

1. Chuyển đa thức từ dạng chính tắc sang dạng chuẩn tắc suy rộng
Ta có thể xem dạng chính tắc là trường hợp đặc biệt của dạng chuẩn tắc suy rộng, từ đó có
thể áp dụng phép biến đổi từ chuẩn tắc suy rộng sang chuẩn tắc suy rộng như đã trình bày ở phần
trên.
Cho đa thức ở dạng chính tắc
0
()
n
i
i
i
P x a x



ta chuyển về dạng chuẩn tắc suy rộng
   
 
,k

0
n
i
i
i
P x b x





Áp dụng thuật toán 1 với
0; =0h


.
Ta có thể viết lại thuật toán 1 cho trường hợp này như sau:
- Thuật toán: Chuyển dạng đa thức từ chính tắc sang chuẩn tắc suy rộng
- Nhập:
 n{ bậc của đa thức}

 
01
0
, , , ,
n
i
ni
i
a a a P x a x









R



 k: bước nhảy
- Xuất:

 
 
,k
01
0
, , , , ( )
n
i
ni
i
b b b P x b x









- Thuật toán:
1. Gán
:
nn
ba

2. Với mỗi j chạy từ 0 đến n-1,
với mỗi i chạy từ n-1 đến j

Gán
1
: ( )
i i i
a a jk a


  

Gán
:
ii
ba

12

3. Xuất

01
, , ,
n
b b b
.
Thuật toán trên có thể được trình bày dưới dạng bảng sau
(Nguyên tắc: nhân ngang cộng chéo)


n
a

1n
a


2n
a



2
a

1
a

0
a



,nn
b

,1nn
b


,2nn
b



,2n
b

,1n
b

,0 0n
bb

k



1,nn
b


1, 1nn
b


1, 2nn
b



1,2n
b


1,1 1n
bb




2k



2,nn
b


2, 1nn
b



2, 2nn
b



2,2 2n
bb





…
…
…





( 2)kn



2,n
b

2, 1n

b


2, 2 2
=
nn
bb






 
1nk



1,nn
bb

1, 1 1
=
nn
bb


Ví dụ:Cho
4 3 2
( ) 3 2 4P x x x x x    
. Hãy chuyển đa thức sang dạng chuẩn tắc suy rộng
   
 
4
,2
0
1
i
i
i
P x b x



Giải:
Ta có :
1, 2k


. Ta lập bảng sau:



4

a

3
a

2
a

1
a

0
a

1
3
2
1
4


1
1
4
6
7
11
k



3
1
7
27
88

2k



5
1
12
87


3k



7
1
19



Vậy 




có dạng chuẩn tắc suy rộng là :
[4,2] [3,2] [2,2] [1,2]
( ) ( 1) 19( 1) 87( 1) 88( 1) 11P x x x x x        

Chƣơng trình:
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
void main()
{
int n, alpha, i, j;
int k;
int hs[36], hsc[36];
printf("Bien doi dang Da thuc.\n");
printf("Chinh tac sang chuan tac suy rong.\n");
printf("Nhap vao bac cua da thuc (n): ");
13

scanf("%d", &n);
printf("Nhap alpha va k: ");
scanf("%d" "%d", &alpha, &k);
for(i=0; i<= n; i++)
{
printf("Nhap vao he so a%d: ",i);
scanf("%d", &hs[i]);
}
printf("\n%5s"," ");
for (i=n; i>=0; i )
{
printf("%5d ", hs[i]);

}
for (j=0;j<n;j++)
{
for (i=n-1;i>=j;i )
{
hsc[j]=alpha+(j*k);
hs[i]=hs[i]+hs[i+1]*hsc[j];
}
printf("\n%5d",hsc[j]);
for (i=n; i>=j; i )
{
printf("%5d ", hs[i]);
}
}
printf("\n\nVoi alpha = %d va k = %d, cac he so cua da thuc moi la:\n", alpha, k);
for (i=0; i<=n; i++)
{
printf("%5d ", hs[i]);
}
getch();
}
2. Chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang dạng chính tắc
Ta chuyển đa thức P(x) từ dạng chuẩn tắc suy rộng
[ , ]
0
( ) ( )
n
ih
i
i

P x d x




sang dạng chính tắc
0
()
n
i
i
i
P x a x




Cách 1: Áp dụng thuật toán 1 với
0; k 0


.
14

(+)
Cách 2:
Cơ sở thuật toán:
Ta chứng minh bổ đề sau:
Cho Q(x) là đa thức ở dạng chính tắc:
1

0
()
n
i
i
i
Q x a x




,

là một số thực bất kỳ.
Khi đó ta có đẳng thức:
1
10
00
( ) ( )
nn
ii
ii
ii
a x x a b x P x





   





Trong đó:
1
0, 1
.
nn
i i i
ba
in
b a b









Chứng minh:
Áp dụng mệnh đề về phép chia có dư thì ta có được sự tồn tại của đẳng thức trên.Vấn đề là ta phải
chứng minh công thức truy hồi của các hệ số.
Ta có :

1
1 2 0
21

2 1 1 2 0
12
1 2 3 1 2 0 1
1
1
0
( )( . )
( . . ) ( . )
. ( . ). ( . ). ( . ). ( . )
. ( . ).
n
n
nn
nn
nn
n n n
n
ni
n i i
i
VT x a a x a x a
a x a x a x a b x a x a
a x a a x a a x a a x a a
a x a a x


   









     
        
         
  


Đặt
1
0, 1
.
nn
i i i
ba
in
b a b









Ta được :

1
00
( ) . . .
nn
n i i
n i i
ii
P x b x b x b x


  


Sử dụng sơ đồ Hoocne để tính b
i
, i = 1,2,…,n

a
n
a
n-1
… a
2
a
1
a
0



b
n
= a
n
b
n-1
… b
2
b
1
b
0


Ý nghĩa: nếu biết được các hệ số của đa thức Q(x) thì ta cũng có thể biết được các hệ số của P(x)
Trở lại bài toán: Ta cần chuyển
[ , ]
0
( ) ( )
n
ih
i
i
P x d x




bài toán từ dạng chuẩn tắc suy rộng
sang dạng :

0
()
n
i
i
i
P x a x




Ta viết lại
(x)
15

 
 
 
 
 
 
 
 
[ , ]
0
0
1 2 1 0
( ) ( )
1 2
n

ih
i
i
n n n
P x d x x
d x n h d x n h d d x d
  



           


Áp dụng bổ đề trên, ta có:
- Áp dụng bổ đề với
 
1nh

  
. Đặt
 
 
1 1 0
1.
nn
n n n
bd
b d x n h d






   



Ta được
   
 
 
 
 
1 2 1 0
( ) 2
n n n
P x b x b x n h d d x d


        

- Áp dụng bổ đề với
 
2nh

  
. Đặt
 
 
 

 
11
2 2 1
1.
1.
nn
n n n
n n n
bd
c b n h b
c d n h b



  



   


   


Ta được
 
 
 
2
1 2 1 0

( )
n n n
P x c x c x c d x d


     

…
- Sau n-1 bước, đa thức P(x) có dạng:
 
 
12
1 1 0 0
( )
nn
nn
P x r x r x r x x d


     

Áp dụng bổ đề trên với



Đặt
   
1
0 0 1
.

1
.
nn
i i i
ar
a r r
i n n j
a d r







   





Ta được
12
1 2 0
( )
n n n
n n n
P x a x a x a x a



    

Dựa vào phương pháp trên, ta có thuật toán chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang dạng
chính tắc như sau:
1. Gán
:
nn
ad

2. Với mỗi j chạy từ 1 đến n,
với mỗi i chạy từ (n-j) đến (n-1):
Gán
 
 
1
:
i i i
d d n j h d


   

Gán
:
ii
ad

3. Xuất
01
, , ,

n
a a a
.
Việc làm trên thể hiện ở bảng sau: (Nguyên tắc: nhân chéo, cộng ngang, đưa xuống)
16



n
d

1n
d


2n
d


3n
d



0
d

 
( 1)nh


  

n
e

1n
e


2n
d





 
( 2)nh

  

n
f

1n
f


2n
f



3n
d




……….
…
…
…
…
…

[]h



n
g

1n
g


2n
g


3n
g


……
0
d




n
a

1n
a


2n
a


3n
a



0
a

Ví dụ:
Cho P(x) có dạng:
   
 
 
 
 
 
 
 
4,2 3,2 2,2 1,2
1 19 1 87 1 88 1 11P x x x x x        

Hãy chuyển đa thức sang dạng biểu diễn chính tắc.
Giải:
Áp dụng thuật toán trên với
1, 2h



Ta lập bảng sau:

 
()n j h

  

4
d

3
d

2
d

1
d

0
d

1
19



1, :3 3ji

-7
1
12
87


2, :3 2ji

-5
1
7

27
88

3, :3 1ji

-3
1
4
6
7
11
4, :3 0ji

-1
1
3
2
1
4
Vậy P(x) có dạng chính tắc là :
 
4 3 2
3 2 4P x x x x x    
.
Chƣơng trình:
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
void main()
{
int n, alpha, h, i, j;

int hs[36], hsc[36], hsbd[36];
printf("Bien doi dang Da thuc.\n");
printf("Chuan tac suy rong sang chinh tac.\n");
printf("Nhap n, alpha va h: ");
scanf("%d" "%d" "%d", &n, &alpha, &h);
for(i=0; i<= n; i++)
{
17

printf("Nhap vao he so d%d: ",i);
scanf("%d", &hs[i]);
hsbd[i]=hs[i];
}
printf("\n%5s%5d%5d","",hs[n], hs[n-1]);
for (j=1;j<=n;j++)
{
hsc[j]=-(alpha+((n-j)*h));
printf("\n%5d", hsc[j]);
for (i=n-j;i<=n-1;i++)
{
hs[i]=hs[i]+((hsc[j])*(hs[i+1]));
}
for (i=n; i>=n-j-1;i )
{
if (i>=0)
printf("%5d", hs[i]);
}
}
printf("\n\nCac he so cua da thuc moi o dang chinh tac la:\n");
for (i=0; i<=n; i++)

{
printf("%5d ", hs[i]);
}
getch();
}
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài giảng Phương Pháp Tính của thầy Trịnh Công Diệu.
2. Phương pháp tính – Tạ Văn Đĩnh