Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 05

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
∗
∗


∗
∗


∗
∗


∗
∗


∗
∗


∗
∗


∗
∗


∗

∗


∗
∗


∗
∗
MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
ĐỀ TÀI:
XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHO TỔNG CỦA CHUỖI HỘI TỤ.
KẾT QUẢ GHI Ở DẠNG BIỂU DIỄN THẬP PHÂN GẦN ĐÚNG,
DẠNG CHÍNH TẮC, SAI SỐ KHÔNG QUÁ 10
-k

(k là số nguyên dương cho trước)
GVHD: PGS.TS. TRỊNH CÔNG DIỆU
HVTH: 1. Ngô Thị Huyền
2. Nguyễn Thị Bích Hồng
3. Trịnh Cẩm Vân
4. Ngô Thị Duy Bình
Lớp Toán -Văn bằng 2- khóa 2
MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 2
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2
II.1. Hướng giải quyết 2
II.2. Cơ sở lý luận 2
III. THUẬT TOÁN 4
IV. ÁP DỤNG 4

A. Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương 4
1. Dấu hiệu tích phân 5
2. Dấu hiệu D’Alambert 7
3. Dấu hiệu Cauchy 10
4. Dấu hiệu so sánh 14
B. Tính gần đúng tổng của một chuỗi đan dấu 16
1. Dấu hiệu Leibnitz 16
2. Công thức Calabrese 18
V. ĐOẠN CHƯƠNG TRÌNH 21
TÀI LIỆU THAM KHẢO 23
2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Cho trước một chuỗi hội tụ
∑
∞
=
1i
i
a
(*) và số tự nhiên k. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ta
có thể xác định S* là một giá trị gần đúng của
∑
∞
=
=
1i
i
aS
thỏa
i. S* có k chữ số sau dấu phẩy.

ii.
*
10 ,
k
S S k
− +
− ≤ ∈Ζ
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
II.1. Hướng giải quyết
Để tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ
∑
∞
=
=
1i
i
aS
người ta thường dùng tổng riêng
thay cho tổng S, tức là tính
∑
=
=
n
i
nn
aS
1
với n đủ lớn sao cho sai số giữa S
n
và S ở mức độ

chấp nhận được hoặc tùy thuộc vào yêu cầu bài toán mà lấy sai số bao nhiêu.
Tuy nhiên tùy theo chuỗi (chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, ) mà sẽ lựa chọn tiêu chuẩn
khảo sát sự hội tụ như: Tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn Cauchy,
tiêu chuẩn Lebinite, tiêu chuẩn so sánh… để có thể đánh giá sai số khi lấy tổng riêng thay
cho giá trị của chuỗi. Nghĩa là xác định
0
ε
>
sao cho
n
S S
ε
− <
thông qua tiêu
chuẩn hội tụ của chuỗi(*).
Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương và chuỗi đan dấu.
II.2. Cơ sở lý luận
- Cho dãy số
{ }
i
a
. Biểu thức
1 2 1
1
i n n
i
a a a a a
∞
+
=

= + + + + +
∑
L L
(1) gọi là chuỗi
số với
i
a
gọi là số hạng tổng quát hay số hạng thứ
i

- Tổng hữu hạn
S
1
=a
1
S
2
=a
1
+a
2
….
3
S
n
=a
1
+a
2
+….+ a

n
, được gọi là các tổng riêng của chuỗi (1)
1 2
1

=
= + + + =
∑
n
n n i
i
S a a a a
là tổng riêng thứ n của chuỗi
∑
∞
=
1i
i
a

Ta có: chuỗi
∑
∞
=
1i
i
a
có tổng bằng S nếu
lim
n

n
S S
→∞
=
và ký hiệu S=
∑
∞
=
1i
i
a
- Nếu (1) có tổng hữu hạn thì ta nói nó hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ
- Để xác định giá trị thay thế cho S ta dựa vào chính chuỗi xác định giá trị S. Có thể
làm điều này bằng cách dựa vào định nghĩa tính hội tụ của dãy {a
n
}.
0, :
∀ > ∃ ≥ ⇒ − ≤
n
N n N S S
ε ε
hay
= ±
n
S S
ε
Nghĩa là ta có thể lấy
∑
=
=

n
k
kn
aS
1
làm giá trị gần đúng cho S với sai số không vượt quá

1
ε ε
=
.
Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn các
nia
i
,1, =
ở dạng thập phân
Đặt
i
a
là giá trị gần đúng của
i
a
, lấy l chữ số sau dấu phẩy với sai số phù hợp.
Suy ra
1
10
2
l
i i
a a

−
− ≤

Đặt
1
=
=
∑
n
n
i
i
S a
. Khi đó
2
1
10
2
l
n
n n i i
i
S S a a n
ε
−
=
− ≤ − ≤ =
∑
Lấy S* là làm tròn của
n

S
đến chữ số hàng thứ -k. Khi đó, theo quy tắc làm tròn ta có
1
* 10
2
−
− ≤
k
n
S S
Ta xét bất đẳng thức sau:
1 2
1
* * 10
2
−
− ≤ − + − + − ≤ + +
k
n n n n
S S S S S S S S
ε ε
Để
* 10
k
S S
−
− ≤
ta sẽ chọn
1 2
,

ε ε
sao cho
1 2
10
2
k
ε ε
−
+ ≤

Ta có thể chọn:
1
2
0,25.10
0,25.10
k
k
ε
ε
−
−

≤

≤

hay
1
2
10

4
10
4
k
k
ε
ε
−
−

≤




≤


4
Do đó
1
2
10 10
4 4
10 .10 10
4 2 4
k k
n
k l k
S S

n
ε
ε
− −
− − −

≤ ⇔ − ≤




≤ ⇔ ≤


Vậy ta chọn l, n thỏa mãn
10
4
k
n
S S
−
− ≤
và
10 10
2 4
l k
n
− −
≤
Thì

* k
10 10 1
10 10
4 4 2
k k
k
S S
− −
− −
− ≤ + + ≤
III. THUẬT TOÁN
+ Tên thuật toán : < tính tổng của chuỗi hội tụ >
+ Dữ liệu vào: k, a
n
+ Dữ liệu ra: S
*
+ Giải thuật :
B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho
4
10
1
k
ni
in
aSS
−
∞
+=
≤=−
∑

B2: Tìm l nguyên dương bé nhất sao cho
n
kl
4
10
2
10
−−
≤
Xác định một biểu diễn thập phân của
nia
i
,1, =
, lấy giá trị biểu diễn thập phân của
i
a
làm tròn đến chữ số hàng thứ -l được
i
a
.
B3:Tính
1
=
=
∑
n
n i
i
S a
Làm tròn

n
S
đến chữ số hàng thứ -k được S*.
B4: Kết luận S* là kết quả cần tìm và

* 10
k
S S
−
− ≤
IV. ÁP DỤNG
A. TÍNH GẦN ĐÚNG CHO TỔNG CỦA MỘT CHUỖI SỐ DƯƠNG
Cho chuỗi
1
k
k
S a
∞
=
=
∑
và
1
n
n k
k
S a
=
=
∑

,
( )
0
k
a >
là tổng riêng thứ n của chuỗi.
5
1. Dấu hiệu tích phân
Giả sử
( )
n
a f n
=
với
f
là hàm số dương liên tục trên
[
)
1,
+∞
giảm về 0 khi
x
→ +∞
và tích phân
( )
1
f x dx
+∞
∫
hội tụ. Khi đó, chuỗi

1
k
k
S a
∞
=
=
∑
hội tụ và
( ) ( )
1
1
n
k n
S S f k f x dx
∞
+∞
= +
− = ≤
∑
∫
và
( )
0
n
f x dx
+∞
→
∫
Chứng minh

Vì
f
là hàm giảm nên
, 1k n k x k
∀ > ≤ ≤ +
ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1
k k k
k k k
f k f x f k f k dx f x dx f k dx
+ + +
≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
1
1
k
k
f k f x dx f k
+
⇒ ≥ ≥ +
∫
( ) ( ) ( )
1
1
k
m m m
k n k n k n

k
f k f x dx f k
+
= = =
⇒ ≥ ≥ +
∑ ∑ ∑
∫
( ) ( ) ( )
1
1
m
m m
k n k n
n
f k f x dx f k
+
= =
⇒ ≥ ≥ +
∑ ∑
∫
Khi chuỗi
( )
m
k n
f k
=
∑
hội tụ, ta có
( )
{ }

1m
n
f x dx
+
∫
bị chặn.
Do đó hội tụ. cho
m
→ ∞
ta được
( ) ( )
1
1
k n
k n
f x dx f k
∞
∞
= +
= +
≥
∑
∫
(đpcm).
Ví dụ: Xác định giá trị gần đúng cho tổng S của chuỗi
4
1
1
x
x

∞
=
∑
. Kết quả ghi ở dạng
biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá
3
10
−
.
Giải
Xét hàm số
( )
4
1
f x
x
=
là hàm liên tục giảm, không âm trên
[
)
1,
+∞
Với
4
1
lim 0
x
x
→∞
=

và
( )
4 3
1 1
1
1 1 1
lim
3 3
b
b
f x dx dx
x x
∞ ∞
→∞
 
= = − =
 ÷
 
∫ ∫

6
nên
( )
1
f x dx
∞
∫
hội tụ. Theo dấu hiệu trên thì
4
1

1
x
x
∞
=
∑
hội tụ và
( ) ( )
3
1
1
3
n
n
k n
S S f k f x dx
n
∞
∞
=+
− = < =
∑
∫
Áp dụng thuật toán, ta có:
B1: Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho:
3
4 3
1 1 10
3. 4
n

dx
x n
−
∞
= ≤
∫

3
3
4.10
3
n
⇒ ≥
Chọn n=12
B2: Tìm số nguyên dương l bé nhất sao cho:
3
10 10
2 4.12
l
− −
≤
Chọn l=5
Lấy giá trị biểu diễn thập phân của
4
1
,( 1,12)
k
a k
k
= =

làm tròn đến chữ số hàng thứ -5
ta được các
k
a
như sau:
k
k
a
1 1
2 0,06250
3 0,01235
4 0,00391
5 0,00160
6 0,00077
7 0,00042
8 0,00024
9 0,00015
10 0,00010
11 0,00007
12 0,00005
∑
1.08215
B3: Tính
12
12
1
1,08216
k
k
a S

=
= =
∑
Làm tròn
12
S
đến chữ số hàng thứ (-3) ta được:
*
1,082S
=
B4: Kết luận
Chọn
*
1,082S
=
là giá trị gần đúng thay cho S thì:
* *
12 12 12 12
S S S S S S S S
− ≤ − + − + −
7
5 3
*
3
1 12.10 10
3.12 2 2
S S
− −
− ≤ + +

*
0,000193 0,00006 0,0005S S
− ≤ + +
*
0,001S S
− ≤
nghĩa là
* 3
S S 10
−
= ±

+ Áp dụng: Khi số hạng tổng quát
n
a
của chuỗi có thể xem như f(n) và có tích phân suy
rộng dễ dàng tính được.
+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít (n tương đối nhỏ), giải quyết được vấn đề
n
n
n
a 1
lim 1
a
→∞
+
=
mà dấu hiệu D’ Alambert không xét được sự hội tụ.
+ Nhược điểm: Trong quá trình tính toán, ta có thể gặp khó khăn trong việc tính tích
phân suy rộng và sử dụng các hàm phức tạp như arctan, arcsin…

2. Dấu hiệu D’Alambert
Giả sử
( )
n
a
là dãy dương và
n 1
n
n
a
lim L 1
a
+
→∞
= <
. Khi đó, theo dấu hiệu D’Alambert,
chuỗi
k
k 1
S a
∞
+
=
∑
hội tụ và
i. Nếu
n 1
n
a
a

+
 
 
 
giảm tới L thì
n 1
n
n 1
n
a
S S
a
1
a
+
+
− <
−
và
n
n 1
n 1
n
a
0
a
1
a
→∞
+

+
→
−
ii. Nếu
n 1
n
a
a
+
 
 
 
tăng tới L thì
n n
L
S S a
1 L
 
− <
 ÷
−
 
và
n
n
L
a 0
1 L
→∞
 

→
 ÷
−
 
Chứng minh:
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
n 1
n
a
a
+
 
 
 
là dãy dương, giảm
Khi đó
N 0
∃ ≥
sao cho
n N
>

Đặt
N 1
N
a

r
a
+
=
, suy ra
n 1
n
a
r
a
+
=
là giảm với n>N
Ta được:
n 1
n
a
r, k n
a
+
< ∀ >

n 1 n
a ra , k n
+
⇒ < ∀ >

Do đó
n 1 n
a a r

+
=
8

2
n 2 n 1 n
a a r a r
+ +
< =

3
n 3 n 2 n
a a r a r
+ +
< =
…………………
Khi đó:
1 1
n
n k k
k k
S S a a
∞
= =
− = −
∑ ∑
=
1 1 1
k k
k n n

k n k k
a r a a r
∞ ∞ ∞
= + = =
< =
∑ ∑ ∑
(
1
k
n n
k
r a a
∞
=
=
∑
là chuỗi hội tụ do
r 1
<
)
1
k
k n
a
∞
= +
⇒
∑
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì

1
k
k
a
∞
=
∑
hội tụ.
Mặt khác
1
1
1
1
1
k
n
n n n
n
k
n
a
r
S S a r a
a
r
a
∞
+
+
=

− < = <
∑
−
−
(i)
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
n 1
n
a
a
+
 
 
 
là dãy dương, tăng tới L và
n 1
n
n
a
lim L 1
a
+
→∞
= <

Vì

n 1
n
a
a
+
 
 
 
tăng tới L nên
n 1
n
a
L
a
+
<
Do đó
n 1 n
a a L, k n
+
< ∀ >


2
n 2 n 1 n
a a L a L
+ +
< =

3

n 3 n 2 n
a a L a L
+ +
< =
…………………

k
n k n k 1 n
a a L a L
+ + +
< =
Khi đó:
9
1 1 1 1 1
k k
s s a a a a L a L
n k k k n n
k k k n k k
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
− = − = < =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
= = = + = =
(
1
k
k
L
∞
=
∑

hội tụ do L > 1)
⇒

1
a
k
k n
∞
∑
= +
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Mặt khác:
1
1
k
n n
k
L
s s a L a
n
L
∞
=
 
− < =
 ÷
−
 
∑
(ii)

Ví dụ: Tính gần đúng cho tổng của chuỗi
2
1
6
(4 )!
k
k
k
∞
=
∑
. Kết quả ghi ở dạng biểu diễn
thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá
5
10
−
.
Giải
Xét dãy
{ }
n
a
:
2
6
(4 )!
n
n
a
n

=
là dãy dương, giảm và
2
6
lim 0
(4 )!
n
n
n
→∞
=
Ta có:
1
36
lim lim 0 1
(4 1)(4 2)(4 3)(4 4)
n
n n
n
a
a n n n n
+
→∞ →∞
= = <
+ + + +
Xét dãy
1n
n
a
a

+
 
 
 
, dãy giảm tới 0 nên theo dấu hiệu trên ta có
1
1
1
n
n
n
n
a
s s
a
a
+
+
− <
−
với
2 2
1
1
6
(4 4)! 36(4 )!
1
n
n
n

n
a
a
n n
a
+
+
+
=
+ −
−
Áp dụng thuật toán, ta có
Bước 1: Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
2 2 5
6 10
(4 4)! 36(4 )! 4
n
n n
+ −
≤
+ −
Chọn n = 3
Bước 2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
5
10 10
2 4.3
l− −
≤

Chọn
6l =
Lấy giá trị biểu diễn thập phân của
( )
2
6
, 1,3
(4 )!
k
k
a k
k
= =
làm tròn đến chữ số hàng
thứ -6 ta được
k
a
theo bảng sau:
k
k
a
1 1,500000
2 0,032143
3 0,000097
10
∑
1.53224
Bước 3: Tính
3
3

1
1,53224
k
k
a S
=
= =
∑
Làm tròn
3
S
đến chữ số thập phân hàng thứ (-5) ta được:
1.53224S
∗
=
Bước 4: Kết luận Chọn
1.53224S
∗
=
là giá trị gần đúng thay cho S thì
( )
8 6 5
6 3.10 10
16! 36.12! 2 2
S S
− −
∗
− ≤ + +
−
0,00000008 0,0000015 0,000005S S

∗
− ≤ + +
5
0,00001 10S S
∗ −
− ≤ =
Nghĩa là
0,00001S S
∗
= ±
Áp dụng: Khi số hạng tổng quát a
n
của chuỗi số có chứa tích các thừa số liên tiếp (có
chứa giai thừa).
Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản.
Nhược điểm: Trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy
1n
n
a
a
+
 
 
 
là dãy tăng hay
giảm cũng không phải là chuyện đơn giản.
Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính gần đúng nếu
1
lim 1
n

n
n
a
a
+
→∞
=
3. Dấu hiệu Cauchy:
Giả sử (a
n
) là dãy dương, giảm và
lim 1
n
n n
a L
→∞
= <
. Khi đó theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi
1
n
n
S a
∞
=
=
∑
hội tụ và có:
i. Nếu
n
n

a
giảm tới L thì
1
n
n
n
n
n
a
s s a
n
a
− <
−
và
1
0
n
n
n
n
n
a
a n
a
→ ∞
−
uuuuuur
ii. Nếu
n

n
a
tăng tới L thì
1
1
n
L
s s
n
L
+
− <
−
và
1
1
0
n
L
n
L
+
→ ∞
−
uuuuuur
Chứng minh:
• Giả sử
{ }
n
a

và dãy
{ }
n
n
a
là dãy dương, giảm
Khi đó
N 0∃ ≥
sao cho
n N>

11
Đặt
n
n
r a=
, suy ra
n 1
n
a
r
a
+
=
là giảm với n>N
Ta được:
n
k
k n
a r, k n a r< ∀ > ⇒ <

Do đó
n 1
n 1
a r , k n
+
+
< ∀ >

n 2
n 2
a r
+
+
<
n 3
n 3
a r
+
+
<
…………………
Khi đó:
∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
+==
∞

=
=<=−=−
11111 k
k
n
k
n
k
nk
k
n
k
k
k
kn
raaraaaSS
(
∑
∞
=1k
k
r
là chuỗi hội tụ do
r 1
<
)
∑
∞
+=
⇒

1nk
k
a
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì
∑
∞
=
⇒
1k
k
a
hội tụ.
Mặt khác:
1
1
1
1
1
∞
+
=
+
− < = <
∑
−
−
k
n
k

n n n
n
n
a
r
S S a r a
a
r
a
(i)
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
{ }
n
n
a
là dãy dương, tăng tới L và
n
n
n
lim a L 1
→∞
= <
với n > N
⇒

,

k
a L k n
k
< ∀ >
Khi đó
n 1
n 1
a L , k n
+
+
< ∀ >

n 2 2
n 2 n
a L a L
+
+
< =
n 3
n 3
a L
+
+
<
…………………
n k
n k
a L
+
+

<
Khi đó:
1 1
n
n k k
k k
S S a a
∞
= =
− = −
∑ ∑
12
1 1
k
k
k n k n
a L
∞ ∞
=+ =+
= <
∑ ∑
(
1
k
k
L
∞
=
∑
là chuỗi hội tụ do

L 1<
)
1
k
k n
a
∞
= +
⇒
∑
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì
1
k
k
a
∞
=
∑
hội tụ.
Mặt khác:
1
1
1
n
k
n n
k
L
S S a L

L
+
∞
=
− < =
∑
−
(ii)
Ví dụ: Tính gần đúng tổng chuỗi
k
2
2k 1
2
3k 1
k 1
∞
 
−
 ÷
∑
 ÷
−
=
 
. Kết quả ghi ở dạng biểu diễn
thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá
2
10
−
.

Giải
Kiểm tra điều kiện:
n
2
n
2
2n 1
a
3n 1
 
−
=
 ÷
−
 
là dãy dương, giảm thì
n
2
n
n
n
2
n n
2n 1 2
lim a lim 1
3n 1 3
→∞ →∞
 
−
= = <

 ÷
−
 

Nên chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Cauchy.
Mặt khác
n
n
a
là dãy tăng tới
2
3
nên ta có
n 1
n
n 1
n
2
L 2
3
S S 2
2
1 L 3
1
3
+
+
 
 ÷
 

 
− < = =
 ÷
−
 
−

Áp dụng thuật toán ta có:
Bước 1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
2
i
i n 1
10
a
4
−
+∞
= +
≤
∑


n
2
2 10
2
3 4
−
 
⇒ ≤

 ÷
 
Chọn
11n
=
Bước 2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
l 1
10 10
2 4.11
− −
≤
Chọn
3l =
13
Lấy giá trị biểu diễn thập phân của
( )
k
2
k
2
2k 1
a , k 1,11
3k 1
 
−
= =
 ÷
−

 
làm tròn đến chữ số hàng thứ
(-3), được
k
a
theo bảng sau:
K
k
a
1 0,5
2 0,405
3 0,280
4 0,189
5 0,127
6 0,085
7 0,057
8 0,038
9 0,026
10 0,017
11 0,011
∑
1.735
Bước 3: Tính
11
S 1,735
=

Làm tròn
11
S

đến chữ số hàng thứ (-1) ta được:
S 1,7
∗
=
là giá trị cần tìm.
Bước 4: Kết luận
S 1,7
∗
=
là giá trị cần tìm thỏa:
11
3 1
2 11.10 10
2.
3 2 2
S S
− −
∗
 
− ≤ + +
 ÷
 
1
0,023 0,0055 0,05
0.1 10
S S
S S
∗
∗ −
− ≤ + +

− ≤ =
Áp dụng: Khi số hạng tổng quát a
n
của chuỗi số có chứa các lũy thừa bậc n của các thừa
số.
Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản.
Nhược điểm: Trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy
{ }
n
n
a
là dãy tăng hay giảm
cũng không phải là chuyện đơn giản. Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính
gần đúng nếu
lim 1
n
n n
a
→∞
=
14
4. Dấu hiệu so sánh:
Cho hai chuỗi số dương
1
k
k
a
∞
=
∑

và
1
k
k
b
∞
=
∑
hội tụ, có
1
k n
k n
b K
∞
= +
<
∑
Giả sử tồn tại giới hạn
lim (0 )
n
n
n
a
L L
b
→∞
< < ∞
Khi đó: Chuỗi
1
k

k
a
∞
=
∑
hội tụ và có i. Nếu
a
n
b
n
n
 
 
 
 
 
giảm tới L thì
1
a
n
b K
k n
b
k n
n
∞
<
∑
= +
ii. Nếu

n
n
n
a
b
 
 
 
tăng tới L thì
1
k n
k n
b LK
∞
= +
<
∑
Chứng minh:
i. Do
n
n
n
a
b
 
 
 
giảm tới L nên
k n
k n

a a
, k n
b b
< ∀ >
Do đó:
n
k k
n
a
a b , k n
b
< ∀ >
Nên ta có:
1 1
n n
n k k n
k n k n
n n
a a
S S a b K
b b
∞ ∞
= + = +
− < < <
∑ ∑
(vì
1
k
k n
b K

∞
= +
<
∑
) (đpcm)
ii. Do
n
n
n
a
b
 
 
 
tăng tới L nên ta có
n n
a Lb<

Dođó:
1 1 1
n k k k n
k n k n k n
S S a Lb L b LK
∞ ∞ ∞
= + = + = +
− = < = <
∑ ∑ ∑
(đpcm)
Ví dụ: Tính gần đúng tổng chuỗi
( )

4
k 1
k
k 1
∞
=
∑
+
. Kết quả ghi ở dạng biểu diễn
thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá
1
10
−
.
Giải
Xét dãy
{ }
n
a
:
{ }
n n n
4 3
n 1
a , b : b
n 1 n
= =
+
là dãy dương thì
4

n
4
n n
n
a n
lim lim 1 L 0
b n 1
→∞ →∞
= = = >
+
Mà chuỗi
k 1
3
1
k
∞
=
∑
hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu so sánh.
Theo dấu hiệu tích phân thì
k 1
n
3 3 2
1 1 1
dx
k x 2.n
∞
∞
=
< =

∑
∫

Chọn
n
2
1
K
2n
=
thì
k n 1
k n
b K
∞
= +
<
∑
và
n
n
limK 0
→∞
=

15
Do
n
n
n

a
b
 
 
 
tăng tới
L 1
=
nên
n
2
1
S S
2n
− <

Áp dụng thuật toán ta có:
B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
1
2
1 10
2n 4
−
≤
Chọn
n 7
=

B2: Tìm số nguyên dương
l

nhỏ nhất sao cho:
1
10 10
2 4.7
− −
≤
l
Chọn
3
=
l
Lấy giá trị biểu diễn thập phân các số hạng
( )
( )
k 1
k
4
k
a , k 1,7
k 1
∞
=
= =
∑
+
làm tròn đến
chữ số hàng thứ -3 được bảng sau:
K
k
a

k
k
a
1 0,5 5 0,008
2 0,118 6 0,005
3 0,037 7 0,003
4 0,016
B3: Tính
7
k 7
k 1
a S 0,687
=
= =
∑

Làm tròn
7
S
đến chữ số hàng thứ (-1) ta được:
0,7S
∗
=
B4: Kết luận
0,7S
∗
=
là giá trị cần tìm thỏa
3 1
2

1 7.10 10
2.7 2 2
S S
− −
∗
− ≤ + +
1
0,0102 0,0035 0,05
0.1 10
S S
S S
∗
∗ −
− ≤ + +
− ≤ =

Áp dụng: Ta chọn các chuỗi số mà tính hội tụ đã biết để so sánh với các chuỗi số khác.
Ví dụ: Chuỗi số
0
n
n
q
∞
=
∑
hội tụ khi
1q
<
và
0

1
n
n
α
∞
=
∑
hội tụ khi
1
α
>
Ưu điểm: Tính toán sử dụng các phép toán đơn giản.
16
Khuyết điểm: Cần tìm chuỗi hội tụ
1
k
k
b
∞
=
∑
để so sánh và phải biết được cách đánh giá
phần dư của chuỗi này bằng các tiêu chuẩn khác.
B. ÁP DỤNG TÍNH GẦN ĐÚNG TỔNG CỦA MỘT CHUỖI ĐAN DẤU
1. Dấu hiệu Leibnitz
Cho chuỗi đan dấu
1
1 1
( 1)
k

k k
k k
S a u
∞ ∞
+
= =
= = −
∑ ∑
và
1
1
( 1)
k
n k
k
S u
∞
+
=
= −
∑
là tổng riêng thứ
của chuỗi. Giả sử
{ }
n
u
là dãy giảm và thỏa
lim 0
n
n

u
→∞
=
. Khi đó theo dấu hiệu
Leibnitz, chuỗi
1
k
k
S a
∞
=
=
∑
hội tụ. Hơn nữa, ta có kết quả sau:
2 2 2 2 1 2 1
, 1,2
n n n n
S S S S S n
+ + −
< < < < =
và
n n
S S u
− <
Chứng minh: Do
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
( )
n n n n n n n n
S S u u S u u S
+ − + − + −

= − + = − − <
Vì
{ }
n
u
là dãy giảm nên
2 2 1
0
n n
u u
+
− >
,
{ }
2 1n
S
−
là dãy giảm và bị chặn dưới.
Tương tự ta cũng có:
2 2 2 2 1 2 1 2n n n n n
S S u u S
+ + +
= + − >
.
Vì
{ }
n
u
là dãy giảm nên
2 1 2 1

0
n n
u u
+ +
− >
. Nên
{ }
2n
S
là dãy tăng và bị chặn
trên. Suy ra:
2 4 2 2 1 3 1

n n
S S S S S S S
−
< < < < < < < < < <
Từ đó suy ra:
2
1 1 1
( 1)
n
n n n n n
S S S S u u
+
+ + +
− < − = − =
Ví dụ: Tính gần đúng cho tổng của chuỗi
1
3

1
( 1)
2 1
k
k
S
k
+
∞
=
−
=
+
∑
. Kết quả ghi ở dạng biểu
diễn thập phân, dạng chính tắc, sai số không quá
1
10
−
.
Giải: Xét dãy
{ }
n
a
:
n
a
3
1
2 1k

=
+
là dãy dương, giảm và
3
1
lim 0
2 1
n
n
→∞
=
+
Khi đó theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi
1
3
1
( 1)
2 1
k
k
k
+
∞
=
−
+
∑
hội tụ
3
1

2( 1) 1
n
S S
n
− <
+ +
17
Áp dụng thuật toán, ta có:
B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho
1
3
1 10
4
2( 1) 1n
−
≤
+ +
Chọn
10n
=
B2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
1
10 10
2 4.10
l− −
≤
Chọn
3l

=
.
Lấy giá trị biểu diễn phân của các số hạng
( )
1
3
( 1)
, 1,10
2 1
k
k
a k
k
+
−
= =
+
làm tròn đến
chữ số hàng thứ -3 ta được
k
a
theo bảng sau:
k
k
a
1 0,577
2 -0,243
3 0,315
4 -0,088
5 0,063

6 -0,048
7 0,038
8 -0,031
9 0,026
10 -0,022
∑
0.407
B3: Tính
10
10
1
0,407
k
k
a S
=
= =
∑

Làm tròn
10
S
đến chữ số hàng thứ
( )
1
−
ta được :
0,4S
∗
=

B4: Kết luận
0,4S
∗
=
là giá trị cần tìm thỏa
3 2
3
1 11.10 10
2 2
2.11 1
S S
− −
∗
− ≤ + +
+
1
0,01937 0,0055 0,05
0,1 10
S S
S S
∗
∗ −
− ≤ + +
− ≤ =
Áp dụng: Chuỗi số đan dấu
1
1
( 1)
k
k

k
a
∞
+
=
−
∑
khi
lim 0
n
n
a
→∞
=
và
1n n
a a
+
≤
Ưu điểm: Quá trình tính toán đơn giản, việc tìm giá trị n cũng dễ dàng.
Khuyết điểm: Hiệu quả không tốt lắm có thể tìm ra n khá lớn.
18
2. Công thức Calabrese
Giả sử chuỗi
1
1 1
( 1)
n
k k
k n

S a u
∞ ∞
+
= =
= = −
∑ ∑
hội tụ theo tiêu chuẩn Leinitz và có thêm điều
kiện dãy đơn điệu giảm về 0. Khi đó:
,
2
n
n
u
s s n N
− < ∀ ∈
Chứng minh:
Với
1n n n
b u u
+
= −
, ta có:
2
1 3 5
( 1) ( )
n
n n n n
S S b b b
+
+ + +

= + − + + +
và
1
1 2 3
( 1) ( )
n
n n n n
S S b b b
+
− + +
= + − + + +
Do dãy
{ }
n
b
giảm nên
1 3 5 2 3 1

n n n n n n n n
S S b b b b b b S S
+ + + + + −
− = + + + < + + + = −
Vậy
1
,
n n
S S S S n N
−
− < − ∀ ∈
Do

2 1
,
n n
S S S n N
−
< < ∀ ∈
nên ta có
1 1
2
n n n n n n
u S S S S S S S S
− −
= − = − + − > −
Từ đó suy ra:
,
2
n
n
u
S S n N− < ∀ ∈
(đpcm)
Ví dụ: Tính gần đúng cho tổng của chuỗi
1
1
6
( 1)
(2 )!
k
k
k

k
∞
+
=
−
∑
(*). Kết quả ghi ở dạng
biểu diễn thập phân, dạng chính tắc, sai số không quá
5
10
−
.
Giải:
Xét dãy
{ }
6
:
(2 )!
n
n n
a a
n
=
là dãy dương, giảm và
6
lim 0
(2 )!
n
n
n

→∞
=
Ta có:
6
lim lim 0
(2 )!
n
n
n n
a
n
→∞ →∞
= =
. Nên theo tiêu chuẩn Lebnitz thì chuỗi (*) hội tụ.Mặt khác
xét dãy
{ }
1
6 6
: 0
(2 )! (2 2)!
n n
n n n n
b b a a
n n
+
= − = − =
+
là đơn điệu giảm về 0 do
1
1

6 (2 )! 6 1
. 1
(2 2)! 6 2(2 1)(2 2) 2
n
n
n
n
a
n
a n n n
+
+
= = ≤ <
+ + +

1
0
n n
a a
+
⇒ − <
hay
0
n
b
<
.
19
Theo công thức Calabrese, ta có:
, 1

2
n
n
a
S S n
− < ∀ ≥
Áp dụng thuật toán, ta có
B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất thỏa
5 5
10 6 10
2 4 2.(2 )! 4
n
n
n
a
S S
n
− −
− < ≤ ⇒ ≤
Chọn n=7
B2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
5
10 10
2 4.7
l− −
≤
Chọn
7l

=
Lấy giá trị biểu diễn thập phân của các số hạng
( )
6
, 1,7
(2 )!
k
k
a k
k
= =
làm tròn đến
chữ số hàng thứ -7 ta được
k
a
theo bảng sau:
k
k
a
1 3
2 -1,5
3 0,3
4 -0,0321429
5 0,0021429
6 -0,0000974
7 0,0000032
B3: Tính
7
1
1,7699058

k
k
a S
∞
=
= =
∑
Làm tròn
7
S
đến chữ số hàng thứ
( 5)
−
ta được:
*
1,76991S
=
B4: Kết luận
*
1,76991S
=
là giá trị gần đúng thay cho S thỏa
7 7 5
6 7.10 10
2.14! 2 2
S S
− −
∗
− ≤ + +
5

0,0000016 0,00000035 0,000005
0,00001 10
S S
S S
∗
∗ −
− ≤ + +
− ≤ =
Áp dụng: Chuỗi số đan dấu
1
1
( 1)
k
k
k
a
∞
+
=
−
∑
khi
lim 0
n
n
a
→∞
=
và
1n n

a a
+
≤
Ưu điểm: Hiệu quả nhiều hơn Leibnitz vì làm giảm đáng kể khối lượng tính toán (n nhỏ).
20
Khuyết điểm Việc chứng minh dãy
{ }
n
b
là giảm đôi khi gặp nhiều khó khăn và tốn thời
gian.
Lưu ý: Ta có thể tách chuỗi đan dấu thành 2 chuỗi dương, tính từng chuỗi rồi trừ nhau.
1 2 2 1
2 1 2
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)
k k k
k k k
k k k
S u u u
∞ ∞ ∞
+ −
−
= = =
= − = − + −
∑ ∑ ∑
2 1 2
1 1
k k
k k

u u
∞ ∞
−
= =
= −
∑ ∑
Nhưng quá trình tính toán sẽ mất rất nhiều thời gian và khó khăn trong việc xác định
sai số cho từng chuỗi.
21
V. ĐOẠN CHƯƠNG TRÌNH
22
23
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài giảng TS.Trịnh Công Diệu
2. Tài liệu khóa trước
3. Sách giải tích hàm một biến của TS. Nguyễn Cam.
4. Chuỗi và phương trình vi phân của Đỗ Công Khanh – Ngô Thu Lương.
5. Internet
24