- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 09
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 28 trang )
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 1
Giảng viên hướng dẫn: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU
Lớp : Toán – VB2 – K2.
Nhóm: 9
Sinh viên thực hiện:
1. Đặng Văn Cường.
2. Trần Ninh Gia Bảo.
3. Đỗ Văn Bắc.
4. Lê Minh Đoàn.
TP. HỒ CHÍ MINH, 2014.
Chủ đề 9: Các công thức tính gần đúng giá trị tích phân xác định.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 2
NỘI DUNG.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
IV. THUẬT TOÁN.
V. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TOÁN.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 3
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong quá trình tính toán trong toán học cũng như các môn khoa học kỹ thuật khác. Tích
phân xác định
()
b
a
I f x dx
có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực hành để tính diện tích
các vật thể trong kỹ thuật như tính diện tích một con tàu, diện tích ngôi nhà…, nhưng việc
tính nó không phải lúc nào cũng dễ dàng. Ta đã biết nếu
()fx
là hàm mà nguyên hàm
()Fx
của nó biểu diễn được dưới dạng các biểu thức sơ cấp thì ta có thể tính tích phân xác định
bằng công thức Newton – Lepniz. Nhưng trong thực tế, thường thì
()Fx
không biểu diễn
được bởi các hàm sơ cấp hoặc
()fx
chưa xác định được biểu thức, chỉ biết được giá trị của
()fx
tại một số điểm thì công thức Newton – Lepniz tỏ ra không hiệu quả và không thể tính
đúng giá trị của tích phân xác định
()
b
a
I f x dx
. Điều này nảy sinh cho các nhà toán học cần
tìm cách tính gần đúng
()
b
a
I f x dx
. Vấn đề cần giải quyết là:
1. Trường hợp
()fx
chưa xác định được biểu thức, chỉ biết được giá trị của
()fx
tại một
số điểm thì tính gần đúng
()
b
a
I f x dx
như thế nào ? Với cách tính đó, sai số là đánh giá
như thế nào?
2. Trường hợp
()fx
đã biết biểu thức nhưng
()Fx
không biểu diễn được bởi các biểu thức
sơ cấp thì làm cách nào để tính gần đúng
()
b
a
I f x dx
với một sai số cho trước ?
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
1. Một số định nghĩa:
a) Hàm nội suy:
Giả sử
()fx
xác định trên đoạn
;ab
và biết
( ), 0, , ;
i i i
y f x i n x a b
Hàm nội suy của
f
trong đoạn
;ab
là hàm
F
xác định trong đoạn
;ab
sao cho
( ) , 0,
ii
F x y i n
.
b) Đa thức nội suy:
Nếu hàm nội suy
F
là hàm đa thức bậc
n
thì ta nói
F
là đa thức nội suy bậc
n
của
f
.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 4
2. Định lý Rolle:
Cho hàm số
()fx
liên tục trên
;ab
và khả vi trên
;ab
. Giả sử
( ) ( )f a f b
thì
( , ): '( ) 0c a b f c
.
Nếu hàm
f
khả vi liên tục trên
,,ab
và có 2 nghiệm phân biệt trên
;ab
thì
'( )fx
có ít nhất một nghiệm trên
;ab
.
Nếu hàm
f
khả vi liên tục đến cấp
( 1)n
trên
,,ab
và có
( 2)n
nghiệm
trên
;ab
thì
( 1)
()
n
fx
có ít nhất 1 nghiệm trên
;ab
.
3. Bất đẳng thức tích phân:
Cho
( ), ( )f x g x
là hai hàm xác định trên
;ab
thỏa:
( ) ( ), ; ( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
a a a a
f x g x x a b f x dx g x dx f x dx g x dx
4. Định lý 1 (định lý về sự tồn tại đa thức nội suy):
Cho các cặp
, , 0,1, ,
ii
x y i n
với
ij
xx
nếu
ij
. Khi đó tồn tại duy nhất
()Px
là đa
thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng
n
sao cho
( ), 0,1, ,
ii
y P x i n
.
Chứng minh:
Điều kiện cần và đủ để tồn tại duy nhất đa thức
()Px
bậc nhỏ hơn hoặc bằng
n
sao cho
( ), 0,1, ,
ii
y P x i n
là hệ
( 1)n
phương trình:
0
()
n
i
i
i
P x a x
theo các ẩn
01
, , ,
n
a a a
có nghiệm duy nhất:
Ta có:
00
0
11
0
0
( ) , 0,1, , (*)
n
i
i
i
n
i
i
i
ii
n
i
i n n
i
a x y
a x y
P x y i n
a x y
00
00
11
11
1
1
(*)
1
n
n
n
nn
nn
ay
xx
ay
xx
ay
xx
Đây là hệ phương trình tuyến tính
( 1)n
ẩn và
( 1)n
phương trình.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 5
0 0 0 0
1 0 1 0
1 1 1 0 1 0
00
00
1 1
1 1
1 1
nn
nn
n n n
nn
nn
n n n
n n n n
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
1
1 0 1 0
0
1
11
1
1
2 0 2 0
22
0
00
11
1
1
00
0
1
1
0
0
0
0
n
n i i
i
n
n
n i i
n
nn
i
ii
ii
n
nn
n
n i i
nn
i
x x x x
xx
x x x x
xx
x x x x
xx
x x x x
0 1 1 0
1 2 0
0, ,
n n n
i i i n i i j
i i i n i j n
x x x x x x x x x x i j
Nên hệ (*) có nghiệm duy nhất.
Định lý được chứng minh.
5. Định lý 2 (Định lý về sai số của hàm nội suy và đa thức nội suy)
Giả sử
f
là hàm xác định trong đoạn
;ab
và
( ), 0, , ;
i i i
y f x i n x a b
Nếu
f
khả vi liên tục đến cấp
( 1)n
trong khoảng
( ; ) ;ab
với
;x a b
, tồn
tại
( 1)
0
()
; , ( ) ( ) ( )
( 1)!
n
n
x
xi
i
f
a b f x F x x x
n
Với
F
là đa thức nội suy của
f
trong đoạn
;ab
Chứng minh:
Xét hàm số phụ
( ) 0Gx
với
x
là điểm cần đánh giá sai số,
, 0,
i
x x i n
Từ đó:
0
()
n
i
i
f x F x
C
xx
Vậy hàm số
()Gx
có ít nhất
( 2)n
nghiệm phân biệt
01
, , , ,
n
x x x x
trên đoạn
;ab
.
Theo định lý Rolle thì
()Gx
có ít nhất
( 1)n
nghiệm phân biệt trong khoảng
( 1)
( 1), ( )
n
n G x
có ít nhất 1 nghiệm
;
x
ab
nghĩa là:
( 1)
( 1) ( 1)
( 1)! 0
1!
n
nn
x
xx
f
f F C n C
n
So sánh 2 vế của
C
ta được:
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 6
( 1)
0
1!
n
n
x
i
i
f
f x F x x x
n
Gọi
( 1)
;
sup
n
x a b
M f x
Khi đó có ước lượng:
0
( ) ( )
1!
n
i
i
M
F x f x x x
n
Định lý được chứng minh.
6. Quy tắc làm tròn và công thức tính sai số
a. Quy tắc làm tròn
Cho
0
10 , 0,1, ,9
mi
m i m i
i
A a a
gọi
mi
a
là chữ số hàng thứ
mi
trong biểu diễn
thập phân của
A
.
01
10 , 10
k
m i m i
m i m i
i i k
a a a
Thì
Aa
Đặt
1
, .10
2
1
10 , .10
2
1
, .10 , 0;2;4;6;8
2
1
10 , .10 , 1;3;5;7;9
2
mk
m k m k
mk
mk
m k m k
mk
a
a
a
aa
aa
Ta gọi
a
là giá trị làm tròn của
A
đến chữ số thứ
mk
.
b. Công thức tính sai số
,:A a B b
12
1 2 1 2
.
A B a b
A B ab b a
7. Hướng giải quyết vấn đề
Từ các định lý trên, để tính gần đúng tích phân, ta tìm đa thức nội suy
()Px
của
()fx
rồi
tính
()
b
a
J P x dx
thay cho
()
b
a
I f x dx
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 7
III. Giải quyết vấn đề
1. Giải quyết vấn đề 1
a. Cách giải quyết trong trường hợp tổng quát
Áp dụng các định lý trên, khi biết giá trị của
()fx
tại một số điểm, ta tìm hàm đa thức
nội suy
()Px
của
()fx
. Theo định lý 1,
()Px
tồn tại duy nhất. Ta dùng
()Px
cho hàm
dưới dấu tích phân
()fx
rồi tính tích phân
()
b
a
J P x dx
.Làm tròn
J
thành
J
thay cho
I
.
Sai số
Theo định lý 2:
( 1)
0
; , ; : ( ) ( )
1!
n
n
x
xi
i
f
x a b a b f x P x x x
n
Đặt
( 1)
;
n
t a b
M Max f t
Ta có:
( 1)
00
( ) ( ) ( ) ( )
1 ! 1 !
b b b
a a a
n
bb
nn
x
ii
ii
aa
I J f x dx P x dx f x P x
f
M
x x x x dx
nn
Gọi
J
là giá trị làm tròn
J
đến hàng thứ
k
thì:
1
J J .10
2
k
Nếu lấy
J
thay cho
I
thì sai số định bởi:
0
M1
I J I J J J x-x .10
( 1)! 2
b
n
k
i
i
a
dx
n
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 8
b. Chú ý:
Trong thực tế, nếu số lượng mốc nội suy tương đối lớn, việc tính
Px
và
n
bb
k
i
aa
i0
M1
J P x dx, x x dx .10
n 1 ! 2
gặp nhiều khó khăn. Khi đó, ta thường biểu
diễn như sau:
i1
i
n 1 n 1
bx
ii
ax
i 0 i 0
J f x dx f x dx I
Trong đó,
i
x i 0,n
là các mốc nội suy.
Trên mỗi đoạn
1
,
ii
xx
, ta tìm đa thức nội suy
i
Px
của
fx
và tính
i1
i
x
ii
x
J P x dx
thay
cho
1
I
i
i
x
i
x
f x dx
. Khi đó tính làm tròn
J
thành
J
rồi lấy
J
thay cho
I
.
Sai số :
Trên mỗi đoạn
1
,
ii
xx
, đặt
1
''
,
M , 0, 1
ii
i
t x x
Max f t i n
áp dụng kết quả ở trên, thay
,ab
bởi
1
,
ii
xx
và
Px
bởi
i
Px
ta được:
i1
i
x
3
ii
i i i i 1 i 1 i
x
MM
I J x x x x dx x x
2! 12
Như vậy, vì có n đoạn nên :
n 1 n 1 n 1 n 1
3
i
i i i i i 1 i
i 0 i 0 i 0 i 0
M
I J I J I J x x
12
Gọi
i
J
là kết quả làm tròn của
i
J
đến hàng thứ
k
thì :
1
J J .10
2
k
ii
Đặt
J
là kết quả làm tròn của
n1
i
i0
J
đến hàng thứ
k
thì :
n 1 n 1 n 1 n 1
kk
ii
ii
i 0 i 0 i 0 i 0
1n
J J J J J J .10 .10
22
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 9
c. Công thức hình thang:
Giả sử cần tính
()
b
a
f x dx
. Ta đã biết về mặt hình học, giá trị của tích phân này chính là
diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
( ), 0, ,y f x y x a x b
.
Ta chia đoạn
;ab
thành
n
đoạn cong bằng nhau bởi các điểm chia
i
x
.
0 1 1
nn
a x x x x b
i0
ba
h
n
x x ih, i=0,n
Đa thức nội suy
i
Px
trên
1
,
ii
xx
là :
i 1 i 1
ii
1
hi
i i i
xx
1
hi
i i i
xx
y
P x y x x
h
y
P x dx y x x dx
h
Đặt
i
i
xx
t x x th dx hdt
h
i1
i
1
x
1
1
12
hi
i i h i i i i 1
x0
0
y
h
P x dx h y y t dt h y t t y y
22
Khi đó :
i1
n1
i
i0
i
0n
0 1 n 1 n 1 n 1
J P x dx
h b a y y
J y 2y 2y y y y 1
2 n 2
Làm tròn
J
thành
J
rồi lấy
J
thay cho
I
.
Công thức
1
còn được gọi là công thức hình thang.
(Hình 1)
O
x
y
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 10
Sai số:
Đặt
''
,
M M M , i=0, 1 .
i
t a b
Ma f t ìx th n
Ta có :
3
n 1 n 1 n 1 n 1
3
3
i
i i i i i 1 i
2
i 0 i 0 i 0 i 0
M b a
M
M
I J I J I J x x nh
12 12 12n
Gọi
J
là kết quả làm tròn của
J
đến chữ số hàng thứ
k
thì:
1
I J .10
2
k
Nếu lấy
J
thay cho
I
thì sai số định bởi:
Ví dụ 1: Tính tích phân sau với
4n
và đánh giá sai số làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2.
5
1
dx
I
x
Giải:
Ta có
1
; 1;5 , 1, ( ) , . 1 , 0,4, 2
i
ba
a b h f x x a i h i i k
nx
, áp dụng công thức (1),
ta có:
5
1
5 1 1 1 1 1 1 101
1
4 2 5 2 3 4 60
dx
I
x
3
1;5
2
"( ) "( ) 2
x
f x M Max f x
x
Sai số :
33
2
22
( ) 1 2(5 1) 1
. .10 .1 .10 0,67
12 2 12.4 2
k
M b a
h
n
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 11
Ví dụ 2 : Hãy tính gần đúng tích phân :
1
2
0
1
1
I dx
x
Giải :
Ta đã biết giá trị đúng của tích phân trên là
4
. Như vậy
0,78539816I
Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả .
Chia đoạn
0;1
thành n = 10 đoạn con bằng nhau, tức là
0,1
ba
h
n
, ta tính được bảng sau :
n
x
y
0
0,0
1,0000000
1
0,1
0,9900990
2
0,2
0,9615385
3
0,3
0,9174312
4
0,4
0,8620690
5
0,5
0,8000000
6
0,6
0,7352941
7
0,7
0,6711409
8
0,8
0,6097561
9
0,9
0,5524862
10
1,0
0,5000000
Áp dụng công thức hình thang ta được :
0 10
19
2
yy
I h y y
Thay giá trị từ bảng trên vào ta được :
0,7849815I
với sai số tương đối là
0,053%
.
d. Công thức parabol (Simpson)
Một công thức khác cho kết quả xấp xỉ tích phân bằng việc thay các đoạn thẳng bởi parabol để
xấp xỉ đường cong. Ta chia đoạn
;ab
thành
2n
đọan con với độ dài
2
ba
hx
n
.Nhưng
trong trường hợp các mốc nội suy cách đều nhau và các khoảng chia là số chẵn, ta có thể tính
gần đúng I bằng công thức Parabol.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 12
Nếu
()
ii
y f x
thì
( , )
i i i
P x y
là điểm trên đường cong nằm phía trên
i
x
(với
, 0,1,2, ,2
i
x a ih i n
). Một đường Parabol đi qua ba điểm liên tiếp
12
,,
i i i
P P P
.
Để cho đơn giản trong tính toán, đầu tiên ta xét trường hợp khi
0 1 2
, 0 và x h x x h
. Ta biết
rằng phương trình của parabol đi qua
0 1 2
,,P P P
có dạng
2
y Ax Bx C
và do diện tích phía
dưới parabol từ
xh
đến
xh
là:
32
2
3 2 3 2
2
32
26
3 2 3 2 3
h
h
h
xx
Ax Bx C dx A B Cx
h
h h h h h
A B Ch A B Ch Ah C
Nhưng vì parabol đi qua
0 0 1 1 2 2
( , ), 0, , ,P h y P y P h y
Ta có:
2
2
0
1
2
2
y A h B h C Ah Bh C
yC
y Ah Bh C
Và do đó
2
0 1 2
4 2 6y y y Ah C
.
Vậy ta có thể viết lại diện tích phía dưới parabol như sau :
0 1 2
4
3
h
y y y
Hình 2
Hình 3
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 13
Bây giờ bằng cách di chuyển parabol này theo chiều nằm ngang mà không thay đổi miền diện
tích phía dưới của nó. Điều này có nghĩa là diện tích dưới parabol đi qua
0 1 2
, và P P P
từ
0
xx
đến
2
xx
(Hình 2) vẫn là
0 1 2
4
3
h
y y y
Một cách tương tự, diện tích phía dưới của parabol đi qua
2 3 4
, và P P P
từ
2
xx
đến
4
xx
là
2 3 4
4
3
h
y y y
Nếu ta tính diện tích phía dưới các parabol theo cách này và cộng các kết quả, ta được :
0 1 2 2 3 4 2 1
0 1 2 3 4 2 1
( ) 4 4 4
3 3 3
= 4 2 4 2 2 4
3
b
n n n
a
n n n
h h h
f x dx y y y y y y y y y
h
y y y y y y y y
Ta nhận được kết quả xấp xỉ cho trường hợp mà
( ) 0fx
, tuy nhiên nó vẫn đúng cho bất kỳ
hàm liên tục
f
và được gọi là quy tắc Simpson do nhà toán học người Anh, Thomas Simpson
(1710 – 1761) đề xuất. Chú ý rằng số hạng các hệ số là : 1,4,2, 4,2,4,2, …,4,2,4,1.
0 2 1 2 1 2 2 2
( ) 4 2 (2)
6
b
n n n
a
ba
f x dx y y y y y y
n
Với công thức (2), người ta đã chứng minh được sai số là :
4
(4)
;
, ( )
180
x a b
Mh
b a M Max f x
Ví dụ 3 : Tính gần đúng tích phân sau theo công thức parabol với
5n
1
0
1
dx
I
x
Giải :
Ta có :
1 1 0
0, 1, ( ) 1, ( ) , 0,1; . , 0,1, ,10.
2 2 5
i
a b f a f b h x a i h i
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 14
1 3 5 7 9
2 4 6 8
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3,46
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2,728
f x f x f x f x f x
f x f x f x f x
Vậy
11
1 4 3,46 2 2,728 0,6932
6.5 2
I
Ví dụ 4: Hãy tính gần đúng tích phân :
1
2
0
1
1
I dx
x
Giải :
Ta đã biết giá trị đúng của tích phân trên là
4
. Như vậy
0,78539816I
Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức Simpson rồi so sánh kết quả .
Chia đoạn
0;1
thành 2n = 4 đoạn con bằng nhau, tức là
0,25
2
ba
h
n
, ta tính được bảng
sau :
i
i
x
()
ii
y f x
0
0
1
1
0,25
0,941176
2
0,5
0,8
3
0,75
0,64
4
1
0,5
Theo công thức Simpson ta có :
0 4 1 3 2
4 4 2
3
h
I y y y y y
. Thay các giá trị ở bảng trên vào ta có :
0,25
1 3,76471 1,6 2,56000 0,5 0,785399
3
I
So với kết quả đúng, dùng công thức Simpson tính ta có sai số tương đối là
0,00011%
Nhận xét : Phương pháp tính gần đúng giá trị tích phân xác định dùng công thức
Simpson cho kết quả độ chính xác cao hơn dùng công thức hình thang.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 15
2. Giải quyết vấn đề 2:
Khi biết biểu thức của f (x) , giả sử ta tính được số mốc nội suy là n+1, ta tiến hành tính giá trị
gần đúng của f (x) tại các điểm
i
x , i=0,n
và được các giá trị
i
y , i=0,n
, giả sử các giá trị này
làm tròn đến hàng thứ
()l
,
l
là số nguyên không âm. Nghĩa là
1
.10 , 0,
2
l
ii
y y i n
. Để đơn
giản cho việc tính sai số, ta chọn các mốc nội suy
i
x , i=0,n
cách đều nhau. Đặt sai số cho trước
là
, ta sẽ xác định được
,nl
để tính gần đúng tích phân với sai số không lớn hơn
. Muốn vậy
ta chọn
k
là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
k
10
. Khi đó ta sẽ ghi kết quả gần đúng của
tích phân làm tròn đến chữ số hàng thứ - k ( vì nếu làm tròn đến chữ số hàng thứ -m với m <k
thì sai số do làm tròn là
m k m
1 1 1
10 10 10 )
2 2 2
.Ta có thể làm bằng công thức hình
thang hoặc parabol.
Cách 1 : Công thức hình thang:
Ta tính
''
,t a b
M Max f t
i1
i
n 1 n 1
x
i
x
i 0 i 0
I f x dx I
i0
ba
h
n
x x ih, i=0,n
i i i 1 i 1 i
1
P x x x y x x y
h
i1
i
x
i i i 1
x
h
P x dx y y
2
i1
i
n1
x
i 0 1 n 1 n
x
i0
0 1 n 1 n
h
J P x dx y 2y 2y y
2
ba
y 2y 2y y 3
2n
Tính gần đúng
J
, làm tròn
J
thành
J
rồi lấy
J
thay cho
I
.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 16
Sai số:
Theo như trên đã tính:
Sai số phương pháp
3
2
M b a
IJ
12n
Sai số tính toán:
Do
1
.10 , 0,
2
l
ii
y y i n
. Suy ra :
0 1 n 1 n 0 1 n 1 n
0 1 n 1 n
1
y 2y 2y y y 2y 2y y 2n. .10
2
y 2y 2y y n.10
l
l
Và :
1
0 1 n 1 n
0 1 n 1 n
'
b a b a
J y 2y 2y y n.10
2n 2n
b a b a
y 2y 2y y 10
2n 2
ba
J 10
2
l
l
'
ba
J J 10
2
l
Gọi
J
là kết quả làm tròn của
'
J
đến hàng thứ
k
thì:
'k
1
J J 10 .
2
Nếu lấy
J
thay cho
I
thì sai số xác định bởi :
3
' ' 1 k
2
M b a
b a 1
I J I J J J J J .10 .10
12n 2 2
Ta sẽ xác định
,nl
sao cho sai số thỏa:
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 17
3
lk
2
M b a
b a 1
.10 .10 , 4
12n 2 2
Do các biểu thức
3
2
M b a
ba
, .10
12n 2
l
là các biểu thức có giá trị giảm về 0 khi
,nl
tiến ra vô
cùng nên phải tồn tại cặp
00
,nl
00
n ,l
thỏa
4
. Khi đó
3
k
2
M b a
b a 1
.10 .10
12n 2 2
l
Nghĩa là sai số thỏa yêu cầu vấn đề đặt ra.
Cách 2: Công thức Parabol :
Ta tính
''
,
M
t a b
Max f t
2 4 n
0 2 n 2
x x x
x x x
0 2 n 2
I f x dx f x dx f x dx
=I I I
i0
ba
h
n
x x ih, i=0,n
i2
i
x
i i i 1 i 2
x
h
P x dx y 4y y
3
0 n 1 3 n 1 2 4 n 2
ba
J y y 4 y y y 2 y y y
3n
Tính gần đúng
J
, làm tròn
J
thành
J
rồi lấy
J
thay cho
I
.
Sai số:
Theo như trên đã tính:
Sai số phương pháp:
4
3
M b a
IJ
24n
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 18
Sai số tính toán:
Do
ii
1
y y .10 , i 0,n.
2
l
Suy ra
0 n 1 3 n 1 2 4 n 2
0 n 1 3 n 1 2 4 n 2
y y 4 y y y 2 y y y
1
y y 4 y y y 2 y y y 3n. .10
2
l
Và
l
0 n 1 3 n 1 2 4 n 2
0 n 1 3 n 1 2 4 n 2
'
b a 3n b a
J y y 4 y y y 2 y y y .10
3n 2 3n
b a b a
y y 4 y y y 2 y y y .10
3n 2
ba
J 10
2
l
l
'
ba
J J 10 .
2
l
Gọi
J
là kết quả làm tròn của
'
J
đến hàng thứ
k
thì:
'k
1
J J 10 .
2
Nếu lấy
J
thay cho
I
thì sai số xác định bởi:
4
' ' k
3
M b a
b a 1
I J I J J J J J .10 .10
24n 2 2
l
Ta sẽ xác định
,nl
sao cho sai số thỏa:
4
k
3
M b a
b a 1
.10 .10 , 2
24n 2 2
l
Do các biểu thức là các biểu thức có giá trị giảm về 0 khi
,nl
tiến ra vô cùng nên phải tồn tại
cặp
,nl
thỏa
2
. Khi đó:
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 19
4
k
3
M b a
b a 1
.10 .10
24n 2 2
l
Nghĩa là sai số thỏa yêu cầu vấn đề đặt ra.
VI. THUẬT TOÁN:
1. Thuật toán 1: (Tính I khi
fx
cho bởi bẳng giá trị)
a. Dạng tổng quát:
Tính
b
a
I f x dx
với
fx
là hàm liên tục, xác định trên
a,b
và biết:
x
0
x
1
x
…
n
x
fx
0
fx
1
fx
…
n
fx
Bước 1: Ta xác định
Px
là hàm đa thức nội suy của
fx
ứng với bộ mốc nội suy
0 1 n
x ,x , ,x
. Khi đó
Px
là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n và :
x
0
x
1
x
…
n
x
Px
0
Px
1
Px
…
n
Px
Áp dụng định lí 1,
Px
tồn tại và duy nhất, ta tìm
Px
rồi đưa về dạng chính tắc ( được
trình bày trong vấn đề 3 ) :
n
i
i
i0
P x c x
Bước 2: Tính
b
a
J P x dx
b
i i 1 i 1
n n n
bb
i
i i i
i
aa
i 0 i 0 i 0
a
c x c b c a
J P x dx c x dx .
i 1 i 1 i 1
Bước 3: Làm tròn
J
đến chữ số hàng thứ
k
( mặc định
k6
do chưa xác định được
chính xác hàm
fx
, có thể điều chỉnh k nếu biết được
fx
, gọi kết quả làm tròn của J là
J
. Ta dùng
J
thay cho
I
với sai số:
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 20
n
b
k
i
a
i0
M1
x x dx 10 .
n 1 ! 2
b. Dùng công thức hình thang:
Trường hợp cột mốc nội suy cách đều, ta có thể dùng công thức hình thang:
Tính
b
a
I f x dx
, với
fx
là hàm liên tục, xác định trên
,ab
và biết:
x
o
x
1
x
……
n
x
fx
0
fx
1
fx
……
n
fx
Bước 1: Kiểm tra rằng các mốc nội suy là cách đều. Nghĩa là:
ba
h
n
0
0,
i
x x ih i n
Bước 2: Tính
0 1 2 1
2 2 2
2
nn
h
J y y y y y
, làm tròn đến chữ số hàng thứ
k
thành
J
, dùng
J
thay cho I với sai số:
3
2
1
.10
12 2
k
M b a
n
c. Dùng công thức Parabol:
Trường hợp các mốc nội suy cách đều nhau và n chẵn, ta có thể sử dụng công thức Parabol:
Tính
b
a
I f x dx
, với
fx
là hàm liên tục, xác định trên
,ab
và biết:
x
o
x
1
x
……
n
x
fx
0
fx
1
fx
……
n
fx
Bước 1: Kiểm tra rằng các mốc nội suy là cách đều và n chẵn.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 21
Bước 2:
Tính
0 1 3 1 2 4 2
4 2
3
n n n
h
J y y y y y y y y
, làm tròn đến chữ số hàng
thứ
k
thành
J
, dùng
J
thay cho I với sai số:
4
3
1
.10
24 2
k
M b a
n
2. Thuật toán 2: (Tính gần đúng I với sai số
cho trước,
fx
khả vi, liên tục đến cấp 2 (hoặc
cấp 3) và cho bởi biểu thức giải tích)
Tính
b
a
I f x dx
, với
fx
là hàm liên tục, khả vi đến cấp 2, xác định trên
,ab
và biết biểu
thức của
fx
:
Cách 1: Dùng công thức hình thang:
Bước 1: Với
cho trước, ta tìm k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa
10
k
.
Bước 2: Tính
"
;t a b
M Max f t
. Với k tìm được, tìm cặp
,nl
thỏa:
3
1
3
1
.10 .10
12 2 2
k
M b a
ba
n
Ta tìm lần lượt:
i. Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho
3
3
1
.10
12 2
k
M b a
n
.
ii. Với n tìm được, tìm 1 nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
3
1
3
1
.10 .10
12 2 2
k
M b a
ba
n
.
Bước 3: Xác định các mốc nội suy:
0
,
ba
x a h
n
0
0,
i
x x ih i n
và tính các giá trị:
0,
ii
y f x i n
, làm tròn đến chữ số hàng thứ
l
,
tìm được các giá trị
, 0,
i
y i n
.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 22
Bước 4:
Tính
0 1 2 1
' 2 2 2
2
nn
h
J y y y y y
, làm tròn
'
J
đến hàng thứ
k
, thu được
'
J
. Như
vậy ta có
'
J
là giá trị gần đúng của I với sai số không quá
.
Cách 2: Dùng công thức Parabol:
Bước 1: Với
cho trước, ta tìm k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa
10
k
.
Bước 2: Tính
"
;t a b
M Max f t
. Với k tìm được, tìm cặp
,nl
thỏa:
4
3
1
.10 .10
24 2 2
lk
M b a
ba
n
Ta tìm lần lượt:
i. Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho
4
3
1
.10
24 2
k
M b a
n
.
ii. Với n tìm được, tìm 1 nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
4
3
1
.10 .10
24 2 2
lk
M b a
ba
n
.
Bước 3: Xác định các mốc nội suy:
0
,
ba
x a h
n
0
0,
i
x x ih i n
và tính các giá trị:
0,
ii
y f x i n
, làm tròn đến chữ số hàng thứ
l
,
tìm được các giá trị
, 0,
i
y i n
.
Bước 4:
Tính
0 1 3 1 2 4 2
' 4 2
3
n n n
h
J y y y y y y y y
, làm tròn
'
J
đến hàng thứ
k
, thu được
'
J
. Như vậy ta có
'
J
là giá trị gần đúng của I với sai số không quá
.
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 23
V. CÁC VÍ DỤ CHO THUẬT TOÁN.
Ví dụ 1: (Công thức tổng quát) Cho hàm
fx
xác định và liên tục trên đoạn
1;3
,
fx
nhận các giá trị như bảng sau:
i
x
-1
0
1
3
i
fx
0
1
3
-2
Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân
3
1
I f x dx
Giải:
Gọi
Px
là đa thức nội suy của
fx
trong
1;3
. Khi đó
Px
có bậc không lớn hơn 3 và:
i
x
-1
0
1
3
ii
y P x
0
1
3
-2
Nhận thấy
2 1 3 2
12x x x x
nên các mốc nội suy không cách đều.
Tìm công thức của
Px
bằng công thức nội suy Lagrange với các mốc nội suy không cách đều
rồi chuyển sang dạng chính tắc ta được:
32
11
21
22
P x x x x
Tính
3
1
J P x dx
và làm tròn đến chữ số hàng thứ
6
, ta được:
6,666667J
Vậy giá trị gần đúng của I là
6,666667J
với sai số:
3
6
1
1
1 1 3 .10
24 2
M
x x x x dx
(giả sử
fx
khả vi liên tục đến cấp 4 và
4
1;3t
M Max f t
Ví dụ 2: (Công thức hình thang) Cho hàm
fx
xác định và liên tục trên đoạn
1;2
,
fx
nhận các giá trị như bảng sau:
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 24
i
x
-1
0
1
2
i
fx
0
1
3
-2
Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân
3
1
I f x dx
Giải:
Nhận thấy các mốc nội suy là cách đều nhau. Ta dùng công thức hình thang:
21
1
3
ba
h
n
1 0 2 0 3 0
1; 0; 2 1; 3 2
o
x x x h x x h x x h
0 1 2 3
2 2 3
2
h
J y y y y
Vậy giá gần đúng của I là 3 với sai số:
3
2
12 4
M b a
M
n
(giả sử
fx
khả vi liên tục đến cấp 2 và
"
1;3t
M Max f t
Ví dụ 3: (Công thức Parabol) Cho hàm
fx
xác định và liên tục trên đoạn
1;3
,
fx
nhận
các giá trị như bảng sau:
i
x
-1
0
1
2
3
i
fx
0
1
3
-2
0
Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân
3
1
I f x dx
Giải:
Nhận thấy các mốc nội suy là cách đều nhau và
4n
. Ta dùng công thức Parabol:
31
1
4
ba
h
n
1 0 2 0 3 0 4 0
1; 0; 2 1; 3 2; 4 3
o
x x x h x x h x x h x x h
NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2
CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang 25
0 4 1 3 2
2
42
33
h
J y y y y y
làm tròn đến chữ số hàng thứ
6
, ta được:
6,666667J
Vậy giá trị gần đúng của I là
6,666667J
với sai số:
4
66
3
11
.10 .10
24 2 6 2
M b a
M
n
(giả sử
fx
khả vi liên tục đến cấp 3 và
"'
1;3t
M Max f t
Ví dụ 4: (Tính tích phân với sai số cho trước) Tính gần đúng
1,23
1
1
I dx
x
với sai số không quá
0,01
Giải:
1
, 1;1,23f x x
x
"'
"
23
1;1,23
12
' ,f 2
t
f x x M Max f t
xx
Với
0,01
chọn
2k
thì
2
10 10
k
Với
2k
, tìm n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:
3
2
1
.10 0,4
12 2
k
M b a
n
n
chọn
1n
Với
1n
, tìm
l
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa
3
1
2
1
10 .10 2
12 2 2
k
M b a
ba
l
n
Ta có:
01
0 0 1 1 0 1
'
01
ba
x a 1;h 0,23;x b 1,23
n
1
y f x 1;y f x y 1;y 0,81
1,23
h
J y y 0,20815
2
