Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 12

Mục lục
I. Đặt vấn đề
II. Cơ sở toán học
1. Các trường hợp của luỹ thừa.
a. Lũy thừa với số mũ nguyên dương.
b. Luỹ thừa của số mũ nguyên âm.
c. Luỹ thừa với số mũ không.
d. Luỹ thừa của không và một.
e. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
f. Luỹ thừa với cơ số e.
2. Hàm mũ
a. Công thức hàm mũ
b. Tính chất hàm mũ.
3. Sử dụng phương pháp Taylor và Maclaurin để tính bài
toán e
x
a/ Số e.
b/ Công thức khai triển Taylor và công thức MacLaurin.
c/ Ví dụ thuật toán tính e
x
d/ Thuật toán tính e
x
.
4. Sử dụng phương pháp newton để tính bài toán lna.
a/ Điều kiện để tính lna.
b/ Thuật toán.
5. Phương pháp tính hàm mũ.
a/ Điều kiện
b/ Thuật toán
III. Tài liệu tham khảo.
1. Giáo trình Phương pháp tính.

2. Mạng Internet.
GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU
SVTH: Hồ Ngọc Hùng
Trần Ngọc Diễm
Nguyễn Hoàng Thanh
Nguyễn Xuân Nam
Chủ đề 12:
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GIÁ TRỊ HÀM MŨ
3. Bài giảng của thầy Trịnh Công Diệu.
I-Đặt vấn đề:
1. Hàm mũ và Lũy thừa (số mũ là gì?)
Hàm mũ là hàm số có dạng y = a
x
, với a là cơ số dương
khác 1.
Lũy thừa có nghĩa là nhân chồng chất lên. Lũy thừa là một
phép toán học được viết dưới dạng a
n
, bao gồm hai số, cơ số a và
số mũ (hoặc lũy thừa) n.
2. Ứng dụng của lũy thừa:
Lũy thừa mà số mũ là một ma trận được sử dụng để giải
quyết các hệ phương trình vi phân tuyến tính. Lũy thừa được sử
dụng rộng khắp trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm cả
kinh tế, sinh học, hóa học, vật lý, cũng như khoa học máy tính,
với các ứng dụng như lãi kép, tốc độ tăng trưởng dân số, động
học phản ứng hóa học, hành vi sóng, và mật mã khóa công khai.
II- Cơ sở lý luận:
1. Các trường hợp của luỹ thừa:

a/ Lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Ta có a
n
,
0,1a ¹
, n>0
Khi đó lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp đi lặp lại, cách
khác:
a
n
= a*a*…*a*a

n lần
Ví dụ lũy thừa với số mũ nguyên dương
7
10
= 7x7x7x7x7x7x7x7x7x7
7 x 7 = 49
49 x 7 = 343
343 x 7 = 2401
2401 x 7 = 16807
16807 x 7 = 117649
117649 x 7 = 823543
823543 x 7 = 5764801
5764801 x 7 = 40353607
40353607 x 7 = 282475249
b/ Lũy thừa với số mũ nguyên âm
Lũy thừa cũng có thể xác định khi n là số nguyên âm với b
khác không

1
n
n
a
a
-
=
Lũy thừa của số khác không a với số mũ -1 là số nghịch
đảo của nó

1
1
a
a
-
=
Ví dụ: lũy thừa với số mũ nguyên âm


3
3
1 1
7
7 7.7.7
-
= =

1
0,002915452
343

= »

Một số qui tắc tính chất lũy thừa
Nếu a + b = c thì n
a
+n
b
= n
c
Ví dụ:
13 = 6 + 7
Số 7
13
= 7
6
x 7
7
7 x 7 = 49 = 7
2
49 x 7 = 343 = 7
3
343 x 7 = 2401 = 7
4
2401 x 7 = 16807 = 7
5
16807 x 7 = 117649 = 7
6
117649 x 7 = 823543 = 7
7
117649 x 823543 = 96889010407 = 7

6
x 7
7
= 7
13
c/ Lũy thừa với số mũ không.
Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không qui ước bằng 1,
tức là
0
1a =

0
1
n
n n
n
a
a a
a
-
= = =
d/ Lũy thừa của không và một.

0 0
n
=
(với n>0)

1 1
n

=

0
n
là vô nghĩa với
0n £
hay lũy thừa với số mũ âm
của 0 là không xác định.


e/ Lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ . Giả sử r =
m
n
, trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương.
Khi đó , luỹ thừa của a với số mũ r là số a
r
xác định bởi

1
( )
m
n
m m
n n
a a a= =

f/ Lũy thừa với cơ số e:
Ta xác định e =
1

lim(1 )
n
n
n
¥®
+
Hàm e mũ được xác định:
e
x
=
lim(1 )
n
n
x
n
¥®
+
2. Hàm mũ
a/ Công thức hàm mũ.
Hàm mũ là hàm số có dạng y=a
x
, với a>0 và
1a ¹

b/ Tính chất hàm mũ
• Hàm số luôn dương với mọi giá trị của x
• Nếu a>1 là hàm đồng biến. Nếu 0<a<1 là hàm nghịch biến
• Đồ thị nhận trục hoành làm đường tiệm cận và luôn cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng 1
• Hàm mũ có hàm ngược là hàm logarit

Nhận xét: Ta thấy
lnx x a
a e=

Như vậy để tính y=a
x
ta sẽ tính
lnx a
e
Đặt w=xlna
3. Sử dụng phương pháp Taylor và Maclaurin để tính bài toán
e
w
a/ Số e:
Số e là cơ số của logarit tự nhiên và là số vô tỉ. Giá trị số e
được xác định dựa trên công thức Taylor như sau:
e=
1 1 1 1
1 , (0,1)
1! 2! 3! ! ( 1)!
c
e
c
n n
+ + + + + + ∈
+

VD: Tính e với độ chính xác 10
-4
b/ Công thức khai triển Taylor và công thức MacLaurin

Công thức khai triểnTaylor:
Hàm f(x) có đạo hàm cấp (n+1) quanh điểm x
0
(trong lân
cận của điểm x
0
), khi đó với x trong lân cận này
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 1)
0 0 0
' ''
( )
2 ( 1)
0 0 0 0 0
1! 2! ! 1!
( ) ( ) ( )
n
n
f x f x f x

f
n
n n
f x f x x x x x x x x x
q
+
+
+
= + - + - + + - + -

Với
q
nằm giữa x và x
0
Số hạng
( 1)
( )
( 1)
0
( 1)!
( )
n
f
n
n
x x
q
+
+
+

-
gọi là phần dư (dạng
Lagrange)
Khi x
0
=0 ta có khai triển Maclaurin:
Công thức Taylor (Maclaurin) của e
x
tại x=0 là:
Ta có công thức tính e
x
theo Mac laurin:
e
x
=
2 3
1 1 1 1
1 ( )
1! 2! 3! !
n n
x x x x o x
n
+ + + + + +
với phần dư o(x
n
) là
1
( 1)!
c n
e x

n
+
+

c/ Ví dụ tính e
2x
đến số hạng bậc 4:
e
2x
= e
2x
=
2 3 4 4
1 1 1 1
1 w w w w (w )
1! 2! 3! 4!
o
+ + + + +
=
2 3 4 4
1 1 1 1
1 2x 4x 8x 16x (w )
1! 2! 3! 4!
o
+ + + + +
Để cho kết quả gần đúng và sai số sau càng nhỏ thì ta càng cần
tính với số k càng nhiều (cần 50 đến 100)
Với x>0 thì thuật toán càng chính xác, với x<0 thì thuật toán sẽ
dần dần trở nên ít chính xác. Ví dụ:
d/ Thuật toán:

Tên thuật toán: tính e
x
Đầu vào: giá trị của x, sai số cho phép n
Đầu ra: e
x
B1: Gán S=1, solanlap = 1
B2: Gán S=S+
!
solanlap
x
solanlap

solanlap+1
B3: Nếu solanlap<n thì lặp lại bước 2
B4: in ra kết quả S là giá tri gần dúng e
x
4. Thuật toán.
a/ Điều kiện.
Ta có:
Trong đó x>0
b/Thuật toán:
Tên thuật toán: hàm mũ
Đầu vào: x, y
Đầu ra: x
y
B1: Nhập vào x
Nhập vào y
B2: Nếu x<0
Thì
Hiện thông báo lỗi

B3: gọi lại hàm tính e
x.tính lna

III. Tài liệu tham khảo.
1. Giáo trình phương pháp tính.
2. Mạng internet.
3. Bài giảng thầy Trịnh Công Diệu.