Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 15

Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 1



BÀI TIỂU LUẬN MÔN PHƢƠNG PHÁP TÍNH

CHỦ ĐỀ 15
CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ HÀM CĂN BẬC N
CỦA MỘT SỐ THỰC KHÔNG ÂM ( N LÀ SỐ NGUYÊN
DƢƠNG). KẾT QUẢ GHI Ở DẠNG BIỂU DIỄN THẬP
PHÂN. TỪ ĐÓ XÂY DỰNG THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH
DẠNG BIỂU DIỄN THẬP PHÂN CĂN BẬC N CỦA MỘT
SỐ THỰC


GVHD: THẦY TRỊNH CÔNG DIỆU
SVTH: HỒ THU VÂN
NGUYỄN THỊ NGỌC DUNG
TRẦN THỊ HẰNG


Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 2

I.Đặt vấn đề:
Để tính giá trị
n


với

là một số thực thì
n

có thể là một số nguyên, số hữu tỉ hoặc
số vô tỉ. Do đó, trong hầu hết các trường hợp ta không thể biểu diễn chính xác được
n


dưới dạng số thập phân hữu hạn. Vấn đề đặt ra là ta phải xác định giá trị gần đúng của
n

và ghi ở dạng biểu diễn thập phân nghĩa là có k chữ số thập phân sau dấu phẩy với
sai số
10
k
p



với
 
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9p
.
Khi
1n 
thì bài toán ở dạng đơn giản nên ta chỉ xét
nN



,
2n 
.
Với
0


thì dễ dàng có
0
n


.
Với
0


( n phải là số nguyên dương lẻ thì
nn

  
)
Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp đối với
0


,
,n 2nN



. Tùy vào cách nhìn nhận số
n

như thế nào mà ta sẽ có những phương pháp tương ứng để tính nó. Nếu ta xem
n


như là giá trị của hàm số
 
n
f x x
tại
x


thì ta có thể tính xấp xỉ
 
fx
bởi các hàm
đa thức , rồi lấy giá trị gần đúng của đa thức đó tại
x


. Một cách khác, nếu ta xem
n


là nghiệm của phương trình
0

n
x


thì ta có thể dùng các phương pháp xấp xỉ nghiệm
để tính gần đúng
n

như phương pháp chia đôi đoạn chứa nghiệm, phương pháp dây
cung, phương pháp xấp xỉ Newton,…
Nhóm chúng tôi sử dụng phƣơng pháp dây cung. Cụ thể là ta xem
n

là nghiệm của
phương trình
0
n
x


với (
0, , 2x n N n

  
).
II.Giải quyết vấn đề:

Mô tả phương pháp
Ta vẽ đồ thị như hình vẽ, giao điểm của cung AB và trục hoành chính là nghiệm phương
trình, ta sẽ thay cung AB của đồ thị bằng dây cung AB tương ứng rồi lấy hoành độ

1
x

của

Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 3

giao điểm P của dây cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm phương trình.

Phương trình đi qua 2 điểm
 
 
 
 
, , ,A a f a B b f b
( phương trình dây cung AB) là:
 
   
y f a
xa
f b f a b a




.
Tại giao điểm P ta có
0y 

,
1
xx
nên ta có:
 
   
1
fa
xa
f b f a b a





Từ đó suy ra:

   
   
1
b a f a
xa
f b f a




Phương pháp tính
1
x

như vậy gọi là phương pháp dây cung.
Sau khi tính được
1
x
nếu
1
x
có sai số lớn hơn yêu cầu thì ta thay
 
;ab
bằng đoạn chứa
nghiệm nhỏ hơn:
 Nếu
   
1
.0f a f x 
thay
1
bx
ta có khoảng nghiệm mới là
 
1
;ax
.
Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 4

 Nếu

   
1
.0f b f x 
thay
1
ax
ta có khoảng nghiệm mới là
 
1
;xb
.
Rồi áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng nghiệm mới. Và cứ thế tiếp tục ta sẽ
được các giá trị
2 3, 4
, , , x x x
ngày càng gần đến giá trị nghiệm mong muốn
 Định lý: Cho
f
liên tục trên đoạn
 
;ab

thỏa
   
.0f a f b 
;
 
'
f0x 
;

 
''
f0x 
 
;x a b
.
Đặt :
   
   
0
1
nn
nn
n
xa
b x f x
xx
f b f x











0,1,2, n 

thì
 
n
x
là dãy hội tụ về x
*
với x
*
là nghiệm của phương trình
 
0fx
.
o Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh
 
n
x
là dãy tăng và bị chặn trên bằng quy nạp.
Chứng minh
01
x x b
và
 
1
0fx
.
Vì
 
 

'
0, ;f x x a b  
và
   
.0f a f b 
nên
     
0
0f x f a f b  
.
Do đó
   
   
00
1 0 0
0
b x f x
x x x
f b f x

  


   
   
   
   
0 0 0
10
00

b x f x b x f b
x x b b
f b f x f b f x

    


Vì
 
 
"
0, ;f x x a b  

nên đồ thị của hàm số lõm trên đoạn
 
;ab

Do đó:
Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 5


 
   
   
 
   
 
   

 
   
 
 
   
 
00
10
0
0
00
0
00
1
10
b x f x
f x f x
f b f x
f b f b
f x b
f b f x f b f x
f b f b
f x f b
f b f x f b f x










  








   





(do
 
   
 
0
0;1
fb
f b f x


)
Vậy

01
x x b
và
 
1
0fx
.
Giả sử
1nn
x x b


và
 
0
n
fx 
, chứng minh
1nn
x x b



và
 
1
0
n
fx



.
Chứng minh tương tự như trên
Vậy
 
n
x
là dãy tăng và bị chặn trên bởi b nên
 
n
x
hội tụ.
Đặt
*
lim
n
xx
.
Vì
 
 
;
n
x a b
nên
 
*
lim ;
n
x x a b

, suy ra f liên tục tại x
*
.
Do đó:
 
 
*
lim
n
f x f x
.
Vì
 
0
n
fx 
nên
 
 
*
lim
n
f x f x
0
.
Mà
 
0fb
, suy ra
     

 
 
*
lim 0. *
n
f b f x f b f x

   


Lấy giới hạn 2 vế của
   
   
1
nn
nn
n
b x f x
xx
f b f x




, ta được:
Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 6

   

   
   
   
   
 
 
1
1
**
**
*
lim lim
lim
lim lim
lim
nn
nn
n
nn
nn
n
b x f x
xx
f b f x
b x f x
xx
f b f x
b x f x
xx
f b f x













  




  


 
*
0fx
( nếu b=x
*
thì
 
 
*
f b f x

, mâu thuẫn với
 
*
nên
*
bx
)
Vậy
 
n
x
là dãy hội tụ về
*
x
với
*
x
là nghiệm của phương trình
 
0fx
.
III. ÁP DỤNG
Xét phương trình
0
n
x


với
0, , 2, 0n N n x


   
.
Đặt
 
n
f x x


. Ta có:
     
' 1 " 2
, 1 0
nn
f x nx f x n n x

   
vì
0x 
.
 Nếu
1


thì phương trình có nghiệm duy nhất là x=1. Kết luận
1
n


.

 Nếu
1


thì
 
1 1 0f

  
và
 
0
n
f
  
  
. Do đó
 
0fx
có nghiệm thuộc
 
1;

.
 Nếu
1


thì
 

1 1 0f

  
và
 
0
n
f
  
  
. Do đó
 
0fx
có nghiệm thuộc
 
;1

.
Như vậy, phương trình
 
0fx
(với
0, , 2, 0n N n x

   
) luôn có nghiệm . Do đó, ta
luôn chọn được đoạn
 
;ab
là

 
1;

hay
 
;1

thỏa
   
.0f a f b 
.
Vậy f(x) thỏa các điều kiện trong định lý .
Đặt
0
xa
, tính
   
   
00
10
0
b x f x
xx
f b f x




Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 7

 Nếu
1
x
có sai số lớn hơn yêu cầu thì ta thay
 
;ab
bằng đoạn chứa nghiệm nhỏ hơn rồi lại
tính:
   
   
11
21
1
b x f x
xx
f b f x



.
 Nếu
2
x
vẫn chưa thỏa ta lại tiếp tục làm như trên.
 Sau m lần ta được dãy
 
   
   

0
1
:
m
mm
mm
m
xa
x
b x f x
xx
f b f x










m=0,1,2,….
Theo định lý, dãy
 
m
x
hội tụ về nghiệm của phương trình
 
0fx

nên với m đủ lớn ta
có
m
x
là giá trị gần đúng của nghiệm phương trình
 
0fx
thỏa sai số cho trước.
 Điều kiện dừng và đánh giá sai số:
Giả sử sau m lần được
   
   
11
1
1
mm
mm
m
b x f x
xx
f b f x






, làm tròn
m
x

thành
m
x
có k chữ số thập
phân sau dấu phẩy và
m
x
là giá trị gần đúng của x
*
thỏa sai số cho trước , tức
m
x
là giá trị
cần tìm. Nếu
 
;
m
x a b
thì ta nhận xét sai số như sau:
Cách đánh giá 1:
Do
0x 
nên
 
'1
0
n
f x nx



và
   
"2
10
n
f x n n x

  
.
Suy ra
 
'
fx
đồng biến và
   
''
0,f a f x x a   
.
Theo công thức Lagrange, tồn tại
 
 
*
;;
m
c x x a  
hoặc
 
 
*
; ; ;

m
c x x a  
sao cho:
Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 8

 
   
 
 
   
     
   
 
 
 
 
* * '
* * ' ' '
*'
*
'
(0 )
mm
mm
mm
m
m
f x f x x x f c

f x f x x x f a f a f c
f x x x f a
fx
xx
fa
  
     
  
  

Vậy điều kiện dừng là:
 
 
'
9.10
m
k
fx
fa



Cách đánh giá 2:
Ta có:
   
   
 
     
 
 

     
11
1
1
11
1
1
11
*
1
1
mm
mm
m
m m m
m
m
m m m
m
m
b x f x
xx
f b f x
x x f b f x
fx
bx
x x f b f x
f x f x
bx
















  




  

(f(x
*
)=0 vì x
*
là nghiệm)
Mặt khác, theo công thức Lagrange, tồn tại
 
 
*

1 1 2 1
; , ;
mm
c x x c x b


thỏa:
Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 9

 
 
 
 
       
     
 
 
 
       
   
 
 
   
 
 
     
 
 

* * '
1 1 1
'
1 1 2
11
*'
11
1
'
1 1 2
' * '
1 2 1 1
' * '
1 2 1 1
' ' * '
1 2 1 1
*
mm
mm
m m m
m
m
mm
m m m
m m m m m
m m m
m
f x f x x x f c
f b f x b x f c
x x f b f x

x x f c
bx
f b f x b x f c
x x f c x x f c
x x f c x x x x f c
x x f c f c x x f c
f
xx










  


  













  

   
     

    

  
   
 
''
21
1
'
1
mm
c f c
xx
fc






   

 
''
*
1
'
m m m
f b f a
x x x x
fa


   

Do đó,
   
 
''
*
1
'
m m m
f b f a
x x x x
fa


  

Đánh giá sai số :

   
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
**
1 1 1 1
''
1 1 1
'
''
1 1 1 1 1
'
' ' '
1 1 1
''
' ' '
1
''
1
. .10
2

k
x x x x x x
f b f a
x a x x
fa
f b f a
x x x a x x
fa
f b f b f a
x x x a
f a f a
f b f b f a
xa
f a f a

    

   

     

   

  

Vậy điều kiện dừng là:
     
 
' ' '
1

'
2 .10
9.10
2
k
k
f b f a x a f b
fa



  



Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 10

 Tóm lại:
Cách đánh giá thứ 1:
Sai số là:
 
 
1
*
1
'
fx
xx

fa

.
Điều kiện dừng là:
 
 
1
'
9.10
k
fx
fa



Cách đánh giá thứ 2:
Sai số là:
 
 
   
 
' ' '
*
11
''
1
. .10
2
k
f b f b f a

x x x a
f a f a


   

Điều kiện dừng là:
     
 
' ' '
1
'
2 .10
9.10
2
k
k
f b f a x a f b
fa



  



IV. Thuật toán:
Ứng với cách đánh giá 1:
Nhập:
, , ,nk


( với

là giá trị làm tròn của

).
Xuất:
1
x

 Bước 1: Nếu
1


thì xuất
1
1x 
và kết thúc.
Nếu
1


thì cho
1a 
,
b


và qua bước 2.
Nếu

1


thì cho
a


,
1b 
và qua bước 2.
Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 11

 Bước 2: tính
   
   
1
b a f a
xa
f b f a



, làm tròn
1
x
thành
1
x

có k chữ số thập phân sau dấu
phẩy.
Nếu
 
1
0fx
thì xuất
1
x
và kết thúc. Ngược lại qua bước 3.
 Bước 3: Nếu
 
 
1
'
9.10
k
fx
fa


thì xuất
1
x
và kết thúc.
Ngược lại cho
1
ax
hoặc
1

bx
và quay lại bước 2.
 Bảng tóm tắt:

Ứng với cách đánh giá 2:
Nhập:
, , ,nk

.
Xuất:
1
x


a

b

1
x

1
x

 
1
fx

 
 

1
'
fx
fa

Nếu
1


thì
1a 
,
b


.
Nếu
1


thì
a


,
1b 

   
   
b a f a

a
f b f a




Làm tròn
1
x
đến chữ
số hàng thứ
-k được
1
x
.
Nếu dừng
kết quả lấy
ở đây.
Nếu =0 thì
dừng.
Ngược lại
thì tiếp tục.
Nếu
9.10
k

thì
dừng.
Ngược lại
thì tiếp tục.

Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 12

 Bước 1: Nếu
1


thì xuất
1
1x 
và kết thúc.
Nếu
1


thì cho
1a 
,
b


và qua bước 2.
Nếu
1


thì cho

a



,
1b 
và qua bước 2.
 Bước 2: tính
   
   
1
b a f a
xa
f b f a



, làm tròn
1
x
thành
1
x
có k chữ số thập phân sau dấu
phẩy.
Nếu
 
1
0fx
thì xuất
1
x

và kết thúc. Ngược lại qua bước 3.
 Bước 3: Nếu

=
     
 
' ' '
1
'
2 .10
9.10
2
k
k
f b f a x a f b
fa



  


thì xuất
1
x
và kết thúc.
Ngược lại cho
1
ax
hoặc

1
bx
và quay lại bước 2.
 Bảng tóm tắt:



a

b

1
x

1
x

 
1
fx



Nếu
1


thì
1a 
,

b


.
Nếu
1


thì
a


,
1b 

   
   
b a f a
a
f b f a




Làm tròn
1
x
đến chữ
số hàng thứ
-k được

1
x
.
Nếu dừng
kết quả lấy
ở đây.
Nếu =0 thì
dừng.
Ngược lại
thì tiếp tục.
Nếu
9.10
k

thì
dừng.
Ngược lại
thì tiếp tục.
Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 13

Ví dụ 1 : Tính giá trị gần đúng của
2
với sai số là
 
5
.10 , 1,2, ,9pp




.
Ta có:
2; 2; 5, 2nk

   

 
 
2
'
2
2
n
f x x x
f x x

   


 Ứng với cách đánh giá 1:
a

b

1
x

1
x

 
1
fx

 
 
1
'
fx
fa

1
2
4
3

1,33333
-0,22223

11112.10
-5
1,33333
2
1,3999994
1,40000
-0,04

1501.10
-5

1,40000
2
24
17

1,41176
-0,00693

248.10
-5
1,41176
2
1,413792295
1,41379
-0,0012

43.10
-5
1,41379
2
1,41414088
1,41414
-0,00021

8.10
-5

Vậy
5
2 1,41414 8.10




 Ứng với cách nhận xét 2:
Ta có:
2; 2; 5, 2nk

   


 
2
2
n
f x x x

   

Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 14

a

b

1
x

1

x

 
1
fx



1
2
4
3

1,33333
-0,22223

33334.10
-5
1,33333
2
1,3999994
1,40000
-0,04

3335.10
-5
1,40000
2
24
17

1,41176
-0,00693

505.10
-5
1,41176
2
1,4137922
1,41379
-0,0012

86.10
-5
1,41379
2
1,414140882
1,41414
-0,00021

16.10
-5
1,41414
2
1,4142009
1,41420
-0,00004

4.10
-5

Vậy
5
2 1,41420 4.10



LƢU Ý: Một số cách chọn α như sau:
- Nếu

là số có tối đa k chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chọn
;1



hoặc
1;



với



-Nếu

là số có nhiều hơn k chữ số thập phân sau dấu phẩy thì:

1



: chọn
;1



với
.10 .10
kk





. Rõ ràng

là số có k chữ số sau dấu
phẩy và


nên
 
0f


.

1



: chọn
1;



với
 
.10 1 .10
kk





. Rõ ràng

là số có k chữ số sau
dấu phẩy và


nên
 
0f


.
Trong trường hợp

là một số quá lớn thì ta có thể khắc phục bằng cách chọn đoạn

[ ; ]ab
là
[ ; 1]mm
với
mN
thỏa
( 1)
nn
mm

  

Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 15

Ví dụ 2: Tính giá trị gần đúng của
3
0,1357
với sai số
3
.10p



,
 
1,2,3, ,9p

Ta có

0,1357


,
3n 
,
3k 
,
33
[0,1357.10 ].10 0,136




 Ứng với cách nhận xét 2:
a

b

1
x

1
x



0,136
1
0,251362

0,251

123.10
-3
0,251
1
0,342238
0,251

156. 10
-3
0,342
1
0,407593
0,342

136. 10
-3
0,408
1
0,451051
0,408

96. 10
-3
0,451
1
0,477575
0,451


63. 10
-3
0,478
1
0,49352
0,478
3
39.10



0,494
1
0,502715
0,494
3
23.10



0,503
1
0,507804
0,503
3
9.10



V.Kết luận:
 Có 2 cách đánh giá sai số để lựa chọn tùy vào khoảng chứa nghiệm ban đầu là (1;α)
hoặc (α;1) (tùy vào α)
 Có thể lập trình máy tính.
 Hội tụ về nghiệm nhanh nhưng phải tính toán nhiều.

Vậy
3
3
0,1357 0,503 7.10



Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu

Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 16

VI.Tài liệu tham khảo:
- Bài giảng của thầy Trịnh Công Diệu
Sách Phương pháp tính-GS Tạ Văn Đĩnh
Nguồn internet: