Đề thi HSG TX Phú Thọ Môn Toán V2 2010-2011

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2.0 điểm)
Số N có dạng
x y z
p q r
( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) và
pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số
; ;
N N N
p q r
tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là
20;12 và 15. Tìm N ?
Câu 2: (2.0 điểm)
Giải phương trình :
5 4 3 2
3 10 7 7 10 3 0x x x x x+ + + + + =
Câu 3: ( 2.0 điểm)
a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
P
a b b c c a
= + +
− − −
là số hữu tỷ.

b) Tính giá trị của biểu thức :
3 3
3( ) 2010Q x y x y= + − + +
biết
3 3
3 2 2 3 2 2x = + + −
;
3 3
17 12 2 17 12 2y
= + + −
Câu 4. (2.0 điểm )
Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O. Đường thẳng
qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng:
1 1 2
AB CD MN
+ =
b) Biết
2 2
;
AOB COD
S a S b= =
tính
ABCD
S
?
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho tam giác PAB có
µ
B

=45
0
;
µ
P
=120
0
.trên tia BP lấy điểm C sao cho
PC = 2PB. Tính góc
·
ACB

Hết
Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD:………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán

I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm
thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
Câu Đáp án Điể
m
Số N có dạng
x y z
p q r

( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) và
pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số
; ;
N N N
p q r
tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là
20;12 và 15. Tìm N ?
Ta có
( ) ( )
3
1 6
9
pq r
p r q
pr q
− =

⇒ + − =

− =

0.5
- Vì
1 3 2, 5, 7 2 3 7
x y z
p p q r N
+ ≥ ⇒ = = = ⇒ =
- Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1)
0.5
Số các ước tương ứng của

, ,
2 5 7
N N N
tương ứng là :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 ; 1 1 ; 1 1x y z x y z x y z+ + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 20
1 1 1 1 1 12
1 1 1 1 1 15
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
+ + + − + + =

⇒ + + + − + + =


+ + + − + + =

0.5
-
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 20
1 1 12 2, 4, 3
1 1 15

y z
x z x y z
x y
+ + =


⇔ + + = ⇔ = = =


+ + =

Vậy N=
2 4 3
2 5 7 857500
=
0.5
Câu 2: (2.0 điểm) Giải phương trình :
5 4 3 2
3 10 7 7 10 3 0x x x x x+ + + + + =
(1)
(1)
⇔
( )
( )
4 3
1 3 7 7 3 0x x x x+ + + + =
Ta có :
4 3
3 7 7 3x x x+ + +
= 0 và x+ 1 = 0

Trường hợp : x+ 1 = 0
⇒
x =- 1
0.5
Trường hợp :
4 3
3 7 7 3x x x+ + +
= 0
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế phương trình cho
x
2
ta được
2
2
1 1
3 7x x
x x
   
+ + +
 ÷  ÷
   
=0. Đặt t =
1
x
x
+
ta có : 3t
2
+7t– 6 =0
0.5

Tìm được nghiệm x
1
= -1 ; x
2
=
3 5
2
− +
; x
3
=
3 5
2
− −
1.0
Câu Đáp án Điể
m
Câu 3: ( 2.0 điểm)
a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
P
a b b c c a
= + +
− − −
là số hữu tỷ.
b) Tính giá trị của biểu thức :
3 3

3( ) 2010Q x y x y= + − + +
biết
3 3
3 2 2 3 2 2x = + + −
;
3 3
17 12 2 17 12 2y = + + −
a) Với a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, ta được biểu thức P có nghĩa.
Biến đổi biểu thức P, ta được :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
b c c a a b c a a b b c
P
a b b c c a
− − + − − + − −
⇒ =
− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b c a b c a
P
a b b c c a
 
− − + − − + −
 
⇒ =

− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a c b a b c a
P
a b b c c a
 
− − + − − + −
 
⇒ =
− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2
a b c a a b c a a b c a
P
a b b c c a
 
 
− − + − + − − + −
 
 
⇒ =
− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a a b c a 2 a b c a . a b c a
P
a b b c c a
   
− − + − + − + − − − + −
   
⇒ =
− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2
a b c a 2 a b c a . a b c a a b c a
P
a b b c c a
   
   
− − + − − − + − + − + −
   
   
⇒ =
− − −
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( )
2

2 2
2
a b c a a b c a
P
a b b c c a
 
 
− − + − + −
 
 
⇒ =
 
− − −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
a b c a a b c a
P
a b b c c a
 
 
− − + − + −
 
 
⇒ =
− − −
0.5
Vì a, b, c là các số hữu tỉ, nên suy ra :
⇒

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a b c a a b c a
 
− − + − + −
 
 
 
và
( ) ( ) ( )
a b b c c a− − −

cũng là các số hữu tỉ.
Do đó :
⇒
P là một số hữu tỉ (đpcm).
0.5
Câu Đáp án Điể
m
Đặt
3 3
x 3 2 2 3 2 2= + + −
= a + b suy ra: a
3
+ b
3
= 6; a.b = 1
Ta có:
3
x

= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)= 6 + 3(a +b) = 6 + 3x
Hay
3
x
- 3x = 6
Tương tự
Đặt
3 3
y 17 12 2 17 12 2= + + −
= c + d, suy ra c
3
+ d
3
= 34; c.d = 1
Ta có:
3
y
= c
3
+ d
3
+ 3cd(c + d)= 34 + 3(c +d) = 34 + 3y
Hay
3
y
- 3y = 34

0.5
Vậy
3 3
3( ) 2010Q x y x y= + − + +
=
3 3
3 3 2010x x y y− + − +

= 6 + 34 + 2010 =2050
0.5
Câu 4. (2.0 điểm ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O.
Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng:
1 1 2
AB CD MN
+ =
b) Biết
2 2
;
AOB COD
S a S b= =
tính
ABCD
S
?
N
M
O
D
C

B
A
a)
Chứng minh rằng:
1 1 2
AB CD MN
+ =
Theo định lý Talet do MN song song với AB và CD ta có :
;
MO AM MO DM
CD AD AB AD
= =

⇒
1
MO MO AM MD AD
CD AB AD AD AD
+ = + = =
Tương tự :
1
NO NO
CD AB
+ =
0.5
Vậy :
2
NO MO NO MO
CD AB
+ +
+ =

Hay
2
MN MN
CD AB
+ =
Do đó :
1 1 2
AB CD MN
+ =
0.5
b)
Ta có
à
AOB AOD
AOD COD
S OB S OA
v
S OD S OC
= =
nhưng
OA OB
OC OD
=
do đó
AOB AOD
AOD COD
S S
S S
=
Hay

2 2 2
. .
AOD AOB COD
S S S a b= =
Suy ra :
.
AOD
S a b=
0.5
Câu Đáp án Điể
m
Tương tự :
.
BOC
S a b=
Vậy :
( )
2
2 2
2 .
ABCD
S a b a b a b= + + = +
0.5
Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác PAB có
µ
B
=45
0
;
µ

P
=120
0
trên tia BP lấy điểm C sao cho PC =
2PB. Tính góc
·
ACB
x
D
E
C
A
B
P
Dựng CD
⊥
AP trên tia CD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của CE, suy ra
PE = PC. Tam giác PCE cân tại đỉnh P
0.5
PA là đường cao nên cũng là phân giác của góc CPE,
do đó
·
EPA
=
·
APC
=60
0
nhưng PC = 2PB nên PE = 2PB. Từ đó trong tam giác
EBP có

·
EPB
= 60
0
suy ra
·
0
EBP 90=
0.5
Vì A thuộc tia phân giác của các góc
·
·
EBC v EPCà
nên A cách đều BE và EP,
suy ra A thuộc tia phân giác của góc
·
PEx
0.5
Ta có :
·
·
·
0
xEA AEP PEB 180+ + =
hay
·
0
2AEP 30+
=180
0

Do đó
·
·
0 0
AEP 75 75ACB= ⇒ =
0.5
Hết