Đề thi HSG tỉnh Bảng A môn toán học

Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh
Năm học 2007 - 2008
Môn thi: Toán lớp 12 THPT - bảng A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1.
a) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x

>
ữ

, với
x (0; )
2


.
Bài 2.
a) Cho hai số thực x, y thoả mãn:
x 0
y 1
x y 3

+ =

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x
3
+ 2y
2
+ 3x
2
+ 4xy - 5x.
b) Giải hệ phơng trình:
x y
sinx
e
sin y
sin 2y cos2y sin x cos x 1
x, y 0;
4


=



= +

ữ



Bài 3.
Cho phơng trình:
x
1
x n 0
2008
+ =
(1).
Chứng minh rằng: với mỗi n

N
*
phơng trình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là
x
n
. Xét dãy (x
n
), tìm lim(x
n + 1
- x
n
).

Bài 4.
a) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Biết A(2; - 3), B(3; - 2)
và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3x - y - 8 = 0.
Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng cho đờng tròn (C) có tâm O bán kính R và đờng thẳng d tiếp xúc(C)
tại điểm A cố định. Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn (C) kẻ tiếp tuyến MT tới đờng tròn
(C) (T là tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Chứng minh rằng đờng tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố
định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH.
Hết
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ SBD:................................
Đề chính thức