Đề và đáp án HSG Toán 8 cực hay

Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn
b) Đặt A = n
3
+ 3n
2
+ 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá
trị nguyên dơng của n.
c) Nếu a chia 13 d 2 và b chia 13 d 3 thì a
2
+b
2
chia hết cho 13.
Câu2 : Rút gọn biểu thức:
a) A=
))(( caba
bc

+
))(( abcb
ca

+
))(( bcac
ab

b) B =
3
3
3
6
6

6
11
2
11
x
x
x
x
x
x
x
x
++






+







+

+
Câu 3: Tính tổng: S =
3.1
1
+
5.3
1
+
7.5
1
+ +
1
2009.2011
Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011. Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z :

2011x y z
xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1
+ +
+ + + + + +
Câu 5: Giải phơng trình:

69 x 67 x 65 x 63 x 61 x
5
1942 1944 1946 1948 1950

+ + + + =
Câu 6: Cho

ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC . Một góc
ã
xMy
= 60
0

quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E .
Chứng minh :
a) BD.CE=
4
2
BC
b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của
ã
BDE
và
ã
CED
.
c) Chu vi

ADE không đổi.
Đáp án và biểu điểm
Câu Sơ lợc lời giải Biểu
điểm
1
a, Thực hiện chia

2
n n 1
m
n 1
+ +
=
+
= n +
1
n 1
+
0.5
Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1 0.5
Hay n + 1 {1; -1 }. Khi đó : n + 1 = 1 n = 0 Z ( t/m)
n + 1 = -1 n = -2 Z (t/m)
Với n = 0 m = 1 . Với n = -2 m = - 3 . Vậy
0.5
b, A = n
3
+ 3n
2
+ 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1)
3
+2(n+1) =
= n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) 0.5
Khi đó : 3(n+1)
M
3
n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là
bội của 3

0.5
c, a = 13k +2, b = 13q +3 0.5
a
2
+ b
2
= ( 13k +2 )
2
+ ( 13q + 3)
2
= = 13( 13k
2
+4k +13 q
2
+ 4q +1)
M
13 1
2
a) A=
bc ca ab
(a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c)
+

(đổi dấu)
= . =
(a b)(a c)(b c)
(a b)(a c)(b c)


= 1

b) Ta có:
6
1
x
x

+
ữ

=
2
3
3
1 1
(x ) 3(x )
x x

+ + +
ữ

;
( )
2 2
2
6 3 3
6 3 3
1 1 1
x x x 2
x x x

+ = + = +
ữ ữ

Tử thức:
6
6
6
1 1
x x 2
x x

+ +
ữ ữ

=
2
3
3
1 1
(x ) 3(x )
x x

+ + +
ữ

-
2
3
3
1

x
x

+
ữ

=
3
3
1 1 1
3 x 2 x 3 x
x x x


+ + + +
ữ ữ ữ



Mộu thức:
3
3
3
1 1
x x
x x

+ + +
ữ

=
3
3
1 1
2 x 3 x
x x

+ + +
ữ ữ

Rút gọn ta có: B =
)
1
(3
x
x +
4
3
S =
1 1 1 1 1 1 1 1 1005
(1 ) (1 )
2 3 3 5 2009 2011 2 2011 2011
+ + + = =
2
4
2011x y z
2011 2011x xy xyz y yz 1 z zx
+ +
+ + + + + +

=
2
xy.xz y z
xyz x yz xy xyz y yz 1 z zx
+ +
+ + + + + +
=
)1(
.
++ zxzxy
xzxy
+
zxz ++1
1
+
zxz
z
++1
=
zxz
xzz
++
++
1
1
= 1 không đổi
2
5
69 x 67 x 65 x 63 x 61 x
1 1 1 1 1 0

1942 1944 1946 1948 1950


+ + + + + + + + + =
ữ ữ ữ ữ ữ

0.5
(2011 x)
1 1 1 1 1
( )
1942 1944 1946 1948 1950
+ + + +
= 0
1
2011 - x = 0 ( vì
1 1 1 1 1
0
1942 1944 1946 1948 1950
+ + + + >
) x = 2011.
0.5
6
Vẽ hình
a,Chứng minh
BMD


CEM

Vì BM = CM =

BC
2


BD.CE =
2
BC
4

b, Chứng minh
BMD
MED


Từ đó suy ra
1 2

D D=
, do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK.
Chu vi bằng 2.AH .
Kết luận .

0,5
2.5
1.5
1.5
Chú ý: Có nhiều cách khác nhau , nhng có chung 1 kết quả.

3
2
1
2
1
x
y
E
D
M
C
B
A