Bài tiểu luận môn phương pháp tính nhóm 01

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TIỂU LUẬN
ĐỀ TÀI: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CUA HÀM ĐA THỨC
BẰNG CÔNG THỨC NỘI SUY NEWTON
• Giáo viên hướng dẫn: TS Trònh Công Diệu
• Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Thu Trang
Mục lục:
PHẦN A: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề :
II. Mục tiêu của đề tài :
PHẦN B: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h :
II. Các dạng biểu diễn đa thức:
III. Mệnh đề :
IV. Định lý về tính duy nhất của đa thức:
PHẦN C: PHÉP NỘI SUY – ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
I. Sai phân:
I.1. Định nghĩa:
I.2. Công thức tính sai phân:
I.3. Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm
0
x
:
II. Tỉ sai phân:
II.1. Định nghĩa:
II.2. Các tính chất của tỉ sai phân:
II.3. Bảng tính tỉ sai phân các cấp của hàm f tại điểm
0

x
:
III. Công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:
IV. Công thức nội suy Newton thứ nhất:
IV.1 Đa thức nội suy Newton :
IV.2 Công thức nội suy Newton thứ nhất
IV.3 Công thức nội suy Newton thứ hai
V. Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc,
trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất:
V.1. Thuật toán dạng bảng:
V.2. Thuật toán dạng mã giả :
VI. Thuật toán chuyển công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc suy
rộng sang chính tắc:
VI.1. Thuật toán dạng bảng:
VI.2. Thuật toán dạng mã giả:
VII. Một số ví dụ:
PHẦN D:
SỬ DỤNG CÔNG THỨC NEWTON XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA
HÀM ĐA THỨC KHI CÁC MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU
I. Thuật toán chuyển bài toán có các mốc nội suy không cách đều về bài toán
có mốc nội suy đều. Sau đó sử dụng công thức Newton xác định công thức
của hàm đa thức:
I.1 Thuật toán 1:
I.2 Thuật toán 2:
I.3 Ví dụ :
II. Thuật toán xác định công thức của hàm số trên cơ sở dùng công thức nội
suy Newton đối với bài toán có mốc nội suy không cách đều:
II.1 Thuật toán dạng bảng:
II.2 Thuật toán dạng mã giả:
PHẦN E: NHẬN XÉT

PHẦN A: MỞ ĐẦU
III. Đặt vấn đề :
• Trong toán học, ta thường gặp những bài toán khảo sát và tính giá trị của hàm số y = f(x) nhưng
trên thực tế, nhiều trường hợp ta không xác định biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được
những giá trị rời rạc: y
0
, y
1
, … y
n
tại các điểm tương ứng x
0
, x
1
, … x
n
. (Các giá trị này được
cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán). Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm số tại tất cả
các điểm còn lại. Muốn vậy, cần xây dựng hàm
( )g x
sao cho:
Bài toán xây dựng hàm
( )g x
gọi là bài toán nội suy.
Hàm
( )g x
gọi là hàm nội suy của
( )f x
trên
[ ]

,a b
, các điểm
i
x
,
0,i n=
là các mốc nội suy.
• Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu thức của hàm
( )f x

nhưng nó quá phức tạp. Khi đó cần tìm hàm nội suy xấp xỉ với hàm
( )f x
để việc khảo sát và
tính giá trị đơn giản hơn.
IV. Mục tiêu của đề tài :
• Với P(x) là một hàm đa thức bậc n theo biến x. Giả sử biết giá trị của P tại (n+1) điểm
i
x
(
0,i n=
) phân biệt nhau đôi một sao cho:
( ) ( )
i i i
P x y f x
= =
,
0,i n=
Mục tiêu của Tiểu luận là sử dụng công thức nội suy Newton thứ nhất để xác định công thức
của hàm P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng, sau đó chuyển công thức trên về dạng chính tắc.
• Trong thực tế, các điểm

i
x
có thể được phân bố cách đều hoặc không. Tiểu luận trình bày cách
giải quyết cả hai trường hợp: các nốc nội suy cách đều và các nốc nội suy không cách đều.
PHẦN B: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Lũy thừa suy rộng bậc n của số thực a với bước nhảy h :
Cho
*
, ,a h n
∈ ∈
¥¡
. Ta gọi lũy thừa suy rộng bậc
n
của số thực
a
với bước nhảy
h
là số:
[ ]
( ) ( ), 0,
( ) ( ), , ,
i i i
i i i i
g x y f x i n
g x y f x x a b x x

= = =


≈ = ∈ ≠



Quy ước: Trường hợp h =1 ta viết a
(n)

thay cho a
(n;h)

và đọc vắn tắt là lũy thừa suy rông bậc n
của a
II. Các dạng biểu diễn đa thức:
Cho
( )
P x
là đa thức bậc n theo biến x
• Dạng chính tắc của P(x) là:
( )
0
n
i
i
i
P x a x
=
=
∑
với
0 1
,a , ,a
n

a
là các hằng số.
• Dạng chuẩn tắc của
( )
P x
là:
( ) ( )
0
0
n
i
i
i
P x b x x
=
= −
∑
với
0 1
, , ,
n
b b b
là các hằng số.
• Dạng chính tắc suy rộng của
( )
P x
là:
( )
( )
0

n
i
i
i
P x c x
=
=
∑
với
0 1
,c , ,c
n
c
là các hằng số.
• Dạng chuẩn tắc suy rộng của
( )
P x
là:
( ) ( )
( )
,
0
0
n
i h
i
i
P x d x x
=
= −

∑
với
0 1
,d , ,d
n
d
là các hằng số.
Nhận xét : Dạng chuẩn tắc suy rộng là dạng tổng quát của 3 dạng trên:
 Khi
0
0, 0x h= =
thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc.
 Khi
0
0, 1x h= =
thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc suy rộng.
 Khi
0h
=
thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chuẩn tắc.
Do vậy nếu xây dựng được thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc
suy rộng ta sẽ chuyển được về dạng chính tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc.
III. Mệnh đề :
Mọi đa thức hệ số thực có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc suy rộng.
Chứng minh:
Giả sử
( )
P x
là đa thức bậc
n

trong vành đa thức hệ số thực
[ ]
x¡

Chọn
0
,x h
;là các số thực tùy ý. Ta sẽ chứng minh hệ các đa thức
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
{ }
1; 2; ;
0 0 0
1, , , ,
h h n h
x x x x x x
− − −
là một cơ sở của
[ ]
n
x¡

(
[ ]
n
x¡

là không gian vectơ các đa thức hệ số thực bậc không quá
n
)
Vì hệ trên gồm
( )
1n
+
đa thức thuộc vào
[ ]
n
x¡
, nên nếu ta chứng minh hệ trên độc lập
tuyến tính thì nó chính là cơ sở của
[ ]
n
x¡
.
Giả sử tồn tại
0 1
, , ,
n
a a a
∈
¡
không đồng thời bằng 0 sao cho:

( )
[ ]
;
0

0
i h
n
i
i
a x x
=
− = θ
∑
(đa thức không)
( )
[ ]
;
0
0
0,
n
i h
i
i
a x x x
=
⇔ − = ∀ ∈
∑
¡

Gọi
{ }
0
max 0 : 0

i
i i n a
= ≤ ≤ ≠
thì
( ) ( )
[ ]
;
0
0
i h
n
i
i
P x a x x
=
= −
∑
có bậc là
0
i n
≤
, nghĩa là
( )
P x

không thể là đa thức không, ta gặp mâu thuẫn.
Vậy hệ đa thức trên độc lập tuyến tính trong
[ ]
n
x¡

nên là một cơ sở của
[ ]
n
x¡
.
Do
( )
[ ]
n
P x x
∈
¡
nên
( )
P x
có biểu diễn tuyến tính duy nhất theo hệ trên.
Tức là
( ) ( )
[ ]
;
0
0
! , 0, :
n
i h
i i
i
a i n P x a x x
=
∃ ∈ ∈ = −

∑
¡
, trong đó
0
,x h
được chọn tùy ý.
Vậy: hệ
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
{ }
1; 2; ;
0 0 0
1, , , ,
h h n h
x x x x x x
− − −
là độc lập tuyến tính.
Nhận xét:
 Mọi đa thức hệ số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc suy rộng nên mọi đa
thức hệ số thực đều biểu diễn được dưới dạng chính tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc.
 Với mỗi
( )
[ ]
0
, ,x h P x x∈ ∈¡ ¡
tồn tại duy nhất biểu diễn:

( ) ( )
[ ]
;
0
0
, , 0,
n
i h
i i
i
P x d x x d i n
=
= − ∈ ∀ ∈
∑
¡
IV. Định lý về tính duy nhất của đa thức:
Cho bộ
( , )
i i
x y
∈ ×
¡ ¡
(
0,i n
=
). Nếu
i j
x x
≠
khi

i j
≠
(
, 0,i j n
=
) thì tồn tại duy nhất một đa thức
( )P x
bậc nhỏ hơn hoặc bằng n sao cho:
( ), 0,
i i
y P x i n
= =
.
Chứng minh:
Giả sử
0
( )
n
j
j
j
P x a x
=
=
∑
, ta có:
0
,
n
j

i j i
j
y a x
=
=
∑

0,i n=
(*)
(*) là hệ n + 1 phương trình theo n +1 ẩn
, 0,
j
a j n
=
.
Đa thức
( )P x
tồn tại duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có duy nhất nghiệm.
Gọi A là ma trận hệ số của hệ (*). Ta có:
0 0
1 1
1
1
1
n
n
n
n n
x x
x x

A
x x
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
 
K
K
K K K K
K
( )
, 0,
det
i j
i j n
i j
A x x
=
>
= −
∏
(Định thức Vandermond)
mà
i j
x x
≠

khi
i j
≠
(
, 0,i j n
=
)
nên
det 0A
≠
Suy ra hệ phương trình (*) là hệ Cramer. Do đó hệ (*) có duy nhất nghiệm hay đa thức
( )P x
tồn
tại duy nhất.
PHẦN C: PHÉP NỘI SUY – ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
I. Sai phân:
I.1 Định nghĩa:
Khi các mốc nội suy cách đều nhau một khoảng h, ta có khái niêm sai phân bước nhảy h
của hàm số f tại x
0
như sau:
• Định nghĩa 1:
Cho f là hàm số thực, biến số thực:
0
,x h
∈
¡
 Giả sử f xác định tại
0 0
,x x h

+
. Sai phân của f tại
0
x
, bước nhảy h là số định bởi công
thức:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0h
f x f x h f x
∆ = + −
(Để đơn giản ghi
( )
0h
f x
∆
thay cho
( ) ( )
0h
f x
∆
)
 Hàm số thực định bởi
: ( )
h h
f x f x
∆ ∆
a
được gọi là hàm sai phân của f với bước nhảy h
 Toán tử sai phân bước nhảy h là ánh xạ:
:

h h
f f∆ ∆a
Chú ý: Khi f là hàm hằng, ta có:
( ) ( )
0
0
h
f x∆ =
tại mọi x.
• Định nghĩa 2:
 Sai phân cấp hai của f tại
0
x
, bước nhảy h là số định bởi công thức:
( ) ( ) ( )
2
0 0h h h
f x f x
∆ = ∆ ∆
 Hàm số thực định bởi:
( )
2 2
:
h h
f x f x
∆ ∆
a
được gọi là hàm sai phân cấp hai của f với bước
nhảy h
 Toán tử sai phân cấp hai, bước nhảy h là ánh xạ:

2 2
:
h h
f f
∆ ∆
a
• Định nghĩa tương tự cho các sai phân cấp cao hơn.
• Quy ước :
 Khi cần nhấn mạnh cấp của sai phân, ta gọi sai phân của hàm f trong định nghĩa là sai
phân cấp một của hàm f, hơn nữa để đơn giản trong trình bày, ta quy ước gọi hàm f là sai
phân cấp 0 của hàm f. Kí hiệu: sai phân cấp i, bước nhảy h của hàm f là:
i
h
f
∆
;
0,i n
=
 Khi h = 1 ta bỏ bớt nhóm từ “bước nhảy h” trong các thuật ngữ trên và kí hiệu:
f
∆
thay
cho
1
f
∆
I.2 Công thức tính sai phân:
• Mệnh đề 1 : (Tính chất của sai phân)
i.
( )

h h h
f g f g
α β α β
∆ + = ∆ + ∆
với
,
α β
là các hằng số.
ii.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
h h h h h
f g x f x h g x f x g x f x g x f x g x h
∆ = + ∆ + ∆ = ∆ + ∆ +
iii.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
h h
h
f x g x - f x g x
f
x =
g
g x g x+ h
 
 ÷

 
∆ ∆
∆
iv.
( )
m n m n
f f
+
∆ ∆ = ∆
với
, , , 0m n m n
∈ >
¢
v.
1
( ) ( ) ( )
h
b
x a
f x f b f a
−
=
= −
∑
V

vi. Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:
Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số
Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng không
• Mệnh đề 2: ( Sai phân của hàm lũy thừa ) :

i. Cho
( ) ( )
,
n
f x x n h
= ∈ ∈
¥ ¡
. Khi đó:
( )
! ,
n n
h
f x n h x
∆ = ∀
và
( )
0,
i
h
f x i n
∆ = ∀ >
ii. Cho
( )
( )
( )
,
*
0 0
, ,
n h

f x x x n x h
 
 
= − ∈ ∈
¥ ¡
. Khi đó:
( )
( )
1,
0
n h
n
f x nh x x
 
 
−
∆ = −
Chứng minh:
i. Ta chứng minh
( )
0,
i
h
f x i n
∆ = ∀ >
(*) bằng phương pháp quy nạp
Với
1n
=
, ta có

( )f x x=
, ta có :
2
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) 0
h
h h h h
f f x h f x h
f x f x h
∆ = + − =
∆ = ∆ ∆ = ∆ =
Do đó (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với
1n k
= >
, tức là:
( )
k
f x x
=
thì
( ) 0
i
h
f x
∆ =
,
i k
∀ >
Ta chứng minh :

( )
1k
f x x
+
=
thì
( )
0
i
h
f x
∆ =
,
1i k
∀ > +

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 1
1
1
k
k
j
k j k j
h k
j
f x f x h f x x h x C h x

+
+
+ + −
+
=
∆ = + − = + − =
∑
Suy ra:
( ) ( )
( )
( )
1 1
2 1 1 1 1 1
1 1
1 1
0
k k
j j
k k k j k j j k k j
h h h h k k h
j j
f x f x C h x C h x
+ +
+ + + + − + + −
+ +
= =
 
 ÷
 ÷
 

∆ = ∆ ∆ = ∆ = ∆ =
∑ ∑
(Do giả thiết quy nạp)
Vậy: ta đã chứng minh được
( )
0,
i
h
f x i n
∆ = ∀ >
Ta chứng minh:
( ) !
n n
h
f x n h
∆ =
(**) bằng phương pháp quy nạp
Với
0, ( ) 1n f x
= =
,
0
0
( ) ( ) 1 0!
h
f x f x
h
∆ = = =
Với
0n k

= >
, giả sử (**) đúng, tức là:
( ) !
k k
h
f x k h
∆ =
với
( )
k
f
x x
=
(1)
Ta chứng minh (**) đúng với
1n k
= +
, tức là:
1 1
( ) ( 1)!
k k
h
f x k h
+ +
∆ = +
với
1
( )
k
f x x

+
=
(2)
Ta có:
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
h
k k
k k i i k i i
i
k k
i i
f x x h x C h x C h g x
+ +
+ + + −
+ +
= =
∆ = + − = =
∑ ∑
Với
1
( ) , 1, 1
k i
i
g x x i k
+ −
= = +

thì
deg( ) ,
i
g k
≤

1, 1i k= +
Theo giả thiết quy nạp và (*) ta có:
! ,( 1)
0, 2, 1
( )
k
k
i
h
k h k
i k
g x





=
=
= +
∆
Suy ra:
1
1 1 1 1

1
1 1
1
( ) ( ( )) ( ) ( ) ( 1). . !. ( 1)!.
k
k k i i k k k k
i
h h h k h k h
i
f x f x C h g x C h g x k h k h k h
+
+ +
+ +
=
∆ = ∆ ∆ = ∆ = ∆ = + = +
∑
Do đó (2) đúng
Vậy ta đã chứng minh được:
( ) !.
n n
h
f x n h
∆ =
ii. Giả sử
[ . ]
0
( ) ( )
n h
f x x x
= −

=
1
0
0
( )
n
i
x x ih
−
=
− −
∏
Suy ra:
( ) ( ) ( )
h
f x f x h f x
∆ = + −
1 1
0 0
0 0
( ) ( )
n n
i j
x h x ih x x jh
− −
= =
= + − − − − −
∏ ∏

1 1

0 0
0 0
( ( 1) ) ( )
n n
i j
x x i h x x jh
− −
= =
= − − − − − −
∏ ∏

0 0 0 0 0 0 0 0
( )( )( 3 ) ( ( 1) ) ( )( )( 2 ) ( ( 1) )x x h x x x x h x x n h x x x x h x x h x x n h
= − + − − − − − − − − − − − − − − −
0 0 0 0 0 0
[( )( )( 2 ) ( ( 2) )][( ) ( ( 1) )]x x x x h x x h x x n h x x h x x n h
= − − − − − − − − − + − − − −
2
0
0
( ). .
n
i
x x ih n h
−
=
= − −
∏
[ 1, ]
0

( ) . .
n h
x x n h
−
=
−
I.3 Bảng sai phân các cấp của hàm f tại điểm
0
x
:
Giả sử cần tính sai phân các cấp 1, 2, , n của hàm f, bước nhảy h tại
0
x
.
Đặt:
( )
0
; 1,
; 0,
i
i i
x x ih i n
y f x i n





= + =
= =

.
Khi đó, sai phân các cấp của hàm f tại
0
x
được xác định bởi bảng sau:
i
x
( )
i i
y f x
=
( )
h i
f x
∆
( )
2
h i
f x
∆
…
( )
1n
h i
f x
−
∆
( )
n
h i

f x
∆
0
x
0
y
0 1 0
t y y
= −
0 1 0
u t t= −
…
0 1 0
s r r= −
0 1 0
z s s= −
1
x
1
y
1 2 1
t y y= −
1 2 1
u t t
= −
…
1 2 1
s r r
= −
2

x
2
y
2 3 2
t y y
= −
2 3 2
u t t= −
…
3
x
3
y
3 4 3
t y y
= −
3 4 3
u t t= −
…
… … … … …
3n
x
−
3n
y
−
3 2 3n n n
t y y
− − −
= −

3 2 3n n n
u t t
− − −
= −
2n
x
−
2n
y
−
2 1 2n n n
t y y
− − −
= −
2 1 2n n n
u t t
− − −
= −
1n
x
−
1n
y
−
1 1n n n
t y y
− −
= −
n
x

n
y
Ví dụ 1: Lập bảng sai phân các cấp của hàm f tại
0
x
, biết:
i
x
2 4 6 8 10
i
y
28 90 256 540 824
Giải: Áp dụng công thức tính sai phân, ta có bảng sai phân các cấp của hàm f tại
0
x
:
i
x
i
y
( )
i
h
f x∆
( )
2
h i
f x∆
( )
3

h i
f x∆
( )
4
h i
f x∆
2 28 62 104 14 -132
4 90 166 118 -118
6 256 284 0
8 540 284
10 824
II. Tỉ sai phân:
Khi các mốc nội suy không cách đều, ta có khái niêm tỉ sai phân của hàm số f tại x
i
như sau:
II.1 Định nghĩa:
Xét hàm
( )y f x=
xác định trên đoạn
[ ; ]a b
;
( ) ; 0,
i i
y f x i n= =
; các mốc nội suy:
0 1 2

n
a x x x x b== < < < <
 Tỉ sai phân cấp một của hàm

f
tại x
i
kí hiệu là:
1
1
1
( ) ( )
[ , ] ; 1,
i
i
i
i
i
i
f x f x
f x x i n
x x
+
+
+
−
= =
−

 Tỉ sai phân cấp hai của hàm f tại x
i
kí hiệu là:
2 1 1
2 1

2
; 1, 2
[ , ] [ , ]
[ , , ]
i
i i i
i
i i
i
i
i n
f x x f x x
f x x x
x x
+ + +
+ +
+
= −
−
=
−
(Tỉ sai phân cấp hai của hàm f là tỉ sai phân của tỉ sai phân cấp một)
…
 Tỉ sai phân cấp n của hàm f tại x
0
kí hiệu là:

1 0
0
1 1 1

1 1
0
, , ,
,
[ , ] [ , , ]
[ , , , ]
n
n n
n
n
n
x x
x
f x x f x x
f x x x
x x
− −
−
−
=
−
• Nhận xét: Muốn tính tỉ sai phân cấp k của hàm f tại x
i
cần có k+1 mốc nội suy
II.2 Các tính chất của tỉ sai phân:
i.
0 0 0
1 1 1
( )[ , , , ] [ , , , ] [ , , , ]
k k k k k k

f g x x x f x x x g x x x
− − −
+ = +
ii.
0 0
1 1
( )[ , , , ] . [ , , , ]
k k k k
cf x x x c f x x x
− −
=
iii.
1 1
0, 1[ , ] [ , ] ;
i i
i i
nf x x f x x i
+ +
−= =
1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
, , , , 1, 1

, , , , , , , ,
[ ] [ ] ;
[ ] = [ ]
i i i i i i
n n n n
nf x x x f x x x i
f x x x x f x x x x

+ − − +
− −
−= =
iv. Tỉ sai phân của hằng số bằng không.
v. Tỉ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:
Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp m là hằng số
Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng không
II.3 Bảng tính tỉ sai phân các cấp của hàm f tại điểm
0
x
:
Tỉ sai phân cấp k tại x
i
viết là: TSP
k
( )
i
x
Ta có bảng tỉ sai phân các cấp của hàm f tại
0
x
được xác định bởi bảng sau:
i
x
i
y
TSP
1
( )
i

x
TSP
2
( )
i
x
TSP
3
( )
i
x
…
TSP
(n – 1)
( )
i
x
TSP
n
( )
i
x
0
x
0
y
1 0
0
1 0
y y

t
x x
-
=
-
1 0
0
0 2 0
t t
u
x x
+
-
=
-
1 0
0
0 3 0
u u
v
x x
+
-
=
-
1 0
0
1 0n
r r
s

x x
-
-
=
-
1 0
0
0n
s s
z
x x
-
=
-
1
x
1
y
2 1
1
2 1
y y
t
x x
-
=
-
2 1
1
1 2 1

t t
u
x x
+
-
=
-
2 1
1
1 3 1
u u
v
x x
+
-
=
-
2 1
1
1n
r r
s
x x
-
=
-
2
x
2
y

3 2
2
3 2
y y
t
x x
-
=
-
3 2
2
2 2 2
t t
u
x x
+
-
=
-
3 2
2
2 3 2
u u
v
x x
+
-
=
-
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3n
x
-
3n
y
-
2 3
3
3
n n
n
n n
t t
v
x x
- -

-
-
-
=
-
2n
x
-
2n
y
-
1 2
2
2
n n
n n
t t
u
x x
- -
-
-
=
-
1n
x
-
1n
y
-

1
1
1
n n
n
n n
y y
t
x x
-
-
-
-
=
-
n
x
n
y
III. Công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:
Khi các mốc nội suy cách đều, ta có công thức liên hệ giữa tỉ sai phân và sai phân:
( ) ( )
( )
1
1
1
( )
( ) ( )
[ , ]
i i

h i
i i
i
i
i
i
i
i
f x h f x
f x
x h x h
f x f x
f x x
x x
+
+
+
+ -
D
= =
+ -
-
=
-
;
0, 1i n= -
( ) ( )
1
2 1 1
2 1

2
1
2
[ , ] [ , ]
[ , , ]
h i h i
i
i i i
i
i i
i
i
f x f x
h h
f x x f x x
f x x x
x x
+
+ + +
+ +
+
∆ − ∆
 
==
 ÷
 
−
=
−

( ) ( )
2 2
2
1
2 2!
h i h i
f x f x
h h h
æ ö
D D
÷
ç
÷
= =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
;
1, 2i n= -
[ ]
( )
2 1 1 1 0
0
0
1 1 0
, , , ,
, , , ,

!
i
i
i
i
h
i
i
i
f x x x f x x x
x x
f x
f x x x x
i h
-
-
é ù
ë û
é ù
ê ú
ë û
-
=
-
D
=
;
3,i n=
[ ]
( )

2 1 1 1 0 0
1 1 0
0
, , , ,
, , , ,
!
n
n
n
h
n
n
n
n
f x x x f x x x
f x
f x x x x
x x n h
-
-
é ù
ë û
é ù
ë û
-
D
= =
-
IV. Công thức nội suy Newton:
IV.1) Đa thức nội suy Newton:

Cách tính của Newton dựa trên định nghĩa tỉ sai phân:
0
0
0
( ) ( )
[ , ]
f x f x
x x
f x x
−
−
=


0 0 0
( ) ( ) ( ) [ , ]f x f x x x f x x
+ −
=
(1)
0 1
0 0 1
1
,
, ,[ ] [ ]
[ , ]
f x x f x x
x x
f x x x
−
−

=


0 0 1 1 0 1
[ , ] [ , ] ( ) [ , , ]f x x f x x x x f x x x
= + −
Tương tự:
0 1
2
0 1 0 1 2
2
,
, ,
,
, ,
[ ]] [ ]
[ , ]
x
f x x x f x x x
x x
f x x x
−
−
=

0 1 0 1 2 2 0 1 2
, , ,[ , ] [ , ] ( ) [ , , ]f x x x f x x x x x f x x x x
= + −
…
0 1

1
1
0 1 0 1 1
,
, , , , , ,
, , ,
, ,
[ ]] [ ]
[ , ]
n n
n n
n
n
x x
x x
f x x x f x x x
x x
f x x x
−
−
−
−
−
=

0 1 0 1 0 1
1
, , , , , , ,
[ , ] [ , ] ( ) [ , , ]
n n n n

f x x x x f x x x x x f x x x x
−
= + −
Lần lượt thay vào (1) ta có:
0 0 0 1 0 1 0 1 2
0 1 1 0 1
0 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]
( )( ) ( ) [ , , , ]
+( )( ) ( )( ) [ , , , , ]
n n
n n n
f x f x x x f x x x x x x f x x x
x x x x x x f x x x
x x x x x x x x f x x x x
−
−
= + − + − − +
+ − − −
− − − −
(1’)
Trong công thức (1’) nếu đặt:
0 0 0 1 0 1 0 1 2
0 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]
( )( ) ( ) [ , , , ]
n n
n
x f x x x f x x x x x x f x x x
x x x x x x f x x x

P
−
= + − + − − +
+ − − −
và
0 1 1 0 1
( ) ( )( ) ( )( ) [ , , , , ]
n n n
x x x x x x x x x f x x x x
R
−
= − − − −

thì
( ) ( ) ( )
n
f x x xP R
= +
Từ kết quả trên, ta có:

0,
0,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
i i i
i i i
n
n
n
ny

f x x x i
x x i
P R
P R
⇔ =
= + =
+ =
Mặt khác:
0,
( ) 0 ,
i
n
x i
R
= =
nên
0,
( ) ,
i i
n
n
y
x i
P
=
=

Vậy công thức xác định
( )
n

xP
được viết lại:
0
1
1 0
0
0
( ) ( ) [ , , , ] ( )
i
n
n
i j
i
i
j
x f x f x x x x x
P
−
−
=
=
= + −
∑
∏
(2)
IV.2) Công thức nội suy Newton thứ nhất:
• Định lí : Cho bộ
( , )
i i
x y

∈ ×
¡ ¡
trong đó
0i
x x ih= +
(
, 0,h i n
∈ =
¡
). Giả sử P là một hàm đa
thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sao cho
( )
i i
P x y=
;
0,i n=
. Khi đó:
( )
( ) ( )
,
0 0
0
1
!
n
i h
i
h
i
i

P x P x x x
i h
 
 
=
 
 ÷
 
= ∆ −
∑
(N1)
(N1) được gọi là công thức nội suy Newton thứ nhất của hàm đa thức.
Chứng minh:
Ta xây dựng công thức tính P(x) ở dạng:
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
, 1, 2, ,
0 0 1 0 2 0 0
0
( )
n
i h h h n h
i n
i

P x d x x d d x x d x x d x x
=
= − = + − + − + + −
∑
Như vậy, chỉ cần xác định
( 0, )
i
d i n
=
. Dễ thấy:
( )
0 0
d P x
=
.
• Xác định
1
d
: Theo mệnh đề 1 và 2, ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0, 1, 1,
1 0 2 0 0
1
0
0 1 1
.1. .2. . .
h h n h

n
h
h
h
P x d h x x d h x x d n h x x
P x
P x d h d
h
     
     
−
∆ = − + − + + −
∆
⇒ ∆ = ⇒ =
1 4 2 4 3
• Xác định
2
d
:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0, 1, 2,
2 2 2 2
2 0 3 0 0
1

2
0
2 2 2
0 2 2 0
2 2
.2.1. 3.2. . . 1 .
1
.2.1.
2.1. 2!
h h n h
n
h
h
h h
P x d h x x d h x x d n n h x x
P x
P x d h d P x
h h
     
     
−
∆ = − + − + + − −
∆
⇒ ∆ = ⇒ = = ∆
1 4 2 4 3
• Xác định
3
d
:
( )

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0, 3,
3 3 3
3 0 0
1
3
0
3 3 3
0 3 3 0
3 3
.3.2.1. 1 2 .
1
.3.2.1.
3.2.1. 3!
h n h
n
h
h
h h
P x d h x x d n n n h x x
P x
P x d h d P x
h h
   
   

−
∆ = − + + − − −
∆
⇒ ∆ = ⇒ = = ∆
1 4 2 4 3
• Tiếp tục quá trình trên ta có:
( )
0
1
!
i
i
h
i
d P x
i h
= ∆
Khi đó:
( )
( ) ( ) ( )
, ,
0 0 0
0 0
1
!
n n
i h i h
i
i
h

i
i i
P x d x x P x x x
i h
   
   
= =
 
 
=
 ÷
 ÷
 
 
= − ∆ −
∑ ∑
IV.3) Công thức nội suy Newton thứ hai:
Từ công thức trên:
( )
( ) ( )
,
0 0
0
1
!
n
i h
i
h
i

i
P x P x x x
i h
 
 
=
 
 ÷
 
= ∆ −
∑
(N1)
Nếu đặt
n
n
x x
i x x ih
h
⇒
−
= = +
thì từ công thức (N1) ta có :
[ , ]
0
( 1)
1
( ) ( )( )
!
n
i h

i
n n
n i
i
h
i
i
x f x x x
i h
hP
−
=
+
−
= −
∑
V
(N2)
(N2) được gọi là công thức nội suy Newton thứ hai của hàm đa thức.
• Theo công thức nội suy Newton ta có được công thức tính P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc
suy rộng. Sau đó, dùng thuật toán ở chủ đề 2 để đưa công thức trên về dạng chính
tắc.
V. Thuật toán xác định công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc,
trên cơ sở công thức nội suy Newton thứ nhất:
V.1 Thuật toán dạng bảng:
• Bước1: Tính các sai phân cấp i:
( )
0
i
h

P x∆
;
0,i n=
• Bước 2: Gán
i
d
:=
0
y
; Tính các
( )
0
1
!
i
i
h
i
d P x
i h
= ∆
;
1,i n=
• Xác định công thức của hàm P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng:
( )
( )
,
0
0
n

i h
i
i
P x d x x
 
 
=
 
 ÷
 
= −
∑
V.2 Thuật toán dạng mã giả:
 Input:
0 1
, , ,
n
x x x
i
x
( )
i i
y P x
=
( )
h i
P x
∆
( )
2

h i
P x
∆
…
( )
1n
h i
P x
−
∆
( )
n
h i
P x
∆
1
!
i
i
m
i h
=
( )
0
1
!
i
i h
i
d P x

i h
= ∆
0
x
0
y
0 1 0
t y y
= −
0 1 0
u t t= −
…
0 1 0
s r r= −
0 1 0
z s s= −
1
0 0
d y
=
1
x
1
y
1 2 1
t y y= −
1 2 1
u t t
= −
…

1 2 1
s r r
= −
1
m
1 1 0
.d m t
=
2
x
2
y
2 3 2
t y y= −
2 3 2
u t t= −
…
2
m
2 2 0
.d m u
=
3
x
3
y
3 4 3
t y y= −
3 4 3
u t t= −

… … …
… … … … …
2n
x
−
2n
y
−
2 1 2n n n
t y y
− − −
= −
2 1 2n n n
u t t
− − −
= −
1n
x
−
1n
y
−
1 1n n n
t y y
− −
= −
1n
m
−
1 1 0

.
n n
d m z
− −
=
n
x
n
y
n
m
0
.
n n
d m z
=
0 1
, , ,
n
y y y
 Output:
0 1
, , ,d d dn
 Thuật toán:
• Bước1:
n := số mốc nội suy – 1
0 0
:d y=

{ }

0 0
:d y=
1 0
:h x x−=
• Bước2:
Với mỗi i chạy từ 0 đến n – 1 thực hiện:
1
[ ]
i
i
y yp is
+
−=
{Tính các sai phân cấp 1}

1
:
[0]
h
sp
d =
1 0
1
1 0
:
x x
d
y y−
−
 

 
 
=
• Bước 3:
Với mỗi k chạy từ 2 đến n
Với mỗi i chạy từ 0 đến n – k
[ ] [ 1] [ ]sp i sp i sp i+ −=
:
[0]
!
k
k
k h
sp
d =
{Tính các
2
d
đến
n
d
}
 Từ các
i
d
ta xác định được công thức hàm P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng:
( )
( )
,
0

0
n
i h
i
i
P x d x x
 
 
=
 
 ÷
 
= −
∑
. Sau đó, dùng thuật toán dưới đây đưa công thức dạng chuẩn
tắc suy rộng về dạng chính tắc.
VI. Thuật toán chuyển công thức của hàm đa thức ghi ở dạng chuẩn tắc
suy rộng sang chính tắc:
VI.1 Thuật toán dạng bảng của nhóm 2:
d
n
a''''
n-1
= a'''
n-1
– x
0*

a'''
n

… a''''
1
= a'''
1
–
x
0*
a'''
2
a''''
0
= a'''
0
– x
0*
a'''
1
x
0
a'''
n
= d
n
a'''
n-1
= a''
n-1
– x
1*
a''

n
a'''
1
= a''
1
– x
1*

a''
2
a
0
= d
0
x
1
= x
0
+ h a''
n
= d
n
a''
n-1
= a'
n-1
– x
2*
a'
n

a
1
= d
1
… … … … … …
x
n-1
= x
0
+ (n-1)*h a
n
= d
n
a
n-1
= d
n-1
x
n
= x
0
+ n*h a
n
= d
n
VI.2 Thuật toán dạng bảng dùng sơ đồ Hoorner ngược:
x
i
n n-1 n-2 … 3 2 1 0
n

x
nn n
z d=
1n
x
−
1,
n
n n
z d
−
=
1, 1n n
z
− −
2n
x
−
2,
n
n n
z d
−
=
2, 1n n
z
− −
2, 2n n
z
− −

… … … … …
3
x
3
n
n
z d=
3, 1n
z
−
3, 2n
z
−
…
33
z
2
x
2
n
n
z d=
2, 1n
z
−
2, 2n
z
−
…
23

z
22
z
1
x
1
n
n
z d=
1, 1n
z
−
1, 2n
z
−
…
13
z
12
z
11
z
0
x
0
n
n
z d=
0, 1n
z

−
0, 2n
z
−
…
03
z
02
z
01
z
00
z
b
i
n
n
db =
1n
b
−
2n
b
−
…
3
b
2
b
1

b
0
b
• Diễn giải:
Cột màu xanh (bên trái bảng): các giá trị của
i
x
Cột n: các biến được gán giá trị của
n
d
Đường chéo màu vàng: các biến được gán giá trị của
i
d
;
,0i n=
Dòng màu đỏ (cuối bảng): các giá trị tính được
i
b
;
,0i n=
• Thuật Toán :
 Input:
0 1
, , ,
n
x x x
0 1
, , ,d d dn
 Output:
0 1

, , ,
b
b bn
 Thuật toán:
Với mỗi i tăng từ 0 tới n
:
ii i
z d
=
Với mỗi i tăng từ 0 tới n-1
:
n
in
z d
=
Với mỗi j giảm từ n-1 tới 1
Với mỗi i giảm từ j-1 tới 0
1 1, 1 1,
.
:
ij
i i j i j
z x z z
+ + + +
= − +
:
n n
b d=
Với mỗi i giảm từ n-1 tới 0

0 0, 1 0
.
:
i
i i
b x z z
+
+
= −
VI.2 Thuật toán dạng mã giả:
• Thuật toán 1:
 Input :
0 1
, , , ; ; ;
n
n d d d h
α
{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng
[ , ]
0
(
)
( )
n
n
i h
i
i
x d
x

P
α
=
=
−
∑
}
 Output:
0 1
, , ,
n
b b b

{Đa thức chính tắc có dạng
0

( )
n
n
i
i
i
b
x
x
P
=
=
∑
}

 Thuật toán:
• Bước1:
k:=0
• Bước 2:
: 1
k
k
Z =
;
0
1
:Z
α
= −
• Bước 3:
Với mỗi i chạy từ k +1 đến n
1
: 0
i
Z
−
=
1
1 1
( * )*:
k k k
i
i i
Z k h ZZ
α

−
− −
− +=
Nếu
1k n< −
thì
: 1k k= +

quay lại Bước 2
• Bước 4:

: 1
n
n
Z =
.
Với mỗi i chạy từ 0 đến n

: 0
i
b
=
Với mỗi j chạy từ i đến n

i
*
:
i i j j
Z
d

b b
+
=
• Thuật toán 2:
 Input :
0 1
, , , ;
; ;
n
n d d d h
α

{Đa thức chuẩn tắc suy rộng có dạng
[ , ]
0
(
)
( )
n
n
i h
i
i
x
a x
P
α
=
=
−

∑
}
 Output:
0 1
, , ,
n
b b b
{Đa thức chính tắc có dạng
0

( )
n
n
i
i
i
x b
x
P
=
=
∑
}
 Thuật toán:
Với mỗi k chạy từ 0 đến n – 1 thực hiện:
Với mỗi i lấy giá trị chạy từ 1 đến n – k thực hiện:
1
( ( ). ).
:
n i n i

n i
n i k h
a
a a
α
− −
− +
−
+ − −
=
VII. Một số ví dụ:
1) Ví dụ 1 : Xác định công thức của hàm P(x) bằng công thức nội suy Newton ghi ở dạng chính
tắc, biết:
Giải:
• Áp dụng công thức nội suy Newton để xác định công thức của hàm P(x) ghi ở dạng
chuẩn tắc suy rộng:
i
x
i
y
1
( )P x∆
2
1
( )P x∆
3
1
( )P x∆
1 0
( )

!
i
i
i
P x
d
i h
∆
=
-1 0 1 2 -4 0
0 1 3 -2 1
1 4 1 1
2 5
2
3
−
i
x
-1 0 1 2
i
y
0 1 4 5
Theo công thức nội suy Newton ta có P(x) ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng là:

1,1 2,1 3,1
2
( ) ( 1) ( 1) (x 1)
3
P x x x
     

     
= + + + − +

• Chuyển công thức của hàm P(x) từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc:
(
( )
;
0
0
( )
n
i h
i
i
P x a x x
 
 
 
=
= −
∑
thành
0
( )
n
i
i
i
P x b x
=

=
∑
)
Vậy: P(x) ghi ở dạng chính tắc là:
3 2
2 1 2
( )
3 3 3
P x x x x= − + + −
2) Ví dụ 2 : Xác định công thức của hàm P(x) bằng công thức nội suy Newton ghi ở dạng
chính tắc, biết:
Giải:
3
2x =
3
2
3
d = −
2
1x =
3
2
3
d = −
2
1d =
1
0x =
3
2

3
d = −
5 2
1.( ) 1
3 3
 
 ÷

= − +

−
1
1d =
0
1x = −
3
2
3
d = −
5 2 5
0.( )
3 3 3
 
 ÷

− − +

=
2
1 0( ) 1

3
 
 ÷

= − −

+
0
0d =

i
b
3
2
3
b = −
2
2 5
( 1). )1 (
3 3
b = − − − +
 
=
 ÷
 
1
2
( 1).( ) 1
3
1

3
b = −
 
=
 ÷

− +

−
0
2 2
( 1)( ) 0
3 3
b
 
= − = − − − +
 ÷
 
i
x
4 6 8
i
y
93 259 569