Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 1

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH









































Bài thu hoạch môn:
TỐI ƯU PHI TUYẾN

Chủ đề:
HÀM KHẢ VI VÀ TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY
HOẠCH KHÔNG KHẢ VI

Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Trịnh Công Diệu
Sinh viên thực hiện: 1.Trần Bảo Hiếu
2.Võ Duy Phương
3.Lê Văn Sang




TPHCM, 01/2015

2




LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS. Trịnh Công
Diệu – Người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập ghiên cứu và thực hiện đền tài báo cáo môn học.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô và các bạn khoa Toán đã đóng góp những ý
kiến quý báu của mình cho việc nghiên cứu và hoàn thành báo cáo môn học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè cùng với các đồng nghiệp và tất cả những người
đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn
thành tốt báo cáo môn học.
Tuy nhiên, trong báo cáo môn học sẽ không tránh được những khuyết điểm và
thiếu sót nên tôi rất mong quý thầy cô và các bạn góp ý để hoàn thiện hơn báo cáo
môn học và tích lũy kinh nghiệm cho công tác nghiên cứu sau này.

Xin chân thành cảm ơn đặc biệt đến thầy Trịnh Công Diệu.

3

MỤC LỤC
Lời cảm ơn 2
PHỤ LỤC D: HÀM KHẢ VI VÀ ĐỊNH LÝ HÀM ẨN. 5
1. Hàm khả vi – khả vi cấp hai. 5
1.1. Hàm số khả vi. 5
1.2. Đạo hàm riêng và gradient của một hàm số. 5
1.3. Định lý. 5
1.4. Hàm vector khả vi. 6
1.5. Đạo hàm riêng phần và định thức Jacôbi của hàm vector. 6
1.6. Định lý quy tắc dây chuyền. 7
1.7. Hàm số khả vi cấp hai và Hessian. 7
1.8. Định lý. 7
1.9.Chú ý. 8
1.10.Chú ý . 8
CHƯƠNG 5: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU QUY HOẠCH KHÔNG KHẢVI. 9
5.1. Bài toán về điểm yên ngựa và sự cực tiểu hóa. 10
5.1.1. Bài toán về cực tiểu hóa (MP). 10
5.1.2. Bài toán về cực tiểu địa phương (LMP). 10
5.1.3. Bài toán về điểm yên ngựa Fritz John (FJSP). 10
5.1.4. Bài toán về điểm yên ngựa Kuhn-Tucker (KTSP). 11
5.1.5. Chú ý. 11
5.1.6. Chú ý. 11
5.1.7. Chú ý. 11
5.2. Một vài cơ sở nghiên cứu cho bài toán cực tiểu hóa và cực tiểu địa phương. 12
5.2.1. Địnhlý. 12
5.2.3. Định lý đơn trị. 12
5.2.4. Định lý. 13

5.3. Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ưu. 13
5.3.1. Định lý điều kiện đủ của tính tối ưu. 14
5.3.2. Bài toán. 15
5.3.3.Hệ quả. 15
4

5.4. Tính cần thiết của tiêu chuẩn tối ưu.
16
5.4.1. Định lý điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa FritzJohn.
16
5.4.2. Bài toán. 17
5.4.3. Tiêu chuẩn ràng buộc của Slater. 17
5.4.4. Tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin. 17
5.4.5. Tiêu chuẩn ràng buộc tuyệt đối. 17
5.4.6. Bổ đề. 18
5.4.7. Định lý điều kiện tối ưu của Kuhn-Tucker. 18
5.4.8 Định lý tối ưu cần thiết cho điểm yên ngựa Kuhn-Tucker trong sự hiện diện của
các điều kiện ràng buộc tuyến tính ngang nhau. 19
Tài liệu tham khảo 22

5

PHỤ LỤC D: HÀM KHẢ VI VÀ ĐỊNH LÝ HÀM ẨN.
1.Hàm khả vi – khả vi cấp hai.
1.1.Hàm số khả vi.
Cho

là một hàm số học xác định với mọi
x
trên một tập mở

trong
n
R
. Cho
x
thuộc

,

được gọi là khả vi tại
x
nếu tất cả
n

xR
sao cho
xx 

Chúng ta có
( ) ( ) ( ) ( , )x x x t x x x x x
  
   
.
Khi
()tx
vecter n-chiều bị chặn, và

là hàm số học của
x
sao cho
0
lim ( , ) 0
x
xx



.
Ta nói


gọi là khả vi trên

nếu nó khả vi tại mọi

x
trong

. [Rõ ràng nếu

khả
vi trên tập mở

, nó cũng khả vi trên bất kỳ tập hợp con

(mở hoặc đóng) của

.
Do đó khi chúng ta nói

khả vi trên tập

(mở hoặc đóng), chúng ta sẽ có

khả
vi trên tập mở chứa

].
1.2.Đạo hàm riêng và gradient của một hàm số.
Cho

là một hàm số học xác định trên một tập mở

trong
n

R
và
x
trong

.

được cho là đạo hàm riêng tại
x
với
, 1, ,
i
x i n
, nếu
1 1 1 1
( , , , , , , ) ( , , )
i i i n n
x x x x x x x
  



tiến tới giới hạn hữu hạn khi


tiến tới zero.
Tại giới hạn đó gọi đạo hàm riêng của

đối với
i

x
tại
x
và ký hiệu là
( ) /
i
xx


.
Vector n-chiều của đạo hàm riêng của

đối với
1
,,
n
xx
tại
x
gọi là gradient của

tại
x
và được ký hiệu là
()x


đó là
1
( ) ( )

( ) , ,
n
xx
x
xx








.
1.3.Định lý.
Cho

là một hàm số học xác định trên một tập mở

trong
n
R
và
x
trong

.
i) Nếu

khả vi tại

x
, thì

liên tục tại
x
và
()x


tồn tại (không có chiều
ngược lại) và
0
( ) ( ) ( ) ( , )
lim ( , ) 0
x
x x x x x x x x
xx
   



   




với
xx 
.
6

ii) Nu

liờn tc o hm riờng ti
x
i vi
1
,,
n
xx
ú l,
()x


tn ti
v r


liờn tc ti
x
, thỡ

kh vi ti
x

Túm tt cỏc kt qu trờn nh sao:

lieõn tuùc taùi x
khaỷvi taùi x
(x) ton taùi
(x) ton taùi
khaỷvi taùi x
lieõn tuùc taùi x
.

1.4.Hm vector kh vi.
Cho
f
l hm vector m-chiu xỏc nh trờn tp m
trong R
n

, v cho
x

,
f

kh vi ti
x
(tng ng trờn

) nu mi thnh phn ca nú
1
,,
m
ff
kh vi ti
x
(tng ng trờn

).
1.5.o hm riờng phn v nh thc Jacụbi ca hm vector.
Cho
f
l hm vector m-chiu xỏc nh trờn tp m
trong R
n

, v cho
x
,
f

cú o hm riờng ti

x
i vi
1
,,
n
xx
nu mi thnh phn ca nú
1
,,
m
ff

cú o hm riờng phn
x
i vi
1
,,
n
xx
. Chỳng ta c nh thc nh sau:
11
1
1
( ) ( )
()
( ) ( )
n
mm
n
f x f x

xx
fx
f x f x
xx















Ma trn
x ( )m n f x
gi l nh thc Jacụbi ca
f
ti
x
.

7

1.6.Định lý quy tắc dây chuyền.
Cho
f
là hàm vector m-chiều xác định trên tập mở
trong R
n

, và cho
x 
, và

là hàm số xác định trên
m
R
.Thì hàm số

xác định trên

bởi
 
( ) ( )x f x



khả vi tại

x 
nếu
f
khả vi tại
x
và nếu

khả vi tại
()y f x
và
( ) ( ) ( )x y f x

   
.
1.7.Hàm số khả vi cấp hai và Hessian.
Cho

là hàm số xác định trên tập mở
trong R
n

, và cho
x
nằm trong

.

được
gọi là khả vi hai lần tại
x

nếu với tất cả
n
xR
sao cho
xx 
chúng ta có:
2
2
()
( ) ( ) ( ) ( , )( )
2
x x x
x x x x x x x x

   

    

Tại
2
()x


là ma trận
x nn
của phần tử giới hạn, và

gọi là hàm số của
x
sao

cho
0
lim ( , ) 0
x
xx



.
Ma trận
x nn
2
()x


gọi là ma trận Hessian của

tại
x
và nó được viết dưới
dạng
2
2
ij
()
( ) , 1, ,

ij
x
x i j n

xx




  


.
Hiển nhiên nếu

có khả vi hai lần tạitại
x
, nó cũng phải có khả vi tại
x
.
1.8.Định lý.
Cho

là hàm số xác định trên tập mở
trong R
n

, và cho
x
nằm trong

. Thì
i)



khả vi tại tại
x


khả vi lần hai tại
x
.
ii)


đạo hàm riêng phần liên tục tại
x


khả vi lần hai tại
x
.

iii)


   



   










   
   
   


2
i j i i
2
2
22
ij ji
(x) (x)
x x x x
liên tục tại x
và (x) đối xứng
nghóa là (x) = (x)




8

1.9.Chú ý.
()

, 1, ,
i
x
in
x




được gọi là đạo hàm riêng phần của

tại
x
.
2
()
, , 1, ,

ij
x
i j n
xx




được gọi là đạo hàm riêng phần thứ 2 của

tại
x

.
Một cách tương tự ta có thể xác định đạo hàm riêng phần của

tại
x
.

1.10.Chú ý .
Cho

là hàm số xác định trên tập mở của

nk
RR  
nó khả vi tai
( , )xy
.
Chúng được xác định như sau:
1
1
( , ) ( , )
( , ) , ,
( , ) ( , )
( , ) , ,
x
n
y
k
x y x y
xy

xx
x y x y
xy
yy

















Và
( , ) ( , ), ( , )
xy
x y x y x y
  

   

.

Cho
f
hàm m-chiều xác định trên tập mở

nk
RR  
thì nó khả vi tại
( , )xy
.Chúng được xác định như sau:
11
1
1
11
1
1
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
n
x
mm
n
k
x
mm
k
f x y f x y

xx
f x y
f x y f x y
xx
f x y f x y
yy
f x y
f x y f x y
yy





























và
( , ) ( , ) ( , )
xy
f x y f x y f x y

   

.

9


CHƯƠNG 5: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU QUY HOẠCH KHÔNG KHẢ VI.
Mục đích của chương này trình bài bài toán về nội dung tiêu chuẩn tối ưu quy
hoạch phi tuyến của điểm yên ngựa điểm vừa thỏa bé nhất vừa thỏa lớn nhất trên
một hệ quy chiếu (ví dụ: là điểm lớn nhất đối với hàng bé nhất đối với cột trong
một ma trận hai hàng hai cột). Tiêu chuẩn tối ưu phi tuyến này được minh họa bởi
một ví dụ. Xét bài toán cực tiểu trên hàm

trong tập
 
/ , 2 0X x x R x    
tại

nơi
 
2
xx


. Hiển nhiên nghiệm là
2x 
, và cực tiểu
 
min 4x


. Điểm yên
ngựa trong tiêu chuẩn tối ưu cho bài toán này là một điều kiện cần và điều kiện đủ
vừa
x
là nghiệm cực tiểu của bài toán vừa tồn tại một số thực
4u 
u
sao cho
, , 0u x R u
,
       
   
2 2 2x u x x u x x u x

          
.
Điều đó dể hiểu, để kiểm tra điều bấc đẳng thức trên thỏa mãn

2x 
4u 
.
Xét một
hàm

trong
2
R
xác định bởi:
     
,2x u x u x

   
,có một điểm yên ngựa tại
2, 4xu
, bởi vì đạt cực tiểu tại
 
,xu
đối với
x
cho tất cả giá trị thực
x
và đạt
cực đại tại
 
,xu
đối với
u
cho tất cả giá trị thực

u
với giá trị
0u 
.
Cho một bài toán cơ bản bên trên, tiêu chuẩn điểm yên ngựa để xảy ra cả hai điều
kiện cần và điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ưu cho
x
là nghiệm bài toán phải đạt
cực tiểu. Chúng ta sẽ chỉ ra trong chương này mà điều kiện điểm yên ngựa là điều
kiện đủ tối ưu với yêu cầu tính lồi. Tuy nhiên để chứng minh điều kiện cần của
điểm yên ngựa, chúng ta cần không những phải có tính lồi nhưng cũng cần phải có
một vài điều kiện quy tắt, hạn chế bắt buộc. Điều này đề chứng minh xác thực
được dể dàng hơn đề hài long mà điều kiện cần của sự tối ưu là phức tạp và khó
khăn để thành lập.
Chúng ta chỉ nghiên cứu tiêu chuẩn tối ưu của chương này với giả thuyết tính
không khả vi trên hàm phức tạp. Tiếp theo chương này chương 7 và 11 sẽ thiết lập
tiêu chuẩn tối ưu của hàm khả vi.





10


5.1. Bài toán về điểm yên ngựa và sự cực tiểu hóa.
Tiêu chuẩn tối ưu của chương này là trình bày lại lời giải bài toán cực tiểu hóa,
một bài toán về cực tiểu địa phương, hai bài toán về cực tiểu khác là hai điểm yên
ngựa. Chúng ta định nghĩa những dạng bài toán ở bên dưới.
Giả xử

0
X
là một tập con của
R
, giả xử cho
, g

lần lược là một hàm số và một
không gian vector
m
chiều xác định trên
0
X
.
5.1.1. Bài toán về cực tiểu hóa (MP).
Tìm
x
, nếu nó tồn tại thì
x
thỏa :
 
   
 
0
min / , 0x x x X x x X g x

    

Tập
X

được gọi là miền xác định hay là tập xác định hay điều kiện ràng buộc
không khả vi,
x
nghiệm cực tiểu,
 
x

cực tiểu.
Tất cả những điểm
x
trong miền xác định của
X
gọi là những điểm xác định.
Nếu
X
là tập lồi, và nếu

là lồi trên
X
, bài toán về cực tiểu hóa được gọi là bài
toán về quy hoạch lồi.
5.1.2. Bài toán về cực tiểu địa phương (LMP).
Tìm
x
, nó tồn, nếu
x
thỏa : cho một vài quả cầu mở
 
Bx


xung quanh
x
, với
bán kính
0


,
 
 
 
x B x X x x


  
.
5.1.3. Bài toán về điểm yên ngựa Fritz John (FJSP).
Tìm
 
0
00
, , , , 0
m
x X r R r R r r   
nếu nó tồn tại thì thỏa:
     
     
000
0
00

, , , , , ,
: 0, ,
,,
m
x r r x r r x r r
dk r r R x X
x r r r x rg x






  




.




11


5.1.4. Bài toán về điểm yên ngựa Kuhn-Tucker (KTSP).
Tìm
0
, , 0

m
x X u R u  
nếu nó tồn tại thì thỏa:
     
     
0
,,,
0,
,
m
x u x u x u
u u R X
x u x ug x






  




.

5.1.5. Chú ý.
Nếu
 
0

,,x r r
là nghiệm của FJSP và nếu
0
0r 
thì
 
0
,/x r r
cũng là nghiệm
KTSP. Ngược lại, nếu
 
,xu
là nghiệm KTSP, khi đó
 
,1,xu
cũng là một nghiệm
của FJSP.
5.1.6. Chú ý.
Nếu trị số của các hàm số
 
0
,,x r r

và
 
,xu

bên trên xác định thì thường được
gọi là những hàm Lagrange, và không gian vevtor
m

chiều
r
và
u
nhân tử
Lagrange có thể thay đổi được. Các nhân tử đó giữ vai trò quang trọng trong quy
hoạch tuyến tính và phi tuyến. Chúng là những đồng dạng trong phép tính cổ điển
nhân tử Lagrange nơi mà một vài giá trị của cực tiểu hàm số bị ràng buộc với
đẳng thức. Bởi vì ở đây chúng ta có sự hạn chế của bất đẳng thức, nhân tử
Lagrange thay đổi nhưng không âm nên khi đó chúng ta xem ràng buộc của đẳng
trong 5.3.2, 5.4.2, 5.4.8, nhân tử liên kết với đẳng thức không bắt buộc để không
âm. Tức là nó tạo ra những đồng dạng lagrange
5.1.7. Chú ý.
Bất đẳng thức đúng trong hai bài toán về điểm yên ngựa, FJSP , KTSP .
   
   
0
00
0
, , x, ,
,,
x r r r r x X
x u x u x X




có thể giải thích là định luật cực tiểu hóa, giống định
luật cực đại của Pontryagin. Trong định lý nguyên thủy Pontryagin cần có điều
kiện tối ưu để có tính tối ưu.

12


5.2. Một vài cơ sở nghiên cứu cho bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương.
Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập một vài là cơ sở nghiên cứu liên quan đến lời giải bài
toán về cực tiểu và lặp lại lời giải về cực tiểu và cực tiểu địa phương.
5.2.1. Địnhlý.
Cho
X
là tập lồi, và

là một hàm lồi trên
X
.Tập hợp của những lời giải MP
5.1.1 là hàm lồi.
Chú ý: Cần phải có một điều kiện đủ nhưng không cần thiết phải có điều kiện cần
để cho hàm lồi của
X
là
0
X
là tập lồi và
g
lồi trên
0
X
. Từ 3.1.10, 4.1.9 ta có
điều đó.

Chứng minh: Cho
12
,xx
là nghiệm của MP5.1.1.Nghĩa là
   
 
12
minx x x
  

.
Nó kèm theo tính lồi của
,X

, giả xử
01


thì
 
12
1 x x X

  
và
 
 
 
     
 

1 2 1 2 1
1 1 minx x x x x x
       
      
.
Kể từ đây
 
12
1 xx


cũng là nghiệm của MP, và tập các nghiệm là tập lồi.
5.2.3. Định lý đơn trị.
Cho
X
là một tập lồi và
x
là nghiệm lồi của MP5.1.1 . Nếu

là lồi hoàn toàn tại
x
khi đó
x
là nghiệm đơn trị của MP5.1.1.
Chứng minh: Nếu MP5.1.1 không có nghiệm như trong định lý có hiển nhiên
đúng. Cho
x
là một nghiệm của MP5.1.1. Khi đó

không chứa trên

X
, có tồn
tại
xX
mà
 
 
xx


. Nếu
z
là một điểm nằm phía trong
X
,có tồn tại
yX
,
cho
01


,
 
1z x y

  
. Nhìn 5.2.1 khi đó:
   
 
       

     
1 1 1z x y x y x y x
          
         
,
và khi đó
 
x

không thể tìm được cực tiểu tại
z
.
Phần 5.2.2 chỉ ra rằng một ví dụ cơ bản của định lý đơn trị trên
R
.



13


5.2.4. Định lý.
Nếu
x
là ngiệm của MP5.1.1, khi đó nó cũng là nghiệm của LMP5.1.2. Khi đó
điều ngược lại là đúng nếu
X
là lồi và

là lồi hoàn toàn tại

x
.

Chứng minh: Nếu
x
làm sáng tỏa MP5.1.1, khi đó
x
làm sáng tỏa LMP5.1.2 cho
bất cứ
0


. Để chứng minh điều ngược lại, giả sử rằng
x
làm sáng tỏa
MP5.51.1
0


và cho
X
là tập lồi, và

là một hàm lồi tại
x
và cho
yX
. Khi
đó
X

là tập lồi,
 
1 x y X

  
cho
01


. Bằng cách chọn

đủ nhỏ để
0/yx

  
và
1


, chúng ta có
 
 
 
1x y x x y B x X

  
     
.
Khi đó:
   

 
 
 
 
1x x y x x y
     
     
từ những điều trên ta có
 
 
xy


.
5.3. Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ưu.
Điều kiện đủ quang trọng của tiêu chuẩn tối ưu nghiên cứu ở đây (1 và 2 bên dưới)
cần tìm là giả xử không lồi trên cực tiểu hóa bài toán MP5.1.1. Tiêu chuẩn này là
hoàn toàn mục tiêu để hướng đến và không cần thiết phức tạp một cách máy móc
theo quy tắt. Trước hết xem kết của kiểu bài toán này thu được trong [Uzawa58].



14


5.3.1. Định lý điều kiện đủ của tính tối ưu.
Nếu
 
,xu
là nghiệm KTSP5.1.4 , khi đó

x
là một nghiệm của MP5.1.1. nếu
 
0
,,x r r
là ngiệm của FJSP5.1.3 và
0
0r 
,
x
là một nghiệm của MP5.1.1.
Chứng minh: Mệnh đề thứ hai của định lý theo sau không quan trọng so với mệnh
đề thứ nhất vì chú ý 5.1.5.
Cho
 
,xu
là một nghiệm KTSP5.1.4. Khi đó cho tất cả các
0u 
trong
m
R
và tất
cả
x
trong
0
X
. Thì ta có.
       
   

x ug x x ug x x ug x
  
    
. Từ bất đẳng thức đầu tiên ta có
   
00u u g x u  
. Cho
,1j j m
bấc kỳ ta có
1 ( 1,2, , 1, 1, )
ij
ij
u u u u i j j m     
. Khi đó
 
0
j
gx
. Lặp lại cho tất cả
j

chúng ta có được
 
0gx
, từ đây
x
là một điểm thỏa, có
xX
.
Từ đây

 
00u g x
. Chúng ta có
 
0ug x 
. Nhưng lặp lại bất đẳng thức đầu
tiên bài toán điểm yên ngựa ta có, bằng cách đặt
0u 
, mà
 
0ug x 
. Nên
 
0ug x 
.
Cho
x
là điểm bấc kỳ trong
X
khi đó từ bất đẳng thức thứ hai của bài toán điểm
yên ngựa chúng ta có được.
 
       
,0x x ug x x khi ug x
  
   
.
Nó chỉ ra rỏ ràng ở đây không phải giả xử tính lồi nên suy ra định lý trên, tính ràng
buộc của đẳng thức có thể thay thế bởi hai bất đẳng thức ràng buộc. Đó là đặt
 

0hx
hai cận
 
0hx
và
 
0hx
.






15


5.3.2.Bài toán.
Xét bài toán cực tiểu
 
     
 
0
min / , 0, 0x x x X x x X g x h x

     
,
h
là
không gian vector

m
chiều và ngược lại được xác định trong MP5.1.1.
Cho
       
       
00
, , ,
,,
x r r s r x rg x sh x
x u v x ug x vh x


  
  
, đều này chỉ ra rằng nếu có tồn tại
0
, , 0,
mk
x X u R u v R   
sao cho:
 
   
0
, , , , , ,
0, , ,
mk
x u v x u v x u v
u u R v R x X
  





   


Hoặc nếu tồn tại
0
00
, , 0, , 0,
m m k
x X r R r r R r s R     
sao cho:
     
000
0
, , , , , , , , ,
0, , ,
mk
x r r s x r r s x r r s
r r R s R x X





   

thì khi đó
x

là ngiệm của bài toán cực
tiểu.
Câu hỏi đặt ra là chọn ra một điểm là điểm
x
nếu
 
0
,,x r r
là ngiệm của FJSP
5.1.3 và không bắt buộc rằng
0
0r 
. kết quả ta được hệ quả sau.
5.3.3.Hệ quả.
Nếu
 
0
,,x r r
là ngiệm của FJSP 5.1.3, khi đó có hai điều sau
x
làm sáng tỏa cho
MP5.1.1 hoặc
X
không là phần trong của họ để
 
0gx
sao cho:
 
 
0

/ , 0x x X g x   
.
Chứng minh: Bằng một vài luận điểm như trong phần chứng minh định lí 1 trên
chúng ta chỉ ra rằng
 
0gx
và
 
0rg x 
. Bâygiờ, nếu và
0
0r 
khi đó
x
làm sáng
tỏa MP5.1.1 bởi định lý 1. Nếu
0
0r 
khi đó
0
0r 
và chúng ta có được từ bất
đẳng thức thứ hai FJSP5.1.3, mà
 
 
0 rg x rg x
. Bây giờ nếu tập
 
 
0

/ , 0x x X g x
là khác rỗng, khi đó cho bấc cứ phần tử
x
trong nó
 
0rg x 
,
điều này trái với sự thật đã thiết lập ở trên mà
 
0
0rg x x X
. Kể từ đó
 
 
0
/ , 0x x X g x   
.


16


5.4.Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu.
Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu xét tại nơi càng phức tạp, điều kiện đủ xét tại
nơi tiêu chuẩn tối ưu càng phức tạp.



Chúng ta bắt đầu bằng việc chứng minh điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu với điều
kiện tùy ý. Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu là tính đồng dạng dựa trên nền tảng

điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu FritzJohn chương 7. Cái mà nhận được từ trường
hợp hàm
, g

là khả vi nhưng không lồi.
5.4.1.Định lý điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa FritzJohn.
Cho
0
X
là một tập lồi trong
n
R
và cho
, g

là mở trên
0
X
Nếu
x
là ngiệm của
MP5.1.1, khi đó
 
00
, , , , 0
m
x r R r R r r  
làm sáng tỏa FJSP5.1.3 và
 
0rg x 

.
Chứng minh: Bởi vì
x
làm làm sáng tỏa MP5.1.1
 
 
 
0, 0x x g x

  
. Hệ
quả 4.2.2 có tồn tại
 
00
, , , , 0
m
x r R r R r r  
sao cho
 
 
 
0
0
0r x x rg x x X


   

. Bằng việc đưa vào
xx

lên bên trên chúng
ta có được
 
0rg x 
. Nhưng khi
0r 
và
 
0gx
chúng ta cũng có
 
0rg x 
.Kể
từ đó
 
0rg x 
và
   
   
0
00
,r x rg x r x rg x x X

   
trong bất đẳng thức thứ
hai FJSP5.1.3. Chúng ta cũng có bởi vì
 
0gx
, mà
 

0 0,
m
rg x r r R  
và kể
từ đây, từ khi
 
0rg x 
,
       
00
, 0,
m
r x rg x r x rg x r r R

    
trong bất
đẳng thức thứ nhất FJSP5.1.3.




Tiêu chuẩn cần
Tiêu chuẩn đủ
Tính lồi.
Hệ quả của định lý tách của tập lồi.
Điều kiện chính quy càng quang
trọng càng cần thiết cho tiêu chuần.
Không cần thiết.
Không cần thiết.
Không cần thiết.

17


5.4.2.Bài toán.
Xét bài toán cực tiểu
 
     
 
0
min / , 0, 0x x x X x x X g x h x

     
,
h
là
hàm không gian vector
k
chiều tuyến tính trên
n
R
,
, g

là lồi trên
0
X
, và tất cả
những điểm ngược lại được xác định như MP5.1.1. Chỉ ra rằng nếu
x

là nghiệm
của bài toán bên trên khi đó
   
0 0 0
, , , , , 0, , , 0
mk
x r R r R s R r r r r s    
thỏa mãn
 
0rg x 
, và
     
       
000
0
00
, , , , , , , , ,
0, , ,
, , ,
mk
x r r s x r r s x r r s
r r R s R x X
x r r s r x rg x sh x






   


  



Trong phần bên trên điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu là không đảm bảo
0r 
.
Trong trường hợp
0r 

nó là bằng chứng trực giác rõ ràng mà điều kiện cần tiêu
chuẩn tối ưu FJSP5.1.3 không nói nhiều về cực tiểu trong bài toán MP5.1.1, bởi vì
hàm

cũng không xuất hiện từ 5.1.3 và bấc cứ hàm nào cũng có thể giữ vai trò.
5.4.3.Tiêu chuẩn ràng buộc của Slater.
Cho
0
X
là một tập lồi trong
n
R
. Hàm
g
lồi là không gian vector
m
chiều trên
0
X

được xác định bởi hàm ràng buộc trong miền
 
 
0
/ , 0X x x X g x  
thì gọi là
thỏa mãn tiêu chuẩn ràng buộc của Slater, nếu có tồn tại
 
0
,0x X g x
.
5.4.4. Tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin.
Cho
0
X
là một tập lồi trong
n
R
. Hàm
g
lồi là không gian vector
m
chiều trên
0
X
được xác định bởi hàm ràng buộc trong miền
 
 
0
/ , 0X x x X g x  

thì gọi là
thỏa mãn tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin, nếu có tồn tại
 
0
, 0, 0,
m
p R p pg x x X   

5.4.5. Tiêu chuẩn ràng buộc tuyệt đối.
Cho
0
X
là một tập lồi trong
n
R
. Hàm
g
lồi là không gian vector
m
chiều trên
0
X
được xác định bởi hàm ràng buộc trong miền
 
 
0
/ , 0X x x X g x  
thì gọi là
thỏa mãn tiêu chuẩn ràng buộc tuyệt đối nếu
X

chứa đựng ít nhất hai điểm
12
,xx

mà
g
là tuyệt đối tại
1
x
.

18


5.4.6. Bổ đề.
Tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin và tiêu chuẩn ràng buộc của Slater là tương
đương. Tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin và tiêu chuẩn ràng buộc của Slater là
tương đương là kết quảtiêu chuẩn ràng buộc tuyệt đối.
Chứng minh:
 
34
Bằng định lý suy rộng Gordan 4.2.3, 3 và 4 tương đương.
53
Khi
0
X
lồi, cho bấc kỳ
01



,
 
12
1 x x X

  
.

Bởi vì
g
là lồi tuyệt đối tại
1
x
, nó là tiếp theo từ 4.1.4 mà
   
   
1 2 1 2
1 1 0g x x g x g x
   

     

tại nơi bấc đẳng thức cuối cùng sẽ có
hiển nhiên
 
1
0gx 
và
 
2

0gx 
.Như vậy
g
thỏa mãn tiêu chuẩn ràng buộc của
Slater và Karlin.
Bây giờ ta có một vài điều quang trọng cho tiêu chuẩn tối ưu với việc dùng vi
phân. Định lý bên dưới của Kuhn-Tucker thường rất cần để biết, thậm chí định lý
Kuhn-Tucker bắt buộc tính lồi và có vi phân trong đạo hàm của nó. Định lý trong,
không có yêu cầu bất kỳ vi phân nào.
5.4.7. Định lý điều kiện tối ưu của Kuhn-Tucker.
Cho
0
X
là một tập lồi trong
n
R
. Hàm
, g

lồi là trên
0
X
, và cho
g
thỏa mãn tiêu
chuẩn ràng buộc của Slater, tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin, tiêu chuẩn ràng buộc
tuyệt đối trên
0
X
nếu

x
là một nghiệm của MP5.1.1, khi
, , 0
m
x u R u
làm sáng
tỏa KTSP5.1.4 và
 
0ug x 

Chứng minh: Đầu tiên chúng ta nhận thấy rằng bằng các bổ đề 6 ở trên chúng ta
chỉ cần thiết lập các ràng buộc theo định lý của Karlin. Theo định lý 1,
x
và một
số
0
rR
,
m
rR
,
0
( , ) 0rr
, giải phương trình FJSP 5.1.3 và
( ) 0ug x 
. Nếu
0
0r 
, thì theo chú ý 5.1.5 chúng ta được điều ta cần. Nếu
0

0r 
, thì
0r 
và từ
bất đẳng thức thứ hai của FJSP5.1.3.
0 ( )rg x
với tất cả
0
xX
[từ khi
0
0r 
và
( ) 0rg x 
]
Nó mâu thuẫn với điều kiện ràng buộc 4 của Karlin. Do đó
0r 
.Chúng tôi tóm
tắt trong hình 5.4.1 mối quan hệ giữa các giải pháp của các vấn đề khác nhau trong
chương này.Chúng tôi kết thúc phần này bằng cách dẫn xuất tính tối ưu cần thiết
cho điểm yên ngựa Kuhn-Tucer trong sự ràng buộc tuyến tính ngang nhau.
19

Để làm điều này, chúng ta phải cho tập hợp
0
X
của MP 5.1.1 trên toàn bộ
n
R
.

5.4.8 Định lý tối ưu cần thiết cho điểm yên ngựa Kuhn-Tucker trong sự hiện diện của các
điều kiện ràng buộc tuyến tính ngang nhau.
Cho
, g

lần lượt là hàm số học và hàm vector m-chiều, lồi trên
m
R
. Cho h là hàm
vector tuyến tính k-chiều trên
n
R
, sao cho
()h x Bx d
, B là ma trận
kn
, và d
là k-vector. Cho
x
là giải pháp của vấn đề tối thiểu hóa
( ) min ( )
xX
xx



,
{ / , ( ) 0, }
n
x X x x R g x Bx d    

và cho g và h đáp ứng các điều kiện ràng buộc
sau:
i) (Suy rộng Slater 3)
( ) 0, g x Bx d
có giải pháp
n
xR


Hình 5.4.1: Mối liên hệ giữa các giải pháp tối ưu hóa trong vấn đề (LMP) 5.1.2,
và vấn đề tối ưu hóa (MP) 5.1.1, vấn đề điểm yên ngựa Fritz John (FJSP) 5.1.3,
và vấn đề điểm yên ngựa Kuhn-Tucker 5.1.4.
ii) (Suy rộng Karlin 4). Ở đó không tồn tại
0, ,
mk
p p R q R  
như sau:
( ) ( ) 0pq x q Bx d  
với tất cả
n
xR

20

iii) X chứa ít nhất 2 điểm riêng biệt
1
x
và
2
x

như vậy g là mặt lồi ngặt tại
1
x

Cho
x
và lân cận
, 0,
mk
u R u v R  
lồi ngặt
( ) 0ug x 
và

    

   


     

m k n
(x,u,v) (x,u,v) (x,u,v)
cho taát caû u 0, u R ,taát caû v R ,taát caû x R
(x,u,v) (x) ug(x) v(Bx d)

Chứng minh:
(iii) (ii) (i)

Và sao đó chứng minh định lý dưới (ii)

[(iii) (i)]
Cho
   
1 2 1 2
( ) 0, ( ) 0, , g x g x Bx d Bx d
, chúng ta cho

01
sao
cho

  
12
[(1 ) ]B x x d
và
   
    
1 2 1 2
[(1 ) ] < (1 ) ( ) ( ) 0g x x g x g x

Do đó (i) cố định.
[( ) ( )]i ii
Nếu
( ) 0gx
và
Bx d
sau đó cho bất kỳ
0,
m
p p R

và bất kỳ

k
qR

,
  ( ) ( ) 0pg x q Bx d

Do đó (ii) cố định
Chúng ta thiết lập không cần định lý dưới (ii). Sẽ không mất tính tổng quát nếu
chúng ta sẽ giả định các hang
1
,,
k
BB
của B là độc lập tuyến tính, giả sử rằng
một số hàng,
k
B
, là độc lập tuyến tính trên
11
,,
k
BB
sao cho




1

1
k
k i i
i
B s B
khi
11
,,
k
ss
là số thực cố định. Khi đó


    

11
11
kk
k k i i k i i k
ii
B x d s B x d s d d

Cho bất kỳ x thỏa
  , 1, , 1
ii
B x d i k
. Nhưng kể từ
xX
và
, 1, ,

ii
B x d i k
, ta suy ra rằng




1
1
0
k
i i k
i
s d d
và
0
kk
B x d
với mọi x thỏa
  , 1, , 1
ii
B x d i k
.
Do đó các ràng buộc ngang nhau

kk
B x d
là dư thừa và có thể bị loại vấn đề tối ưu
hóa mà không thay đổi giải pháp
x

. Sau đó, một khi chúng tôi đã thiết lập các
định lý cho các hàng độc lập tuyến tính của B, chúng ta có thể áp dụng lại các
21

hàng phụ thuộc tuyến tính
k
B
(mà không thay đổi các vấn đề tối ưu hóa) và cho
 0
k
v
trong vấn đề điểm yên ngựa.
Bởi 2 ở trên, có tồn tại
    
0 0 0
, , , ( , ) 0, ( , , ) 0
mk
r R r R s R r r r r s
, thỏa
( ) 0rg x

và giải quyết các vấn đề điểm yên ngựa của 2. Nếu
 0r
thì

00
,
rs
uv
rs

giải
quyết các vấn đề điểm yên ngựa của định lý hiện tại, và chúng ta đã xong. Giả sử

0
0r
. Khi cho
( ) 0rg x
và
0Bx d
, chúng tôi có các bất đẳng thức thứ của
vấn đề điểm yên ngựa của 2 như sau:
  0 ( ) ( )rg x s Bx d
với tất cả

n
xR

Mà mâu thuẫn với (ii) ở trên, nếu
 0r
. Bây giờ giả sử
 0r
thì
 0s
và
( ) 0s Bx d
với tất cả
x
trong
n
R

. Do đó (xem phần cuối của chứng minh 4.2.4)
'0Bs
, điều này trái với giả thiết các hàng của B là độc lập tuyến tính. Như vậy

0
0r
.
















22


Tài liệu tham khảo:
1. Giáo trình lý thuyết tối ưu hóa – PGS.TS Trịnh Công Diệu.
2. Giáo trình nonlinear programming – Olvi L Mangasarian.
3.

4.