Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN – TIN








MÔM TỐI ƯU PHI TUYẾN

Chương 3: Tập Lồi Trong
n









BÀI THUYẾT TRÌNH NHÓM 18

1/ Nguyễn Việt hải
2/ Trần Ngọc Hải
3/ Phạm Phi Hùng
Chương 3: Tập Lồi Trong
n

Mục đích của chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, để mô tả một số
tính chất của các tập, và để lấy được các định lý tách cơ bản cho tập lồi. Các định lý tách
là những nền tảng mà trên đó có nhiều điều kiện tối ưu phần còn lại phi tuyến tính
I. Tập lồi và tính chất của nó.
Để định nghĩa các khái niệm về một tập lồi, chúng ta bắt đầu bằng cách xác định các
đường thẳng và đoạn thẳng qua hai điểm trong
n

1. Đường thẳng
Cho
12
,
n
xx
Các đường thẳng qua
1
x
và
2
x
được định nghĩa là tập
 
 
12
1,x x x x
  
   

Hoặc tương đương
 

12
1 2 1 2 1 2
, , , 1x x p x p x p p p p    

Nếu chúng ta viết lại định nghĩa đầu tiên thành các dạng tương đương
 
 
1 2 1
,x x x x x

   
và xét các trường hợp khi
2
x
, nó trở nên rõ ràng
bằng các phương trình vector
 
1 2 1
x x x x

  
là phương trình tham số của hình học
giải tích sơ cấp của đường thẳng đi qua
1
x
và
2
x
, hình 3.1.1
2. Đoạn thẳng

Cho
12
,
n
xx
. Chúng ta định nghĩa các đoạn thẳng nối
1
x
và
2
x
:
i. Đoạn thẳng đóng
 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1x x x x x x
  

     


ii. Đoạn thẳng mở
 
 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1x x x x x x
  
     

iii. Đoạn thẳng đóng, mở

 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1x x x x x x
  

     


iv. Đoạn thẳng mở, đóng

 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1x x x x x x
  

     


Rõ ràng
12
,xx


là phần của đường thẳng qua
1

x
và
2
x
mà nằm giữa và bao gồm các
điểm
1
x
và
2
x
,, Hình 3.1.1
 
12
,xx
không bao gồm
1
x
hoặc
2
x
,

12
,xx


không bao
gồm
2

x
, và

12
,xx


không bao gồm
1
x

3. Tập lồi
Một tập
n

là một tập lồi nếu đoạn thẳng đóng nối hai điểm thuộc

nằm trong

.
Một cách tương đương chúng ta nói một tập
n

là tập lồi nếu
 
12
12
,
1
, 0 1

xx
xx



   
  

Hình 3.1.2 minh hoạ một số tập lồi trong
2
, và hình 3.1.3 minh hoạ một số tập không
lồi trong
2
. Từ 3 chỉ ra rằng chính
n
là tập lồi, tập hợp rỗng là tập lồi, và tất cả các
tập gồm có một phần tử là tập lồi.
Các tập con của
n
được định nghĩa dưới đây trong 4, 5 và 6 đều là các tập lồi trong
n
.
Điều này có thể dễ dàng được chứng minh trực tiếp bởi định nghĩa 3 của một tập lồi.
 Rõ ràng là định nghĩa của một tập lồi sẽ không thay đổi nếu có các đoạn thẳng
khác tại 2 được sử dụng ở đây thay cho đoạn thẳng đóng



Hình 3.1.1 Đường thẳng và đoạn thẳng qua
1

x
và
2
x


Hình 3.1.2 Tập lồi

4. Nửa không gian
Cho
,0
n
cc
và


. Khi đó tập
 
,
n
x x cx


là một nửa không gian mở
trong
n
, và tập
 
,
n

x x cx


là một nửa không gian đóng trong
n
. (Cả hai nửa
không gian đều là tập lồi)


5. Mặt phẳng
Cho
,0
n
cc
và


. Khi đó tập
 
,
n
x x cx


được gọi là một mặt phẳng
trong
n
. (Mỗi mặt phẳng trong
n
là một tập lồi)

6. Không gian con
1 tập
n

là 1 không gian con nếu
12
12
12
12
,
,
xx
p x p x
pp

  


Mỗi không gian con của
n
chứa gốc và là một tập lồi. Các không gian con của
3
bao
gồm
3
,
, gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc.
7. Bài toán
(i) Chứng tỏ mỗi một quả cầu mở hoặc đóng.
,

n
B x x x x x





   





,
n
B x x x x x





   





Hình 3.1.3: Tập không lồi
quanh một điểm
n

x


là một tập lồi. (Gợi ý: Sử dụng các bất đẳng thức tam giác
x y x y  
trong 1.3.10 )
(ii) Chứng tỏ phần trong của một tập lồi là tập lồi
8. Đỉnh
Cho

là 1 tập lồi trong
n
. Mỗi một
x
mà không tồn tại 2 điểm
12
,xx
phân
biệt khác
x
sao cho
12
,x x x



, được gọi là đỉnh của

(hoặc là 1 điểm cực trị của


) .
Một tập lồi
n

có thể không có đỉnh (ví dụ như không gian
 
,
n
x x cx


và
hình cầu mở
Bx





không có đỉnh), có hữu hạn đỉnh (ví dụ: tập
 
, 0, ex 1
n
x x x  
, trong đó
e
là một
n
-vector của tập có
n

đỉnh
, 1, . . . ,
i
e i n
,
trong đó
i
e
là một
n
-vector với
1
i
i
e 
và
0,
i
j
e i j
), hoặc có vô số đỉnh (ví dụ hình
cầu đóng có vô số đỉnh do
,
n
x x x x



  



)
9. Định lý
Nếu
 
i
iI

là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập lồi trong
n
, khi đó phần giao
i
iI

là một tập lồi.
Chứng minh: Cho
12
,
i
iI
xx


và lấy
01


. Khi đó với mỗi
iI
,

12
,
i
xx
và vì
i

là tập lồi nên
 
12
1
i
xx

  
.
10. Đa diện và khối đa diện
Một tập hợp trong
n
là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng trong
n
gọi
là một đa diện. Nếu một đa diện bị chặn (nghĩa là, với mỗi
x
thuộc đa diện,
x


với



cố định), nó được gọi là một khối đa diện.
Suy ra từ tính lồi của nửa không gian 4 và theo định lý 9, ta có đa diện và khối đa diện là
các tập lồi
11. Tổ hợp lồi
Một điểm
n
b
gọi là một tổ hợp lồi của các vectơ
1
, ,
mn
aa
nếu tồn tại
m
số
thực
1
, ,
m
pp
sao cho:
1
1 1 1
, , , 0, 1
m
m m m
b p a p a p p p p      

Tương tự, nếu chúng ta định nghĩa một ma trận A

mn
có hàng thứ
i
là
i
i
Aa
và nếu
chúng ta lấy
 
1
, ,
m
m
p p p
và
e
là một
m
-vector của đơn vị, khi đó ta có
b
là
một tổ hợp lồi của các hàng ma trận A nếu
'
, 0, 1b A p p ep  
có nghiệm
m
p

Lưu ý rằng nếu

b
là một tổ hợp lồi của hai điểm
12
,
n
aa
, thì tương đương với nói
rằng
12
,b a a



(xem 2)
12. Đơn hình
Cho
01
, , ,
m
x x x
là
1m
điểm phân biệt trong
n
, với
mn
. Nếu các vector
1 0 0
, ,
m

x x x x
là độc lập tuyến tính, thì tập tất cả tổ hợp lồi của
01
, , ,
m
x x x

00
, , 0, 0, . , , 1
mm
i
i i i i
ii
S z z p x p p i m p


     




được gọi là một
m
-đơn hình trong
n
với đỉnh
01
, , . . . ,
m
x x x

. (0-đơn hình là một điểm,
1-đơn hình là một đoạn thẳng đóng, 2-đơn hình là một tam giác, và 3-đơn hình là một tứ
diện)
13. Định lý
Tập
n

là tập lồi nếu và chỉ nếu với mỗi số nguyên
1m 
, mỗi tổ hợp lồi của bất kỳ
m
điểm của

thì nằm trong

. Nghĩa là điều kiện cần và đủ để tập

lồi là với mỗi số
nguyên
1m 
, ta có:
1
1
1
, . . . ,
, . . . , 0
. . . 1
m
m
m

xx
pp
pp


  

1
1

m
m
p x p x   


Chứng minh: Chiều nghịch của 14 là hiển nhiên; lấy
2m 
, khi đó

là tập lồi bởi 3
Ta chứng minh chiều nghịch của 14 bằng quy nạp. Với
1m 
, 14 hiển nhiên đúng. Với
2m 
, 14 xem như là kết quả của 3. Giả sử 14 đúng với mọi
m
, chúng ta sẽ thấy rằng
nó cũng đúng cho
1m

Cho
1 2 1
11
11
, , . . . ,
, . . . , p 0
. . . 1
m
m
m
x x x
p
pp





  

Nếu
1
0
m
p


thì
1
1

m
m
p x p x  
. Từ đó 14 đúng với mọi
m
. Nếu
1
1
m
p


thì
1 1 1
11

mm
m
p x p x x


   
. Nếu
1
01
m
p



thì chúng ta có thể viết
1
11
1
1
11
11

mm
i m m
m
i i m
mm
ii
ii
ii
p
p
p x p x x p x
pp









    










Một điểm trong

,
bởi vì 14 đúng với
m


Một điểm trong

, bởi vì 14 đúng với
2m 


14. Định lý Carathéodory (Carathéodory 07)
Cho
n

. Nếu là tổ hợp lồi của những điểm trong

, khi đó
x

là 1 tổ hợp lồi của
1n
hoặc ít hơn
1n
điểm của

.
Chứng minh: Cho
1
1
, , , 0, . 1
m
ii
i i i m
i
x p x x p p p p

      

. Bây giờ, chúng
ta chứng minh nếu
1mn
thì
x
có thể được viết dưới dạng tổ hợp lồi của
1m
điểm
trong

. (Điều này sẽ hình thành quy luật mà từ đó chúng ta có thể áp dụng kết quả liên

tục cho đến khi
x
là một tổ hợp lồi của
1n
điểm của

.) Nếu bất kỳ
i
p
nào trong biểu
thức trên bằng 0, khi đó
x
là một tổ hợp lồi của
1m
hoặc 1 vài điểm của

. Vì vậy, ta
giả sử
0
i
p 
. Vì
1mn
, tồn tại
11
, ,
m
rr



, không đồng thời bằng 0 để:
   
11
11
. . . 0
m m m
m
r x x r x x


    
(do A.1.3)
Đặt
 
11

mm
r r r

   
. Khi đó
11
00
mm
i
ii
ii
r rx





Đặt
i i i
q p r


với
1, . . . ,im

trong đó

là một số dương nào đó sao cho
0
i
q 
với mọi
i
, và ít nhất một
i
q
, ta gọi là
k
q
, bằng 0. Trong trường hợp đặc biệt chúng ta chọn

sao cho
1
max
ik

i
ik
rr
pp






Hình 3.1.4 Một tập

và bao lồi của nó
 


Khi đó
1 1 1 1 1
0, 1, . . . , , 0
1
ik
m m m m m
i i i i i
i i i i i
ik
q i m q
q q p r p

    


  
    
    

Và
1 1 1 1
m m m m
i i i i
i i i i
i i i i
ik
x p x q x rx q x

   

   
   

Do đó
x
là một tổ hợp lồi của
1m
điểm trong



15. Bao lồi
Cho
n


. Bao lồi của

, ký hiệu là
 

, là giao của các tập lồi trong
n
chứa

(Theo
định lý 9, bao lồi của bất kỳ tập
n

là tập lồi. Hình 3.1.4 cho thấy 1 tập không lồi trong
2

và nó được chứa trong một bao lồi)
16. Định lý
Bao lồi
 

của 1 tập
n

bằng tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của

.
Chứng minh: Giả sử

là tập xác định bởi:

11
, , , 0, 1, 1
kk
ii
i i i i
ii
x x p a p a p p k


       




Nếu
12
,xx
thì
11
1
11
, , , 0, 1
kk
i
i i i
ii
x p a p a p p

    


21
1
11
, , , 0, 1
mk
i
i i i
ii
x q b q b q q

    


Do đó
01



   
12
11
11
km
ii
ii
ii
x x p a q b
   


    


Và
   
11
0, 1 0, 1 1
km
i i i i
ii
p q p q
   

     


Vậy
 
12
1xx

  
, và

là tập lồi. Rõ ràng
  
. Vì

là tập lồi, nên
 

  
.
Theo đinh lý 13, ta có tập lồi
 

chứa

nên cũng chứa tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của

.
Do đó
 
  
và
 
  

17. Tổng của 2 tập
Lấy
,
n
  
. Tổng của
 
được định nghĩa bởi
 
,,z z x y x y      

18. Tích của một tập hợp với một số thực
Lấy

n

và


. Tích


được định nghĩa bởi
 
,z z x x

   

Chú ý nếu
1


và
,
n
 
, thì

   
. Lưu ý rằng đây không phải là phần bù
của

tương ứng với


theo định nghĩa tại 1.2 và viết là


19. Định lý
Tổng
 
của hai tập lồi

và

trong
n
là một tập lồi.
Chứng minh: Lấy
12
,zz 
, thì
1 1 1
z x y
và
2 2 2
z x y
, trong đó
12
,xx
và
12
,yy
. Cho
01




     
1 2 1 2 1 2
1 1 1z z x x y y
     
         


(Một điểm trong

, (Một điểm trong

,
bởi tính lồi của

) bởi tính lồi của

)
Khi đó
 
là tập lồi
20. Định lý
Tích


của một tập lồi

trong

n
và số thực

là một tập lồi
Chứng minh: Lấy
12
,zz


thì
1 1 2 2
,z x z x


trong đó
12
,xx
. Cho
01



   
1 2 1 2
11z z x x
    

      


(1 điểm trong

,
bởi tính lồi của

)
21. Hệ quả
Nếu

và

là 2 tập lồi trong
n
, thì
 
là 1 tập lồi
II. Định lý tách tập lồi
Bằng trực giác thấy rằng nếu có hai tập lồi rời nhau trong
n
, thì ta có thể dựng một mặt phẳng
sao cho một tập sẽ nằm ở một phía mặt phẳng và một tập khác nằm ở phía khác. Mặc dù nó đơn
giản nhưng đây là một kết quả khá sâu và không dễ dàng để chứng minh. Một phiên bản của kết
quả này, định lý Hahn-Banach, có thể được thiết lập bằng cách chỉ sử dụng các tính chất 1.3.3 của
không gian vector
n
và không phải là tính chất topo cảm sinh bởi chuẩn
x
(Berge 63,
valentine 64). Tuy nhiên, chúng ta sẽ sử dụng những tính chất topo của

n
(tất cả các tóm tắt
trong Phụ lục B) trong việc suy luận ra các định lý tách tập lồi. Đặc biệt là phương pháp chứng
minh sẽ sử dụng định lý Gordan của giả thiết 2.4.5 và các định lý giao hữu hạn của tập compact
B.3.2 (iii). (Từ đây, kiến thức về các nội dung của Phụ lục B được giả định).
1. Mặt phẳng tách
Mặt phẳng
 
, , 0
n
x x cx c

  
được gọi là tách (tách ngặt) hai tập

và

khác rỗng
trong
n
nếu
 
 
x cx cx
x cx cx


   
   

Nếu một mặt phẳng như vậy tồn tại, các tập

và

được gọi là tách được (tách ngặt được).
Hình 3.2.1 minh họa đơn giản trong
2
của hai tập trong
n
được tách, nhưng mà không phải
rời nhau, cũng không lồi. lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, tách được không có nghĩa là các
tập sẽ rời nhau (Hình 3.2.1), cũng không phải là trong trường hợp tổng quát, Hai tập rời nhau thì
tách được (Hình 3.2.2). Tuy nhiên, nếu các tập khác rỗng, lồi, và rời nhau, thì chúng tách được,
và thực tế đây là một định lý tách được chúng ta cần chứng minh.
Hình 3.2.1: Tách nhưng các tập không rời nhau.
2. Bổ đề
Cho

là một tập lồi khác rỗng trong
n
, không chứa gốc 0. Khi đó, nó tồn tại một mặt phẳng
 
, 0 , 0
n
x x cx c  
, tách

và 0, đó là.
0x cx  

Chứng minh: Với mỗi
x
chúng ta kết hợp các tập đóng khác rỗng
 
, 1, 0
n
x
y y yy xy    

Lấy
1
, . . . ,
m
xx
là tập hữu hạn các điểm trong

. Từ tính lồi của

, Định lý 3.1.13, và
0 

, ta suy ra
11
0, 1, 0, 1, . ,
mm
i
i i i
ii
x p p p i m


   

không có nghiệm
m
p

Hình 3.2.2 Rời nhau nhưng không là tập tách.
Hoặc tương đương
1
0, 0
m
i
i
i
x p p



không có nghiệm
m
p

Do đó bởi định lý 2.4.5 của Gordan
0, 1, . . . ,
i
x y i m
có nghiệm
m
y

Rõ ràng
0y 
, và ta có thể lấy
y
sao cho
1yy 
. Khi đó
 
11
, 1, 0
i
mm
ni
x
ii
y y y yy x y

     

Và do đó

1
i
m
x
i
  

Các tập
 

x
x

là tập đóng liên quan đến tập compact
 
,1
n
y y yy
(xem B.1.8 và
B.3.2(i)), do đó theo định lý giao hữu hạn B.3.2(iii) ta có
x
x
   
. Lấy điểm
c
bất kỳ
trong giao điểm này. Khi đó
1cc 
và
0cx 
cho tất cả
x
. Do đó
 
,0
n
x x cx
là mặt phẳng tách được cần tìm.
Nó được nhận xét rằng trong bổ đề trên ta đã không đặt bất kỳ điều kiện về


khác hơn
lồi. Các ví dụ sau đây cho thấy bổ đề trên không thể được tăng cường để
0x cx 

không có một số bổ sung giả thiết. Tập
   
22
12
, 0 , 0, 0x x x x x x x       
là lồi và không chứa gốc, nhưng nó
không tồn tại mặt phẳng
 
,0
n
x x cx
sao cho
0x cx 
(hình 3.2.3)
Mặt khác, nếu ta giả thiết

là đóng (hoặc thậm chí nếu ta giả thiết ít hơn, cụ thể là gốc
không phải là một điểm của bao đóng

), khi đó ta có thể thiết lập một kết quả mạnh
hơn, đó là, có tồn tại một mặt phẳng tách ngặt gốc từ

(xem hệ quả 4 và Bổ đề 5 dưới
đây).
Hình 3.2.3
3. Định lý tách

Cho

và

là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong
n
. Khi đó tồn tại một mặt phẳng
 
, , 0
n
x x cx c

  
, ngăn cách hai tập trên, đó là,
x cx
x cx


  
  

Chứng minh: Tập
 
,,x x y z y z      
là lồi bởi hệ quả 3.1.22 và nó không chứa gốc 0 bởi
vì
 
. Bởi bổ đề ở trên tồn tại 1 mặt phẳng
 
, 0 , 0

n
x x cx c  
như vậy
0x cx 
hoặc
 
,0y z c y z   

Do đó
inf cy sup
y
z
cz



  

Xác định
2




thì
z cz
y cy


  

  

Thực tế ta suy ra được từ các định lý tách cơ bản trên một hệ quả, và hệ quả từ một bổ đề,
(Bổ đề 5). Bổ đề 5 được sử dụng trong việc thiết lập một định lý tách ngặt, Định lý 6,
dưới đây.
4. Hệ quả
Cho

là một tập lồi không rỗng trong
n
. Nếu gốc 0 không là một điểm của bao đóng

( hoặc tương đương nếu gốc không nằm trong bao đóng

của

), khi đó tồn tại một
mặt phẳng
 
, , 0, 0
n
x x cx c

   
, tách ngặt

và 0, và lồi. Nói cách khác
0, 0:
0
c

x cx


  
 
  

Chứng minh
 

Giả thiết, tồn tại
0, 0c


như vậy
cx


với mỗi
x
. Nếu
0
, thì (xem B.1.3 và B.1.6) tồn tại một
x
như vậy
2xc


, và do đó
22

c c x cx
c


   
( bởi 1.3.8)
Là một mâu thuẫn. Do đó
0


 

Từ 0 không là một điểm trong bao đóng của

, tồn tại một hình cầu
mở
 
 
0,
n
B x x x


  
quanh 0 như vậy
 
0B

  
(xem B.1.3). Từ hình

cầu
 
0B

là lồi (xem 3.1.7), theo định lý 3 cho rằng tồn tại một mặt phẳng
 
, , 0
n
x x cx c

  
như vậy
 
0x B cx
x cx



  
  

Từ
 
0B

là một hình cầu mở, nó cần chứa vector
c

khác không cho một vài số dương


. Do đó
0cc


. Cho
1
0
2
cc


thì
0x cx

    

5. Bổ đề
Cho

là một tập lồi đóng, khác rỗng trong
n
. Nếu

không chứa gốc, thì tồn tại một
mặt phẳng
 
, , 0, 0
n
x x cx c


   
tách ngặt

và 0, và ngược lại. Nói cách
khác
0, 0:
0
c
x cx


  
 
  

Chứng minh: Bổ đề này có được từ hệ quả 4 ở trên bằng cách quan sát các yêu cầu đó,


đóng được và không chứa gốc 0 nghĩa rằng 0 không phải là một điểm của bao đóng của ,

, nghĩa là,
0
(xem B.1.3, B.1.5 và B.1.6)
6. Định lý tách ngặt
Cho

và

là hai tập lồi khác rỗng trong
n

, với

compact và

đóng. Nếu

và


rời nhau, thì tồn tại một mặt phẳng
 
, , 0
n
x x cx c

  
, tách ngặt chúng và ngược
lại. Nói cách khác
0, :c
x cx
x cx




       
  

Chứng minh:
 


nếu
x
, thì
cx cx


, mâu thuẫn

 

tập
 
,,x x y z y z      
là lồi bởi hệ quả 3.1.22 và
đóng bởi hệ quả B.3.3. Do đó bởi bổ đề 5 ở trên, tồn tại một mặt phẳng
 
, , , 0
n
x x cx c

   
như vậy
0x cx

   

Hoặc
 
,0y z c y z


     

Do đó
inf cy sup sup
y
zz
cz cz
  

 
    

Xác định
2




thì
z cz
y cy


  
  

Các định lý tách ở trên được sử dụng để lấy được một số định lý cơ bản cho các hàm lồi
trong các chương tiếp theo, do đó được sử dụng trong việc nhận biết tiêu chuẩn điểm yên
ngựa tối ưu cơ bản Kuhn-Tucker của chương trình phi tuyến lồi trong chương 5 và cũng

là định luật tối thiểu điều kiện tối ưu cần thiết của chương 11
Ta nhận thấy rằng đây là một định lý thay thế. Định lý Gordan 2.4.5, đã cơ bản trong việc
suy luận ra các định lý tách trên. Ta có thể đảo ngược phương pháp và sử dụng các định
lý tách ở trên để suy ra các định lý thay thế, vậy để suy ra định lý Gordan 2.4.5, cụ thể là
một trong hai
'
0, 0yy  
có nghiệm
m
y
hay
Ax 0
có nghiệm
n
x
, ta nhận
thấy rằng nếu
e
m

là một vector của ones, thì
'
0, 0A y y
không có nghiệm
 
'
0 , 0, 1z z A y y ey     

0, 0:c z cz


     
(bởi 5)
'
0, 1 0
0
y ey cA y
Ac

     


Hàm ý cuối cùng theo sau bằng cách lấy
, 1, . . . ,
im
y e i m  
, trong đó
i
e
có số
không cho tất cả các phần tử ngoại trừ 1 cho phần tử thứ i
Sử dụng hệ dàn của Bổ đề 5, ta có thể dùng để tái diễn hình học của định lý Gordan như
sau: Hoặc là gốc
0
n




Hình 3.2.5 giải thích hình học của Bổ đề 5
Nằm trong bao lồi của các hàng vector

1
, . . . ,
n
AA
của ma trận A (
'
0, 0A y y
có
nghiệm, hình 3.2.4a), hoặc nó không thuộc (trong trường hợp, bởi bổ đề 5,
Ax > 0
có
một nghiệm
xc
, hình 3.2.4b). Tổng quát hơn, nếu

là tập lồi khác rỗng đóng bất kỳ
trong
n
, hoặc là nó có chứa nguồn gốc, hình 3.2.5a, hoặc nó không chứa (trong trường
hợp, bởi bổ đề 5, tồn tại một vector
n
c
làm cho một góc nhọn ngặt với mỗi
x
,
hình 3.2.5b)
7. Bài toán
Thiết lập định lý Farkas 2.4.6 sử dụng bởi định lý 6 ở trên. (gợi ý: quan sát
'
,0A y b y

không có nghiệm khi và chỉ khi các tập
 
b
và
 
'
,0z z A y y
là
rời nhau. Sau đó sử dụng định lý 6)