Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 6

1


















MÔN: TỐI ƢU PHI TUYẾN

PHẦN 1 CHƢƠNG 4: HÀM LỒI – HÀM LÕM
PHẦN 2: TIÊU CHUẨN TỐI ƢU CỦA QUI HOẠCH KHÔNG KHẢ VI



Thành viên nhóm:
BỒ TÙNG LINH
BÙI THỊ THƠM
NGUYỄN THỊ MỸ THUẬN
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM
Khoa Toán – Tin

2

Chƣơng 4:
Hàm lồi và lõm

Trong chương này chúng tôi giới thiệu tính lồi, lõm, hàm ràng buộc
lồi, hàm ràng buộc lõm được định nghĩa trên không gian
n
R
.
Hàm lồi và lõm rất quan trọng trong qui hoạch phi tuyến tính, bởi vì
chúng là một trong Xố hàm có đủ các tiêu chí tối ưu có thể được đưa ra
(chương 5 và 7), và chỉ những hàm có đủ điều kiện cần tối ưu phi tuyến tính
(điều kiện điểm yên ngựa Kuhn-Tucker trong chương 5).

Ta cung cấp trong chương này một Xố tính chất cơ bản của hàm lồi và
hàm lõm và đưa ra một Xố định lý chủ yếu liên quan đến các hàm này.

Các định lý này, xuất phát bằng cách Xử dụng các định lý tách cho các tập lồi
của chương 3, gần giống với các định lý thay thế ở chương 2, cho các hệ thống
tuyến tính. Trong ý nghĩa này hàm lồi và lõm có một Xố tính chất quan trọng
của hàm tuyến tính.
Những định lý này Xẽ được Xử dụng để đưa ra điều kiện cần tối ưu điểm
yên ngựa của chương 5 và nguyên tắc cực tiểu điều kiện tối ưu cần của
chương 11. Cuối cùng, đề cập đến hàm không khả vi hoặc hàm liên tục được
giới thiệu trong chương này. Một chương tiếp theo chương 6, Xẽ được dành
cho hàm lồi và lõm khả vi.

3

1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản
1.1) Hàm lồi

1.1.1. Định nghĩa hàm lồi tại 1 điểm

Một hàm số

định trên tập

n
XR
được gọi là lồi tại
xX
nếu

 
       
1 2 1 2
0 1 1 1
1




       




  

xX
x x x x
x x X
      



được gọi là lồi trên X nếu nó lồi tại mọi điểm
xX

Ví dụ:
xét hàm số
 
2
f x x
xác định trên R
Lấy
12
,x x R
, cho
01



Xét
       
   

22
1 2 1 2
2
1 2 1 2
11
1 ( 1 )
f x f x x x
f x x x x
   
   
    

    



 
   
 
     
     
   
1 2 1 2
2
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
22
1 1 2 1
2
12

11
1 1 2 1
1 2 1 1 0
10
f x f x f x x
x x x x x x
x x x x
xx
   
     
     


    

       
      
   

Vì
10


nên
   
2
12
10xx

  

vì vậy
 
2
f x x
là hàm lồi trên R
Ví dụ về hàm không lồi trên toàn miền xác định
Xét hàm số
2
,1
()
,1
xx
fx
xx








có tập xác định là R
Chọn

= 0,5 x
1
=-1, x
2
=2, Khi đó

     
1 f x f x


= (1-0,5)f(-1)+0,5f(2)= -0,5
 
1f x x




= f[(1-0,5)(-1)+0,5.2]=f(0,5)= 0,25
Nên f(x) không lồi trên R

4

1.1.2. Hàm lồi ngặt
Một hàm số

xác định trên tập

n
XR
được gọi là hàm lồi ngặt tại
xX
nếu


 
       

11
01
1






     





  

xX
xx
x x x x
x x X
     



f được gọi là lồi ngặt trên X nếu nó lồi ngặt tại mọi
xX


1.1.3. Miền hữu hiệu (effective domain)

Miền hữu hiệu của f ký hiệu là
dom

được định nghĩa như sau
 
()   dom x X x


5

1.1.4 Trên đồ thị (epigragh) của hàm


ký hiệu là epi

, được định nghĩa như sau
 
0
( , ) , , ( )    G epi x y x X y R X x y


Hàm lồi
 
: X

  
có thể được mở rộng thành một hàm lồi trên toàn
không gian
n
bằng cách đặt

()fx 
nếu
x
dom

. Vì vậy, để đơn giản, ta
thường xét

là hàm lồi trên
n


1.1.5. Một số tính chất cow hàm lồi
Cho
tập

n
XR
. Khi đó
a. Nếu f và g là các hàm lồi trên X thì
fg
cũng là hàm lồi trên X. Nếu f và
g là hàm lồi thực sự thì
fg
cũng là hàm lồi thực sự.
b. Nếu f là hàm lồi ( lồi thực sự) trên X và k là một số thực dương thì kf là
một hàm lồi ( lồi thực sự) trên X.
c. Cho
,I J R
là các tập lồi. nếu f là một hàm lồi( lồi thực sự) trên I và g là

một hàm lồi không giảm( hàm lồi tăng ) trên tập lồi J,
 
f I J
thì
gf

là hàm lồi ( lồi thực sự)
Chứng minh: Với
 
, , 0,1x y I


ta có:
 
 
 
     
 
11g f x y g f x f y
   
    
( do g là hàm lồi tăng)


 
 
   
 
      
1

1
g f x g f y
g f x g f y


  
  


Hay
gf
là hàm lồi
Ngược lại nếu g là hàm giảm

trên tập lồi J,
 
f I J
thì
gf
không phải
là hàm lồi.
Ví dụ: cho hàm
 
 
2
sin , ,
2
f x x
g x x x




  



Ta thấy

 
fx

là hàm lồi và

 
gx
là hàm lồi trên

,
2






nên
2
sing f x
,
gf

là hàm không lồi trên
,
2






6

1.2) Hàm lõm

1.2.1
Định nghĩa hàm lõm

Một hàm số

xác định trên tập

n
XR
được gọi là hàm lõm tại
x X
nếu
 
       
0 1 1 1
1





       



  

xX
x x x x
x x X
      



được gọi là hàm lõm trên X nếu nó lõm tại mọi điểm
xX


Hàm

lõm tại
xX
(lõm trên X) nếu và chỉ nếu hàm –

lồi tại
xX
(lồi
trên X). Kết quả thu được cho các hàm lồi có thể được thay đổi thành các kết

quả cho các hàm lõm khi nhân với - 1, và ngược lại.


(a) Một hàm lõm

trên R (b) Một hàm lõm

trên
 
0,1X

Hình 4.1.2 mô tả hàm lõm trên tập con lồi của
n
R
= R

1.2.2 Hàm lõm ngặt
Một hàm Số

xác định trên tập

n
XR
được gọi là hàm lồi ngặt tại
xX
nếu

 
       
11

01
1






     





  

xX
xx
x x x x
x x X
     





được gọi là lõm ngặt trên X nếu nó lõm ngặt tại mọi
xX

Rõ ràng một hàm lồi ngặt (lõm ngặt) trên tập


n
XR
là lồi (lõm)
trên X, nhưng không ngược lại.
Ví dụ:
Một hàm liên tục trên
n
R
là cả lồi và lõm
n
R
nhưng không lồi ngặt,
không lõm ngặt trên
n
R
. Thật ra, tất cả các hàm tuyến tính
 
xxc


trên
n
R
không lồi ngặt cũng không lõm ngặt trên
n
R
. Vì phần tuyến tính,
7

các hàm được mô tả trong hình 4.1.1a là không không lồi ngặt trên R.
Nhưng trong hình 4.1.1b hàm lồi ngặt trên


1,
. Cả hai hàm trong hình
4.1.2 là lõm ngặt trên tập xác định của chúng.
Một hàm véc tơ f n-chiều xác định trên

n
XR
là lồi tại
xX
, lồi
trên X, … nếu mỗi
i
f
,
1,im
là lồi tại
xX
, trên X, …
1.2.3 Một số tính chất hàm lõm
Cho
tập

n
XR
. Khi đó
d. Nếu f và g là các hàm lõm trên X thì

fg
cũng là hàm lõm trên X. Nếu f
và g là hàm lõm thực sự thì
fg
cũng là hàm lõm thực sự.
e. Nếu f là hàm lõm ( lõm thực sự) trên X và k là một số thực dương thì kf là
một hàm lõm ( lõm thực sự) trên X.
f. Cho
,I J R
là các tập lõm. nếu f là một hàm lõm ( lõm thực sự) trên I và
g là một hàm lõm không giảm( hàm lõm tăng ) trên tập lõm J,
 
f I J
thì
gf
là hàm lõm ( lõm thực sự)

1.2.3) Định lý 1:
Cho hàm số

xác định trên một tập lồi

n
XR
là lồi trên X thì điều kiện cần và
đủ là
Epigraph
 
1
0

( , ) , , ( )

    
n
G x y x X y R x y R


là tập lồi trên
1n
R


Chứng minh

(Điều kiện đủ)
Giả sử G
o
lồi. Lấy
12
, x x X
, thì
 
11
, ( )
o
x x G


và
 

22
, ( )
o
x x G


, bởi tính
lồi của G
o
ta có
   
1 2 1 2 0
1 , 1 ( ) ( )x x x x G
    

    

với mọi
01



hoặc

   
1 2 1 2
1 1 ( ) ( )x x x x
     

    


với mọi
01



và khi đó

lồi trên X

(Điều kiện cần)
Giả sử

lồi trên X . Lấy
11
,
o
x z G
và
22
,
o
x z G

vì tính lồi của

trên X ta có
01



         
1 2 1 2 1 2
1 1 1x x x x z z
       

       


Khi đó
   
1 2 1 2
1 , 1
o
x x z z G
   
    
và
o
G
là tập lồi trên
1n
R


Hệ quả:
Cho hàm số

xác định trên một tập lồi


n
XR
là lõm trên X thì điều kiện cần
và đủ là
Hypo

 
1
0
( , ) , , ( )
n
H x y x S y R x y R


    

8


Hình 4.1.3a mô tả hàm lồi trên X và Epigraph

o
G
.
Hình 4.1.3b mô tả hàm lõm trên X và Hypograph H
0
Hình 4.1.3 Epigraph

o
G

của hàm lồi và Hypograph H
0
của hàm lõm

1.2.4) Định lý 2
Cho hàm số

xác định trên một tập lồi

n
XR
là lõm trên X. Điều
kiện cần nhưng không đủ để

lồi trên X là
 
, ( )    
n
A x x X x X R



là lồi cho mỗi số thực

.
Chứng minh:
Lấy

lồi trên X và lấy
12

,x x A


thì có
       
1 2 1 2
11x x x x
     

    

(Vì tính lồi của

)

 
12
1 zz

  
( vì
12
,x x A


)




Do đó
 
12
1 x x A


  

Nếu
A

lồi tại mỗi

, nó không chỉ ra được

là một hàm lồi trên
S
.
Xem xét hàm

trên
R
được xác định bởi
3
()xx


.

không lồi trên

R
.
Tuy nhiên
 
1
3
3
,,A x x R x x x R x




     



thì hiển nhiên lồi với mọi

.
Hệ quả
Cho hàm số

xác định trên một tập lồi

n
XR
. Điều kiện cần nhưng
không đủ để

lõm trên

X
là tập
 
, ( )    
n
A x x X x X R


là lồi với
mỗi số thực

.

9


Hình 4.1.4a mô tả hàm lồi

trên tập lồi

n
X R R
và tập lồi liên quan trên
A


Hình 4.1.4b mô tả hàm không lồi

và tập lồi liên quan trên
A



Hình 4.1.4c mô tả hàm lõm

trên tập lồi
n
S R R
và tập lồi liên quan trên




1.2.5) Định lý 3:
Cho f =
 
1
, ,
m
ff
là một hàm vectơ m-chiều xác định trên
n
SR
.
Nếu f lồi tại
xS
(lồi trên X), thì mỗi tổ hợp tuyến tính không âm của nó
chứa
i
f

 
( ) 0x pf x p


là lồi tại
xX
(lồi trên X)

Chứng minh:
Lấy
xX
,
01


,
 
1  x x X

. Thì
   
 
11
1 ( ) ( )
x x pf x x
p f x f x
    

   
    

   

  


(vì f lồi tại x và p không âm)
   
1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )     pf x pf x x x
    



10

1.2.6) Định lý 4:
(Bất đẳng thức JenXen
):
Cho hàm số

xác định trên một tập lồi

n
XR

Hàm

lồi trên
S
khi và chỉ khi
1 1 1 1

1
1
0 ( 1, , )
1 ( ) ( ) ( )
, ,
i
m
i m m m m
i
m
im
x x x x
x x S

      

  



      






(1.10)
Chứng minh:
Không mất tính tổng quát, có thể xem như

0
i


. Khi đó nếu
i
x dom


thì
( ) , ( )
i i i
xx
 
   
thì bất đẳng thức (1.10) đúng.
Do
dom

lồi nên không xảy ra trường hợp
()
i
x

 
mà
1
m
ii
i

x



 



,
bởi vậy khi đó
1
m
ii
i
x dom





Nếu
i
x dom


, do
epi

lồi và
 

, ( )
ii
x x epi



Suy ra
 
1 1 1 1
, ( ), ( )
m m m m
x x x x epi
     
  

1 1 1 1
( ) ( ) ( )
m m m m
x x x x
     
     
(đpcm)

1.2.7) Định lý 5:
Nếu
()
i i I


là một họ hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lồi và bị chặn trên 1

tập lồi
n
TR
thì hàm số
( ) sup ( )


i
iI
xx

là một hàm lồi trên X
Chứng minh:

Mỗi
i

là hàm lồi trên X
miền của chúng

 
 
, , , ( )
i
i
G x y x S y R x y


   
là tập lồi trong

1n
R

theo định lý 2 và vì

 
 
 
 
, , , ( ) ,
, , , ( )
i
i
G x y x S y R x y i I
x y x S y R x y



      
   

Thì cũng là một tập lồi trong
1n
R

. Nhưng giao các tập lồi này là miền
của

. Vì thế theo định lý 2


là hàm lồi trên X
Hệ quả:
Nếu
()
i i I


là một họ hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà lõm và bao chặn
dưới 1 tập lồi

n
XR
thì hàm số
( ) inf ( )


i
iI
xx

là một hàm lõm trên X.
Nhận xét: hàm số mà lồi trên tập lồi

n
XR
thì không nhất thiết là một hàm
liên tục.
Ví dụ: trên nữa đường thẳng
 
,1R x x R x   

11

Hàm số
2
21
()
1
x
x
xx








là một hàm lồi trên X, nhưng rõ ràng không liên tục tại x = -1
Hình 4.1.1b. Tuy nhiên, nếu X là một tập lồi mở, thì hàm lồi

trên X
thì lại là liên tục. Điều này được mô tả trong định lý theo sau.

1.2.8) Định lý 6:
Lấy X làm một tập lồi mở trong
n
R
, Nếu


là một hàm số lồi trên X thì
nó liên tục trên X

Chứng minh:
Lấy
0
xX
, gọi

là khoảng cách (xem 1.3.9) từ
0
x
đến điểm gần nhất
trong
n
R
, không thuộc X (
 

nếu
X=R
n
) C là khối n-mặt với tâm x
0
và
độ dài cạnh
2

,

 
, , 1, ,
no
ii
C x x R x x i n

      
vì lấy
1
2
() n

ta có
C 
. Lấy V biểu thị tập
2
n
của C, đặt
ax ( )
xV
mx




Theo định lý 4, tập
 
, ( )A x x S x i



   
là tập lồi. Từ đó C là bao lồi
của V (điều này có thể được chỉ ra dễ dàng bởi phần giới thiệu trong n) và
VA


, nó chỉ ra rằng
CA


theo định lý 3.1.13 (Hình 4.1.5).
Lấy x là điểm bất kỳ thoả
0
o
xx

  
và định nghĩa
,
oo
x u x u
trên
đường thẳng qua
o
x
và x như hình 4.1.5. Viết x như là một kết hợp lồi của
o
x
và
o

xu
, và
o
x
là kết hợp lồi của x và
o
xu
. Nếu
/
o
xx


, thì
0
( ) (1 )
()
oo
o o o
x x u x u x
x x u x x u x
  
  
     
      


11
()
11

o
x x u

  




Hình . 4. 1.5

Do vậy

lồi trên X
0 0 0
( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )x x u x x
      
      

12

0
1 ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
x
x x x u
  
  
  


   
  


Các bất đẳng thức này cho
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )x x x x
       
   
     
   


Hoặc
0
00
()
( ) ( )
x
x x x x




  


Với mọi
0



, thì
( ) ( )
o
xx
  

cho mọi x thoả mãn
()
oo
x x x
  

  

,
và do đó
()x

liên tục tại
o
x
(đpcm)
Từ đó phần trong của mỗi tập

n
XR
là tập mở, Suy ra nếu

là hàm lồi

trên tập lồi
X=R
n
thì nó liên tục trên phần trong của nó.

1.3 Hàm thuần nhất dƣơng lồi
1.3.1 Hàm thuần nhất dƣơng
Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất dương
nếu
, (0; )xX

    
thì
( ) ( )xx
  

1.3.2 Hàm thuần nhất dƣơng lồi
Định lý:
Hàm thuần nhất dương


:;  X

là lồi khi và chỉ khi
( ) ( ) ( ), ,    x y x y x y X
  

Chứng minh:
Giả sử hàm thuần nhất dương là lồi. Lấy
,x y X

, khi đó:

11
( ) 2 ( )
22
11
2 ( ) ( )
22
( ) ( )
f x y f x y
f x f y
f x f y
  







Ngược lại:
Giả sử
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y X    
đúng,
lấy
, if ( 1,2)
ii
x r ep i  
ta có
1 2 1 2

( , ) ifx x r r ep  
bởi vì :
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )f x x f x f x r r    

Hơn nữa, f là hàm thuần nhất dương, cho nên nếu
( , ) ifx r ep
thì
()f x r
và
( ) ( ) (0 )f x f x x
   
    

( , ) ifx r ep



Vậy f là hàm lồi.

13

Phần 2:
Tiêu chuẩn tối ƣu của quy hoạch phi tuyến không khả vi

Mục đích của chương này là đưa ra tiêu chuẩn tối ưu của cho bài toán quy
hoạch phi tuyến tính.
Xét bài toán: Tìm cực tiểu của hàm
 
2

xx


xác định trên
 
, 2 0X x x R x    

Dễ thấy phương án tối ưu là
2x 
, cực tiểu của hàm

là
 
4x


. Điều kiện
cần và đủ để
x
là phương án tối ưu của bài toán này là tồn tại một số thực
u
sao
cho
, , 0x R u R u    
thoả
         
2 2 ( ) 2x u x x u x x u x
  
          
.

Ta kiểm tra bất đẳng thức trên có thỏa mãn với
2, 4xu
.
Trên
2
¡
ta xét hàm
     
,2x u x u x

    
có một điểm cực tiểu tại
 
,xu

suy ra Có một điểm yên ngựa tại
2, 4xu
. Với bài toán đơn giản trên, điểm yên
ngựa xảy ra ở cả điều kiện cần và đủ làm cho
x
trở thành phương án tối ưu của
bài toán cực tiểu. Điều này không phải luôn xảy ra trong mọi trường hợp. Trong
chương này, điểm yên ngựa ở trên là điều kiện tối ưu đủ mà không có bất kỳ yêu
cầu nào về tính lồi. Tuy nhiên, để đưa ra điều kiện cần của điểm yên ngựa, không
những ta cần điều kiện lồi mà còn cần một số điều kiện ràng buộc khác nữa.
Trong chương này ta tìm phƣơng án tối ƣu của các hàm số thoả điều kiện
ràng buộc mà không xét tính khảvi của chúng.
5.1 Bài toán cực tiểu và điểm yên ngựa
Tiêu chuẩn tối ưu của chương này có liên quan đến phương án của bài toán cực
tiểu, bài toán cực tiểu địa phương và hai bài toán điểm yên ngựa với nhau .

Cho
0
X
là tập con của
n
R
, cho

và g là các hàm số và một hàm vectơ m-
chiều trên
0
X
. Ta xem xét các bài toán sau
5.1.1Bài toán cực tiểu (MP)
Tìm phương án tối ưu
x
thoả
 
0
( ) min
, ( ) 0
x
x X x x X g x





   



(MP)
Trong đó:
Tập X là miền xác định
x
là phương án cực tiểu
 
x

là cực tiểu.
Nếu X là tập lồi, hàm

là hàm lồi trên X, bài toán điểm cực tiểu (MP) thường
được gọi là bài toán qui hoạch lồi (BTQHL) hoặc bài toán lồi (BTL).
14

Ví dụ 1: Tìm phương án tối ưu của bài toán :
 
22
12
1 2 1 2 1 2
( ) ( 1) ( 1) min
( , ) 2 0, 1 0, , 0
f x x x
x D x x x x x x

    


      




5.1.2. Bài toán cực tiểu địa phƣơng (LMP)
Tìm
x

thuộc Xsao cho có một vài quả cầu mở
 
Bx

quanh
x
với bán kính
0


thoả
     
x B x X x x



   
(LMP)
Ta có thể phát biểu lại bài toán trên theo cách sau:
Điểm
x
được gọi là cực tiểu địa phương của hàm ftrên X nếu tồn tại một lân
cận Xcủa

x
sao cho
0
( ) ( ),f x f x x X X   

5.1.3 Bài toán cực tiểu toàn cục (FLP)
Điểm
x

được gọi là cực tiểu toàn cục của hàm f trên X nếu tồn tại
( ) ( ),f x f x x X  

5.1.4. Bài toán điểm yên ngựa Fritz
Tìm
 
0
00
, , , , 0
m
x X r R r R r r   
nếu tồn tại, sao cho
     
 
0 0 0
0
00
, , , , , ,
0, ,
, , ( ) ( )




    




m
x r r x r r x r r
r r R x X
x r r r x rg x
  

(FJSP)

5.1.5. Bài toán điểm yên ngựa Kuhn- Tucker
Tìm
0
,u ,u 0
m
x X R  
nếu tồn tại, sao cho
     
 
0 0 0
0
00
, , , , , ,
0, ,
, , ( ) ( )




    




m
x r r x r r x r r
r r R x X
x r r r x rg x
  


(KTSP)


15

Chú ý
- Nếu
 
0
,,x r r
là phương án của bài toán (FJSP) và
0
0r 
thì
 

0
,/x r r
là
phương án của bài toán (KTSP). Ngược lại, nếu
 
,xu
là phương án của bài
toán (KTSP) thì
 
,1,xu
là phương án của bài toán (FJSP).
- Hai hàm số
 
0
,,x r r

và
 
,k x u
định nghĩa ở trên được gọi là hàm Lagrangian
và vecto
r
và
u
m- chiều là các nhân tử Lagrangian. Các nhân tử này có một
vai trò trong quy hoạch tuyến tính và phi tuyến tính.
- Bất đẳng thức đúng cho cả hai bài toán (FJSP) và (KTSP ) là
00
( , , ) ( , , )x r r x r r



cho mọi
0
xX
và
( , ) ( , )x u x u


cho mọi
0
xX
được
giải thích như là nguyên lý cực tiểu.
5.2 Một số kết quả của bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phƣơng
Ta thiết lập một số kết quả cơ bản trên tập lồi có liên quan với phương án của
bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương.
5.2.1. Định lý
Nếu

là hàm lồi trên tập lồi X thì tập các phương án của bài toán cực tiểu
(MP) là tập lồi.
Chứng minh:
Cho
12
,xx
là phương án củacủa bài toán(MP) suy ra
 
12
( ) ( ) minx x x
xX

  



Vì X là tậplồi,

là hàm lồi nên với mọi

thoả
01


ta suy ra
 
12
1 x x X

  
và
   
     
 
1 2 1 2 1
1 1 min
xX
x x x x x x
       


      



Do đó
 
12
1 xx


cũng là phương án của (MP) nên tập phương án là tập
lồi.
5.2.2 Định lý duy nhất
Cho X là tập lồivà
x
là phương án tối ưu của bài toán cực tiểu (MP), Nếu

là
hàm lồi ngặt tại
x

thì
x
là phương án duy nhất của (MP).
Chứng minh:
Cho
*
()xx
là các phương khác nhau của (MP) suy ra
*
xX
và

 
 
*
xx


.
Vì X là tập lồi nên
 
*
1 x x X

  
với
01


và
Vì

là lồi chặt tại
x
nên
     
 
 
**
11x x x x x
      


     


16

Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng
 
x

là cực tiểu, và do đó
*
x
không thể
là phương án khác.
5.2.3 Định lý
Nếu

là hàm lõm thay đổi trên tập lồi X thì không có điểm trong của X là
phương án của (MP) hoặc làphương án
x
của (MP) phải là điểm biên của X.
Chứng minh:
Nếu ( MP) không có phương án thì định lý luôn đúng.
Nếu
x
là phương án của (MP) thì tồn tại một điểm
xX
sao cho
   
xx



.
Nếu z là điểm trong của X, tồi tại điểm
yX
thoả
 
1z x y

  
với
01


thì
       
     
( ) 1 1
1
()
z x y x y
xx
x
      
  

     


  



Và
 
x

không đạt cực tiểu tại z .









Hình 5.1.2 Hình 5.2.2 chỉ ra ví dụ đơn giản của định lý 3
trong R

17


5.2.4 Định lý
a) Nếu
x
là phương án của (MP) thì sau nó cũng là phương án của (LMP)
b) Cho X là tập lồi và

lồi tại
x

. Nếu
x
là phương án của (LMP) thì nó cũng
là phương án
của (MP).
Chứng minh:
a) Dễ thấy Nếu
x
là phương án tối ưu (MP) thì
x
là phương án tối ưu của
(LMP)
b) Lấy
x
là phương án tối ưu của (LMP), tập lồi X và

lồi ở
x
, y thuộc
X khá với
x
.
Vì X là tập lồinên suy ra
 
1 x y X

  
với
01



,
chọn

đủ bé thoả
0 / , 1yx
  
   
, ta có
     
1x y x x y B x X

  
      

thì
   
x x y x
  
  


(vì
x
là phương án tối ưu của (LMP) )

     
1 xy
  
  

( vì

lồi tại
x
)
Từ đó suy ra
   
xy



5.3. Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ƣu
Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối được đưa ra trong phần này không yêu cầu tính
lồi trên bài toán
cực tiểu (MP).
5.3.1 Định lý tối ƣu đủ
a) Nếu
 
,xu
là phương án tối ưu của ( KTSP) thì
x
là phương ántối ưu của
(MP)
b) Nếu
 
0
,,x r r
là phương án của (FJSP) và
0
0r 

thì
x
là phương án của (MP)
Chứng minh:
Cho
 
,xu
là phương án tối ưu của (KTSP)thì với mọi
0u 
trong
m
R
và
0
xX
có
( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( )x u g x x u g x x u g x
  
    

Từ bất đẳng thức đầu tiên ta có
   
0, 0u u g x u   

Với
1 jm
,
1,2, , 1, , 1, ,
1
ii

jj
u u i j j j m
uu
   






thì
 
0
j
gx

18

Suy ra
 
0gx
nên
xX
.
Mặt khác vì
0u 
và
 
0gx
suy ra

 
0ug x 
.
Từ bất đẳng thức đầu của bài toán điểm yên ngựa và cho u = 0, do
 
0ug x 

nên
 
0ug x 

Lấy x là điểm bất kỳ trong X thì từ bất đẳng thức thứ hai của bài toán điểm yên
ngựa ta được:
( ) ( ) . ( )x x u g x


(Vì
 
0ug x 


 
x


(Vì
 
0, 0u g x
)
Do đó

x
là phương án của (MP).
Chú ý : Trong định lý trên, không xét tính lồi nên có thể thay h(x) = 0 bằng
 
0hx
và
 
0hx

5.3.2 Bài toán
Xét bài toán cực tiểu:
 
   
 
0
min
, 0, 0
x
x X x x X g x h x





    



Trong đó h là hàm vecto k-chiều trên
0

X
và các điều kiện khác giống trong bài
(MP) mục 5.1.1.
Cho
00
( , , , ) . ( ) . ( ) . ( )x r r s r x r g x s h x

  

Và
( , , ) ( ) . ( ) . ( )k x u v x u g x v h x

  

Tồn tại
0
, , 0,
mk
x X u R u v R   

Thoả:
     
0
, , , , , ,
0, , ,
  

      

mk

k x u v k x u v k x u v
u u R v R x X

Hoặc nếu tồn tại
0
0 0 0
, , 0, , 0, 0,
mk
x X r R r r R r r s R      

Thoả
     
0 0 0
0
, , , , , , , , ,
0, , ,
  

      

mk
x r u s x r r s x r r s
r r R s R x X
  

Thì
x
là phương án tối ưu của bài toán cực tiểu(v và s không bị hạn chế trong
cách ghi).
Phương án nào là phương án tối ưu

x
nếu
 
0
,,x r r
là phương án tối ưu của
(FJSP) ở mục 5.1.3
mà không cần
0
0r 
? Câu trả lời cho vấn đề này là theo kết quả dưới đây.

19

5.3.3 Hệ quả
Nếu
0
( , , )x r r
là một phương án tối ưu của (FJSP) thì hoặc
x
là phương án tối
ưu của (MP) hoặc X không có điểm trong liên quan đến
( ) 0gx
đó là
 
0
, ( ) 0x x X g x   

Chứng minh:
Tương tự trong chứng minh định lý (5.3.1) ở trên, ta dễ thấy rằng

( ) 0gx 
và
( ) 0rg x 
.
Nếu
0
0r 
thì
x
là phương án tối ưu của (MP) bởi định lý (5.3.1).
Nếu
0
0r 
thì
0r 
và từ bất đẳng thức thứ 2 của (FJSP) 5.1.3

0 ( ) ( )rg x rg x
với
0
xX

Nếu tập hợp
 
0
, ( ) 0x x X g x
là không rỗng thì mọi phần
*
x
trong

*
(x ) 0rg 
, mâu thuẫn với giả thiết
(x) 0rg 
với
0
xX
, do đó
 
0
, ( ) 0x x X g x

  

5.4 Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ƣu
Các vấn đề liên quan đến điều kiện cần của tiêu chuẩn là phức tạp điều kiện đủ của
tiểu tối ưu. Hai trường hợp này được so sánh trong bảng sau:

Tiêu chuẩn cần Tiêu chuẩn đủ

(a) Lồi cần thiết
b) Hệ quả của định lý tách tập
lồi cần thiết
(c) Điều kiện chính quy (điều
kiện ràng buộc) cần thiết và
quan trọng
Không cần tập lồi
Không cần hệ quả của định
lý tách tập lồi
Không cần điều kiện chính

qui
Cách thiết lập một tiêu chuẩn tối ưu không cần điều kiện chính quy. Tiêu chí
tối ưu cần này tương tự với các tiêu chuẩn tối ưu cần của Fritz John là hàm

và
g là khả vi nhưng không lồi. Ta không dùng tính khả vi ở đây, nhưng thay vào ta
dùng tính lồi. Các tiêu chuẩn hiện tại là điểm tiêu chuẩn điểm yên ngựa, trong
khi tiêu chuẩn của FritzJohn là một tiêu chuẩn hình học. Điểm chung của hai tiêu
chuẩn là xuất hiện nhân tử
0
r
.
20

5.4.1 Định lý điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ƣu của của FritzJohn
Cho tập lồi X
0
trong R
n
, hàm

và g lồi trên X
0
. Nếu
x
là một phương án của
(MP) thì
x
và
m

rR
,
0
( , ) 0rr
là phương án của (FJSP) mục 5.1.3 và
( ) 0rg x 

Chứng minh:
Vì
x
là phương án của (MP)
( ) ( ) 0
( ) 0
xx
gx






không có phương án
0
xX

Theo hệ quả 4.2.2 tồn tại
00
, ,( , ) 0
m
x R r R r r  

thoả
 
0
( ) ( ) ( )r x x rg x



0
xX

Cho
xx
ta được
( ) 0rg x 
. Nhưng từ
0r 
và
( ) 0gx 
ta cũng có
( ) 0rg x 
do
đó
( ) 0rg x 
.
Và
00
( ) ( ) ( ) ( )r x rg x r x rg x

  
0

xX

Đó là bất đẳng thức thứ 2 của (FJSP) 5.1.3
vì
( ) 0gx
ta cũng có
( ) 0rg x 
với
0,
m
r r R  

Và từ
( ) 0rg x 
suy ra
00
( ) ( ) ( ) ( ), 0,
m
r x rg x r x rg x r r R

     

Đó là bất đẳng thức thứ nhất của (FJSP).
5.4.2 Bài toán
Xem xét vấn đề cực tiểu
 
0
( ) min ( ) , ( ) 0, ( ) 0
xX
x x x X x x X g x h x



     

Trong đó h là một hàm vector tuyến tính k-chiều trong R, g là hàm lồi trên
0
X
và
tất cả các trường hợp khác được định nghĩa như trong (MP). Cho thấy rằng nếu
x

là
một giải pháp của vấn đề trên thì
x
và
 
0 0 0
, , ,( , ) 0, , , 0
mk
r R r R s R r r r r s    
thoả
( ) 0rg x 
và.
0 0 0
0
00
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
0, , ,
( , , , ) ( ) ( ) ( )
mk

x r r s x r r s x r r s
r r R s R x X
x r r s r x rg x sh x


    

      


   


(Hướng dẫn: Xem lại hệ quả 4.2.2)
Lưu ý:
Trong các tiêu chuẩn tối ưu cần ở trên không đảm bảo rằng
0r 
. Trong trường
hợp
0r 

thì tiêu chuẩn trên là tiêu chuẩn tối ưu cần (FJSP), không nói nhiều về vấn
để cực tiểu trong (MP), bởi vì hàm

đã biến mất từ 5.1.3 và bất kỳ hàm nào khác có
thể đóng vai trò của nó. Để loại trừ các trường hợp như vậy, chúng ta phải đưa vào
một số điều kiện ràng buộc. Những điều kiện ràng buộc được nhắc đến trong tài liệu
như điều kiện hạn chế. Một số các điều kiện hạn chế sử dụng duy nhất tính lồi của các
hàm xác định trên miền X.

21


5.4.3. Điều kiện ràng buộc của Slater
Lấy Xº là một tập lồi trong
n
R
. Hàm vector lồi m-chiều g trên Xº xác định trên
miền lồi khả thi
 
, ( ) 0
o
X x x X g x  
thỏa điều kiện ràng buộc của Slater (trên X°)
nếu tồn tại số
o
xX
sao cho
( ) 0gx 

5.4.4 Điều kiện ràng buộc của Karlin
Lấy Xº là một tập lồi trong
n
R
. Hàm vector lồi m-chiều g trên Xº xác định trên
miền lồi
 
, ( ) 0
o
X x x X g x  

thỏa điều kiện ràng buộc của Karlin (trên X°) nếu
tồn tại số
,0
m
p R p

thoả
( ) 0pg x 
với mọi
0
xX
.
5.4.5. Điều kiện ràng buộc ngặt
Cho
0
X
là tập lồi trên
n
R
. Hàm vectơ g m-chiều là hàm lồi trên
0
X
được xác định
trên miền lồi
 
, ( ) 0
o
X x x X g x  
được cho là thoả mãn điều kiên ràng buộc ngặt
(trên

0
X
) nếu X chứa ít nhất hai điểm
1
x
và
2
x
khác nhau sao cho g là lồi chặt ở
1
x
.
5.4.6 Quan hệ giữa các ràng buộc
Điều kiện ràng buộc của Slater (3) và điều kiện ràng buộc của Karlin (4) là tương
đương. Điều kiện ràng buộc ngặt bao hàm điều kiện ràng buộc của Slater và Karlin.
Chứng minh:
 
34
theo định lý tổng quát hoá 4.2.3 của Gordan, (3) và (4) là tương đương.
 
53
vì
0
X
là tập lồi, với
01



 
1 2 0
1 x x X

  

vì g là lồi ngặt tại
1
x
(theo 4.1.4) nên
   
   
1 2 1 2
1 1 0g x x g x g x
   

     


Bất đẳng thức sau cùng được suy ra từ
1
( ) 0gx 
và
2
( ) 0gx 
. Do đó g đáp ứng đủ
điều kiện ràng buộc của Slater và Karlin .
Các tiêu chuẩn tối ưu cần quan trọng mà không dùng tính khả vi. Định lý được
biết nhiều tên: Kuhn-Tucker, mặc dù Huhn và Tucker cần cả tính lồi và khả vi trong
phép tính đạo hàm của nó.

22

FJSP

5.4.7. Định lý điều kiện cần của điểm yên ngựa Kuhn-Tucker
Cho X° là một tập lồi trong
n
R
,lấy

và g là các hàm lồi trên Xº và g thoả điều kiện
của Slater và Karlin hoặc điều kiện ràng buộc ngặt trên Xº. Nếu
x

là phương án của
(MP)thì
x
cũng là phương án (KTSP) và
( ) 0ug x 
, với
,0
m
u R u

Chứng minh:
Theo Bổ đề 6ở trên ta chỉ cần thiết lập định lý dưới điều kiện ràng buộc của
Karlin. Theo định lý 1,
x
và một

0
,
m
r R r R
,
 
0
,0rr
là phương án của (FJSP)
và
 
0rg x 
.
Nếu
0
0r 
thì theo như chú ý 5.1.5 thì định lý được chứng minh
Nếu
0
0r 
thì
0r 
và từ bất đẳng thức thứ 2 của (FJSP) ta có
 
0
0,rg x x X  
(vì
0
0r 
và

 
0rg x 
).
Điều này mâu thuẫn với điều kiện ràng buộc củaKarlin. Do đó
0
0r 
.
Hình 5.4.1 thể hiện mối quan hệ giữa phương án của bài toán trong chương
này.










Suy ra điều kiện tối ưu điểm yên ngựa cần Kuhn-Tucker với ràng buộc buộc đẳng
thức tuyến tính. Ta phải có tập
0
X
của (MP) bằng
n
R
.

23

5.4.8 Định lý điều kiện cần của điểm yên ngựa Kuhn-Tucker với ràng buộc
đẳng thức tuyến tính
Cho

là hàm số lồi , g hàm vectơ m - chiều lồi trên
n
R
, h là hàm vectơ tuyến
tính k-chiều trên
n
R
thoả h ( x ) = Bx - d, trong đó B là ma trận cấp
kn
, và d là
vectơ k chiều.
x
là phương án tối ưu của bài toán cực tiểu
 
( ) min ( ) , ( ) 0, x
n
xX
x x x X x x R g x B d


     
Và g, h thỏa mãn mọi kiện
ràng buộc :
(i) g ( x ) < 0, Bx = d có một phương án
n
xR

(ii) Tồn tại số
0, ,
mk
p p R q R  
Sao cho
( ) ( x ) 0
n
pg x q B d x R    

(iii) X chứa ít nhất hai điểm
1
x
và
2
x
khác nhausao cho g lồi ngặt ở
1
x

Thì
x

thoả mãn
 
0ug x 
và
( , , ) ( , , ) ( , , )
0, , ,
( , , ) ( ) ( ) ( )

m k n
x u v x u v x u v
u u R v R x R
x u v x ug x v Bx d
  




      


   

với
, 0,
mk
u R u v R  

Chứng minh:
( iii ) = > (i) = > (ii)
 
( ) ( )iii i

Từ
1 2 1 2
( ) 0, ( ) 0, ,g x g x Bx d Bx d   
và với
01




Suy ra
12
(1 )B x x d


  

và
1 2 1 2
(1 ) (1 ) ( ) g(x ) 0g x x g x
   

     


 
( ) ( )i ii

Nếu
( ) 0gx
và
Bx d
thì
( ) ( ) 0pg x q Bx d  
với bất kỳ
0,
m
p p R

,
k
qR


 
( ) ( )ii iii

Sẽ không có mất tính tổng quát nếu ta cho rằng các hàng
1
, ,
k
BB
của B là độc lập
tuyến tính khi đó
k
B
là phụ thuộc tuyến tính trên
11
, ,
k
BB

nên
1
1
k
k i i
i
B s B





với
11
, ,s
k
s

là số thực cố định thì
11
11
kk
k x i i k i i k
ii
B x d s B x d s d d


    


Với bầy kỳ x thỏa mãn
, 1, , 1
ii
B x d i k  
, từ
xX
và
, 1, ,

ii
B x d i k
suy ra
1
1
0
k
i i k
i
s d d




và
0
kx
B x d
với x thoả
, 1, , 1
ii
B x d i k  

Do đó ràng buộc đẳng thức
kk
B x d
là không cần thiết và có thể bỏ qua trong
bài toán cực tiểu với sự thay đổi của phương án
x
. Khi đó, ta có thể thành lập định

lý cho các hàng độc lập tuyến tính của B, đưa vào hàng độc lập tuyến tính
k
B
(với
sự thay đổi của bài toán cực tiểu) và tập
0
k
v 
trong bài toán điểm yên ngựa.
24

Từ (2) tồn tại
0
,
m
r R r R
,
 
, , 0
k
o
s R r r


,
 
0
, , 0r r s 
thỏa mãn
 

0rg x 

và giải bài toán điểm yên ngựa 2.
Nếu
0
0r 
thì
00
/ , /u r r v s r
suy ra đpcm.
Giả sử
0
0r 
thì vì
 
0rg x 
và
x0Bd
ta có bất đẳng thức thứ hai của bài
toán điểm yên ngựa của 2 nên
   
0,
n
rg x s Bx d x R    

Ngược lại với
 
ii
ở trên, nếu
0

0r 
. Giả sử rằng
0r 
, khi đó
0s 
và
 
0,
n
s Bx d x R   
. Do đó (xem lại phần chứng minh của 4.2.4)
0Bs


, mâu
thuẫn với giả thiết rằng các dòng của B là độc lập tuyến tính. Nên
0
0r 
.
Bài toán: tìm cực tiểu của bài toán sau:
     
 
min 0 1,2 ,
i
f x g x i x X  

Với
 
 
 

2
2
1
1
f x x
g x x x
g x x








, X=
11
,
22





Bài giải
Ta có miền chấp nhận được:
   
 
1
0, 1,2 0,

2
i
D x X g x i

    



a. Điều kiện cần:
Giả sử tồn tại
0,( 0,1,2)
i
i


không đồng thời bằng 0 sao cho:
   
 
0
, minL ,
0, 1,2
0
xX
ii
L x x
g x i
















Theo định lý 5.2.2 thì ta có
x
là phương án tối ưu của bài toán.
Ta có:
   
22
,
,
0
f x f x x D
x x x D
x
  
   


b. Điều kiện đủ: nếu
0x 
là nghiệm của bài toán thì theo định lý 5.4.7 thì

0
0, 0,1,2i

  
không đồng thời bằng 0 sao cho:
   
 
, minL ,
0, 1,2
xX
ii
L x x
g x i











Ta có :
25

   
   
       

 
22
00
11
22
02
, minL ,
, , ,
,
0,
xX
i i i i
ii
i
L x x
L x L x x X
f x g x f x g x x X
x x x x x X


   
  



   
     
      


Và :
 
0, 1,2
0 0, 1,2
0
ii
i
i
g x i
i




  


Do
0, 0,1,2
i
i


không đồng thời bằng 0 nên:
 Chọn
12
0



Ta có
 
22
0 1 2
2
0
0
0
0,
0,
0
1
x x x x x X
x x X
  



     
   



 Chọn
12
1


ta có
 

22
0 1 2
0,x x x x x X
  
     

 
2
0
1 2 0,x x x X

     


không tồn tại
0


 Chọn
12
1, 0


ta có
 
22
0 1 2
0,x x x x x X
  
     

 
2
0
1 2 0,x x x X

     


không tồn tại
0


 Chọn
12
0, 1


ta có
 
22
0 1 2
0,x x x x x X
  
     

 
2
0
1 2 0,x x x X


     


không tồn tại
0


0x 
là nghiệm của bài toán và
1 2 0
0, 1
  
  
là các nhân tử Lagrange tương ứng.