Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 7

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH















































MÔN: QUY HOẠCH PHI TUYẾN


ĐỀ TÀI:

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA HÀM LỒI – HÀM LÕM

HVTH: 1. Trịnh Cẩm Vân
2. Nguyễn Thị Bích Hồng
3. Ngô Thị Duy Bình

Lớp Toán -Văn bằng 2- khóa 2



1
Chƣơng 4: HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM
I. Định nghĩa
1) Định nghĩa hàm lồi
Một hàm số

xác định trên tập
n
R
được gọi là lồi tại
x 
nếu
 
       
0 1 1 1
1
x
x x x x
xx

      




       




  



được gọi là lồi trên

nếu nó lồi tại mọi
x
.
Trường hợp đặc biệt: nếu

là tập lồi,
n
R
thì ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1:
Một hàm số

xác định trên tập lồi


gọi là lồi trên

nếu và chỉ nếu
 
   
 
12
1 2 1 2
,
11
01
xx
x x x x
     




     





Ví dụ:
 
2
xx



là hàm lồi trên R.



Hàm lồi

trên R Hàm lồi

trên
 
1,   

Hình 4.1: Hàm lồi trên các tập con của
n
RR



2
2) Định nghĩa hàm lõm
Một hàm số

xác định trên tập
n
R
được gọi là lõm tại
x 
nếu
 
       

0 1 1 1
1
x
x x x x
xx
      




       




  



được gọi là lõm trên

nếu nó lõm tại mọi
x
.
Trường hợp đặc biệt: nếu

là tập lồi,
n
R
thì ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2:
Một hàm số

xác định trên tập lồi

gọi là lõm trên

nếu và chỉ nếu
 
   
 
12
1 2 1 2
,
11
01
xx
x x x x
     




     





Ví dụ:

 
2
xx


là hàm lõm trên R.
Chú ý:


lõm tại
x 
(lõm trên Γ) khi và chỉ khi


lồi tại
x 
(lồi trên Γ).

Hàm lõm

trên R Hàm lõm

trên
 
0,1

Hình 4.2: Hàm lõm trên các tập con của
RR
n


.

3) Bài toán 1: Chứng minh rằng:
 
,
n
x cx x R

  
là hàm tuyến tính

 
x

vừa lồi vừa lõm trên
n
R
.
Chứng minh:
 

Vì
 
x

là hàm tuyến tính nên
12
,
n
x x R

;
 
0,1


và
 
12
1
n
x x R

  
ta có:

3
   
   
1 2 1 2
11f x x f x f x
   

    


   
   
   
   
1 2 1 2

1 2 1 2
11
11
f x x f x f x
f x x f x f x
   
   


    





    




Vậy
 
x

vừa lồi vừa lõm trên
n
R
.
 


Vì
 
x

là hàm lồi trên
n
R
nên
 
   
   
12
1 2 1 2
,
1 1 1
01
n
x x R
x x x x
     




     





Vì
 
x

là hàm lõm trên
n
R
nên
 
   
   
12
1 2 1 2
,
1 1 2
01
n
x x R
x x x x
     




     





Từ (1) và (2) suy ra
   
   
1 2 1 2
11f x x f x f x
   

    


Vậy
 
x

là hàm tuyến tính.
4) Định nghĩa hàm lồi ngặt
Một hàm số

xác định trên tập
n
R
được gọi là lồi ngặt tại
x 
(với
x
tùy ý trên

)
nếu
 

       
11
01
1
x
xx
x x x x
xx
     







     






  



được gọi là lồi ngặt trên

nếu nó lồi ngặt tại mọi

x
.
Ví dụ: hàm

trên hình 4.1b) là hàm lồi ngặt.
5) Định nghĩa hàm lõm ngặt
Một hàm số

xác định trên tập
n
R
được gọi là lõm ngặt tại
x 
(với
x
tùy ý trên

)
nếu
 
       
11
01
1
x
xx
x x x x
xx
     








     






  



4

được gọi là lõm ngặt trên

nếu nó lõm ngặt tại mọi
x
.
Ví dụ: hàm

trên hình 4.2 a), 4.2 b) là hàm lõm ngặt.
Chú ý:
- Nếu một hàm lồi ngặt (lõm ngặt) trên tập
n

R
thì hàm đó lồi (lõm) trên Γ, chiều ngược
lại thì không.
Ví dụ: một hàm hằng trên
n
R
đều lồi và lõm trên
n
R
, nhưng nó không lồi ngặt và lõm ngặt
trên
n
R
. Thật vậy, dễ dàng thấy tất cả những hàm tuyến tính
 
x cx


trên
n
R
thì không
lồi ngặt và lõm ngặt trên
n
R
.
- Một hàm véctơ n chiều ƒ xác định trên tập Γ trong
n
R
gọi là lồi tại

x 
, lồi trên Γ, nếu
mỗi hàm thành phần
, 1, ,
i
f i m
lồi tại
x 
, lồi trên Γ.
II. Các tính chất cơ bản
1) Định lý 1 (Các phép toán với các hàm lồi)
Cho U là một tập lồi trong không gian
n
R
. Khi đó
1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U . Nếu f hoặc g là hàm
lồi ngặt thì tổng f + g cũng là hàm lồi ngặt.
2. Nếu f là hàm lồi (lồi ngặt) trên U và µ là một số thực dương thì µf là một hàm lồi (lồi
ngặt) trên U .
3. Nếu f là một hàm lồi (lồi ngặt) trên U và V là tập con lồi của U . Khi đó hạn chế f |V của
hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi ngặt) trên V .
2) Định lý 2
Cho
 
1
,,
m
f f f
là hàm véc tơ m chiều xác định trên
n

R
. Nếu ƒ lồi tại
x 
(lồi
trên Γ) thì mỗi một tổ hợp tuyến tính không âm của các hàm thành phần
i
f

   
,0x pf x p


là hàm lồi tại
x
(lồi trên Γ).
Chứng minh:
Lấy
10, 

x
, và
 xx

)1(
. Ta có :
   
xxpfxx

 )1()1(

 
)()()1( xfxfp


(do f lồi tại
x
và
0p
)

5

)()()1(
)()()1(
xx
xpfxpf





Vậy
 
x

là hàm lồi tại
x
(lồi trên Γ).
3) Bài toán 2

Cho

là một hàm số xác định trên tập lồi
n
R
. Chứng minh rằng

lồi, lõm, lồi ngặt,
hoặc lõm ngặt trên Γ nếu và chỉ nếu với mọi
12
,xx
, hàm số

xác định trên đoạn thẳng
 
0,1
là
   
1
2
1 xx
    

  

lồi, lõm, lồi ngặt, hoặc lõm ngặt trên
 
0,1
.
4) Định lý 3

Cho một hàm số

xác định trên một tập lồi
n
R
, điều kiện cần và đủ để

lồi trên

là
tập trên đồ thị của

:
 
 
1
, / , , ( )
n
G x x R x R

   

    
là tập lồi trên
1n
R
.
Chứng minh:
(Điều kiện đủ)
Giả sử


G
lồi.
Lấy

21
,xx

11
[ , ( )]x x G



và
22
[ , ( )]x x G




Vì

G
lồi nên
1 2 1 2
[(1 ) ,(1 ) ( ) ( )]x x x x G

    
    
(

10 

)
Hay
1 2 1 2
[(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x
     
    
(
10 

)
Vậy

là hàm lồi trên


(Điều kiện cần)
Giả sử

lồi trên

.
Lấy
11
,xG



và

22
,xG



.
Vì

lồi trên

nên
1 2 1 2
[(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x
     
    
(
10 

)

12
(1 )
  
  

1 2 1 2
(1 ) ,(1 )x x G

    


     


Vậy
G

là tập lồi trên
1n
R
. (đpcm)
5) Hệ quả 1
Cho một hàm số

xác định trên tập lồi
n
R
, điều kiện cần và đủ để

lồi trên

là tập
dưới đồ thị của

:
 
 
1
, / , , ( )
n
H x x R x R


   

    
là tập lồi trên
1n
R
.

6

Hình 4.3: a) Tập trên đồ thị của hàm lồi

là tập lồi
G


b) Tập dưới đồ thị của hàm lõm

là tập lồi
H



6) Định lý 4
Cho

là hàm số xác định trên tập lồi
n
R

. Điều kiện cần để

lồi trên

là tập
 
/ , ( )
n
x x x R


      
lồi với mọi số thực

.
Chứng minh:
Cho

lồi trên

.
Lấy
 
12
, ; 0,1xx


 
ta có:
1 2 1 2

[(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x
     
    
(
10 

)

(1 )
  

  


12
(1 )xx


   

Vậy


là tập lồi.
Tiếp theo ta chứng minh


lồi với mọi số thực

.

Xét hàm

trên R :
 
3
xx




không lồi trên R.
Tập
 
 
1
3
3
/ , / ,x x x x x x


      
là tập lồi với mọi

(hiển nhiên)
7) Hệ quả 2

7
Cho

là hàm số xác định trên tập lồi

n
R
. Điều kiện cần để

lõm trên

là tập
 
/ , ( )
n
x x x R


      
lồi với mọi số thực

.
Hình 4.4: a) Hàm lồi

liên kết tập lồi


.
b) Hàm không lồi

liên kết tập lồi


.
c) Hàm lõm


liên kết tập lồi


.
8) Bài toán 3
Cho

là hàm số xác định trên tập lồi
n
R
. Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để


lồi trên

là với mọi số nguyên
1m 
,
     
1
1 1 1
11
1
, ,
, , 0 (*)
1
m
m m m
mm

m
xx
p p p x p x p x p x
pp
  



      


  


Chứng minh:
(Điều kiện cần) Chứng minh qui nạp theo k
+
2k 
ta có bất đẳng thức đúng sau:
     
2
12
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
,
,0
1
xx
p p p x p x p x p x

pp
  



    





+ Giả sử bất đẳng thức (*) đúng với
1km
nghĩa là ta có bất thức đúng sau:
     
11
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
11
, ,
, , 0
1
m
mm
m m m
m
xx
p p p x p x p x p x
pp
  



  




      


  



8
+Chứng minh bất đẳng thức (*) đúng với
km
. Đặt
,
1
i
i
m
p
p
p



   

 
   
 
11
,,
1 1 1
11
m m m
i m i m i
i m m i m m i
i i i
p x p x p p x p x p p x
    

  

     


  


 
1
,
11
1
mm
m i i
m m i i

ii
p x p p x p x



   
   


   

(đpcm)
(Điều kiện đủ) Hiển nhiên
Bất đẳng thức (*) ở trên gọi là bất đẳng thức Jensen.
9) Định lý 5
Nếu
 
i
iI


là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lồi và bị chặn trên trên tập lồi
n
R
thì hàm số
 
sup ( )
i
iI
xx




là một hàm lồi trên

.
Chứng minh:
Vì mỗi
i

là hàm lồi trên

nên tập trên đồ thị của mỗi
i


})(,,/),{(


 xRxxG
i
i
là các tập lồi trên
1n
R

(định lý 2)
{( , )/ , , ( ) , }
i
i

iI
G x x R x i I

   

      


{( , )/ , , ( ) }x x R x
   
   
cũng là một tập lồi trên
1n
R

.
Mà giao của các tập lồi này là tập trên đồ thị của

.
Vậy


là một hàm lồi trên

(định lý 2). (đpcm)
10) Hệ quả 3
Nếu
 
i
iI



là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lõm và bị chặn dưới trên tập lồi
n
R
thì hàm số
 
inf ( )
i
iI
xx



là một hàm lõm trên

.
Chú ý:
- Hàm

là lồi trên tập lồi
n
R
thì không nhất thiết là hàm liên tục.
Ví dụ: trên nữa đoạn thẳng
}1,/{  xRxx
, hàm số
2
2, 1
()

( ) , 1
x
x
xx








là một hàm lồi trên

( tập trên đồ thị của

là tập lồi trên

), nhưng không liên tục tại
1x 
(
   
1
lim 1
x
x



) (hình 4.1b).

- Tuy nhiên, nếu

là một tập lồi mở, thì hàm lồi

trên

liên tục.


9
11) Định lý 6
Cho

là một tập lồi mở trên
n
R
. Nếu

là một hàm lồi trên

thì

liên tục trên

.
Chứng minh :
+ Lấy
0
x 
và


là khoảng cách (xem 1.3.9) từ
0
x
đến điểm gần nhất trên
n
R
không trên



 
nếu

n
R
. Cho
C
là hình lập phương n chiều với tâm
0
x
và chiều dài cạnh
2

, nghĩa là:
 
0
1
{ , , : , 1, , }
n

n i i
C x x R x x i n

      

Với
 
0 0 0 0 0
0 1 2
1
, , , ,
n
n i i
i
x x x x x x



   



Cho
 
1/2
n



C  

.
Cho
V
là tập các đỉnh
2
n
của
C
và
max ( )
xV
x




Theo định lý 3 ta có:
 
/ , ( )x x x


   
là tập lồi.
Vì
C
là bao lồi của
V
(điều này thì dễ dàng chứng minh bằng phép quy nạp trên
n
) và


V
nên

C
(định lý 3.1.13) (hình 4.5).
Cho
x
là điểm bất kỳ thỏa


0
0 xx
, xác định x° + u, x° — u trên đường thẳng qua
0
x
và
x
như hình 4.5.

Khi đó
x
là tổ hợp lồi của
0
x
và
0
xu
;
0

x
là tổ hợp lồi của
x
và
0
xu
.
Nếu

/
0
xx
thì
)(
11
1
)(
)1()(
0
00
00
uxx
xuxxuxx
xuxuxx















10
Vậy

lồi trên


 
 
 
 
 
0 0 0
1 1 ( )x x u x x
      
      

 
 
 
 
00
1

1 1 1
x
x x x u
 

  
  

   
  


 
 
0 0 0
( ) ( )x x x x
       
   
      
   


 
 
 
0
00
x
x x x x





   

Vậy
0



 
 
0
xx
  
  
với mọi x thỏa
 
00
x x x
  

  

và do đó
 
x


liên tục tại

0
x
. (đpcm).
Từ đó phần trong của mỗi tập
n
R
là tập mở, nếu

là một hàm lồi trên một tập lồi
n
R
thì
nó liên tục trên phần trong của tập lồi.
12) Định nghĩa: Một hàm f : [a, b] → R được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên
[a, b] nếu bất đẳng thức
( ) ( )
22
x y f x f y
f






thỏa với mọi điểm
 
,,x y a b

13) Định lý 7 (J.L.W.V.Jensen): Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → R là một

hàm liên tục. Khi đó f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa mãn
( ) ( )
(**)
22
x y f x f y
f





với mọi
,x y I

Chứng minh:
)
Hiển nhiên
)
Giả sử ta có (**). Nếu f không phải là hàm lồi trên I thì tồn tại một đoạn [a; b] ⊂ I để
đồ thị của hàm f |[a;b] không nằm dưới dây cung nối (a, f (a)) và (b, f (b)). Dây cung nối (a,
f (a)) và (b, f (b)) là


11

 
( ) ( )
()
f b f a
x a f a

ba




Khi đó hàm
     
 
( ) ( )
( ) , ,
f b f a
x f x x a f a x a b
ba


    


Với
 
 
 
sup / , 0x x a b

  

Ta có

cũng là hàm J-lồi. Thật vậy, do f là hàm J-lồi nên ta có
 

( ) ( )
()
2 2 2
x y x y f b f a x y
f a f a
ba

   
   
   
   

   


   
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
f a f a
f x f b f a x a f y f b f a y a
b a b a
   
   
     
   

   


( ) ( )

22
xy



Do f (x) liên tục trên [a; b] nên ta có
()x

liên tục trên [a; b] và do đó tồn tại x ∈ [a; b]
để
()x


.
Đặt c = inf{x ∈ [a; b] |

(x) = γ }. Ta suy ta
()c


và c ∈ (a; b) vì
( ) ( ) 0ab


.
Khi đó với h > 0 sao cho c ± h ∈ (a; b) ta có
( ) ( )c h c


và

( ) ( )c h c



Hay
 
()
()
2
c h c h
c


  


mâu thuẫn với

là J-lồi.
Định lý được chứng minh.
14) Hệ quả 4: Cho f : I → R là một hàm liên tục. Khi đó f lồi nếu và chỉ nếu
f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và với mọi h > 0 để x + h và x − h nằm trong I .
Ví dụ : Cho hàm
x
e
. Xét biểu thức
2
, , 0
x h x h x
e e e x R h


   

Theo bất đẳng thức Cauchy, suy ra
2
0
x h x h x
e e e

  

Do đó, áp dụng hệ quả 4 ta có hàm
x
e
là hàm lồi.