Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 8

Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)







Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến



CHỦ ĐỀ:
HÀM KHẢ VI







Nhóm thực hiện:

1. Ma Xuân Út
2. Lê Thị Diễm Kiều
3. Nguyễn Văn Tùng

Hàm Khả Vi
Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
Định Lý Giá Trị Trung Bình
và Định Lý Hàm Ẩn



I. HÀM KHẢ VI VÀ ĐẠO HÀM BẬC HAI

1. Hàm khả vi:
Cho D là tập mở trong
n
R
và

 
12
: D , f , , ,
p
p
f R f f f

Ta nói f khả vi tại

xD
nếu tồn tại ánh xạ ánh xạ tuyến tính
:
np
x
t R R
,
và tồn
tại hàm
: V R
p
x


với V là một lân cận nào đó của
0
n
R

sao cho
n
hR
mà
x h D
thì:
     
()
x
f x h f x t h h h


   

 
0
lim 0
p
n
R
R
h
h




Trong đó:
 
12
, , ,
n
h h h h


1
2
2
1
n
i
i

hh











Ánh xạ tuyến tính
x
t
nếu có sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại x và ta
đặt là
 
/
fx


2. Đạo hàm riêng và Gradien của hàm số:
Xét hàm số
f
xác định trên tập mở
n
DR
, cho
xD

,
f
được gọi là có đạo
hàm riêng tại x ứng với biến thứ i
(i 1, n )
nếu tồn tại giới hạn sau:


   
1 2 1 1 1 2
0
, x , x , , x , , x , x , , x
lim
i i i n n
f x x f x







Ta đặt giá trị này là
 
i
fx
x



và gọi là đạo hàm riêng của
f
tại theo biến thứ i tại
x

Nếu f có các đạo hàm riêng theo các biến thứ i
(i 1, n )
tại x. Một vectơ n
chiều mà các thành phần của nó là các đạo hàm riêng của
f
tại
( 1, , )
i
x i n

được gọi là Gradien của
f
tại
x
và ta kí hiệu:
 
,fx

nghĩa là:
 
     
12
, , ,
n
f x f x f x

fx
x x x
  



  


Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)

3. Định lý:
Cho
f
là hàm xác định trên tập mở
n
DR
và
xD

Nếu
f
khả vi tại
x
thì
f
liên tục tại
x

và tồn tại vector Gadien
 
fx
(và nó
là duy nhất), nhưng không có điều kiện ngược lại tức là
f
liên tục tại
x

thì
chưa chắc khả vi tại
x

Nếu các đạo hàm riêng của hàm
f

theo các biến thứ i
 
1, ,in
liên tục,
 
fx
tồn tại và liên tục tại
x
thì
f
khả vi tại
x

4. Sự khả vi của hàm có giá trị vectơ:

Cho D là tập mở trong
n
R
và
 
12
: D , f , , ,
p
p
f R f f f

khi đó
f
khả vi tại
xD
nếu và chỉ nếu
12
, , ,
p
f f f

khả vi tại
x

5. Đạo hàm riêng và ma trận Jacobi của hàm véc tơ:
Cho D là tập mở trong
n
R
và
 

12
: D , f , , ,
m
m
f R f f f
, cho

 
12
, x , x
n
x x D
hàm
f
được gọi là có đạo riêng tại
x

nếu các hàm thành
phần
12
, f , f
m
f
có đạo hàm riêng theo tất cả các biến
 
1, ,
i
x i n
tại điểm x
Khi đó, đạo hàm của

f
tại
x

ký hiệu là
 
/
fx
có ma trận biểu diễn:

 
     
     
     
1 1 1
12
2 2 2
/
12
12




n
n
m m m
n
f x f x f x
x x x

f x f x f x
fx
x x x
f x f x f x
x x x
  


  


  


  




  

  


Ma trận cấp
mn
của
 
/
fx

được gọi là ma trận Jacobi của
f
tại
x

6. Định lý đạo hàm của hàm hợp
Cho
U
là tập mở trong
n
R
,

V
là tập mở trong
p
R
,
cho
xU

 
12
: , , , ,
p
f U V f f f f

 
12
g : V , g , g , , g

k
k
Rg
và
   
g f x g f x



Giả sử
f
khả vi tại
x
,
g
khả vi tại
 
fx

Khi đó
gf
khả vi tại
x
và
       
/
//
.g f x g f x f x



7. Đạo hàm bậc hai và Ma trận Hess:
+Cho D là tập mở trong
n
R
và
 
12
: D , f , , ,
p
p
f R f f f
khả vi tại
xD

+Ánh xạ đạo hàm
/
f
có các thành phần cho bởi ma trận Jacobi ở trên
Ta nói ánh xạ đạo hàm
/
f
khả vi tại
xD
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao
cho với
n
hR
mà

x h D
thì:

Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
       
//
.f h x f x h A x h h

   


Với

xác định gần
0
n
R

và
 
0
lim 0
np
n
R
RR
h





Ánh xạ tuyến tính A nếu có sẽ duy nhất và đặt
 
 
2
A f x

Gọi là đạo hàm bậc hai của
f
tại
x

Ma trận cấp
nn
của
 
 
2
fx
được gọi là ma trận Hessian mà các thành phần thứ
,ij

(hàng
i
, cột
j
) của nó cho bởi
 

 
 
2
2
,
ij
ij
fx
fx
xx






, 1, ,i j n

8. Định lý:
Cho D là tập mở trong
n
R
và
 
12
: D , f , , ,
p
p
f R f f f
, f

khả vi tại
xD

Khi đó:
i)
f
khả vi tại
x

f
khả vi bậc hai tại
x

ii)
f
có các đạo hàm riêng liên tục tại
xf

khả vi bậc hai tại
x

iii)
2
f
liên tục tại
x
nếu chỉ nếu các đạo hàm riêng bậc 2 của các hàm thành phần
 
22
,

kk
i j j i
ff
x
x x x x


   

, 1,i j n

9. Ghi chú:

 
, 1,
i
fx
in
x




được gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của
f

tại
x

 

2
, , j 1,
ij
fx
in
xx



được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của
f

tại
x


Tương tự, ta tính được đạo hàm riêng cấp k của
f
tại
x
(nếu tồn tại)

10. Ghi chú:
i)
Cho D là tập mở trong
nk
RR
,
f
xác định và khả vi trên

D

Cho
 
,x y D
ta xác định được:

 
     
12
, y , y , y
, y , , ,
n
f x f x f x
f
x
x x x x
  




   



 
     
12
, y , y , y

, y , , ,
k
f x f x f x
f
x
y y y x
  




   



và
 
   
,,
,,
f x y f x y
f x y
xy







Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
ii)
Cho
f
là hàm có giá trị vectơ ,
 
12
, , ,
m
f f f f

, f
xác định trên tập mở
D
trong


nk
RR
,
f
khả vi tại
 
,x y D
ta xác định được:

     
     
     
1 1 1
12
2 2 2
12
12
, y , y , y

, y , y , y


, y , y , y

n
n
m m m
n
f x f x f x
x x x
f x f x f x
d
x x x
f x f x f x
x x x
  



  


  


  




  

  


     
     
     
1 1 1
12
2 2 2
12
12
, y , y , y

, y , y , y


, y , y , y

k
k
m m m
k
f x f x f x
y y y
f x f x f x
d
y y y
f x f x f x
y y y
  


  


  


  




  

  


và
   
,,f x y f x y
d
xy







II. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
ĐỊNH LÝ TAYLOR’S:

1. Định lý giá trị trung bình:
Cho
f
là một hàm khả vi được xác định trên tập mở lồi
D
trong
n
R

và
12
,x x D
thì:

       
2 1 1 2 1 2 1
f x f x f x x x x x

     



với:
, 0 1R

  


2. Định lý Taylor’s: (Hàm bậc hai)
Cho
f
là một hàm có đạo bậc hai được xác định trên tập mở lồi
D
trong
n
R

và
12
,x x D
. Khi đó:

       

     
2
2 1 1 2 1 2 1
2 1 1 2 1
2
x x f x x x x x
f x f x f x x x

    


    

Với
,R



01





3.
Định lý hàm ẩn:

Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)

Lấy
f
là hàm vectơ
m 
chiều được xác định trên tập mở
A

trong

 
nm
RR
và
f
có đạo hàm riêng cấp 1liên tục tại
 
,yxA
với
 
x, 0fy

và
 
,f x y
y



không suy biến. Khi đó tồn tại một quả cầu mở
 

,B x y

với bán kính
0


trong
mn
R

, một tập mở
D
trong
n
R
chứa
x
, và
e
là một hàm không gian
véctơ
m
- chiều, có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên
D
sao cho
 
,f x y
y



không suy biến
   
,,x y B x y


,
 
y e x

và
 
, e 0f x x 


với
xD

III. CÁC VÍ DỤ:

1/ Cho
f
:
22
,
 
12
,f f f
định bởi:

 
 
22
1/3
22
1
sin y
,0
,
0 , 0
x
x x y
xy
f x y
xy

  








 
 
2
22
2 /3

22
2
y sin x
sin y , 0
,
0 , 0
xy
f x y
xy
xy

  








a) Xét sự khả vi của
f
tại
 
0, 0
. Tính
 
/
0, 0f

b) Xét tính liên tục của đạo hàm
/
f
tại mọi
 
2
,,xy
đặc biệt tại
 
0, 0


2/ Cho
f
:
22
,
 
12
,f f f
định bởi:

 
 
2
22
1/3
22
1
sin y

,0
,
0 , 0
x
xy x y
f x y
xy
xy

  








 
 
2 2 2
1/3
22
2
1
y sinx cos , 0
,
0 , 0
yx x y
xy

f x y
xy

  








a) Xét sự khả vi của ánh xạ đạo hàm
/
f
tại
 
0, 0
. Tính
 
 
2
0, 0f

b) Xét tính liên tục của ánh xạ đạo hàm bậc hai
 
2
f
tại
 

0, 0




Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
Giải:

Bài 1:
a) Xét sự khả vi của ánh xạ đạo hàm
/
f
tại
 
0, 0

Ta có:

 
   
11
1
00
, 0 0 , 0
0, 0 lim lim 1
ss
f s f
f

s
x s s



  



 
   
11
1
00
0, t 0, 0
0 .sin
0, 0 lim lim 0
tt
ff
f
t
y t t



  


         
 
   
11
1 1 1
22
, 0 , 0
1
22
,0
22
3
55
, 0 , 0
2 2 2 2
66
1
lim , lim , 0, 0 0 , 0 0, 0
1 .sin
lim
.sin .
lim lim 0
s t s t
st
s t s t
ff
s t f s t f s t
xy
st
st

ss
st
st
s t s t
s t s t






   






  








(vì:
 
 

 
 
22
1
22
6
55
2 2 2 2
66
.
11
00
22
st
st
st
s t s t

    

theo định lý giới hạn kẹp)

 
 
 
22
1
22
6
5

, 0 , 0
22
6
11
lim lim 0
22
s t s t
st
st
st


   


Vậy
 
1
,yfx
khả vi tại
 
0, 0



 
   
22
2
00

, 0 0, 0
0.sin
0, 0 lim lim 0
ss
f s f
f
s
x s s



  



Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
 
   
22
2
00
0, t 0, 0
sin
0, 0 lim lim 1
tt
ff
f
t

y t t



  

         
 
 
22
2 2 2
22
, 0 , 0
2
2
22
,0
22
3
23
7
22
,0
22
6
3
22
,0
1
lim , lim , 0, 0 0, 0 0, 0

1 t .sin s
lim sin
sin t . sins
lim , sin
3!
t
lim
3!.
s t s t
st
st
st
ff
s t f s t f s t
xy
st
tt
st
st
t t t
tt
st
st
t
st








   






  









    











 
2
7
22
6
.sin s
0
st









+/
3
22
,0
lim 0
3!.
st
t
st









(vì:
2
3
2
2 2 2 2
0
tt
t
t
s t s t


theo định lý giới hạn kẹp)
+/
 
2
7
,0
22
6
t .sins
lim 0
st
st










(vì:
 
 
 
 
1
22
2
2
1
22
3
71
2 2 2 2
66
t . s
0
st
st
s t s t

   


và theo định lý giới hạn kẹp)
 
32
7
22
,0
22
6
.
lim 0
6
st
t t s
st
st




  






Vậy
 
2
,yfx

khả vi tại
 
0, 0


 
   
   
11
/
22
0, 0 0, 0
10
0; 0
01
0, 0 0, 0
ff
xy
f
ff
xy


















Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
b) Xét tính liên tục của đạo hàm
/
f
tại mọi
 
2
,,xy

 
14
2 2 2 2 2
1
33
1
2
1 sin .( ) sin ( )
3
0, 0 1
f

y x y x y x y
x
f
x


    





 
14
2 2 2 2
1
33
1
2
cos .( ) sin ( )
3
0, 0 0
f
x y x y xy y x y
y
f
y


   






1
f
x


liên tục tại
 
0, 0
 
   
11
,0
lim , 0, 0 1
xy
ff
xy
xx


  


 
 
 

 
11
, 0 , 0
2 2 2 2
33
sin
lim lim 0
x y x y
yy
x y x y




(vì:
   
 
 
12
2 2 2 2
33
2
22
3
1
22
3
.
0
y x y x y

y
xy
xy

  



   




và theo định lý giới hạn kẹp)

 
 
 
 
22
44
, 0 , 0
2 2 2 2
33
2 x sin 2 x
lim lim 0
33
x y x y
yy
x y x y





(vì:
     
2
2
4 4 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
22
0
333
xy
x y y
x y x y x y


và theo định lý giới hạn kẹp)

 
   
11
,0
lim , 1 0, 0 1
xy
ff
xy

xx


   


(vì:
 
2
4
22
3
2
2
0
3
3
xy
xy


và theo định lý giới hạn kẹp)
Do đó
1
f
x



liên tục tại

 
0, 0

1
f
y


liên tục tại
 
0, 0
   
11
, 0, 0 0
ff
xy
yy

  


 
 
1
,0
22
3
x . cosy
lim 0
xy

xy




(vì:
   
 
 
 
1
22
2
1
22
6
1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3
cos
cos cos
0 cos
x y y
x y x y
x y y
x y x y x y

    
  

và theo định lý giới hạn kẹp)

Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
 
 
 
 
2
44
, 0 , 0
2 2 2 2
33
2 x y . sin y 2 xy
lim lim 0
33
x y x y
x y x y




(vì:
     
   
   
 
1
2 2 2 2

2
2
2
1
22
6
4 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
2
2
2
0
3
3 3 3
x y x y
xy
xy
xy
x y x y x y x y x y

    
    

và theo định lý giới hạn kẹp)
 
   
11
,0

lim , 0 0, 0 0
xy
ff
xy
yy


   


Do đó
 
1
,
f
xy
y



liên tục tại
 
0, 0


Tương tự hàm
 
2
,f x y
:

   
25
2 2 2 2 2 2
2
33
2
22
25
2 2 2 2
33
2
, cos .( ) sin x 2 x ( )
3
cos 4 1
sinx
3
( ) ( )
f
x y y x x y y x y
x
yx
xy
x y x y




   







 
3
2
25
2 2 2 2
33
2 y .sin x 4 1
, cos sin x
3
( ) ( )
f
x y y y
y
x y x y

  



   
22
, ; ,
ff
x y x y
xy



liên tục
 
22
x0y  

 Tại
 
0, 0

 
2
,
f
xy
x


liên tục tại
 
0, 0
khi và chỉ khi:
   
22
, 0 , 0
lim , lim 0, 0
x y x y
ff
xy
xx






 
 
2
2
,0
22
3
cos
/ lim 0
xy
yx
xy




(vì:
 
 
2
1
22
3
2
22

3
cos
0
yx
xy
xy
  

và theo định lý giới hạn kẹp)

 
 
 
 
22
2
55
, 0 , 0
2 2 2 2
33
4 sin 4 x
/ lim lim 0
33
x y x y
yy
xy
x y x y

  


(vì:
 
 
1
22
22
3
5
22
3
44
0
33
xy
xy
xy
  

và theo định lý giới hạn kẹp)
 
   
22
,0
lim , 0 0, 0 0
xy
ff
xy
xx



   


Do đó
2
f
x



liên tục tại
 
0, 0

Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
2
f
y


liên tục tại
 
0, 0
   
22
,0
lim , 0, 0 1

xy
ff
xy
yy


  


 
,0
lim co sy 1
xy


 
 
 
 
33
55
, 0 , 0
2 2 2 2
33
4 y .sin x 4 x y
lim lim 0
33
x y x y
x y x y





(vì:
 
 
 
 
22
2
1
22
3
55
2 2 2 2
33
444
0
333
xy
xy y
xy
x y x y

   

và theo định lý giới hạn kẹp)


 

   
22
,0
lim , 1 0, 0 1
xy
ff
xy
yy


   


Do đó
2
f
y



liên tục tại
 
0, 0

Vậy
/
f
liên tục trên
2
R

Bài 2: a/ Xét sự khả vi của ánh xạ đạo hàm
/
f
tại
 
0, 0

Ta có:
 
22
12
: ;f f ,f R R f

 
   
   
11
/
22
,,
,
,,
ff
x y x y
xy
f x y
ff
x y x y

xy












Xét sự khả vi
   
11
, ; ,
ff
x y x y
xy



Tại
   
, 0, 0xy 

nếu
   
   

22
11
2
22
11
2
, ; ,
, ; ,
ff
x y x y
x x y
ff
x y x y
y y x



  





  

liên tục
 
 
1
1

,
,
f
xy
x
f
xy
y












khả vi
   
22
11
,,
ff
x y x y
x y y x





   


Tại
 
0, 0
:

 
   
11
2
1
2
0
, 0 0, 0
0, 0 lim
s
ff
s
f
xx
xs









 
   
11
2
1
0
0, t 0, 0
0, 0 lim
t
ff
f
xx
x y t








Đặt :
         
22
1 1 1 1
1
2

22
1
, , t 0, 0 0, 0 . 0, 0 .
f f f f
s t s s t
x x x x y
st


   
   

    



Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
Nếu
   
1
1
,0
lim , 0 x , y
st
f
st
x






khả vi tại
 
0, 0

 
   
11
2
1
0
s, 0 0, 0
0, 0 lim
s
ff
f
yy
y x s








 

   
11
2
1
2
0
0, t 0, 0
0, 0 lim
t
ff
f
yy
yt








Đặt :
         
22
1 1 1 1
2
2
22
1
, , t 0, 0 0, 0 . t 0, 0 .s

f f f f
s t s
y y y y x
st


   
   

    



Nếu
   
1
2
,0
lim , 0 x, y
st
f
st
y





khả vi tại
 

0, 0

Tương tư ta xét sự khả vi
   
22
, ; ,
ff
x y x y
xy




b/ Xét tính liên tục của ánh xạ đạo hàm bậc hai
 
2
f
tại
 
0, 0

Ta có:

     
/
11
1
, , , ,
ff
f x y x y x y

xy







     
/
22
2
, , , ,
ff
f x y x y x y
xy







     
2 2 2
12
, , , ,
n
f x y f x y f x y R





 
   
   
22
11
2
2
1
22
11
2
,,
,
,,
ff
x y x y
x x y
f x y
ff
x y x y
y x y



  






  



 
   
   
22
22
2
2
2
22
22
2
,,
,
,,
ff
x y x y
x x y
f x y
ff
x y x y
y x y




  





  



+ Ta xét sự liên tục của các đạo hàm riêng bậc 2 tại
   
, 0, 0xy 


+ Tại
 
0, 0
tính đạo hàm riêng bậc 2

2
1
2
f
x


liên tục tại
 

0, 0

   
22
11
22
,0
lim , 0, 0
xy
ff
xy
xx






Lớp: Toán VB2- K2

Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)
2
2
2
f
x


liên tục tại
 

0, 0

   
22
22
22
,0
lim , 0, 0
xy
ff
xy
xx



