Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 9

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)





Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến

CHỦ ĐỀ:
- TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI
HOẠCH VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI


Nhóm thực hiện:
1. Ma Xuân Út
2. Lê Thị Diễm Kiều
3. Nguyễn Văn Tùng






Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
Chương 7:
TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI HOẠCH
VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI

Trong chương 5 ta xây dựng tiêu chuẩn tối ưu không dùng giả thiết khả vi trong các
hàm về vấn đề lập trình phi tuyến.
Nhiều vấn đề (lập trình phi tuyến, lập trình bậc hai) bao gồm hàm phi tuyến. Chủ yếu
là xây dựng tiêu chuẩn tối ưu nhận lợi thế từ thuộc tính này. Những tiêu chuẩn này chỉ
là sự mở rộng ai cũng biết và thường lạm dụng tiêu chuẩn tối ưu của phép tính cổ điển
của “việc đặt đạo hàm bằng 0”.
Như ta đã làm ở chương 5 chúng ta xây dựng các tiêu chuẩn tối ưu cần thiết và đầy đủ.
Đối với các tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ chúng ta cần ….

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)

I. BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÓA VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM DỪNG Frits John,
Kuhn Tucker
Tiêu chuẩn tối ưu của chương này liên quan đến việc giải quyết bài toán cực tiểu hóa,
cực tiểu hóa địa phương và hai bài toán điểm dừng (Bài toán Frits John, Kuhn Tucker).
Bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương ở đây tương tự như bài toán đã được giải
quyết ở chương 5 đó là 5.1.1 và 5.1.2 với giả thiết khả vi. Bài toán Frits John và Kuhn
Tucker của chương này (muc 3 và 4 dưới đây) theo bài toán điểm yên ngựa của Frits
John và Kuhn Tucker 5.1.3 v à 5.1.4 nếu giả định khả vi và ngược lại bài toán điểm
yên ngựa của Frits John và Kuhn Tucker 5.1.3 và 5.1.4 theo bài toán Frits John và
Kuhn Tucker của chương này (muc 3 và 4 dưới đây) nếu giả định tính lồi (xem 7.3.8
dư ới đây)
Cho
0

X
là tập mở trong
n
,

và
g
là hàm số và một hàm vector m chiều đều được
xác định trong
0
X
(trong nhiều bài toán quy hoạch phi tuyến
0
X
là
n
)
1. Bài toán tối tiểu
Tìm
x
nếu nó tồn tại sao cho
θ (x ) m in θ(x )
xX


 
0
, ( ) 0x X x x X g x   

2. Bài toán tối tiểu địa phương

Tìm
x
trên
X
, nếu tồn tại sao cho một số quả cầu mở
()Bx

lân cận
x
với bán kính
0



( ) ( ) ( )x B x X x x


   

3. Bài toán điểm dừng Kuhn Tucker:
Tìm
0
0
,,
m
x X r R r R  
nếu tồn tại thỏa
0
0
0

0
00
( , , ) 0
( , , ) 0
( , , ) 0
( , ) 0
( , , ) ( ) ( )
x
r
r
x r r
x r r
r x r r
rr
x r r r x rg x









hoặc tương đương
0
0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0

( , ) 0
r x r g x
gx
rg x
rr

   




(Tức là

và
g
khả vi tại
x
)

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
4. Bài toán điểm dừng Kuhn Tucker:
Tìm
0
,
m
x X u R
nếu tồn tại thỏa
 

( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
0
, ( ) ( )
x
u
u
xu
xu
u x u
u
x u x ug x









hoặc tương đương
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
0
x u g x
gx
u g x

u

   




(

và
g
khả vi tại
x
)
5. Chú ý:
Nếu
 
0
,,x r r
là nghiệm của bài toán FJP 3??? , và
0
0r 
, thì
 
0
,x r r
là nghiệm của
bài toán KTF 4. Ngược lại,
 
,xu

là nghiệm của KTF 4 thì
( ,1, )xu
là nghiệm của FJP.
Chú ý dịch lại FJP, KTF là tên các bài toán đây là kí hiệu tiếng anh viết tắt và tốt hơn
hết nên đặt tên bài toán theo số ví dụ bài toán FJP 3 thì viết là bài toán 3 thôi như vậy
cho tiện.
6. Chú ý:
Hàm Lagrange
 
0
,,x r r

và
 
,xu

được định nghĩa ở trên hoàn toàn giống với hàm
Lagrange được định nghĩa ở Chương 5 (xem 5.1.3 và 5.1.4)

II . Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ
Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ được phát triển ở đây (mục 1 và 2 dưới đây) không giống với
tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ ở 5.3.1 phụ thuộc nhiều vào tính lồi. Tuy nhiên đạo hàm của
chúng không phức tạp.
1. Định lý tối ưu đầy đủ [Kuhn Tucker 51]
Cho
0
xX
,
0
X

mở,

và
g
khả vi và lồi tại
x
. Nếu
 
,xu
là phương án của KTP
7.1.4 thì
x
là nghiệm của MP 7.1.1. Nếu
 
0
,,x r r
là nghiệm của FJP 7.1.3 và
0
0r 
thì
x
là phương án của MP 7.1.1.
Chứng minh: Câu 2 của định lý có được theo câu 1 bởi chú ý 7.1.5
Cho
 
,xu
là nghiệm của KTP. Với bất kì
x
trong
X

mà
( ) ( ) ( )( )x x x x x
  
   
(do tính lồi và khả vi của

tại
x
và 6.1.1)
( )( )u g x x x   
(vì
( ) ( )x u g x

   
)
Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
 
( ) ( )u g x g x
( do tính lồi và khả vi của

tại
x
và 6.1.1 và do
0u 
)
()ug x

0

Vì thế
( ) ( ),x x x X

  

từ đó,
( ) 0gx 
,
x
ở trong
X
và vì thế
( ) m in ( )
xX
xx



và
xX

Chú ý rằng, bởi vì yêu cầu tính lồi trên g. Đẳng thức ràng buộc tuyến tính loại
 
0hx
không thể được xử lý bởi định lý trên bằng cách thay thế chúng bởi 2 bất
phương trình
 
0hx
và

 
0hx
. Tuy nhiên đẳng thức ràng buộc tuyến tính có thể
xử lý bởi phương pháp này.
2. Bài toán:
Cho
0
xX
,
0
X
mở,

và
g
khả vi và lồi tại
x
.
B
là ma trận
kn
và
d
là vector
k
chiều. Chứng tỏ rằng nếu
 
0
, , , , ,
mk

x u v x X u R v R  
là nghiệm của bài toán theo
Kuhn Tucker
( ) ( ) 0x u g x vB

    

( ) 0gx 

Bx d

( ) 0ug x 

0u 

Do đó,
( ) m in ( )
xX
xx




 
0
, ( ) 0,x X x x X g x Bx d    

Trình bày lại dạng của bài toán
Một trường hợp thú vị không được bao trùm bởi định lý 1 ở trên là trường hợp khi
 

0
,,x r r
là nghiệm của bài toán FJP 7.1.3 nhưng đòi hỏi
0
0r 
thì không được thực
hiện, để đảm bảo rằng
x
là nghiệm của MP 7.1.1. Điều này được xác định bởi định lý
dưới đây với yêu cầu
0
0r 
thay thế bằng yêu cầu
g
lồi ngặt tại
x
.
3. Định lý tối ưu đầy đủ:
Cho
0
xX
,
0
X
mở,


khả vi và lồi tại
x
.g là hàm khả vi và lồi ngặt tại

x
.
Nếu
 
0
,,x r r
là nghiệm của bài toán FJP 7.1.3,
x
là nghiệm của MP 7.1.1
Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
Chứng minh:
Cho
 
0
,,x r r
là nghiệm của FJP.
Cho
 
( ) 0
i
I i g x

 
( ) 0
i
J i g x

 

1, 2, ,I J m

(Ghi chú: Thỉnh thoảng ràng buộc
( ) 0
I
gx
được gọi là ràng buộc linh động tại
x
và
( ) 0
J
gx
là ràng buộc thụ động tại
x
)
Vì
0, ( ) 0r g x
, và
( ) 0rg x 
, ta có
( ) 0, 1, ,
ii
r g x i m

Và vì vậy :
0
i
r 
với
iJ

Vì
0
( ) ( ) 0r x r g x

   
và
0
( , ) 0,rr
ta có:
0
( ) ( ) 0
ii
iI
r x r g x


   


0
( , ) 0
I
rr 

Theo định lý 2.4.5 của Gordan thì
4.
( ) 0
( ) 0
I

xz
g x z



không có nghiệm
n
zR

Do đó
5.
0 ( ) ( )
0 g ( ) g ( )
II
xx
xx



không có nghiệm
0
xX

Nếu không có nghiệm
0
ˆ
xX
, khi đó
ˆ
xx

và
ˆˆ
0 ( ) ( ) ( )( )x x x x x
  
    
(do tính lồi của

tại
x
và 6.1.1)
ˆ ˆ ˆ
0 ( ) ( ) ( )( )
I I I
g x g x g x x x    
(do tính lồi ngặt của
g
tại
x
và 6.2.1)
Mâu thuẫn với 4 nếu ta đặt
ˆ
z xx
. Nhớ lại rằng
( ) 0
I
gx
, Từ 5 ta có:
( ) ( )
0 ( )
0 ( )

I
J
xx
gx
gx




không có nghiệm
0
xX

Vì
( ) 0gx
,
x
nằm trong
X
và vì vậy
x
là nghiệm của MP 7.1.1.
6. Chú ý:
Trong mục 1 và 2 ở trên, vì
0u 
,
( ) 0gx
và
 
0ug x 

, ta có
( ) 0
ii
u g x 
với
1, ,im

và vì vậy
0
i
u 
nên
 
( ) 0
i
i J i g x  

Tương tự trong 3 ta chứng tỏ rằng
0
i
r 
với
iJ
. Điều đó quá rõ ràng vì từ chứng
minh trên ta có
I
g
luôn lồi tại
x
điều mà được cần cho mục 1 và 2 thay cho tính lồi

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
của
g
tại
x
(như giả định ở mục 1 và 2) và vì
I
g
luôn lồi ngặt tại
x
điều mà được cần
trong 3 thay cho tính lồi ngặt của
g
tại
x
(như giả định ở mục 3). Giả thiết thu hẹp
được làm ở mục 1,2 và 3 làm cho việc trình bày của các định lý đơn giản hơn.

II. Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu

Bây giờ,trong trong điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu nhận được tính lồi không đóng
vai trò quyết định. Tính khả vi vủa hàm được sử dụng để chuyển bài toán phi tuyến
tính sang tuyến tính, và khi đó định lý đan dấu đạt được điều kiện cần của tiêu chuẩn
tối ưu. Một lần nữa, để nhận được nhiều điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu quan trọng
hơn nữa (mục 7 dưới đây, tiêu chuẩn ràng buộc là cần thiết.
Chúng ta bắt đầu với việc mở rộng bổ đề tuyến tính của Abadie, thiết lập việc không
tồn tại nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính bất cứ khi nào bài toán cực tiểu
địa phương LMP 7.1.2 có lời giải

1. Bổ đề tuyến tính [Abadie 67]
Cho
x
là nghiệm của LMP 7.1.2,
0
X
mở,

và
g
khả vi tại
x
,
 

0
i
V i g x
, và
i
g
lõm tại

x

Và cho
 

W 0,
i

i g x
và
i
g
không lõm tại

x

Khi đó
( ) 0
w ( ) z 0
( ) z 0
xz
gx
gv x




không có nghiệm
n
zR

Chứng minh:
Cho
 
W ( ) 0
i
I V i g x   

 
( ) 0
i
J i g x

Vì thế:
 
W 1, 2, ,I J V J m    

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
Cho
x
là nghiệm của LMP 7.1.2 với


. Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu
z
thỏa
( ) 0xz


,
w
( ) 0g x z
,
( ) 0
v
g x z

vì thế sự phủ định xảy ra sau đó. Đặt
z
thỏa
những bất phương trình này. Vì thế,
0
X
mở, tồn tại
ˆ
0


sao cho:
0
ˆ
()x z X B x


  
với
ˆ
0



Từ đó,

và
g
khả vi tại
x

(xem D1.3), ta có với
ˆ
0


thì
0
( ) ( ) ( ) ( , )x z x x z x z z
       
    

g ( ) ( ) ( ) ( , ) , i 1, , m
i i i i
x z g x g x z x z z
    
     

khi
0
lim ( , ) 0, 1, ,
i
x z i m





(i)Nếu

đủ nhỏ

0
(0 )


khi đó
   
0
,0x z x z z
  
  
[vì
 
0xz


]
Và vì vậy:
   
0
0, 0x z x
    
    

(ii)Tương tự, cho
Wi 
và

đủ nhỏ
 
0

i



Vì thế,
   
, z 0
ii
g x z x z

  
[vì
 
w
0g x z
]
Và vì thế
   
0
ii
g x z g x

  
với
0 , W
i
i

  

(iii)Với
Wi 
, vì
i
g
lõm tại
x
và
 
0
v
g x z
nên
     
0
i i i
g x z g x g x z

    
với
ˆ
0


và
iV

(iv)Với
 
,0

i
i J g x
.Vì thế với

đủ nhỏ
 
0
i


. Ta có:
     
,0
i i i
g x g x z x z z
   
   

Và vì thế:
 
0
i
g x z


với
0,
i
iJ


  

Ta gọi

là giá trị nhỏ nhất của tất cả các số dương
0
ˆ
, , ,
i
   

 
1, ,im
đã được
định nghĩa ở trên. Vì vậy với
0


ta có:
0
x z X



Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
 
x z B x





   
x z x
  


   
0
ii
g x z g x

  
với
iI

 
0
i
g x z


với
iJ

Vì thế, với
0



, ta có
 
x z B x X


  
và
 
x

điều này mâu thuẫn với giả
thiết rằng
x
là nghiệm của LMP 7.1.2 với


. Vì thế không tồn tại
n
zR
thỏa
   
w
0, 0x z g x z

   
và
 
0
v
g x z

Bây giờ ta đã có một chuỗi điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu dựa trên bổ đề tuyến
tính trên. Ta bắt đầu với việc mở rộng kết quả của Abadie trong trường hợp có hữu hạn
ràng buộc bao gồm kết quả cổ điển của Fritz John




2. Định lý Fritz John –Điểm dừng lý thuyết tối ưu:
Lấy
x
là một điểm dừng của LMP 7.1.2 hay MP 7.1.1,
0
X
là tập mở và

,
g

hàm khả vi tại
x
. Thì nó tồn tại
0
rR
và
m
rR
.
Khi đó
 

0
, , rxr
thu được công thức
FJP 7.1.3 và
 
0
,0
w
rr 

Trong đó {
 
0,
i
w i g x
và
i
g
không là hàm lõm tại
x
}
GHI CHÚ:Nếu
x
ta thu được MP 7.1.1, thì
x
thu được LMP 7.1.2?????

Lấy

 

0,
i
V i g x
i
g
là hàm lõm tại
x
}
Và
 
 
0
i
J i g x

Theo bổ đề 1 ở trên ta có:
 
 
 
0
0
0
w
v
xz
g x z
g x z












, không có nghiệm
n
zR

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
Do đó theo định lý Motzkin's 2.4-2 chữ ‘s là sở hữu cách chứ ko phải chữ trong tên
người ???, có tồn tại
0
,,
wv
r r r
sao cho:
     
0
0
w w v v
r x r g x r g x

     

 
0
,0
w
rr 
,
0
v
r 

Từ
 
0
w
gx
và
 
0
v
gx
, điều đó có nghĩa, nếu ta xác định:
0
j
r 
và
 
,,
w v j
r r r r

Thì:
       
0
w w v v j j
r g x r g x r g x r g x      

   
0
0r x r g x

   

và
 
0
,0rr 

vì
 
,0x X g x

Do đó
 
0
,,x r r
ta được công thức FJP 7.1.3 và
 
0
,0
w

rr 



Lưu ý:
Định lý trên của Abadie [Abadie 67]. Nếu ta thay hàm lõm của
v
g
tại
x
và hàm không lõm của
w
g
tại
x
bởi hàm mà
n
v
gR
và
n
w
gR
. điều này
chưa thật chuẩn xác, với kết quả tổng quát hơn của định lý Abadie. Ta xem các điều
kiện sau và
 
0
,0rr 

Ta sẽ thiết lập các đường biên lân cận của các tập con nhỏ nhất thành phần của
 
0
,rr


Ví dụ ta thiết lập các đường biên không chính thức ở trên của
0
r
(và do phần tử chính
của nó), thì đó là điều tối phi tuyến ta thấy (hình 7). Trong định lý trên ta thiết lập các
đường biên lân cận của
 
0
,
w
rr

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
ở đây
w
là tập hợp các chỉ số hữu hạn không lõm tại
x

Abadie lập lập các đường biên lân cận của các tập con lớn hơn tập thành phần của
 
0
,rr

Cụ thể là

 
0
,
N
rr
, ở đây
N
là các chỉ số hữu hạn tối ưu phi tuyến trên
n
R


Mặt khác, kết quả định lý trên của Fritz John [John 48] là đúng , nếu ta bỏ kết quả
 
0
,0
w
rr 


Lưu ý:

Nếu

0
X
là lồi và

v
g
là lõm trên, thì định lý trên luôn luôn đúng. Tuy nhiên phần
lõm của
v
g
(trừ khi
v
g
là tuyến tính).
Không làm cho bộ:

  
0
, g 0
v
x x X x
lồi (hình 4.1.10 và 4.1.11)
Nhắc lại: giống trường hợp của lý thuyết tối ưu phi tuyến (xem phần 5.4) điều này
không khẳng định được
0
0r 

Trong định lý 2 ở trên, điều này có thể xảy ra với các giá trị tại
x

của LMP 7.1.2
hoặc MP 7.1.1 là một đỉnh (hình 7.3.1a), hoặc khi các khu vực lân cận khả thi
x
là

suy biến và được tạo thành từ một điểm duy nhất (hình 7.3.1b). Trong trường hợp ,
khi
0
0r 
, hàm

biến mất trong định lý Fritz John mục 7.1.3, và ta c1o trường
hợp suy biến. Như ta đã thấy trong mục 5.4 nó có thể loại bỏ vì trong trường hợp
hàm số có giới hạn và bị chặn
 
0gx
. Những hạn chế đó được lặp lại tại mục
5.4. sự ràng buộc về giới hạn . Trong sự ràng buộc giới hạn 5.4.3 của Slater's .
Karlin's 5.4.4 và đúng ràng buộc 5.4.5


Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)


Hình 7.3.1 Ví dụ về vấn đề giảm thiểu trong
0
r
của Fritz John về vấn đề 7.1.3
là số 0.
Ta giới thiệu các sự ràng buộc về giới hạn 3 của Kuhn-Tucker, Arrow-
Hurwicz- Uzawa sự ràng buộc về giới hạn 4 và hàm lồi ngược sự ràng buộc về
giới hạn 5

3. Điều kiện cần Kuhn-Tucker [ Kuhn-Tucker 51]
Cho
0
X
là tập mở trong
n
,
g
là hàm số và một hàm vector m chiều đều được xác
định trong
0
X
và lấy
 
 
0
X = , , 0x x X g x

Hàm g được gọi là thỏa mãn điều kiện cần Kuhn Tucker tại
x

nếu g khả vi tại
x

và
thỏa điều sau:
0
n
I

yR
g x y













tồn tại e là một hàm vecto n chiều xác định trên đoạn [0,1] sao cho:
a.
 
e0 x

b.
   
, 0 1eX

  

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
c.

e
khả vi tại
0


và
 
 
0
,0
de
y
d




Trong đó:
 
 
|0
i
I i g x

4. Điều kiện cần Arrow-Hurwiz- Uzawa [ Arrow 61]
Cho
0
X
là một tập mở trong
n

R
, g là một hàm vecto m chiều xác định trên
0
X
và
 
 
0
| , 0X x x X g x  

Hàm g được gọi là thỏa mãn điều kiện cần Arrow-Hurwiz- Uzawa tại
xX
nếu g
khả vi tại
x
và
 
 
0
0
g w x z
g v x z







có nghiệm

n
zR
….
Trong đó
 

| 0,
i
V i g x
và
i
g
lõm tại
x
}
Và
 

| 0,
i
W i g x
và
i
g
không lõm tại
x
}

5. Điều kiện cần lồi nghịch đảo

Lấy
0
X
là một tập mở trong
n
R
, g là một hàm vecto m chiều xác định trên
0
X
và
 
 
0
| , 0X x x X g x  

Hàm g được gọi là thỏa mãn điều kiện cần lồi nghịch đảo tại
xX
nếu g khả vi
tại
x
và
i
I
kéo theo
i
g
lõm tại
x
và tuyến tính trên
n

R

Trong đó:
 
 
|0
i
I i g x

[ Lý do của tính chất lồi nghịch đảo là nếu
0
X
là tập lồi và
i
gI
lõm trên
0
X
thì
tập
 
 
0
| , 0
iI
x x X g x


là không lồi nhưng phần bù
0

X
là
 
 
0
| , 0
iI
x x X g x


là tập lồi.
Lấy ví dụ: nếu
0 n
XR
và
 
1g x xx  
thì g thỏa mãn điều kiện lồi nghịch đảo
tại mọi
 
x | , x x 1
n
x x R  

Trước khi xét điều kiện ràng buộc tối ưu cơ bản Kuhn-Tucker [ phần 7 ở dưới]
chúng ta xét mối tương quan giữa ba điều kiện cần đã nêu với nhau và với các điều
kiện cần ở chương 5.


6. Bổ đề

Lấy
0
X
là một tập mở trong
n
R
, g là một hàm vecto m chiều xác định trên
0
X
và
 
 
0
| , 0X x x X g x  

i) Nếu g thỏa mãn điều kiện lồi nghịch đảo (5) tại
x
thì g thỏa mãn mãn điều kiện cần
Arrow-Hurwiz- Uzawa (4) tại
x

ii) Nếu g thỏa (5) tại
x
thì g thỏa (3) tại
x

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
iii) Cho

0
X
lồi, g lồi trên
0
X
, g khả vi tại
x
. Nếu g thỏa điều kiện cần Slater (5.4.4)
trên
0
X
hoặc điều kiện cần đầy đủ ở [ 5.4.5] thì g thỏa (4) tại
x



Chứng minh:
i) g thỏa (5) tại
x
… thì tập W xác định ở phần 4 rỗng và
0z 
thỏa
     
 
0, I i | g 0
V I i
g x z g x z x     

Do đó g thỏa (4) tại
x

ii) Cho g thỏa (5) tại
x
Đặt
 
 
|0
i
I i g x
và
 
 
|0
i
J i g x

Cho y là một vecto bất kỳ trong
n
R
thỏa
 
0
I
g x y

Đặt
()e x y
  


với
0


(đượ ghi rõ ở dưới)
Dĩ nhiên điều kiện (a) và (c) trong (3) được thỏa, chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện (b)
cũng thỏa. Từ điều kiện
0
X
mở và
I
g
lõm và khả vi tại
x
ta suy ra
0
x y X


và
 
       
0
I I I I I
g e g x y g x g x y g x y
     
       



Với
01


và
0


. Do
0


và
01


ta có:
 
0
I
ge




và với
iJ
Ta có:
       
,,

i i i i
g x y g x g x y x y y
      

    


 
0
lim , 0
i
xy

  



     
,
i i i
g x g x x y y
    

   

(theo 1.3.8)
0
với
0




Trong đó BĐT cuối xác định vì
 
0
J
gx
và
 
0
lim , 0
i
xy

  



Do đó
 
0
J
ge




Với
01



. Từ
 
0
I
ge




Với
01



ta có:
 
eX


Với
01



Và điều kiện (b) của (3) thỏa mãn

ii) Theo bổ đề 5.4.6 chúng ta có (5.4.3) và (5.4.4) là tương đương và điều kiện đầy đủ
5.4.5 chứa cả điều kiện cần 5.4.3 và 5.4.4
Do đó ta cần thiết lập bổ đề hiện tại sau điều kiện Slater .Nếu g thỏa điều kiện Slater

Trên
0
X
thì
0
xX
sao cho
 
0gx
. Do g khả vi tại
x
theo 6.1.1 ta có :
   
   
 
0
I I I I
g x g x g x g x x x     

Trong đó:
 
 
|0
i
I i g x

iii) Do cách lấy
z x x
ta có
 

0
I
g x z
… và (4) thỏa tại
x

Bây giờ chúng ta xét các tiêu chuẩn của bài toán tối ưu phi tuyến, tiêu chuẩn tối ưu
Kuhn Tucker. Chúng ta thiết lập các kết quả từ các điều kiện cần đã nêu. Trong
chương 6 ở trên, chúng ta chỉ cần thiết lập kết quả của điều kiện cần Kuhn –Tucker (3)
Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
và điều kiện cần Arrow -Hurwicz-Uzawa (4) trong đó … là ràng buộc tuyến tính và
và … là ràng buộc phi tuyến bao gồm cả điều kiện cần Kuhn Tucker. Chúng ta đưa ra
sự khác biệt và một vài cách tiếp cận đơn giản hơn và chỉ ra cả điều kiện cần Arrow -
Hurwicz-Uzawa hay Kuhn Tucker là thích hợp để thiết lập điều kiện tối ưu của chúng
ta ở sau.

7. Định lý Kuhn Tucker về điểm dừng tối ưu cần thiết
Cho
0
X
là tập mở của
,
n
R

và g là hàm xác định trên
0
X

, lấy
x
là phương án của
bài toán
LMP
7.1.2 hoặc bài toán
MP
7.1.1,

và g khả vi tại
x
và g thỏa:

Hình 7.3.2 Mối quan hệ giữa các điều kiện cần với nhau.

i) Điều kiện (3) tại
x
, hay
ii) Điều kiện (4) tại
x
, hay
iii) Điều kiện (5) tại
x
, hay
iv) Điều kiện Slater 5.4.3 trên
0
X
hay
v) Điều kiện Karlin 5.4.4 trên
0
X
, hay
vi) Điều kiện cần đầy đủ 5.4.5 trên
0
X

Thì tồn tại
n
uR

sao cho
 
,xu
là phương án của bài toán 7.1.4

ĐK CẦN
5.4.4
ĐK CẦN
5.4.5
ĐK cần chặt
5.4.5
X
0
lồi
g lồi
ĐK cần
7.3.5
ĐK CẦN
7.3.4
ĐK CẦN
7.3.3
Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
Chứng minh:
Dùng bổ đề 6 ở trên chúng ta chỉ cần thiết làp định lý dưới giả thiết i) và ii)
Cho
x
là phương án của bài toán 7.1.2 với




Cho
 
 
|0
i
I i g x
,
 
 
|0
i
J i g x

Chúng ta xét hai trường hợp:
I 
Và
I 


TH1:+)
I 

Lấy y là một vecto bất kỳ trong
0
R
sao cho y.y=1 thì
       
i i i i

g x y g x g x y x y
   

     

với i = 1,…,m
Do
 
0
i
gx
và
 
0
lim , 0
i
xy




từ đó với giá trị

đủ nhỏ,
0



 
,0

i
g x y


và
 
0
x y X


. Hơn nữa
x
là phương án của bài toán 7.1.2 ta có
       
0 , 0x y x x y x y y
        

        



Do đó:
   
0x y x y y
  

   


Từ

 
0
lim , 0xy




chúng ta có giới hạn ở trên với

tiến đến 0 và
 
0xy



Do y là vecto bất kỳ trong
n
R
thỏa y.y = 1, chúng ta kết luận từ bất đẳng thức cuối
bằng cách lấy
,
i
ye
trong đó
in
eR
là một vecto ứng với điểm
i
và bằng 0 ở
chỗ khác thì

 
0x



Từ đó
x
và
u
thỏa bài toán 7.1.4


TH2: +)
I 

vii) Lấy g thỏa điều kiện cần (3) ,
n
yR
thỏa
 
0
I
g x y
. Theo (3) tồn tại hàm
vecto e ,m chiều xác định trên [0,1] sao cho
   
0,e x e X


với

01


, e khả
vi tại
0



Và
 
0de
y
d



với
0


Do
01


với i = 1, …, n
Trong đó
 
0
lim 0, 0





do ta lấy

đủ nhỏ,
01


ta có:
   
e B x




Do
 
eX


với
01


và x là phương án của bài toán 7.1.2 , ta có
   
0 , 0ee
    

  
   
   

Do quy tắc hàm hợp D.1.6 và

và e khả vi tại
x
với
0


thì
     
 
 
0
0 0 0 0,
de
e e e
d
       

    
     
     

Trong đó:
 
0

lim 0, 0





.
 
 
 
0
0 0, 0, 0
de
e
d
     

    



Lấy giới hạn khi

tiến đến 0 được
 
 
0
00
de
e

d






Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
Do
 
0ex
và
 
0de
y
d



với
0


ta có:
 
0xy



Từ đó ta được
   
00
I
g x y x y

    

Hay
 
 
0
0
I
xy
g x y








không có nghiệm
n
yR

Theo định lý Motzkin 2.4.2 , tồn tại một

0
r
và một
I
r
sao cho
   
0
0
II
r x r g x

   
,
0
0r 
,
0
I
r 

`
Do
0
r
là số thực
0
0r 
có nghĩa
0

0r 
, bởi định nghĩa
 
0
; 0; ,
I
I J I J
r
u u u u u
r
  

Ta có:
   
0x u g x

   

 
0u g x  

0u

Và do
xX
nên ta có
 
0gx

Từ đó

 
,xu
là phương án bài toán 7.1.4

ii) Cho
x
là phương án bài toán 7.1.1 hay 7.1.2 . Theo định lí Fritz John 2 tồn tại
một … và một
0
rR
và
m
rR
sao cho
 
0
,,x r r
là phương án của bài toán
7.1.3 và
 
0w
,0rr 

Trong đó
 

W | 0,
ii
i g x g
không lõm tại


x


Đặt
 

| 0 ,
ii
V i g x g
lõm tại

x

Và
 
 
|0
i
J i g x

Theo ghi ý 7.1.5 chúng ta chỉ cần chỉ ra
0
0r 
do
 
0w
,0rr 
ta có
0

0r 

Nếu
W 
. Bây giờ nếu
W 
chúng ta sẽ chứng minh
0
0r 
là mâu thuẫn
Giả sử
0
0r 
thì từ
0
j
r 
ta có
   
ww
0
vv
r g x r g x   

w
0 ; 0
v
rr

Do g thỏa điều kiện cần (4) tại

x
tồn tại
n
zR
sao cho
 
 
w
0
0
v
g x z
g x z




Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)






Hình 7.3.3 Biểu diễn minh họa hình học của điều kiện Kuhn –Tucker


Nhân vào bên trái các bất đẳng thức bởi

w
r
và
V
r
cho
   
ww
0
vv
r g x z r g x z   

Điều này mâu thuẫn với
   
ww
0
vv
r g x r g x   

Do đó
0
0r 

0
0r 
( đpcm)

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)

Hình 7.3.4 Mối quan hệ các phương án bài toán 7.1.2, 7.1.1; 7.1.3, 7.1.4

Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)


Hình 7.3.5: Các phương án của các bài toán 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3, 7.1.4, 5.1.3, 5.1.4

Một biểu diễn hình học minh họa của các điều kiện 7.1.4 có thể chỉ rõ như sau:
Tại
x
tồn tại tổ hợp tuyến tính không âm của hàm mục tiêu
 
x


( với trọng số
dương), Và các gradient của ràng buộc
 
0,
i
g x i I  
. Hình 7.3.3 mô tả các phần
tử đó.
Nếu không có điều kiện ràng buộc nào thỏa , thì không tồn tại tổ hợp tuyến tính
không âm của
 

x


và
 
0
i
gx
. Trong một vài trường hợp
 
x


có thể có
trọng số bằng không
Ví dụ ở hình 7.3.1

Các tiêu chuẩn tối ưu của chương được liên kết với nhau trong hình 7.3.4 và với
chương 5 ở hình 7.3.5



Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
8. Bài toán
Cho
0
X
là tập mở trong

n
R
,
, g

xác định trên
0
X

Tìm các điều kiện ở dưới

i) Một phương án
 
0
,,x r r
của bài toán 5.1.3 là phương án của bài toán 7.1.3
và ngược lại.
ii) Một phương án
 
,xu
của bài toán 5.1.4 là phương án của bài toán 7.1.4 và
ngược lại.
(Mối quan hệ trên được ghi rõ bằng các đường nối chỉ dẫn trong hình 7.3.5)

9. Bài toán
Cho
0
X
là tập mở trong
n

R
,

xác định trên
0
X
, lấy
0
xX


khả vi tại
x
mô tả như sau đây:
Nếu
 
 

0
m in
| , x 0
xX
xx
x X x x X







   




 
 
0
0
0
x
x
xx













Điều ngược lại có còn đúng hay không ? Đưa ra hình minh họa của các điều kiện
trên trong trường hợp
0
XR

10) Bài toán
Cho
00
,
n
X R X
mở và

xác định trên
0
X
,
0
xX
,

khả vi tại
x

Mô tả như sau :
 
 

0
m ax
| , x 0
xX

xx
x X x x X






   



 
 
0
0
0
x
x
xx















Điều ngược lại có còn đúng hay không ? Đưa ra hình minh họa của các điều kiện
trên trong trường hợp
0
XR





Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
11. Bài toán ( phương pháp làm của các phương án có thể thực hiện được)
Lấy một giả thiết trong các giả thiết từ ii) đến vi) của định lý 7,
,g

khả vi trên
0
X

Giả sử ta có một điểm
xX
tại đó 1 trong 5 ràng buộc cuối cố định nhưng điều
kiện Kuhn Tucker 7.1.4 không thỏa. Chỉ ra rằng một phương án có thể thực hiện
được z trong
n

R
sao cho
x z X


và
   
x z x
  

với
0



[ Hướng dẫn: dùng định lý Farka 2.4.6 từ đó
   
0, u 0
I I I
x u g x

    
, Không
có phương án
I
u
và sự khả vi hoàn toàn của

và g]

12. Bài toán [ Tiêu chuẩn tối ưu chung của điểm dừng cần thiết Kuhn Tucker ]
Lấy
0
X
là tập mở trong
12
nn
R xR
,
,,gh

. Là hàm số, một hàm vecto
m
chiều và
hàm vecto
k
kchiều xác định trên
0
X
, lấy
 
0
,x y X
là phương án bài toán tìm
m in

 
 

 
,
, m in ,
x y X
x y x y




 
 
   
 
0
, , g , 0
,,
, 0, 0
x y X x y
x y X x y
h x y y









Cho
,,gh

khả vi tại
 
,xy
và cho f là hàm vecto … chiều xác định trên
2
m k n

bởi:
       
, , , , , , ,f x y g x y h x y h x y y  



Thỏa một trong các điều kiện cần (3), (4), (5) tại
 
,xy
hoặc các bài toán 5.4.3,
5.4.4, 5.4.5 trên
0
X

Tồn tại
,
mk
u R v R
sao cho
 

,,x u v
thỏa tiêu chuẩn tối ưu chung của điểm dừng
Kuhn Tucker sau:

     
     
     
 
 
 
, , , 0
, , , 0
, , , 0
0
,0
,0
,0
0
xxx
yyy
yyy
x y u g x y v h x y
x y u g x y v h x y
y x y u g x y v h x y
y
g x y
h x y
u g x y
u





     


     



     



















Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)
(Ghi chú:

Xác định lại X với
         
 
0
, | , , g , 0, , 0, , 0, y 0X x y x y X x y h x y h x y       

và dùng định lý 7)



VÍ DỤ:
Tìm phương án tối của bài toán:
5 m in
3 2 6
,0
xy
xy
xy
  










Giải:

5 m in
3 2 6
3 2 6
,0
xy
xy
xy
xy
  






  




(*)

Viết lại bài toán (*) ở dạng chính tắc sau:

5 m in

3 2 66
3 2 6
, , , 0
xy
x y z
x y t
x y z t
  





   




(**)

3 2 1 0
3 2 0 1
A







6
6
b




,
 
5 1 0 0c 


 
, , ,u x y z t


2
10
01
BI








3, 4

B
J
,
 
0, 0
B
C 





Lớp: Toán VB2- K2 NK 2013 - 2015

Nhóm thực hiện:1/Ma Xuân Út, 2/Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Chương 7)












1
2
3

4
Ghi chú:




-5
1
0
0

1
3
0
6
3
-2
1
0



2
4
0
0
-2
2
0
1

5
-1
0
0

1
3
0
12
1
0
1
1

2
2
0
3
-1
1
0
0,5

4
0
0
0,5



Do
0
b
j

nên thuật toán dừng lại
Vậy bài toán không có phương án tối ưu.