Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 10

0


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN – TIN
Lớp: Toán-VB2 khóa 2


TỐI ƯU PHI TUYẾN
Đề tài môn:
TẬP LỒI TRONG R
n








Người thực hiện:
1. Lưu Thị Hảo
2. Nguyễn Thị Hồng Tiên
3. Đặng Lê Xuân Ánh Nguyệt
1

Chương 3: TẬP LỒI TRONG R
n

I. Tập lồi và tính chất của tập lồi
1. Đường thẳng

Cho
x , y
n
R
Các đường thẳng qua x và y được định nghĩa là tập
 
 
1,x x x y R
  
   

hay
 
1 2 1 2 1 2
y, , , 1x x p x p p p R p p    

hay
 
 
,x x x y x R

   

2. Đoạn thẳng
Cho
,
n
x y R

a. Đoạn thẳng đóng

 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1

     

x x x x x x
  

b. Đoạn thẳng mở
 
 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1x x x x x x
  
     

c. Đoạn thẳng đóng, mở

 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1

     

x x x x x x
  

d. Đoạn thẳng mở, đóng

 
 
1 2 1 2
, 1 , 0 1

     

x x x x x x
  

3. Tập lồi
Tập
n
AR
là một tập lồi nếu
,x y A
và
[0,1]


ta có
(1 )a b A

  
.

Hình 3.1 Tập lồi

a. Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi
b. Co A={x: x là tổ hợp lồi của các vecto thuộc A}
c. C là tập lồi khi và chỉ khi C=coC
d. Nếu A và B là các tập lồi và
R


thì các tập A+B,
A

cũng lồi.
4. Nửa không gian
Cho
,0
n
c R c
và
 R

.
Khi đó: Tập
 

,
n
x x R cx

là một nửa không gian mở trong
n
R

Tập
 
,
n
x x R cx

là một nửa không gian đóng trong
n
R
.
(Cả hai nửa không gian đều là các tập lồi)
2

5. Mặt phẳng
Cho
,0
n
c R c
và
 R

. Khi đó tập

 
,
n
x x R cx

được gọi là một mặt phẳng trong
n
R
.
(Mỗi mặt phẳng trong
n
R
là một tập lồi)
6. Không gian con
Một tập
n
AR
là 1 không gian con nếu
12
12
,
,
p p R
p x p y A
x y A


  





Mỗi không gian con của
n
R
chứa gốc và là một tập lồi.
VD: Các không gian con của
3
R
bao gồm
3
, R
, gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng
đi qua gốc.
7. Bài toán
Chứng minh rằng mỗi một quả cầu mở hoặc đóng
,



   




n
B x x x R x x



,



   




n
B x x x R x x




bao quanh một điểm


n
xR
là một tập lồi.
Chứng minh rằng phần trong của một tập lồi là tập lồi
8. Đỉnh
Cho A là 1 tập lồi trong
n
R
.
Mọi
aA
mà ở đó không tồn tại 2 điểm khác biệt

,x y A
khác a sao cho
 
,yxx
, được
gọi là đỉnh của A (hoặc là 1 điểm cực trị của A) .
VD:
Một tập lồi
n
AR
có thể không có đỉnh (ví dụ như mặt phẳng
 
,
n
x x R cx

và quả
cầu mở
Bx





không có đỉnh), có hữu hạn đỉnh.
VD:
Tập
 
, 0, ex 1  
n

x x R x
, trong đó
e
là một
n
-vector đơn vị, có
n
đỉnh
, 1, . . . ,
i
e i n
,
trong đó
i
e
là một
n
-vector với
1
i
i
e 
và
0,
i
j
e i j
), hoặc có vô số đỉnh (ví dụ quả cầu đóng có
vô số đỉnh được cho bởi
,



  


n
x x R x x


9. Định lý
Nếu
 
i
iI
A

là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập lồi trong
n
R
, khi đó phần giao
i
iI
A


là
một tập lồi.
Chứng minh:
Cho
,y

i
iI
xA



Lấy
01

. Khi đó với mỗi
iI
:
,y
i
xA

3

vì
i
A
lồi nên
 
1
i
x y A

  

10. Đa diện và khối đa diện

Định nghĩa:
Một tập hợp trong
n
R
là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng trong
n
R
gọi là
một đa diện.
Một đa diện bị chặn (nghĩa là, với mỗi
x
thuộc đa diện,
x

với
 R

cố định), được gọi
là một khối đa diện.
Đa diện và khối đa diện là các tập lồi.( 4 và định lý 9)
11. Tổ hợp lồi
Một điểm

n
bR
được gọi là một tổ hợp lồi của các vectơ
1
, , 
mn

a a R
nếu tồn tại
m
số
thực
1
, ,
m
pp
sao cho:
1
1 1 1
, , , 0, 1      
m
m m m
b p a p a p p p p

12. Đơn hình
Cho
01
, , ,
m
x x x
là
1m 
điểm phân biệt trong
n
R
, với
mn

.
Nếu các vector
1 0 0
, ,
m
x x x x
là độc lập tuyến tính, thì tập tất cả các tổ hợp lồi của
01
, , ,
m
x x x

00
, , 0, 0, . . . , , 1


     



mm
i
i i i i
ii
S z z p x p R p i m p

được gọi là một
m
-đơn hình trong
n

R
với đỉnh
01
, , . . . ,
m
x x x
.
VD: 0-đơn hình là một điểm, 1-đơn hình là một đoạn thẳng đóng, 2-đơn hình là một tam giác, và 3-
đơn hình là một tứ diện)
13. Định lý
Tập
n
AR
là tập lồi khi và chỉ khi với mỗi số nguyên
1m
, mỗi tổ hợp lồi của bất kỳ
m
điểm của
A thì nằm trong A.
14.
1
1
11
1
, . . . ,
, . . . , 0 . . .
. . . 1
m
m
mm

m
x x A
p p p x p x A
pp



    


  


1
1

m
m
p x p x A   

Chứng minh:
Điều kiện đủ của 14 là hiển nhiên;
Lấy
2m 
, khi đó A là tập lồi bởi 1.3.
Ta chứng minh điều kiện cần của 14 bằng quy nạp.
Với
1m 
, 14 , hiển nhiên đúng.
Với

2m 
, 14 xem như là kết quả của 3.
Giả sử 14 đúng với mọi
m
, chúng ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng cho
1m 

Cho
4

1 2 1
11
11
, , . . . ,
, . . . , p 0
. . . 1
m
m
m
x x x A
p
pp





  

Nếu

1
0
m
p


thì
1
1

m
m
p x p x A  
, từ đó 14 đúng với mọi
m
.
Nếu
1
1
m
p


thì
1 1 1
11

mm
m
p x p x x A



   
.
Nếu
1
01
m
p


thì chúng ta có thể viết
1
11
1
1
11
11

mm
i m m
m
i i m
mm
ii
ii
ii
p
p
p x p x x p x A

pp









    










15. Định lý Carathéodory (Carathéodory 07)
Cho
n
AR

Nếu x là tổ hợp lồi của những điểm của A, thì
x
là 1 tổ hợp lồi của
1n 

hoặc 1 vài điểm
của A.
Chứng minh:
Cho
1
1
, , , 0, . . . 1

       

m
ii
i i i m
i
x p x x p R p p p
.
nếu
1mn
thì
x
có thể được viết dưới dạng tổ hợp lồi của
1m 
điểm trong A.
Nếu bất kỳ
i
p
nào trong biểu thức trên bằng 0, thì
x
là một tổ hợp lồi của
1m 

hoặc 1 vài
điểm của A.
Giả sử
0
i
p 
.
Vì
1mn
, tồn tại
11
, ,


m
r r R
, không đồng thời bằng 0 sao cho:
   
11
11
. . . 0
m m m
m
r x x r x x


    
(do A.1.3)
Đặt
 

11

mm
r r r

   
.
Khi đó
11
00
mm
i
ii
ii
r r x




Đặt
i i i
q p r


với
1, . . . ,im

( Với

>0 :

0
i
qi
, ít nhất
k
q
bằng 0)
chọn

sao cho
1
m ax
ik
i
ik
rr
pp






5

Hình 3.1.4 Một tập A và bao lồi của nó
 
A

Khi đó

1 1 1 1 1
0, 1, . . . , , 0
1
ik
m m m m m
i i i i i
i i i i i
ik
q i m q
q q p r p

    

  
    
    

Và
1 1 1 1
m m m m
i i i i
i i i i
i i i i
ik
x p x q x r x q x

   

   
   

Do đó
x
là một tổ hợp lồi của
1m 
điểm trong A

16. Bao lồi
Cho
n
AR
. Bao lồi của A, ký hiệu là
 
A
, là giao của các tập lồi trong
n
R
chứa A.
VD:
Hình 3.1.4 : 1 tập không lồi trong
2
R
được chứa trong một bao lồi
17. Định lý
Bao lồi
 
A
của 1 tập
n
AR

bằng tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của A.
Chứng minh: Giả sử B là tập xác định bởi:
Đặt
11
, , , 0, 1, 1
kk
ii
i i i i
ii
B x x p a p R a A p p k


      




Ta sẽ chứng minh B là tập lồi.
Lấy
12
,x x B
,
 
0,1



Do
1
xB

nên dịnh nghĩa của B sẽ có
1
, , a
k
aB
và
1
, ,
k
p p R
sao cho:

1
0, 1
k
ii
i
pp




1
1
k
ii
i
x p a





Do
2
xB
nên dịnh nghĩa của B sẽ có
1
, , a
k
aB
và
1
, ,
k
p p R
sao cho:

1
0, 1
k
ii
i
pp




6

2

1
k
ii
i
x p a





Ta có:
   
12
11
11
km
ii
ii
ii
z x x p a q b
   

     



 
11
1
km

i i i i
ii
p a q b





Ta thấy:
 
 
 
0 ( 0,1 , 0)
1 0 ( 0,1 , 0)
ii
ii
p do p
q d o p


  
   

   
1 1 1 1
11
k m k m
i i i i i i i i
i i i i
p a q b p a q b

   
   
    
   

Vì vậy z là một tổ hợp lồi của hầu hết phần tử thuộc về B nghĩa là
zB
(do định nghĩa của B)
Ta chứng minh
 
BA

Ta sẽ chứng minh
 
BA
nghĩa là
j
jI
BC


,
j
C
là tập lồi chứa A với mọi
jI

Thật vậy, ta sẽ chứng minh
j
BC

với
j
C
là tập lồi bất kỳ chứa A
Lấy
xB
. Theo định nghĩa của B có
, 1, ,
i
a A i m
có
1
0, 1,
m
ii
i
p i m sao cho p




1
m
ii
i
x p a



, chú ý rằng

1, ,
j
A C i m

Theo định lý 13, x là tổ hợp lồi của
1
, , a
mj
aC
nên
j
xC

Chứng minh tren suy ra
 
xA

Vậy
 
BA

18. Tổng của 2 tập
Lấy
A , B
n
R
. Tổng của
AB
được định nghĩa bởi
 

,,A B z z x y x A y B     

19. Tích của một tập hợp với một số thực
Cho
n
AR
và
 R

.
Tích
 
,A z z x x A

  

nếu
1


và A, thì
B A B A

  
.
20. Định lý
Tổng
AB
của hai tập lồi A và B trong
n

R
là một tập lồi.
Chứng minh:
Cho
12
,z z A B

7

thì
1 1 1
z x y

2 2 2
z x y
(
12
,x x A
và
12
,y y B
)
Cho
01


     
1 2 1 2 1 2
1 1 1z z x x y y A B
     

         


Do đó A+B là tập lồi
21. Định lý
Tích
A

của một tập lồi A trong
n
R
và số thực

là một tập lồi
Chứng minh:
Lấy
12
,z z A


thì
1 1 2 2
,z x z x


(
12
,x x A
).
Cho

01


   
1 2 1 2
11z z x x A
     

     


22. Hệ quả
Nếu A và B là 2 tập lồi trong
n
R
, thì
AB
là 1 tập lồi
Chứng minh:
Cho
12
,z z A B

thì
1 1 1
z x y

2 2 2
z x y
(

12
,x x A
và
12
,y y B
)
Cho
01


     
1 2 1 2 1 2
1 [ 1 ] [ 1 ]z z x x y y A B
     
         


Do đó A-B là tập lồi

II. Định lý tách tập lồi
1. Siêu phẳng tách
Siêu phẳng
 
, , 0  
n
x x R cx c

được gọi là tách (tách ngặt) hai tập
A
và B khác rỗng trong

n
R
nếu
 
 
x A cx cx
x B cx cx


   
   

8

Hình 3.2.1: Tách nhưng các tập không rời nhau.
2. Bổ đề
Cho A là một tập lồi khác rỗng trong
n
R
, không chứa gốc 0. Khi đó, tồn tại một siêu phẳng
 
, 0 , 0  
n
x x R cx c
, tách A và 0. Do đó:
0x A cx  

Chứng minh:
Với mỗi
xA

chúng ta kết hợp các tập đóng khác rỗng
 
, 1, 0
n
x
B y y R yy xy   

Cho
1
, . . . ,
m
xx
là tập hữu hạn các điểm trong
A
.
Ta có
11
0, 1, 0, 1, . . . ,
mm
i
i i i
ii
x p p p i m

   

không có nghiệm

m
pR

Hình 3.2.2 Tập rời nhau nhưng không tách nhau.

Hoặc tương đương
1
0, 0
m
i
i
i
x p p



không có nghiệm

m
pR

Từ định lý 2.4.5 của Gordan
0, 1, . . . ,
i
x y i m
có nghiệm

m

yR

9

Với
0y 
, lấy
y
sao cho
1yy 
. Khi đó:
 
11
, 1, 0
i
mm
ni
x
ii
y y y R yy x y C

      

Do đó

1
i
m
x
i

C

  

Các tập
 
x
xA
C

là tập đóng liên quan đến tập compact
 
,1
n
y y R yy

ta có
x
xA
C

  
.
Lấy điểm
c
bất kỳ với
1cc 
và
0cx

xA
.
Do đó
 
,0
n
x x R cx
là siêu phẳng tách được cần tìm.
3. Định lý tách
Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong
n
R
. Khi đó tồn tại một siêu phẳng
 
, , 0  
n
x x R cx c

, ngăn cách hai tập trên, đó là,
x A cx
x B cx


  
  

Chứng minh:
 
,,B A x x y z y B z A     
là lồi (hệ quả 3.1.22 ) và không chứa gốc 0.

tồn tại
 
, 0 , 0  
n
x x R cx c

sao cho
0x B A cx   
hoặc
 
,0y B z A c y z    
(bổ đề 2)
Do đó
inf cy sup
yB
zA
cz



  

Đặt
2





thì

z A cz
y B cy


  
  

4. Hệ quả
Cho A là một tập lồi không rỗng trong
n
R
.
Nếu gốc 0 không là một điểm của bao đóng A ( hoặc gốc không nằm trong bao đóng
A
của
A), thì tồn tại một siêu phẳng
 
, , 0, 0   
n
x x R cx c

, tách ngặt A và 0.
Nói cách khác
0, 0 :
0
c
A
x A cx



  

  

Chứng minh
 


Giả sử: tồn tại
0, 0c


sao cho
cx


với mọi
xA
.
Nếu
0 
thì tồn tại một
xA
sao cho
2xc



10

do đó
.
22
   c c x cx
c


(một mâu thuẫn)
Do đó
0 A


 


0 không là một điểm của bao đóng của
A

tồn tại một quả cầu mở
 
 
0,
n
B x x x


  
quanh 0 sao cho
 

0BA

  

Từ quả cầu
 
0B

lồi theo định lý 3 tồn tại một siêu phẳng
 
, , 0  
n
x x R cx c

sao
cho
 
0x B cx
x A cx



  
  

Vì
 
0B

là một quả cầu mở, nó phải chứa vector

c

khác không với một vài số dương

.
Do đó
0cc

.
Với
1
0
2
cc


thì
0x A cx

    

5. Bổ đề
Cho A là một tập lồi đóng, khác rỗng trong
n
R
. Nếu A không chứa gốc, thì tồn tại một siêu
phẳng
 
, , 0, 0   
n

x x R cx c

tách ngặt A và 0.
Ngược lại
0, 0 :
0
c
A
x A cx


  

  

Chứng minh: Bổ đề này có được từ hệ quả 4 ở trên bằng cách chú ý các yêu cầu thì A đóng được
và không chứa gốc 0 kéo theo 0 không phải là một điểm của bao đóng của A, nghĩa là,
0 A
(xem
B.1.3, B.1.5 và B.1.6)
6. Định lý tách ngặt
Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng trong
n
R
, với A compact và B đóng. Nếu A và B rời nhau, thì
tồn tại một siêu phẳng
 
, , 0  
n
x x R cx c


, tách ngặt chúng và ngược lại
0 , :c
A B x A cx
x B cx




      
  

Chứng minh:
 

nếu
x A B
, thì
cx cx


, mâu thuẫn

 

tập
 
,,A B x x y z y A z B     
là lồi và đóng.
Do đó theo bổ đề 5, tồn tại một siêu phẳng

 
, , , 0   
n
x x R cx c

sao cho
0x B A cx

    

Hoặc
 
,0y B z A c y z

     

Do đó
11

inf cy su p sup
yB
z A z A
cz cz
  


    

Đặt
2






thì
z A cz
y B cy


  
  


Hình 3.2.5 Giải thích hình học của Bổ đề 5

7. Bài toán
Thiết lập định lý Farkas 2.4.6 bằng cách sử dụng định lý 6 ở trên. (quan sát
'
,0A y b y
không
có nghiệm khi và chỉ khi các tập
 
b
và
 
'
,0z z A y y
rời nhau. Sau đó sử dụng định lý 6)